直線與圓的位置關(guān)系-求切線方程

復(fù)習(xí)：1、直線與圓的位置關(guān)系：0d>r1d=r切點(diǎn)切線2d<r交點(diǎn)割線．Ｏldr┐┐．ｏldr．Old┐r.ACB..相離

相切

相交

2、判定直線與圓的位置關(guān)系的方法有____種：〔1〕根據(jù)定義，由__________________的個(gè)數(shù)來判斷；〔2〕根據(jù)性質(zhì)，_____________________

______________的關(guān)系來判斷。在實(shí)際應(yīng)用中，常采用第二種方法判定。兩直線與圓的公共點(diǎn)圓心到直線的距離d與半徑r代數(shù)法幾何法例:圓的方程是x2+y2=r2,求經(jīng)過圓上一點(diǎn)M(x0,y0)的切線方程.分析:只要求出切線的斜率即可.解:如右圖所示,設(shè)切線的斜率為k,半徑OM所在直線的斜率為kOM.因?yàn)閳A的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑,于是求圓的切線方程圓的方程是x2+y2=r2,則經(jīng)過圓上一點(diǎn)M(x0,y0)的切線方程為：《自主》P924例2：求經(jīng)過點(diǎn)(1，－7)且與圓x2＋y2＝25相切的切線方程．解法一：設(shè)切線的斜率為k，由點(diǎn)斜式有y＋7＝k(x－1)，即y＝k(x－1)－7，將方程代入圓方程得x2＋[k(x－1)－7]2＝25，整理得(k2＋1)x2－(2k2＋14k)x＋k2＋14k＋24＝0.故Δ＝(2k2＋14k)2－4(k2＋1)(k2＋14k＋24)＝0，思維突破：點(diǎn)和圓方程求切線方程，有三種方法：(1)設(shè)切線斜率，用判別式法．(2)設(shè)切線斜率，用圓心到直線的距離等于半徑法．(3)設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，用切線公式法．

故切線方程為4x－3y－25＝0或3x＋4y＋25＝0.

解法二：設(shè)所求切線斜率為k，則所求直線方程為y＋7＝k(x－1)，整理成一般式為kx－y－k－7＝0，所以切線方程為4x－3y－25＝0或3x＋4y＋25＝0.

解法三：設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0)，則所求切線方程為x0x＋y0y＝25，將坐標(biāo)(1，－7)代入后得x0－7y0＝25，故所求切線方程為4x－3y－25＝0或3x＋4y＋25＝0.《自主》P922變式總結(jié):圓的切線方程求過一點(diǎn)的圓的切線問題，首先要判斷這點(diǎn)與圓的位置關(guān)系:①過圓外一點(diǎn)圓的切線有兩條，②過圓上一點(diǎn)圓的切線有一條，③過圓內(nèi)一點(diǎn)，沒有切線．在求過圓外一點(diǎn)的切線時(shí)常用以下方法：(1)設(shè)切線斜率，寫出切線方程，利用判別式等于零求斜率；(2)設(shè)切線斜率，利用圓心到直線的距離等于半徑來求斜率〔注意：在用這兩種方法時(shí)一定要注意切線斜率不存在的情形,假設(shè)求出只有一個(gè)斜率，應(yīng)找回另一條．〕〔3〕利用公式點(diǎn)在圓上，可直接代入切線公式；假設(shè)點(diǎn)在圓外，那么設(shè)切點(diǎn)M〔x0，y0〕，將點(diǎn)代入切線方程，與圓的方程組成方程組求解。練習(xí)1:求由以下條件所決定的圓x2＋y2＝4的切線方程：解：當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l方程為：y＋3＝k(x－3)?kx－y－3(k＋1)＝0，當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，也滿足題意，故直線l的方程為5x＋12y＋21＝0或x＝3.練習(xí)2：過點(diǎn)A(3，－3)且與圓(x－1)2＋y2＝4相切的直線l的方程是________________．變式:求過點(diǎn)P(6,-8)與圓C:x2+y2-2x-4y-20=0相切的直線方程.解:將圓的方程配方,得(x-1)2+(y-2)2=25,∴圓心C(1,2),半徑r=5.易知點(diǎn)P(6,-8)在圓C外部,設(shè)切線方程為y+8=k(x-6),即kx-y-6k-8=0.由圓心到切線的距離等于半徑得解得∴切線方程為即3x+4y+14=0.x=6也符合.所以切線方程是:3x+4y+14=0和x=6思考：假設(shè)圓的半徑為1，圓心在第一象限，且與直線4x-3y=0和x軸都相切，求該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程2.求圓心為（1,1）且與直線相切的圓的方程.設(shè)圓心為〔a，1〕,半徑為1，求得圓心為〔2,1〕或〔-1/2,1〕〔舍〕3.(2023·遼寧)圓C與直線x-y=0及x-y-4=0都相切,圓心在直線x+y=0上,那么圓C的方程為()A.(x+1)2+(y-1)2=2B.(x-1)2+(y+1)2=2C.(x-1)2+(y-1)2=2D.(x+1)2+(y+1)2=2解析:∵圓心在直線x+y=0上知,排除C?D.驗(yàn)證當(dāng)圓心(1,-1)時(shí),適合題意,應(yīng)選B答案:B4.(2023·廣東理12)圓心在x軸上,半徑為的圓O位于y軸左側(cè),且與直線x+y=0相切,那么圓O的方程為____________.解析:設(shè)圓心O(x,0)(x<0),那么∴|x|=2,∵x<0,∴x=-2.∴圓的方程為(x+2)2+y2=2.(x+2)2+y2=25.假設(shè)直線y=x+k與曲線恰有一個(gè)公共點(diǎn),那么k的取值范圍是__________________.解析:利用數(shù)形