高一數(shù)學(xué)-任意角

任意角知識(shí)探究（一）：角的概念的推廣

思考1：對(duì)于角的圖形特點(diǎn)有如下兩種認(rèn)識(shí)：①角是由平面內(nèi)一點(diǎn)引出的兩條射線所組成的圖形（如圖1）；②角是由平面內(nèi)一條射線繞其端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所組成的圖形（如圖2）.你認(rèn)為哪種認(rèn)識(shí)更科學(xué)、合理？

圖2圖1思考2：如圖，一條射線的端點(diǎn)是O，它從起始位置OA旋轉(zhuǎn)到終止位置OB，形成了一個(gè)角α，其中點(diǎn)O，射線OA、OB分別叫什么名稱？AOBα始邊終邊頂點(diǎn)思考4：為了區(qū)分形成角的兩種不同的旋轉(zhuǎn)方向，可以作怎樣的規(guī)定？如果一條射線沒(méi)有作任何旋轉(zhuǎn)，它還形成一個(gè)角嗎？

規(guī)定：按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)形成的角叫做正角，按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)形成的角叫做負(fù)角．如果一條射線沒(méi)有作任何旋轉(zhuǎn)，則稱它形成了一個(gè)零角.畫(huà)圖表示一個(gè)大小一定的角，先畫(huà)一條射線作為角的始邊，再由角的正負(fù)確定角的旋轉(zhuǎn)方向，再由角的絕對(duì)值大小確定角的旋轉(zhuǎn)量，畫(huà)出角的終邊，并用帶箭頭的螺旋線加以標(biāo)注.βB2γAB1αO思考5：度量一個(gè)角的大小，既要考慮旋轉(zhuǎn)方向，又要考慮旋轉(zhuǎn)量，通過(guò)上述規(guī)定，角的范圍就擴(kuò)展到了任意大小.對(duì)于α＝210°，＝－150°，＝－660°，你能用圖形表示這些角嗎？你能總結(jié)一下作圖的要點(diǎn)嗎？

思考6：如果你的手表慢了20分鐘，或快了1.25小時(shí)，你應(yīng)該將分鐘分別旋轉(zhuǎn)多少度才能將時(shí)間校準(zhǔn)？

－120°，450°.思考7：任意兩個(gè)角的數(shù)量大小可以相加、相減，如50°＋80°=130°，50°－80°=－30°，你能解釋一下這兩個(gè)式子的幾何意義嗎？

以50°角的終邊為始邊，逆時(shí)針（或順時(shí)針）旋轉(zhuǎn)80°所成的角.

思考8：一個(gè)角的始邊與終邊可以重合嗎？如果可以，這樣的角的大小有什么特點(diǎn)？

k·360°（k∈Z）

知識(shí)探究（二）：象限角

思考1：為了進(jìn)一步研究角的需要，我們常在直角坐標(biāo)系內(nèi)討論角，并使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，那么對(duì)一個(gè)任意角，角的終邊可能落在哪些位置？

xoy思考2：如果角的終邊在第幾象限，我們就說(shuō)這個(gè)角是第幾象限的角；如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個(gè)角不屬于如何象限，或稱這個(gè)角為軸線角.那么下列各角：-50°，405°，210°,-200°，－450°分別是第幾象限的角？－50°xyoxyo210°－450°xyo405°xyo－200°xyo思考3：銳角與第一象限的角是什么邏輯關(guān)系？鈍角與第二象限的角是什么邏輯關(guān)系？直角與軸線角是什么邏輯關(guān)系？思考4：第二象限的角一定比第一象限的角大嗎？象限角只能反映角的終邊所在象限，不能反映角的大小.思考5：在直角坐標(biāo)系中，135°角的終邊在什么位置？終邊在該位置的角一定是135°嗎？xyo知識(shí)探究（三）：終邊相同的角

思考1：－32°，328°，－392°是第幾象限的角？這些角有什么內(nèi)在聯(lián)系？－32°－392°xyo328°思考2：與135°角終邊相同的角有多少個(gè)？這些角與135°角在數(shù)量上相差多少？

思考3：所有與135°角終邊相同的角，連同135°角在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S，你能用描述法表示集合S嗎？

S={β|β=α＋k·360°，k∈Z}，即任一與α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數(shù)個(gè)周角的和.思考4：一般地，所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)所構(gòu)成的集合S可以怎樣表示？

思考5：終邊在x軸正半軸、負(fù)半軸，y軸正半軸、負(fù)半軸上的角分別如何表示？

x軸正半軸：α=k·360°，k∈Z；x軸負(fù)半軸：α=180°＋k·360°，k∈Z；y軸正半軸：α=90°＋k·360°，k∈Z；y軸負(fù)半軸：α=270°＋k·360°，k∈Z.思考6：終邊在x軸、y軸上的角的集合分別如何表示？

終邊在x軸上：S={α|α=k·180°，k∈Z}；終邊在y軸上：S={α|α=90°＋k·180°，k∈Z}.思考7：第一、二、三、四象限的角的集合分別如何表示？

第一象限：S={α|k·360°<α< 90°＋k·360°，k∈Z}；第二象限：S={α|90°＋k·360°<α< 180°＋k·360°，k∈Z}；第三象限：S={α|180°＋k·360°<α< 270°＋k·360°，k∈Z}；第四象限：S={α|－90°＋k·360°< α<k·360°，k∈Z}.思考8：如果α是第二象限的角，那么2α、α/2分別是第幾象限的角？90°＋k·360°<α<180°＋k·360°180°＋k·720°<2α<360°＋k·720°45°＋k·180°<α/2<90°＋k·180°理論遷移

例1在0°～360°范圍內(nèi)，找出與－950°12′角終邊相同的角，并判定它是第幾象限角.129°48′，第二象限角.小結(jié)作業(yè)1.角的概念推廣后，角的大小可以任意取值.把角放在直角坐標(biāo)系中進(jìn)行研究，對(duì)于一