2024屆江西省南昌市省重點中學高三下學期第二次月考（3月）數學試題

2024屆江西省南昌市省重點中學高三下學期第二次月考（3月）數學試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．我國著名數學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界矚目的成就，哥德巴赫猜想內容是“每個大于的偶數可以表示為兩個素數的和”（注：如果一個大于的整數除了和自身外無其他正因數，則稱這個整數為素數），在不超過的素數中，隨機選取個不同的素數、，則的概率是（）A． B． C． D．2．已知直線與直線則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件3．已知三棱錐的四個頂點都在球的球面上,平面,是邊長為的等邊三角形,若球的表面積為,則直線與平面所成角的正切值為()A． B． C． D．4．函數在的圖像大致為A． B． C． D．5．已知雙曲線的左、右焦點分別為，圓與雙曲線在第一象限內的交點為M，若．則該雙曲線的離心率為A．2 B．3 C． D．6．甲乙兩人有三個不同的學習小組，，可以參加，若每人必須參加并且僅能參加一個學習小組，則兩人參加同一個小組的概率為（）A．B．C．D．7．中國古代數學名著《九章算術》中記載了公元前344年商鞅督造的一種標準量器——商鞅銅方升，其三視圖如圖所示（單位：寸），若取3，當該量器口密閉時其表面積為42.2（平方寸），則圖中x的值為()A．3 B．3.4 C．3.8 D．48．中國古代用算籌來進行記數，算籌的擺放形式有縱橫兩種形式（如圖所示），表示一個多位數時，像阿拉伯記數一樣，把各個數位的數碼從左到右排列，但各位數碼的籌式需要縱橫相間，其中個位、百位、方位……用縱式表示，十位、千位、十萬位……用橫式表示，則56846可用算籌表示為（）A． B． C． D．9．已知，如圖是求的近似值的一個程序框圖，則圖中空白框中應填入A． B．C． D．10．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的值為8，則框圖中①處可以填（）．A． B． C． D．11．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入，，則輸出的值為（）A．0 B．1 C． D．12．曲線上任意一點處的切線斜率的最小值為（）A．3 B．2 C． D．1二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．從2、3、5、7、11、13這六個質數中任取兩個數，這兩個數的和仍是質數的概率是________（結果用最簡分數表示）14．已知向量=（－4，3），=（6，m），且，則m=__________.15．已知二面角α﹣l﹣β為60°，在其內部取點A，在半平面α，β內分別取點B，C．若點A到棱l的距離為1，則△ABC的周長的最小值為_____．16．已知函數.若在區(qū)間上恒成立.則實數的取值范圍是__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數，將的圖象向左移個單位，得到函數的圖象.（1）若，求的單調區(qū)間；（2）若，的一條對稱軸是，求在的值域.18．（12分）記數列的前項和為，已知成等差數列.（1）證明：數列是等比數列，并求的通項公式；（2）記數列的前項和為，求.19．（12分）已知曲線：和：（為參數）.以原點為極點，軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，且兩種坐標系中取相同的長度單位.（1）求曲線的直角坐標方程和的方程化為極坐標方程；（2）設與，軸交于，兩點，且線段的中點為.若射線與，交于，兩點，求，兩點間的距離.20．（12分）的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．（1）求B；（2）若，求的面積的最大值．21．（12分）已知函數.（1）當時，解不等式；（2）設不等式的解集為，若，求實數的取值范圍.22．（10分）如圖，已知四棱錐的底面是等腰梯形，，，，，為等邊三角形，且點P在底面上的射影為的中點G，點E在線段上，且.（1）求證：平面.（2）求二面角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】

先列舉出不超過的素數，并列舉出所有的基本事件以及事件“在不超過的素數中，隨機選取個不同的素數、，滿足”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【題目詳解】不超過的素數有：、、、、、，在不超過的素數中，隨機選取個不同的素數，所有的基本事件有：、、、、、、、、、、、、、、，共種情況，其中，事件“在不超過的素數中，隨機選取個不同的素數、，且”包含的基本事件有：、、、，共種情況，因此，所求事件的概率為.故選：B.【題目點撥】本題考查古典概型概率的計算，一般利用列舉法列舉出基本事件，考查計算能力，屬于基礎題.2、B【解題分析】

利用充分必要條件的定義可判斷兩個條件之間的關系.【題目詳解】若，則，故或，當時，直線，直線，此時兩條直線平行；當時，直線，直線，此時兩條直線平行.所以當時，推不出，故“”是“”的不充分條件，當時，可以推出，故“”是“”的必要條件，故選：B.【題目點撥】本題考查兩條直線的位置關系以及必要不充分條件的判斷，前者應根據系數關系來考慮，后者依據兩個條件之間的推出關系，本題屬于中檔題.3、C【解題分析】

設為中點,先證明平面，得出為所求角,利用勾股定理計算,得出結論．【題目詳解】設分別是的中點平面是等邊三角形又平面為與平面所成的角是邊長為的等邊三角形，且為所在截面圓的圓心球的表面積為球的半徑平面本題正確選項：【題目點撥】本題考查了棱錐與外接球的位置關系問題，關鍵是能夠通過垂直關系得到直線與平面所求角，再利用球心位置來求解出線段長，屬于中檔題．4、B【解題分析】

由分子、分母的奇偶性，易于確定函數為奇函數，由的近似值即可得出結果．【題目詳解】設，則，所以是奇函數，圖象關于原點成中心對稱，排除選項C．又排除選項D；，排除選項A，故選B．【題目點撥】本題通過判斷函數的奇偶性，縮小考察范圍，通過計算特殊函數值，最后做出選擇．本題較易，注重了基礎知識、基本計算能力的考查．5、D【解題分析】

本題首先可以通過題意畫出圖像并過點作垂線交于點，然后通過圓與雙曲線的相關性質判斷出三角形的形狀并求出高的長度，的長度即點縱坐標，然后將點縱坐標帶入圓的方程即可得出點坐標，最后將點坐標帶入雙曲線方程即可得出結果?！绢}目詳解】根據題意可畫出以上圖像，過點作垂線并交于點，因為，在雙曲線上，所以根據雙曲線性質可知，，即，，因為圓的半徑為，是圓的半徑，所以，因為，，，，所以，三角形是直角三角形，因為，所以，，即點縱坐標為，將點縱坐標帶入圓的方程中可得，解得，，將點坐標帶入雙曲線中可得，化簡得，，，，故選D?！绢}目點撥】本題考查了圓錐曲線的相關性質，主要考察了圓與雙曲線的相關性質，考查了圓與雙曲線的綜合應用，考查了數形結合思想，體現(xiàn)了綜合性，提高了學生的邏輯思維能力，是難題。6、A【解題分析】依題意，基本事件的總數有種，兩個人參加同一個小組，方法數有種，故概率為.7、D【解題分析】

根據三視圖即可求得幾何體表面積，即可解得未知數.【題目詳解】由圖可知，該幾何體是由一個長寬高分別為和一個底面半徑為，高為的圓柱組合而成.該幾何體的表面積為，解得，故選：D.【題目點撥】本題考查由三視圖還原幾何體，以及圓柱和長方體表面積的求解，屬綜合基礎題.8、B【解題分析】

根據題意表示出各位上的數字所對應的算籌即可得答案．【題目詳解】解：根據題意可得，各個數碼的籌式需要縱橫相間，個位，百位，萬位用縱式表示；十位，千位，十萬位用橫式表示，用算籌表示應為：縱5橫6縱8橫4縱6，從題目中所給出的信息找出對應算籌表示為中的．故選：．【題目點撥】本題主要考查學生的合情推理與演繹推理，屬于基礎題．9、C【解題分析】

由于中正項與負項交替出現(xiàn)，根據可排除選項A、B；執(zhí)行第一次循環(huán)：，①若圖中空白框中填入，則，②若圖中空白框中填入，則，此時不成立，；執(zhí)行第二次循環(huán)：由①②均可得，③若圖中空白框中填入，則，④若圖中空白框中填入，則，此時不成立，；執(zhí)行第三次循環(huán)：由③可得，符合題意，由④可得，不符合題意，所以圖中空白框中應填入，故選C．10、C【解題分析】

根據程序框圖寫出幾次循環(huán)的結果，直到輸出結果是8時.【題目詳解】第一次循環(huán)：第二次循環(huán)：第三次循環(huán)：第四次循環(huán)：第五次循環(huán)：第六次循環(huán)：第七次循環(huán)：第八次循環(huán)：所以框圖中①處填時，滿足輸出的值為8.故選：C【題目點撥】此題考查算法程序框圖，根據循環(huán)條件依次寫出每次循環(huán)結果即可解決，屬于簡單題目.11、A【解題分析】

根據輸入的值大小關系，代入程序框圖即可求解.【題目詳解】輸入，，因為，所以由程序框圖知，輸出的值為.故選：A【題目點撥】本題考查了對數式大小比較，條件程序框圖的簡單應用，屬于基礎題.12、A【解題分析】

根據題意，求導后結合基本不等式，即可求出切線斜率，即可得出答案.【題目詳解】解：由于，根據導數的幾何意義得：，即切線斜率，當且僅當等號成立，所以上任意一點處的切線斜率的最小值為3.故選：A.【題目點撥】本題考查導數的幾何意義的應用以及運用基本不等式求最值，考查計算能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

依據古典概型的計算公式，分別求“任取兩個數”和“任取兩個數，和是質數”的事件數，計算即可?！绢}目詳解】“任取兩個數”的事件數為，“任取兩個數，和是質數”的事件有（2,3），（2,5），（2,11）共3個，所以任取兩個數，這兩個數的和仍是質數的概率是?！绢}目點撥】本題主要考查古典概型的概率求法。14、8.【解題分析】

利用轉化得到加以計算，得到.【題目詳解】向量則.【題目點撥】本題考查平面向量的坐標運算、平面向量的數量積、平面向量的垂直以及轉化與化歸思想的應用.屬于容易題.15、【解題分析】

作A關于平面α和β的對稱點M，N，交α和β與D，E，連接MN，AM，AN，DE，根據對稱性三角形ADC的周長為AB+AC+BC＝MB+BC+CN，當四點共線時長度最短，結合對稱性和余弦定理求解.【題目詳解】作A關于平面α和β的對稱點M，N，交α和β與D，E，連接MN，AM，AN，DE，根據對稱性三角形ABC的周長為AB+AC+BC＝MB+BC+CN，當M，B，C，N共線時，周長最小為MN設平面ADE交l于，O，連接OD，OE，顯然OD⊥l，OE⊥l，∠DOE＝60°，∠MOA+∠AON＝240°,OA＝1，∠MON＝120°，且OM＝ON＝OA＝1，根據余弦定理，故MN2＝1+1﹣2×1×1×cos120°＝3，故MN．故答案為：．【題目點撥】此題考查求空間三角形邊長的最值，關鍵在于根據幾何性質找出對稱關系，結合解三角形知識求解.16、【解題分析】

首先解不等式，再由在區(qū)間上恒成立，即得到不等組，解得即可.【題目詳解】解：且，即解得，即因為在區(qū)間上恒成立，解得即故答案為：【題目點撥】本題考查一元二次不等式及函數的綜合問題，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）增區(qū)間為，減區(qū)間為；（2）.【解題分析】

（1）由題意利用三角函數圖象變換規(guī)律求得的解析式，然后利用余弦函數的單調性，得出結論；（2）由題意利用余弦函數的圖象的對稱性求得，再根據余弦函數的定義域和值域，得出結論．【題目詳解】由題意得（1）向左平移個單位得到，增區(qū)間：解不等式，解得，減區(qū)間：解不等式，解得.綜上可得，的單調增區(qū)間為，減區(qū)間為；（2）由題易知，，因為的一條對稱軸是，所以，，解得，.又因為，所以，即.因為，所以，則，所以在的值域是.【題目點撥】本題主要考查三角函數圖象變換規(guī)律，余弦函數圖象的對稱性，余弦函數的單調性和值域，屬于中檔題．18、（1）證明見解析，；（2）【解題分析】

（1）由成等差數列，可得到，再結合公式，消去，得到，再給等式兩邊同時加1，整理可證明結果；（2）將（1）得到的代入中化簡后再裂項，然后求其前項和.【題目詳解】（1）由成等差數列，則，即，①當時，，又，②由①②可得：，即，時，.所以是以3為首項，3為公比的等比數列，，所以.（2），所以.【題目點撥】此題考查了數列遞推式，等比數列的證明，裂列相消求和，考查了學生分析問題和解決問題的能力，屬于中檔題.19、（1），；（2）1.【解題分析】

（1）利用正弦的和角公式，結合極坐標化為直角坐標的公式，即可求得曲線的直角坐標方程；先寫出曲線的普通方程，再利用公式化簡為極坐標即可；（2）先求出的直角坐標，據此求得中點的直角坐標，將其轉化為極坐標，聯(lián)立曲線的極坐標方程，即可求得兩點的極坐標，則距離可解.【題目詳解】（1）：可整理為，利用公式可得其直角坐標方程為：，：的普通方程為，利用公式可得其極坐標方程為（2）由（1）可得的直角坐標方程為，故容易得，，∴，∴的極坐標方程為，把代入得，.把代入得，.∴，即，兩點間的距離為1.【題目點撥】本題考查極坐標方程和直角坐標方程之間的轉化，涉及參數方程轉化為普通方程，以及在極坐標系中求兩點之間的距離，屬綜合基礎題.20、（1）（2）【解題分析】

(1)由正弦定理邊化角化簡已知條件可求得,即可求得;(2)由余弦定理借助基本不等式可求得,即可求出的面積的最大值.【題目詳解】（1），，所以，所以，，，，．（2）由余弦定理得.，，當且僅當時取等，.所以的面積的最大值為.【題目點撥】本題考查了正余弦定理在解三角形中的應用,考查了三角形面積的最值問題,難度較易.21、（1）或；（2）【解題