概率論全套課件

Probability概率論2023年12月28日20時(shí)35分2023年12月28日20時(shí)35分確定性現(xiàn)象隨機(jī)現(xiàn)象—

在相同的條件下進(jìn)行大量觀察或試驗(yàn)時(shí)，出現(xiàn)的結(jié)果有一定的規(guī)律性。

——稱(chēng)之為統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。第一章概率論的基本概念大量重複試驗(yàn)中,其結(jié)果有統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的現(xiàn)象。2023年12月28日20時(shí)35分§1.1隨機(jī)事件及其運(yùn)算

1對(duì)某事物特徵進(jìn)行觀察,統(tǒng)稱(chēng)試驗(yàn)。若它有如下特點(diǎn),則稱(chēng)為隨機(jī)試驗(yàn)。§1.1.1隨機(jī)試驗(yàn)與事件

試驗(yàn)結(jié)果不止一個(gè),但能明確所有結(jié)果；

試驗(yàn)前不能預(yù)知出現(xiàn)哪種結(jié)果。

可在相同的條件下重複進(jìn)行；隨機(jī)試驗(yàn)用E

表示。2023年12月28日20時(shí)35分2樣本空間——隨機(jī)試驗(yàn)E

所有可能的結(jié)果組成的集合稱(chēng)為樣本空間，記為Ω。

3樣本空間的元素,即E

的直接結(jié)果,稱(chēng)為4隨機(jī)事件——

的子集,記為A,B,…等。（它是滿足某些條件的樣本點(diǎn)所組成的集合。）樣本點(diǎn)，記為

，且

={}。2023年12月28日20時(shí)35分其中T1,T2

是該地區(qū)的最低與最高溫度觀察某地區(qū)每天最低與最高溫度。觀察總機(jī)9~10點(diǎn)之間接到的電話次數(shù)。有限樣本空間無(wú)限連續(xù)樣本空間投一枚硬幣3次,觀察正面出現(xiàn)的次數(shù)。例1

給出一組隨機(jī)試驗(yàn)及相應(yīng)的樣本空間。無(wú)限離散樣本空間2023年12月28日20時(shí)35分6基本事件

——僅由一個(gè)樣本點(diǎn)組成的子集，它是隨機(jī)試驗(yàn)的直接結(jié)果,每次試驗(yàn)必定發(fā)生且只可能發(fā)生一個(gè)基本事件。7必然事件——全體樣本點(diǎn)組成的事件,記為

,

每次試驗(yàn)必定發(fā)生的事件。5隨機(jī)事件發(fā)生——組成隨機(jī)事件的某一個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生。8不可能事件——不包含任何樣本點(diǎn)的事件,記為

,每次試驗(yàn)必定不發(fā)生的事件。單點(diǎn)集全集空集2023年12月28日20時(shí)35分A

隨機(jī)事件的關(guān)係和運(yùn)算類(lèi)同集合的關(guān)係和運(yùn)算

§1.1.2事件的關(guān)係與運(yùn)算文氏圖(Venndiagram)2023年12月28日20時(shí)35分——A

包含於B

若事件A發(fā)生，

則事件B必定發(fā)生。

A

B

1.事件的包含2.事件的相等2023年12月28日20時(shí)35分

事件A與事件B

至少有一個(gè)發(fā)生?！?/p>

A

與B

的和事件。

3.事件的和2023年12月28日20時(shí)35分直接和補(bǔ)充AB2023年12月28日20時(shí)35分事件A與事件B

同時(shí)發(fā)生。的積事件

——

的積事件——

—

A

與B

的積事件。

4.事件的積ΩABA∩B2023年12月28日20時(shí)35分發(fā)生

事件A發(fā)生，但事件B

不發(fā)生。

—

A

與B

的差事件。5.事件的差2023年12月28日20時(shí)35分

A

與B

互斥A、B不可能同時(shí)發(fā)生。AB6.事件的互斥(互不相容)A

與B

互斥2023年12月28日20時(shí)35分—

A

與B

對(duì)立。每次試驗(yàn)，A與

B中有且只有一個(gè)發(fā)生。A稱(chēng)B

為A的對(duì)立事件(or逆事件)，記為注意：“A

與B

對(duì)立”與“A

與B

互斥”是兩個(gè)不同的概念。7.事件的對(duì)立AB對(duì)立互斥2023年12月28日20時(shí)35分例

擲一枚骰子，觀察其出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)。記B——“點(diǎn)數(shù)不小於4”，C——“點(diǎn)數(shù)等於3”。則有

={1，2，3，4，5，6}，B={4，5，6}，C={3}。但要注意：B與C不是對(duì)立事件。說(shuō)明互斥事件，不一定是對(duì)立事件?！連∪C≠Ω於是有B∩C=

。2023年12月28日20時(shí)35分8.完備事件組若兩兩互斥，且則稱(chēng)為完備事件組，或稱(chēng)為的一個(gè)劃分。直接和2023年12月28日20時(shí)35分

吸收律

冪等律

差化積

重餘律運(yùn)算律對(duì)應(yīng)事件運(yùn)算集合運(yùn)算2023年12月28日20時(shí)35分

A-B:A發(fā)生但B不發(fā)生，A-AB:A發(fā)生但AB不發(fā)生。2023年12月28日20時(shí)35分

交換律

結(jié)合律

分配律

對(duì)偶律運(yùn)算順序：

逆積和差，括弧優(yōu)先。

2023年12月28日20時(shí)35分B

CABA

CA

分配律

圖示A2023年12月28日20時(shí)35分A

B

B紅色區(qū)域黃色區(qū)域交例2

用圖示法簡(jiǎn)化AA2023年12月28日20時(shí)35分例3

化簡(jiǎn)事件解

原式2023年12月28日20時(shí)35分例4

利用事件關(guān)係和運(yùn)算表達(dá)多個(gè)事件的關(guān)係A,B,C

都不發(fā)生——

A,B,C

不都發(fā)生——2023年12月28日20時(shí)35分例5

在圖書(shū)館中隨意抽取一本書(shū)，表示數(shù)學(xué)書(shū)，表示中文書(shū)，表示平裝書(shū)?！槿〉氖蔷b中文版數(shù)學(xué)書(shū)。——精裝書(shū)都是中文書(shū)。——非數(shù)學(xué)書(shū)都是中文版的，且中文版的書(shū)都是非數(shù)學(xué)書(shū)。則事件2023年12月28日20時(shí)35分例6

甲、乙、丙三人各向目標(biāo)射擊一發(fā)子彈,以A、B、C分別表示甲、乙、丙命中目標(biāo),試用A、B、C的運(yùn)算關(guān)係表示下列事件:2023年12月28日星期四事件的關(guān)係與運(yùn)算記號(hào)概率論集合論Ω

樣本空間,必然事件空間,全集Ф

不可能事件空集ω

樣本點(diǎn)元素

A

隨機(jī)事件子集合

A的逆事件A的餘集

事件之間的關(guān)係與運(yùn)算完全和集合之間的關(guān)係與運(yùn)算一致，只是術(shù)語(yǔ)不同而已。2023年12月28日20時(shí)35分

(-代數(shù))設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間為，

記為E的一些事件作為元素所構(gòu)成的集合，即集合族

，若

滿足以下三條：（1）

（

包含必然事件）；（2）任意A

,有（

對(duì)逆運(yùn)算封閉）；（3）任意Ai

,i=1,2…，則（

對(duì)可列並運(yùn)算封閉）。事件域則稱(chēng)

為事件域（

-代數(shù)），稱(chēng)（

，

）為可測(cè)空間。聯(lián)想：2023年12月28日20時(shí)35分樣本空間為構(gòu)造如下事件:………

例7：在編號(hào)為1,2，…,n

的

n個(gè)元件中取一件，考慮元件的編號(hào)，則全體基本事件為則組成一個(gè)事件域。2023年12月28日20時(shí)35分σ-代數(shù)有如下性質(zhì)：1.2.對(duì)可列交運(yùn)算封閉,若則有

證：2023年12月28日20時(shí)35分投一枚硬幣觀察正面向上的次數(shù)

n=4040,

nH=2048,

fn(H)=0.5069

n=12000,

nH=6019,

fn(H)=0.5016n=24000,nH=12012,

fn(H)=0.5005頻率穩(wěn)定性的實(shí)例

蒲豐(Buffon)投幣

皮爾森(Pearson)投幣實(shí)例1投硬幣2023年12月28日20時(shí)35分

概率的統(tǒng)計(jì)定義1.2.2概率在相同條件下重複進(jìn)行的n

次試驗(yàn)中,事件A

發(fā)生的頻率穩(wěn)定地在某一常數(shù)p附近擺動(dòng),

且隨n越大擺動(dòng)幅度越小,則稱(chēng)p為事件A

的概率,記作P(A)。對(duì)本定義的評(píng)價(jià)優(yōu)點(diǎn)：直觀易懂缺點(diǎn)：粗糙模糊不便使用2023年12月28日星期四概率的公理化定義,概率空間

1933年，前蘇聯(lián)著名的數(shù)學(xué)家柯?tīng)柲缏宸蛟凇陡怕收摰幕靖拍睢芬粫?shū)中提出了概率的公理化體系，第一次把概率論建立在嚴(yán)密的邏輯基礎(chǔ)上，使概率論成為了一門(mén)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)分支，將它推向了一個(gè)全新的發(fā)展階段。概率的公理化定義，並不考慮每一個(gè)事件A發(fā)生的概率P(A)是如何定義的（它依賴(lài)於每一個(gè)具體的實(shí)際問(wèn)題的結(jié)構(gòu)），而是強(qiáng)調(diào)作為一個(gè)整體，概率P(A)本身應(yīng)滿足的一些必要條件——三條公理。2023年12月28日星期四

定義(概率)：設(shè)(Ω,)是一可測(cè)空間，對(duì)定義在

上的實(shí)值集函數(shù)P(A),滿足1)

非負(fù)性公理：對(duì)

2)

規(guī)範(fàn)性公理:P(Ω)=1;3)

可列可加性公理：對(duì)

有稱(chēng)P是(Ω,)上的概率(測(cè)度),P(A)是事件A的概率，稱(chēng)三元組(Ω,,P)為概率空間。概率的公理化定義注：可列可加性不能推廣到任意可加性，後面會(huì)舉例說(shuō)明。兩兩互斥直接和2023年12月28日20時(shí)35分聯(lián)想：三元組(Ω,,P)函數(shù)函數(shù)兩要素P概率的性質(zhì)第一章概率論的基本概念性質(zhì)1證明:

由概率的可列可加性得:

由概率的非負(fù)性知，，故由上式可知注：不可能事件的概率為0，但反之不然!!!!。後面會(huì)舉例說(shuō)明。第一章隨機(jī)事件及其概率性質(zhì)2(有限可加性)

設(shè)是兩兩互斥的事件，則有

證明:由概率的可列可加性得:

直接和證明：

性質(zhì)3設(shè)是兩個(gè)事件，若，則有推論：設(shè)A,B是任意兩個(gè)事件，則有提示：第一章隨機(jī)事件及其概率證明：

性質(zhì)4推論：提示：

性質(zhì)4在概率的計(jì)算上很有用,如果正面計(jì)算事件A的概率不容易,而計(jì)算其對(duì)立事件的概率較易時(shí),可以先計(jì)算,再計(jì)算P(A).

性質(zhì)4對(duì)任一事件A,有

2023年12月28日星期四P(A∪B)=P(A)+P(B)–P(AB)性質(zhì)5（加法公式）：P(A∪B)=P(A)+P(B)–P(AB)證：

∵A∪B=(A–B)∪(B–A)∪AB，且A–B，B–A與AB兩兩互斥，∴P(A∪B)=P(A–B)+P(B–A)+P(AB)….①∵P(A–B)=P(A)–P(AB)…....…②同理可得，P(B–A)=P(B)–P(AB)……………..③將②、③代入①，得2023年12月28日星期四=P(A)+P(B)+P(C)–P(AB)–P(AC)–P(BC)+P(ABC)推論1三個(gè)事件和的概率P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)–P(AB)–P(AC)–P(BC)+P(ABC)證：

P(A∪B∪C)=P[A∪(B∪C)]=P(A)+P(B∪C)

–P[A(B∪C)]=P(A)+[P(B)+P(C)–P(BC)]–P(AB∪AC)=P(A)+P(B)+P(C)–P(BC)–[P(AB)+P(AC)–P(ABC)]

2023年12月28日星期四推論2（加奇減偶公式）（右端共有項(xiàng)。）

加法公式總結(jié)

事件互斥時(shí)的加法公式

事件相容時(shí)的加法公式

ABB2023年12月28日星期四性質(zhì)6：

性質(zhì)7：

從上連續(xù)，右極限從下連續(xù)，左極限2023年12月28日星期四性質(zhì)8：概率具有次可加性證明：2023年12月28日20時(shí)35分例1

小王參加“智力大衝浪”遊戲,他能答出甲、乙二類(lèi)問(wèn)題的概率分別為0.7和0.2,

兩類(lèi)問(wèn)題都能答出的概率為0.1，

求小王解

設(shè)事件A,B分別表示“能答出甲,乙類(lèi)問(wèn)題”(1)(1)答出甲類(lèi)而答不出乙類(lèi)問(wèn)題的概率；

(2)至少有一類(lèi)問(wèn)題能答出的概率；

(3)兩類(lèi)問(wèn)題都答不出的概率。(2)(3)例2解

2023年12月28日20時(shí)35分例3

設(shè)A,B滿足P(A)=0.6,P(B)=0.7,

在何條件下，

P(AB)取得最大(小)值？最大(小)值是多少？解：最小值在時(shí)取得?！钚≈怠畲笾底畲笾翟跁r(shí)取得。

常常把這樣的試驗(yàn)結(jié)果稱(chēng)為“等可能的”。試驗(yàn)結(jié)果你認(rèn)為哪個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的可能性大？2023年12月28日20時(shí)35分23479108615

例如,一個(gè)袋子中裝有10個(gè)大小、形狀完全相同的球。將球編號(hào)為1－10.把球攪勻,蒙上眼睛,從中任取一球。10個(gè)球中的任一個(gè)被取出的機(jī)會(huì)是相等的,均為1/10。2023年12月28日20時(shí)35分則稱(chēng)E為古典概型,也叫等可能概型。定義若某實(shí)驗(yàn)E滿足(1)有限性:樣本空間(2)等可能性:2023年12月28日20時(shí)35分一古典概型的定義拋一枚硬幣三次

拋三枚硬幣一次Ω1={正正正,

正正反,正反正,反正正,

正反反,反正反,反反正,反反反}

此樣本空間中的樣本點(diǎn)等可能。Ω2={三正,二正一反,二反一正,三反}

此樣本空間中的樣本點(diǎn)不等可能。.

Ω2

中樣本點(diǎn)（二正一反)是(三正)的三倍。

注意2023年12月28日20時(shí)35分這樣就把求概率問(wèn)題轉(zhuǎn)化為計(jì)數(shù)問(wèn)題。

定義：

設(shè)實(shí)驗(yàn)E是古典概型,其樣本空間Ω由個(gè)樣本點(diǎn)組成,事件A由個(gè)樣本點(diǎn)組成。則定義事件A的概率為:稱(chēng)此概率為古典概率，這種確定概率的方法稱(chēng)為古典方法。

A包含的樣本點(diǎn)數(shù)

P(A)==

Ω中的樣本點(diǎn)總數(shù)2023年12月28日20時(shí)35分2023年12月28日20時(shí)35分例1

從裝有外形完全一樣的紅、白、黑三個(gè)球的口袋中任取兩球。就下列兩種情形，求取到一個(gè)紅球和一個(gè)白球的概率:（1）不放回抽樣的場(chǎng)合；（2）有放回抽樣的場(chǎng)合。

解：用一個(gè)“顏色對(duì)”表示所取出的兩個(gè)球。記A——取到一個(gè)紅球和一個(gè)白球。（1）不放回抽樣的場(chǎng)合〔方法一〕考慮取球的順序={（紅，白），（紅，黑），（白，紅），

（白，黑），（黑，紅），（黑，白）}，A={（紅，白），（白，紅）}，2023年12月28日20時(shí)35分例1

從裝有外形完全一樣的紅、白、黑三個(gè)球的口袋中任取兩球。就下列兩種情形，求取到一個(gè)紅球和一個(gè)白球的概率。（1）不放回抽樣的場(chǎng)合〔方法二〕不考慮取球的順序

={（紅，白），（紅，黑），（白，黑）}，

這兩種方法的不同點(diǎn)主要在於所選取的樣本空間不同。雖然使用了不同的方法，卻可以得到相同的結(jié)果，說(shuō)明對(duì)同一問(wèn)題，可以用不同的方法來(lái)解決，只要所使用的方法正確，所得到的結(jié)果是一致的?！卜椒ㄒ弧晨紤]取球的順序A={（紅，白）}，2023年12月28日20時(shí)35分例1

從裝有外形完全一樣的紅、白、黑三個(gè)球的口袋中任取兩球。就下列兩種情形，求取到一個(gè)紅球和一個(gè)白球的概率；（1）不放回抽樣的場(chǎng)合（2）有放回抽樣的場(chǎng)合。A={（紅，白），（白，紅）}，={（紅，紅)，（紅，白）,（紅，黑),（白，紅),

(白，白),（白，黑),（黑，紅),（黑，白），（黑，黑）}，2023年12月28日20時(shí)35分

二計(jì)數(shù)方法1、加法原理（分類(lèi)計(jì)數(shù)）

完成一件工作有

k種方式，第一種方式有

n1

種

方法，第二種方式有

n2

種方法，…，第

k種方式有

nk

種方法。無(wú)論通過(guò)哪一種方法，都可以完成這件工作，則完成這件工作的方法總數(shù)為：n1+n2+…+nk

。

2、乘法原理（分步計(jì)數(shù)）完成一件工作有k個(gè)步驟，第一步有n1

種方法，第二步有n2

種方法，…，第k步有nk

種方法。必須經(jīng)過(guò)每一個(gè)步驟，才算完成這件工作，則完成這件工作的方法總數(shù)為：n1

n2

…

nk

。

方法相加方法相乘注：加法原理與乘法原理的區(qū)別是：前者經(jīng)過(guò)一步，就可以完成一件工作；而後者必須經(jīng)過(guò)k步之後，才能完成一件工作。2023年12月28日20時(shí)35分

3、排列從含有n個(gè)不同元素的總體中取出k個(gè)元素進(jìn)行排列，既要考慮到取出的元素，又要顧及到取元素的順序。（1）可重複排列

從n個(gè)不同的元素中，有放回地取出k個(gè)元素，按照所取元素的順序進(jìn)行排列，這種排列稱(chēng)為可重複排列。有放回抽樣

由於每次選取一個(gè)元素時(shí)，都是在全體n個(gè)元素中進(jìn)行的，都有n種取法。根據(jù)乘法原理，可重複排列的不同排列種數(shù)為：n

n

…

n=nk

。

2023年12月28日20時(shí)35分（2）選排列

從n個(gè)不同的元素中，不放回地取出k個(gè)元素（kn），按照所取元素的順序進(jìn)行排列，這種排列稱(chēng)為從n個(gè)不同元素中取出k個(gè)元素的選排列。不放回抽樣

由於每選出一個(gè)元素以後，元素的總數(shù)就減少一個(gè)。根據(jù)乘法原理，選排列的不同排列種數(shù)記作：例、電話號(hào)碼是0943665××××,後面每個(gè)數(shù)字來(lái)自0～9這10個(gè)數(shù),問(wèn)可以產(chǎn)生多少個(gè)不同的電話號(hào)碼?若要求最後4個(gè)數(shù)字不重複,則又有多少種不同的電話號(hào)碼?094366510101010×××=104分析:分4步完成=504010987×××又例如，4個(gè)同學(xué)爭(zhēng)奪3項(xiàng)競(jìng)賽冠軍，冠軍獲得者共有幾種可能情況？解：完成這件事情可分三步：（1）第一項(xiàng)冠軍有4種可能；（2）第二項(xiàng)冠軍有4種可能；（3）第三項(xiàng)冠軍有4種可能。所以可能情況有：4×4×4＝（種）。n個(gè)球隨機(jī)地放入N個(gè)盒中,共有

種放法？2023年12月28日20時(shí)35分例、

五名學(xué)生報(bào)名參加四項(xiàng)體育比賽，(1)每人限報(bào)一項(xiàng)，報(bào)名方法的種數(shù)有多少？(2)又他們爭(zhēng)奪這四項(xiàng)比賽的冠軍，獲得冠軍的可能性有多少種？解：（1）5名學(xué)生中任一名均可報(bào)其中的任一項(xiàng)，因此每個(gè)學(xué)生都有4種報(bào)名方法，5名學(xué)生都報(bào)了專(zhuān)案才能算完成這一事件故報(bào)名方法種數(shù)為4×4×4×4×4=種。（2）每個(gè)專(zhuān)案只有一個(gè)冠軍，每一名學(xué)生都可能獲得其中的一項(xiàng)獲軍，因此每個(gè)專(zhuān)案獲冠軍的可能性有5種故有5×５×５×５=種。n個(gè)球隨機(jī)地放入N個(gè)盒中,共有

種放法？2023年12月28日20時(shí)35分2023年12月28日20時(shí)35分4、組合

從n個(gè)不同的元素中，不放回地取出k個(gè)元素（kn）,不考慮元素取出的順序，而將它們並成一組，稱(chēng)為從n個(gè)不同元素中取出k個(gè)的組合，不同的組合種數(shù)記作：

不放回抽樣

注：排列與組合的區(qū)別是：前者與次序有關(guān)，而後者與次序無(wú)關(guān)。2023年12月28日20時(shí)35分

解排列組合問(wèn)題時(shí)，當(dāng)問(wèn)題分成互斥各類(lèi)時(shí)，根據(jù)加法原理，可用分類(lèi)法；當(dāng)問(wèn)題考慮先後次序時(shí)，根據(jù)乘法原理，可用位置法，排列中“相鄰”問(wèn)題可採(cǎi)用捆綁法；“分離”問(wèn)題可用插空法等。三排列組合問(wèn)題的解題策略一.特殊位置優(yōu)先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以組成多少個(gè)沒(méi)有重複數(shù)字的五位奇數(shù)。解:由於末位和首位有特殊要求,應(yīng)該優(yōu)先安排這兩個(gè)位置.（1）先排末位共有___

（2）然後排首位共有___（3）最後排其他位置共有___由分步計(jì)數(shù)原理得=2882023年12月28日20時(shí)35分二.相鄰元素捆綁策略例2.7人站成一排,其中甲乙相鄰且丙丁相鄰,共有多少種不同的排法.甲乙丙丁由分步計(jì)數(shù)原理可得共有種不同的排法。=480解：可（1）先將甲乙兩元素捆綁成整體並看成一個(gè)複合元素，（2）同時(shí)丙丁也看成一個(gè)複合元素，（3）再與其它元素進(jìn)行排列，（4）同時(shí)對(duì)相鄰元素內(nèi)部進(jìn)行自排。

2023年12月28日20時(shí)35分三.不相鄰問(wèn)題插空策略例3.一個(gè)晚會(huì)的節(jié)目有4個(gè)舞蹈,2個(gè)相聲,3個(gè)獨(dú)唱,舞蹈節(jié)目不能連續(xù)出場(chǎng),則節(jié)目的出場(chǎng)順序有多少種？解:分兩步進(jìn)行：第一步排2個(gè)相聲和3個(gè)獨(dú)唱共有

種，第二步將4舞蹈插入第一步排好的5個(gè)元素中間包含首尾兩個(gè)空位共有種

不同的方法

由分步計(jì)數(shù)原理,節(jié)目的不同順序共有

種相相獨(dú)獨(dú)獨(dú)2023年12月28日20時(shí)35分四.多排問(wèn)題直排策略例4.8人排成前後兩排,每排4人,其中甲乙在前排,丁在後排,共有多少排法解:8人排前後兩排,相當(dāng)於8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.先在前4個(gè)位置排甲乙兩個(gè)特殊元素有____種,再排後4個(gè)位置上的特殊元素有_____種,其餘的5人在5個(gè)位置上任意排列有____種,則共有_________種.前排後排2023年12月28日20時(shí)35分例1.（1）6本不同的書(shū)分給5名同學(xué)，每

人一本，有多少種不同分法？（2）5本相同的書(shū)分給6名同學(xué)，每人至多一本，有多少種不同的分法？（3）6本不同的書(shū)全部分給5名

同學(xué)每人至少一本，有多

少種不同的分法？四分配問(wèn)題舉例2023年12月28日20時(shí)35分例1（5）6本不同的書(shū)分給甲、乙、丙3名同學(xué)，每人兩本，有多少種不同分法？（4）6本不同的書(shū)分給3名同學(xué)，甲1本、乙2

本、丙3本，有多少種不同的分法？分配問(wèn)題2023年12月28日20時(shí)35分例2：（1）7個(gè)相同的小球，任意放入4個(gè)不同的盒子中，共有多少種不同的方法？分配問(wèn)題解：相當(dāng)於將7個(gè)小球用3塊隔板分成4份隔板法2023年12月28日20時(shí)35分例2：（2）7個(gè)相同的小球，任意放入4個(gè)不同的盒子中，每個(gè)盒子至少有1個(gè)小球的不同放法有多少種？分配問(wèn)題解：將7個(gè)小球用3塊隔板分成4份，但盒子又不能空。隔板法2023年12月28日20時(shí)35分2023年12月28日20時(shí)35分五古典概型計(jì)算舉例例2設(shè)有N件產(chǎn)品,其中有M件次品,現(xiàn)從這N件中任取n件,求其中恰有k件次品的概率。上式即為超幾何分佈的概率公式。解:令A(yù)={恰有k件次品}次品M件正品……N-M件2023年12月28日20時(shí)35分2023年12月28日20時(shí)35分例3（分組問(wèn)題）將一幅52張的撲克牌平均地分給四個(gè)人，分別求有人手裏分得13張黑桃及有人手裏有4張A牌的概率各為多少？解：令A(yù)={有人手裏有13張黑桃}，B={有人手裏有4張A牌}2023年12月28日20時(shí)35分2023年12月28日20時(shí)35分2023年12月28日20時(shí)35分2023年12月28日20時(shí)35分解：下列解法是錯(cuò)誤的設(shè)A=每一節(jié)車(chē)廂內(nèi)至少有一個(gè)旅客第一步選n人第二步選剩餘n-k人1

21

2情形一1車(chē)廂情形二1車(chē)廂重複?。?！元素流動(dòng)2023年12月28日20時(shí)35分

從52張撲克牌中任取13張，求至少有兩種4張同號(hào)的概率。例7重複了?。。。?/p>

第一步第二步情形1情形2情形32023年12月28日20時(shí)35分

例8

擲兩枚均勻的骰子，求出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和等於3的概率。

[錯(cuò)解]

考慮兩枚骰子擲出的點(diǎn)數(shù)之和。記A——出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和等於3，則

={2,3,…,12}；={3}，

[錯(cuò)因]

在樣本空間

={2,3,…,12}中，各樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性是不一定相同的。例如，數(shù)值2只有當(dāng)擲出的點(diǎn)數(shù)分別為(1,1)時(shí)才會(huì)出現(xiàn)，而數(shù)值3在擲出的點(diǎn)數(shù)分別為(1,2)和(2,1)時(shí)都會(huì)出現(xiàn)，其出現(xiàn)的可能性時(shí)

2/36。因而數(shù)值2和3出現(xiàn)的可能性是不同的?！?023年12月28日20時(shí)35分1.2.4幾何概型

在計(jì)算古典概率時(shí)，必須滿足兩個(gè)基本條件：（1）樣本空間有限;（2）每個(gè)可能的結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同。

如果突破古典概型的第一個(gè)限制，而保留其第二個(gè)限制，就是幾何概型。例如，從區(qū)間[0，1]中隨機(jī)地取出一個(gè)數(shù)

，則這個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間

=：01=[0，1]。它是由無(wú)限個(gè)樣本點(diǎn)組成的，而數(shù)

是從閉區(qū)間[0，1]中“等可能”地抽取的，所以它是一個(gè)幾何概型的隨機(jī)試驗(yàn)。

如果一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)相當(dāng)於從直線、平面或空間的某一區(qū)域Ω任取一點(diǎn)，而所取的點(diǎn)落在Ω中任意兩個(gè)度量（長(zhǎng)度、面積、體積）相等的子區(qū)域內(nèi)的可能性是一樣的，則稱(chēng)此試驗(yàn)?zāi)Ｐ蜑閹缀胃判?，?duì)於任意有度量的子區(qū)域，，定義事件“任取一點(diǎn)落在區(qū)域A內(nèi)”發(fā)生的概率為定義2023年12月28日20時(shí)35分例1(會(huì)面問(wèn)題)甲乙兩人約定於9時(shí)到10時(shí)之間在某地會(huì)面,先到的等20分鐘,過(guò)時(shí)離去.假定每個(gè)人在指定的1小時(shí)內(nèi)的任一時(shí)刻到達(dá)是等可能的,求這兩人能會(huì)面的概率.解設(shè)X、Y分別表示甲乙兩人的到達(dá)時(shí)刻,從9時(shí)算起,單位取分鐘,則兩人會(huì)面的條件是20602060yxAΩ2023年12月28日20時(shí)35分2023年12月28日20時(shí)35分

則針在平面中的位置可以用數(shù)對(duì)(，x)來(lái)表示。於是

={（，x）：0，0x}。

xa

l例2（投針問(wèn)題）平面上有一簇平行線，它們之間的距離都等於a(a>0)，向此平面任意投一長(zhǎng)度為l（l<a）的針，試求此針與任一平行線相交的概率。解

記A——針與一條平行線相交。設(shè)x——針的中心點(diǎn)M到最近的一條平行線的距離，

——針與此平行線的交角，如果事件A發(fā)生，即針與一條平行線相交，則針的中點(diǎn)M

到最近的一條平行線的距離x

必須滿足：0xsin，2023年12月28日20時(shí)35分

於是，A={（，x）：0，0xsin。

xa

l

x

x

0/2

A

x=sin

x1={（，x）：0，0x}。2023年12月28日20時(shí)35分且

N越大，近似的程度就越高。

應(yīng)用

——計(jì)算圓周率

設(shè)投了

N次中有

k次與平行線相交，則由頻率的穩(wěn)定性，知：當(dāng)

N充分大時(shí)，k可以用電腦模擬，這種方法稱(chēng)為蒙特-卡洛法2023年12月28日20時(shí)35分例3如果A=

，則P(A)=0。反之不然。反例考慮下麵的幾何概型問(wèn)題。從區(qū)間

[0，1]中隨機(jī)地取出一的數(shù)，求這個(gè)數(shù)恰好是的概率。記事件A——取到的數(shù)恰好是，樣本空間

=[0，1]，μ()=1；事件A={}（即A是一個(gè)單點(diǎn)集），μ(A)=0。但是，A。同樣，概率為“1”的事件，也並不一定是必然事件。P(A)=1/6,例如,擲一顆均勻骰子,A={擲出2點(diǎn)},

B={擲出偶數(shù)點(diǎn)},P(A|B)=?擲骰子已知事件B發(fā)生,此時(shí)試驗(yàn)所有可能結(jié)果構(gòu)成的集合就是B,於是P(A|B)=1/3.B中共有3個(gè)元素,它們的出現(xiàn)是等可能的,其中只有1個(gè)在集A中,2023年12月28日20時(shí)35分

若事件B已發(fā)生,則為使A也發(fā)生,試驗(yàn)結(jié)果必須是既在B中又在A中的樣本點(diǎn),即此點(diǎn)必屬於AB.由於我們已經(jīng)知道B已發(fā)生,故B變成了新的樣本空間,於是有(1)。

為在事件B發(fā)生的條件下,事件A的條件概率。定義設(shè)A、B是兩個(gè)事件,且P(B)>0,則稱(chēng)(1)2023年12月28日20時(shí)35分2023年12月28日20時(shí)35分可以證明，對(duì)於事件

B（P(B)>0），條件概率

P(

|B)也滿足概率的三條公理：

（1）規(guī)範(fàn)性：P(|B)=1；（2）非負(fù)性：

P(A|B)0；（3）可列可加性：設(shè)A1，A2，…

，An，…是可數(shù)個(gè)兩兩互不相容的事件，則2023年12月28日20時(shí)35分

由此出發(fā)，也可以推導(dǎo)出條件概率的一些性質(zhì)，如：

條件概率滿足普通概率的一切性質(zhì)，因?yàn)闂l件概率也是概率，滿足概率的三條公理！

P(|B)=0；P(AB)=1–P(A|B)；

P(A1∪A2|B)=P(A1|B)+P(A2|B)–P(A1A2|B)2)從加入條件後改變了的情況去算（古典概型）

條件概率的計(jì)算1)用定義計(jì)算:P(B)>0

擲骰子例：A={擲出2點(diǎn)},

B={擲出偶數(shù)點(diǎn)}P(A|B）=B發(fā)生後的縮減樣本空間所含樣本點(diǎn)總數(shù)在縮減樣本空間中A所含樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)2023年12月28日20時(shí)35分例1

擲兩顆均勻骰子,已知第一顆擲出6點(diǎn),問(wèn)“擲出點(diǎn)數(shù)之和不小於10”的概率是多少?解法1:解法2:解:設(shè)A={擲出點(diǎn)數(shù)之和不小於10}B={第一顆擲出6點(diǎn)}應(yīng)用定義在B發(fā)生後的縮減樣本空間中計(jì)算2023年12月28日20時(shí)35分注意P(AB)與P(A|B)的區(qū)別！例2

甲乙兩廠共同生產(chǎn)1000個(gè)零件,其中300件是乙廠生產(chǎn)的.而在這300個(gè)零件中,有189個(gè)是標(biāo)準(zhǔn)件,現(xiàn)從這1000個(gè)零件中任取一個(gè),問(wèn)這個(gè)零件是乙廠生產(chǎn)的標(biāo)準(zhǔn)件的概率是多少?所求為P(AB).B={零件是乙廠生產(chǎn)}設(shè)A={是標(biāo)準(zhǔn)件}若改為“發(fā)現(xiàn)它是乙廠生產(chǎn)的,問(wèn)它是標(biāo)準(zhǔn)件的概率是多少?”求的是P(A|B).?。。。。。?023年12月28日20時(shí)35分2023年12月28日20時(shí)35分例3

袋中有三件產(chǎn)品，其中有兩件正品、一件次品。現(xiàn)從中隨機(jī)地取出一件產(chǎn)品，不放回，再隨機(jī)地取一件產(chǎn)品，求（1）第一次取時(shí)，取到正品的概率；（2）第二次取時(shí)，取到正品的概率；（3）兩次都取到正品的概率；（4）已知第一次取到正品的條件下，第二次又取到正品的概率。解:這是一個(gè)古典概型的問(wèn)題。每取兩件產(chǎn)品將構(gòu)成一個(gè)樣本點(diǎn)。為敘述方便，將各產(chǎn)品進(jìn)行編號(hào)。並設(shè)“1”號(hào)、“2”號(hào)產(chǎn)品是正品，“3”號(hào)產(chǎn)品是次品。

用一個(gè)數(shù)對(duì)

表示先後兩次所取出的產(chǎn)品號(hào)。

記A——第一次取時(shí)，取到正品；B——第二次取時(shí)，取到正品。則2023年12月28日20時(shí)35分

記A——第一次取時(shí)，取到正品；B——第二次取時(shí)，取到正品。（1）第一次取時(shí)，取到正品的概率；（2）第二次取時(shí)，取到正品的概率；（3）兩次都取到正品的概率；（4）已知第一次取到正品的條件下，第二次又取到正品的概率。

={(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)},

A={(1,2),(1,3),(2,1),(2,3)},B={(1,2),(2,1),(3,1),(3,2)},AB={(1,2),(2,1)}。

2023年12月28日20時(shí)35分例4

據(jù)統(tǒng)計(jì)甲、乙兩城市在一年中雨天的比例為：甲城市占20%，乙城市占18%，兩城市同時(shí)下雨占12%。求下列百分比：（1）只有甲城市下雨；（2）只有一個(gè)城市下雨；（3）至少有一個(gè)城市下雨；（4）兩城市都不下雨；（5）在乙城市下雨的條件下，甲城市也下雨；（6）在甲城市下雨的條件下，乙城市也下雨。

解記A——甲城市下雨；B——乙城市下雨。則P(A)=20%=0.2，P(B)=18%=0.18；P(AB)=12%=0.12。2023年12月28日20時(shí)35分記A——甲城市下雨；B——乙城市下雨。則P(A)=20%=0.2，P(B)=18%=0.18；P(AB)=12%=0.12。（2）只有一個(gè)城市下雨；（3）至少有一個(gè)城市下雨；P(A∪B)=P(A)+P(B)–P(AB)=0.26=26%（4）兩城市都不下雨；2023年12月28日20時(shí)35分記A——甲城市下雨；B——乙城市下雨。則P(A)=20%=0.2，P(B)=18%=0.18；P(AB)=12%=0.12。（5）在乙城市下雨的條件下，甲城市也下雨；P(A|B)=P(AB)/P(B)=2/3（6）在甲城市下雨的條件下，乙城市也下雨。P(B|A)=P(AB)/P(A)=0.62023年12月28日20時(shí)35分例5設(shè)有

件產(chǎn)品包含有

件次品，從中任取2件，求(1)有一件是次品時(shí)，另一件也是次品的概率；(2)至少一件是次品的概率。解：這類(lèi)題型關(guān)鍵是掌握事件符號(hào)的設(shè)定。設(shè)2023年12月28日20時(shí)35分例5設(shè)有

件產(chǎn)品包含有

件次品，從中任取2件，求(1)有一件是次品時(shí)，另一件也是次品的概率；(2)至少一件是次品的概率。另解：有順序不放回抽樣由條件概率的定義:即若P(B)>0,則P(AB)=P(B)P(A|B)(2)而P(AB)=P(BA)1.3.2乘法公式若已知P(B),P(A|B)時(shí),可以反求P(AB)。將A、B的位置對(duì)調(diào),有故P(A)>0,則P(AB)=P(A)P(B|A)(3)若

P(A)>0,則P(BA)=P(A)P(B|A)記憶：左邊的概率乘以右邊的以左邊為條件的概率。即若P(B)>0,則P(BA)=P(B)P(A|B)(2)2023年12月28日20時(shí)35分2023年12月28日20時(shí)35分記憶：左邊有多少事件，就以這些事件的交做條件設(shè)事件A1，A2，…，An

滿足P(A1A2…An

1

)

>0，則P(A1A2…An)

=P(A1)

P(A2|A1)

P(A3|A1A2)…P(An|A1A2…An

1)證∵A1

A1A2...A1A2…An

1，P(A1A2…An

1

)

>0，

∴P(A1)

P(A1A2)…P(A1A2…An

1)0

乘法公式用於求積事件的概率

一場(chǎng)精彩的足球賽將要舉行,5個(gè)球迷好不容易才搞到一張入場(chǎng)券.大家都想去,只好用抽籤的方法來(lái)解決.

入場(chǎng)券5張同樣的卡片,只有一張上寫(xiě)有“入場(chǎng)券”,其餘的什麼也沒(méi)寫(xiě).將它們放在一起,洗勻,讓5個(gè)人依次抽取.“先抽的人當(dāng)然要比後抽的人抽到的機(jī)會(huì)大.”後抽比先抽的確實(shí)吃虧嗎?

2023年12月28日20時(shí)35分

到底誰(shuí)說(shuō)的對(duì)呢?讓我們用概率論的知識(shí)來(lái)計(jì)算一下,每個(gè)人抽到“入場(chǎng)券”的概率到底有多大?“大家不必爭(zhēng)先恐後,你們一個(gè)一個(gè)按次序來(lái),誰(shuí)抽到‘入場(chǎng)券’的機(jī)會(huì)都一樣大.”“先抽的人當(dāng)然要比後抽的人抽到的機(jī)會(huì)大.”2023年12月28日20時(shí)35分我們用Ai表示“第i個(gè)人抽到入場(chǎng)券”

i＝1,2,3,4,5.顯然,P(A1)=1/5，P()＝4/5第1個(gè)人抽到入場(chǎng)券的概率是1/5。也就是說(shuō),則

表示“第i個(gè)人未抽到入場(chǎng)券”2023年12月28日20時(shí)35分因?yàn)槿舻?個(gè)人抽到了入場(chǎng)券，第1個(gè)人肯定沒(méi)抽到.

也就是要想第2個(gè)人抽到入場(chǎng)券,必須第1個(gè)人未抽到,由於由乘法公式計(jì)算得:

P(A2)=(4/5)(1/4)=1/52023年12月28日20時(shí)35分

這就是有關(guān)抽籤順序問(wèn)題的正確解答。

同理,第3個(gè)人要抽到“入場(chǎng)券”,必須第1、第2個(gè)人都沒(méi)有抽到.因此

繼續(xù)做下去就會(huì)發(fā)現(xiàn),每個(gè)人抽到“入場(chǎng)券”的概率都是1/5。抽籤不必爭(zhēng)先恐後。也就是說(shuō),＝(4/5)(3/4)(1/3)=1/52023年12月28日20時(shí)35分2023年12月28日20時(shí)35分例6

某人忘記了電話號(hào)碼的最後一個(gè)數(shù)字，因而隨意地?fù)芴?hào)。求他撥號(hào)不超過(guò)三次而接通所需電話的概率。

解記A——撥號(hào)不超過(guò)三次，而接通所需電話

Ai——第i次撥號(hào)接通所需電話，i=1，2，3。[方法一]

分解事件A（直接和）

∵

A=A1

∪

A1A2

∪

A1

A2A3

，且

A1

，

A1A2

，

A1

A2A3

兩兩互斥。

2023年12月28日20時(shí)35分例6

某人忘記了電話號(hào)碼的最後一個(gè)數(shù)字，因而隨意地?fù)芴?hào)。求他撥號(hào)不超過(guò)三次而接通所需電話的概率。解記A——撥號(hào)不超過(guò)三次，而接通所需電話

Ai——第i次撥號(hào)接通所需電話，i=1，2，3。[方法二]利用對(duì)立事件

全概率公式和貝葉斯公式主要用於計(jì)算比較複雜事件的概率,它們實(shí)質(zhì)上是加法公式和乘法公式的綜合運(yùn)用。

綜合運(yùn)用直接和P(A+B)=P(A)+P(B)A、B互斥乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)P(A)>01.3.3

全概率公式與貝葉斯公式2023年12月28日20時(shí)35分例有三個(gè)箱子,分別編號(hào)為1,2,3,1號(hào)箱裝有1個(gè)紅球4個(gè)白球,2號(hào)箱裝有2紅3白球,3號(hào)箱裝有3紅球.某人從三箱中任取一箱,從中任意摸出一球,求取得紅球的概率.解：記

Ai={球取自i號(hào)箱},

i=1,2,3;

B={取得紅球}即B=A1B+A2B+A3B，

且A1B、A2B、A3B兩兩互斥B發(fā)生總是伴隨著A1,A2,A3之一同時(shí)發(fā)生,運(yùn)用加法公式得123完備事件組P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)2023年12月28日20時(shí)35分

將此例中所用的方法推廣到一般的情形,就得到在概率計(jì)算中常用的全概率公式。對(duì)求和中的每一項(xiàng)運(yùn)用乘法公式得P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)代入數(shù)據(jù)計(jì)算得:P(B)=8/152023年12月28日20時(shí)35分

設(shè)Ω為隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間,A1,A2,…,An是兩兩互斥的事件,且有P(Ai)>0,i=1,2,…,n,稱(chēng)滿足上述條件的A1,A2,…,An為完備事件組。則對(duì)任一事件B,有

全概率公式2023年12月28日20時(shí)35分

在較複雜情況下直接計(jì)算P(B)不易,但B總是伴隨著某個(gè)Ai出現(xiàn),適當(dāng)?shù)厝?gòu)造這一組Ai往往可以簡(jiǎn)化計(jì)算。全概率公式的來(lái)由,不難由上式看出:“全”部概率P(B)被分解成了許多部分之和。它的理論和實(shí)用意義在於:2023年12月28日20時(shí)35分

某一事件B的發(fā)生有各種可能的原因(i=1,2,…,n),如果B是由原因Ai所引起,則B發(fā)生的概率是

每一原因都可能導(dǎo)致B發(fā)生,故B發(fā)生的概率是各原因引起B(yǎng)發(fā)生概率的總和,即全概率公式。P(BAi)=P(Ai)P(B|Ai)全概率公式.我們還可以從另一個(gè)角度去理解由因求果2023年12月28日20時(shí)35分2023年12月28日20時(shí)35分例7

口袋中有10張卡片，其中2張是中獎(jiǎng)卡，三個(gè)人依次從口袋中摸出一張（摸出的結(jié)果是未知的，且不放回），求第一、二、三人分別中獎(jiǎng)的概率。解：設(shè)三個(gè)人摸卡中獎(jiǎng)事件分別為輪到第二人摸時(shí)，輪到第三人摸時(shí)，2023年12月28日20時(shí)35分例8

袋中有三件產(chǎn)品，其中有兩件正品、一件次品?，F(xiàn)從中隨機(jī)地取出一件產(chǎn)品，不放回，再隨機(jī)地取一件產(chǎn)品，求（1）第一次取時(shí)，取到正品的概率；（2）已知第一次取到正品的條件下，第二次又取到正品的概率。（3）兩次都取到正品的概率；（4）第二次取時(shí)，取到正品的概率；

解：記A——第一次取時(shí)，取到正品；B——第二次取時(shí)，取到正品。則該球取自哪號(hào)箱的可能性最大?實(shí)際中還有下麵一類(lèi)問(wèn)題,“已知結(jié)果求原因”。

這一類(lèi)問(wèn)題在實(shí)際中更為常見(jiàn),它所求的是條件概率,是已知某結(jié)果發(fā)生條件下,求各原因發(fā)生可能性大小。

某人從任一箱中任意摸出一球,發(fā)現(xiàn)是紅球,求該球是取自1號(hào)箱的概率。1231紅4白或者問(wèn):2023年12月28日20時(shí)35分

某人從任一箱中任意摸出一球,發(fā)現(xiàn)是紅球,

求該球是取自1號(hào)箱的概率.記Ai={球取自i號(hào)箱},i=1,2,3;

B={取得紅球}求P(A1|B)運(yùn)用全概率公式計(jì)算P(B)將這裏得到的公式一般化,就得到貝葉斯公式1231紅4白?2023年12月28日20時(shí)35分2023年12月28日20時(shí)35分

該公式於1763年由貝葉斯(Bayes)給出。它是在觀察到事件B已發(fā)生的條件下,尋找導(dǎo)致B發(fā)生的每個(gè)原因的概率。

貝葉斯公式

設(shè)A1,A2,…,An是兩兩互斥的事件,且P(Ai)>0,i=1,2,…,n,另有一事件B,它總是與A1,A2,…,An之一同時(shí)發(fā)生,則完備事件組由果尋因2023年12月28日20時(shí)35分例9保險(xiǎn)公司認(rèn)為人可以分為兩類(lèi)，第一類(lèi)是易出事故者，第二類(lèi)則是安全者。統(tǒng)計(jì)表明，易出事故者在一年內(nèi)發(fā)生事故的概率為0.4，而安全者的概率只有0.2，第一類(lèi)與第二類(lèi)的比例為3:7?，F(xiàn)有一個(gè)人來(lái)投保，（1）該人在投保後一年內(nèi)出事故的概率有多大？（2）假如某人在投保後一年內(nèi)出了事故，他是易出事故者的概率是多少？解：記A=易出事故者，B=投保後一年內(nèi)出事故應(yīng)用舉例——腸癌普查事件B表示檢查為陽(yáng)性。設(shè)事件A表示被查者患腸癌,某患者檢查反應(yīng)為陽(yáng)性,試判斷該患者是否已患腸癌?已知腸鏡檢查效果如下：由Bayes公式得2023年12月28日20時(shí)35分

如果不做檢查,抽查一人,他是患者的概率為

患者陽(yáng)性反應(yīng)的概率是0.95,若檢查後得陽(yáng)性反應(yīng),則根據(jù)檢查得來(lái)的資訊,此人是患者的概率為P(A｜B)=0.087

說(shuō)明這種檢查對(duì)於診斷一個(gè)人是否患有腸癌有意義。從0.005增加到0.087,將近增加約18倍。1.這種腸鏡檢查對(duì)於診斷一個(gè)人是否患有癌癥有無(wú)意義?P(A)=0.005

；2023年12月28日20時(shí)35分2.檢出陽(yáng)性是否一定患有腸癌?

試驗(yàn)結(jié)果為陽(yáng)性,此人確患腸癌的概率為

P(A｜B)=0.087

即使檢出陽(yáng)性,尚可不必過(guò)早下結(jié)論有癌癥,這種可能性只有8.7%,此時(shí)醫(yī)生常要通過(guò)再檢查來(lái)確認(rèn)。由以上公式再計(jì)算兩次可得：若第三次檢查是陽(yáng)性，就有90％以上的把握認(rèn)定此人患有癌癥。2023年12月28日20時(shí)35分

在貝葉斯公式中,P(Ai)和P(Ai|B)分別稱(chēng)為原因的先驗(yàn)概率(經(jīng)驗(yàn))和後驗(yàn)概率。

P(Ai)(i=1,2,…,n)是在沒(méi)有進(jìn)一步資訊(不知道事件B是否發(fā)生)的情況下,人們對(duì)諸事件發(fā)生可能性大小的認(rèn)識(shí)。

當(dāng)有了新的資訊(知道B發(fā)生),人們對(duì)諸事件發(fā)生可能性大小P(Ai

|B)有了新的估計(jì)。貝葉斯公式從數(shù)量上刻劃了這種變化。2023年12月28日20時(shí)35分

在不了解案情細(xì)節(jié)(事件B)之前,偵破人員根據(jù)過(guò)去的前科,對(duì)他們作案的可能性有一個(gè)估計(jì),設(shè)為

比如原來(lái)認(rèn)為作案可能性較小的某丙,現(xiàn)在變成了重點(diǎn)嫌疑犯。例如,某地發(fā)生了一個(gè)案件,懷疑對(duì)象有甲、乙、丙三人.丙乙甲P(A1)P(A2)P(A3)

但在知道案情細(xì)節(jié)後,這個(gè)估計(jì)就有了變化。P(A1

|B)知道B發(fā)生後P(A2

|B)P(A3

|B)最大偏小2023年12月28日20時(shí)35分顯然P(A|B)=P(A)

這就是說(shuō),已知事件B發(fā)生,並不影響事件A發(fā)生的概率,這時(shí)稱(chēng)事件A、B獨(dú)立?！?.4

獨(dú)立性A={第二次擲出6點(diǎn)},B={第一次擲出6點(diǎn)},先看一個(gè)例子:將一顆均勻骰子連擲兩次,設(shè)2023年12月28日20時(shí)35分由乘法公式知,當(dāng)事件A、B獨(dú)立時(shí),有

P(AB)=P(A)P(B)用P(AB)=P(A)P(B)刻劃獨(dú)立性,比用

P(A|B)=P(A)或

P(B|A)=P(B)

更好,它不受P(B)>0或P(A)>0的制約。P(AB)=P(B)P(A|B)2023年12月28日20時(shí)35分若兩事件A、B滿足

P(AB)=P(A)P(B)則稱(chēng)A、B獨(dú)立,或稱(chēng)A、B相互獨(dú)立。兩事件獨(dú)立的定義2023年12月28日20時(shí)35分補(bǔ)充：獨(dú)立積兩個(gè)獨(dú)立事件的積稱(chēng)為獨(dú)立積。

在實(shí)際應(yīng)用中,往往根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義去判斷兩事件是否獨(dú)立。

由於“甲命中”並不影響“乙命中”的概率,故認(rèn)為A、B獨(dú)立。甲、乙兩人向同一目標(biāo)射擊,記

A={甲命中},B={乙命中},A與B是否獨(dú)立?例如(即一事件發(fā)生與否並不影響另一事件發(fā)生的概率。)

2023年12月28日20時(shí)35分一批產(chǎn)品共n件,從中抽取2件,設(shè)

Ai={第i件是合格品}i=1,2若抽取是有放回的,則A1與A2獨(dú)立。因?yàn)榈诙纬槿〉慕Y(jié)果受到第一次抽取的影響。又如:因?yàn)榈诙纬槿〉慕Y(jié)果不受第一次抽取的影響。若抽取是無(wú)放回的,則A1與A2不獨(dú)立。2023年12月28日20時(shí)35分假定若“事件A

與事件

B

相互獨(dú)立”則“事件A

與事件

B

相容”。結(jié)論：概率為正的兩個(gè)事件A與B：若獨(dú)立則相容。逆否命題成立,即：概率為正的兩個(gè)事件A與B：若互斥則不獨(dú)立。但逆命題不成立?。?！2023年12月28日20時(shí)35分反例：袋中有三件產(chǎn)品，其中有兩件正品、一件次品?，F(xiàn)從中隨機(jī)地取出一件產(chǎn)品，不放回，再隨機(jī)地取一件產(chǎn)品，記A=第一次取出正品，B=第二次取出正品，則逆命題不成立：概率為正的兩個(gè)事件A與B：若相容則獨(dú)立。

問(wèn):能否在樣本空間Ω中找兩個(gè)事件,它們既相互獨(dú)立又互斥?這兩個(gè)事件就是

Ω和P(Ω)=P()P(Ω)=0與Ω獨(dú)立且互斥不難發(fā)現(xiàn),與任何事件都獨(dú)立。2023年12月28日20時(shí)35分=P(A)[1-P(B)]=P(A)P()=P(A)-P(AB)P(A

)=P(A-A

B)A、B獨(dú)立故A與獨(dú)立。概率的性質(zhì)=P(A)-P(A)P(B)證明:僅證A與獨(dú)立容易證明,若兩事件A、B獨(dú)立,則

也相互獨(dú)立。2023年12月28日20時(shí)35分兩獨(dú)立事件任意取逆後仍然獨(dú)立。定義三事件A,B,C

相互獨(dú)立是指下麵的關(guān)係式同時(shí)成立：注：1)不能由關(guān)係式(1)推出關(guān)係式(2),反之亦然2)僅滿足(1)式時(shí),稱(chēng)A,B,C

兩兩獨(dú)立(1)(2)A,B,C

相互獨(dú)立A,B,C

兩兩獨(dú)立2023年12月28日20時(shí)35分2023年12月28日20時(shí)35分(1)P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),(2)P(ABC)＝P(A)P(B)P(C),

反例（1)

有一個(gè)均勻的四面體，其第一面染成紅色，第二面染成綠色，第三面染成藍(lán)色，第四面同時(shí)染成紅、綠、藍(lán)三種顏色。擲一次該四面體。記A——出現(xiàn)紅色，B——出現(xiàn)綠色，C——出現(xiàn)藍(lán)色，則由古典概率的定義知：即事件A、B、C兩兩相互獨(dú)立。2023年12月28日20時(shí)35分(1)P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),(2)P(ABC)＝P(A)P(B)P(C),

反例（2)

有一個(gè)均勻的八面體，其第一、二、三、四面染成紅色，第一、二、三、五面染成綠色，第一、六、七、八面染成藍(lán)色。擲一次該八面體。記A——出現(xiàn)紅色，B——出現(xiàn)綠色，C——出現(xiàn)藍(lán)色，則由古典概率的定義知：由此可見(jiàn)，定義中的兩個(gè)條件（四個(gè)公式）都是必須的。定義n個(gè)事件A1,A2,…,

An

相互獨(dú)立是指下麵的關(guān)係式同時(shí)成立：2023年12月28日20時(shí)35分若n個(gè)事件A1,A2,…,

An

相互獨(dú)立，將這

n

個(gè)事件任意分成k

組，同一個(gè)事件不能同時(shí)

屬於兩個(gè)不同的組，則對(duì)每組的事件進(jìn)行求

和、積、差、逆等運(yùn)算所得到的k

個(gè)事件也相互獨(dú)立。例1已知事件A,B,C

相互獨(dú)立，證明事件與也相互獨(dú)立。證2023年12月28日20時(shí)35分2023年12月28日20時(shí)35分

例2設(shè)0<P(B)<1，且。求證：事件A與B相互獨(dú)立。證

P(A)=P(B)P(A|B)+P(

B)P(A|

B)=P(A|B)(P(B)++P(

B))=P(A|B)

方法一方法二n個(gè)獨(dú)立事件和的概率公式:設(shè)事件相互獨(dú)立,則

P(A1∪…∪An)也相互獨(dú)立

也就是說(shuō),n個(gè)獨(dú)立事件至少有一個(gè)發(fā)生的概率等於1減去各自逆事件概率的乘積。2023年12月28日20時(shí)35分2023年12月28日20時(shí)35分例3已知P(A)=P(B)=P(C)=a，就下列的不同情況計(jì)算概率P(A+B+C)：（1）事件A、B、C兩兩互斥；（2）事件A、B、C相互獨(dú)立；（3）事件A、B、C構(gòu)成完備事件