曲阜師范大學(xué)數(shù)學(xué)建模 期末復(fù)習(xí)題

《數(shù)學(xué)建?！窂?fù)習(xí)資料(一)一、解答題1.某家具廠生產(chǎn)桌子和椅子兩種家具，桌子售價(jià)50元/個(gè)，椅子銷(xiāo)售價(jià)格30元/個(gè)，生產(chǎn)桌子和椅子要求需要木工和油漆工兩種工種。生產(chǎn)一個(gè)桌子需要木工4小時(shí)，油漆工2小時(shí)。生產(chǎn)一個(gè)椅子需要木工3小時(shí)，油漆工1小時(shí)。該廠每個(gè)月可用木工工時(shí)為120小時(shí)，油漆工工時(shí)為50小時(shí)。問(wèn)該廠如何組織生產(chǎn)才能使每月的銷(xiāo)售收入最大？(建立模型不計(jì)算)。2.記時(shí)刻漁場(chǎng)魚(yú)量為，在無(wú)捕撈時(shí)的增長(zhǎng)服從Logistic規(guī)律，單位時(shí)間的捕撈量與漁場(chǎng)魚(yú)量成正比，比例常數(shù)為，試求滿(mǎn)足什么條件時(shí)漁場(chǎng)魚(yú)量穩(wěn)定，怎樣才能獲得最大的持續(xù)產(chǎn)量？3.甲乙丙三人合作經(jīng)商，若甲乙合作獲利7元，甲丙合作獲利5元，乙丙合作獲利4元，三人合作獲利11元。問(wèn)三人合作時(shí)如何分配獲利？（1）求出協(xié)商解、最小距離解與Raiffa解。（2）如果甲乙丙三人單獨(dú)經(jīng)商時(shí)各獲利1元，用Shapley合作對(duì)策對(duì)三人合作時(shí)的獲利進(jìn)行分配。（3）試用以上數(shù)據(jù)說(shuō)明合作對(duì)策中三類(lèi)分配方法的特點(diǎn)。4.生產(chǎn)與存貯問(wèn)題：一個(gè)生產(chǎn)項(xiàng)目，在一定時(shí)期內(nèi)，增大生產(chǎn)量可以降低成本費(fèi)，但如果超過(guò)市場(chǎng)的需求量，就會(huì)因積壓增加存貯費(fèi)而造成損失。相反，如果減少生產(chǎn)量，雖然可以降低存貯費(fèi)，但又會(huì)增加生產(chǎn)的成本費(fèi)，同樣會(huì)造成損失。因此,如何正確地制定生產(chǎn)計(jì)劃，使得在一定時(shí)期內(nèi)，生產(chǎn)的成本費(fèi)與庫(kù)存費(fèi)之和最小，這是廠家最關(guān)心的優(yōu)化指標(biāo)，這就是生產(chǎn)與存貯問(wèn)題。假設(shè)某車(chē)間每月底都要供應(yīng)總裝車(chē)間一定數(shù)量的部件。但由于生產(chǎn)條件的變化，該車(chē)間每月生產(chǎn)單位部件所耗費(fèi)的工時(shí)不同,每月的生產(chǎn)量除供本月需要外,剩余部分可存入倉(cāng)庫(kù)備用。今已知半年內(nèi),各月份的需求量及生產(chǎn)該部件每單位數(shù)所需工時(shí)數(shù)如下所示：月份(k)：123456月需求量(bk)：853274單位工時(shí)(ak)：111813172010設(shè)庫(kù)存容量H=9，開(kāi)始時(shí)庫(kù)存量為2，期終庫(kù)存量為0。要求制定一個(gè)半年逐月生產(chǎn)計(jì)劃，使得既滿(mǎn)足需求和庫(kù)存容量的限制,又使得總耗費(fèi)工時(shí)數(shù)最少。《數(shù)學(xué)建?！窂?fù)習(xí)資料(一)答案一、解答題1、答:（1）．確定決策變量：x1=生產(chǎn)桌子的數(shù)量x2=生產(chǎn)椅子的數(shù)量（2）．確定目標(biāo)函數(shù)：家具廠的目標(biāo)是銷(xiāo)售收入最大maxz=50x1+30x2（3）．確定約束條件：4x1+3x2≤120（木工工時(shí)限制）2x1+x2≤50（油漆工工時(shí)限制）x1≥0,x2≥0。2、解令兩個(gè)平衡點(diǎn)為,,不難算出,,故若,則點(diǎn)穩(wěn)定,不穩(wěn)定,反之,則點(diǎn)不穩(wěn)定,穩(wěn)定.由圖知,當(dāng)y=f(x)與y=Ex在拋物線(xiàn)頂點(diǎn)P*相交時(shí)可獲得最大的持續(xù)產(chǎn)量,此時(shí)平衡點(diǎn)為,且單位時(shí)間的最大產(chǎn)量為,所以保持漁場(chǎng)魚(yú)量穩(wěn)定在的捕撈率為.3、解(1)協(xié)商解:b=(4,5,7),B=11，x=(4,3,1),x=(5,4,2),最小距離解:,x=(5,4,2).Raiffa解(2)(3)shapley值方法公正、合理，但是需要的信息太多,n較大的實(shí)際問(wèn)題難以提供。B類(lèi)方法計(jì)算簡(jiǎn)單，便于理解，但通常偏袒強(qiáng)者，可用于各方實(shí)力相差不大的情況，C類(lèi)方法Raiffa解考慮了分配的上下限，又吸取了Shapley的思想，在一定程度上保護(hù)了弱者。4、解：S：總耗費(fèi)工時(shí)。a(n):月耗工時(shí)。H（n）：月庫(kù)存量。Y（n）:月生產(chǎn)量。B（n）：月需求量。Q：總成本費(fèi)。W：總存貯費(fèi)。M:總費(fèi)用。由保證需求量及庫(kù)存容量的約束條件下，我們可以得到以下的約束條件，轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)建模。H1=Y1+2-80<=H1<=9H2=Y2+H1-50<=H2<=9H3=Y3+H2-30<=H1<=9H4=Y4+H3-20<=H1<=9H5=Y5+H4-70<=H1<=9H6=Y6+H5-4H6=0由此可以得到以下的式子：0<=Y1+2-8<=96<=Y1<=150<=Y2+H1-5<=911-Y1<=Y2<=20-Y10<=Y3+H2-3<=914-(Y1+Y2)<=Y3<=23-(Y1+Y2)0<=Y4+H3-2<=916-(Y1+Y2+Y3)<=Y4<=25-(Y1+Y2+Y3)0<=Y5+H4-7<=923-(Y1+..Y4)<=Y5<=32-(Y1+...Y4)Y6+H5-4=0Y1+Y2+.....Y6-27=0我們是從一月份開(kāi)始逐月的確定生產(chǎn)量，又要考慮耗費(fèi)工時(shí)的最小。a1=Y(1)11/8a2=Y(2)18/5a3=Y（3）13/3a4=Y（4）17/2a5=Y(5)20/7a6=Y(6)10/411/8=1.3（最?。?8/5=3.613/3=4.317/2=8.5(最大)20/7=310/4=2.5（第二?。┧裕嚎偣r(shí)S=a1+a2+...............a6總費(fèi)用M=Q+W經(jīng)分析要使得S取最小值，庫(kù)存量H1，H2必須取最大值，H4，H5取最小值。所以得到的逐月生產(chǎn)計(jì)劃是：月份123456生產(chǎn)量1550034《數(shù)學(xué)建模》復(fù)習(xí)資料(二)一．應(yīng)用題1.（5分）某外貿(mào)進(jìn)出口公司擬用集裝箱托運(yùn)甲乙兩種貨物，每包體積、重量、可獲利潤(rùn)及集裝箱數(shù)目所受限制見(jiàn)下表：貨物（包） 體積（立方米） 重量（千克） 利潤(rùn)(千元)甲乙 54 25 2010集裝箱限制 24 13 問(wèn)每個(gè)集裝箱中兩種貨物各裝多少包，可以使所獲利潤(rùn)最大？試對(duì)該問(wèn)題建立合適的數(shù)學(xué)建模，不需要求出具體結(jié)果。2深水中的波速與波長(zhǎng)、水深、水的密度和重力加速度有關(guān)。用量綱分析法確定與其余變量之間的關(guān)系。3.某種電熱水器加熱時(shí)間x與水溫y之間有如下的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)：x（分鐘） 15 20 25 30 35y（℃) 12.16 13.97 14.96 15.49 16.8試確定x與y的最佳擬合多項(xiàng)式的階數(shù)，確定該擬合函數(shù)表達(dá)式，并估計(jì)加熱1小時(shí)時(shí)的溫度?！稊?shù)學(xué)建?！窂?fù)習(xí)資料(二)答案一．應(yīng)用題1）.中間關(guān)鍵步驟不能少，否則不給分！2）開(kāi)頭計(jì)算錯(cuò)誤，但整體思路、算法正確適當(dāng)給一些分。1.解：設(shè)x1、x2分別為每個(gè)集裝箱中甲乙兩種貨物的托運(yùn)包數(shù)，f為總利潤(rùn)，則該問(wèn)題可以視為整數(shù)線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題，其數(shù)學(xué)建模為：目標(biāo)函數(shù)1分，每個(gè)約束條件各1分常見(jiàn)錯(cuò)誤：沒(méi)有非負(fù)、整數(shù)約束，未寫(xiě)ILP標(biāo)準(zhǔn)形式2解：?jiǎn)栴}的物理量有：波速與波長(zhǎng)、水深、水的密度和重力加速度。令.取1=，2=，3=，4=，5=基本量綱為M，L，T，各物理量的量綱為：[1]=L,[2]=LT-1，[3]=L,[4]=M-1L-3,[5]=LT-2。――――量綱矩陣為：,r(A)=3,――――的一個(gè)基本解系為：,――――――從而得到兩個(gè)無(wú)量綱量―――――注：此處有且僅有兩個(gè)無(wú)量綱量（形式可以有所不同），并且只有一個(gè)含有，否則后面無(wú)法求解！由Backingham定理得與某一方程等價(jià)。由隱函數(shù)定理可得。――――――3.解：因?yàn)樽宰兞繛榈染喾植迹什捎貌罘直泶_定擬合多項(xiàng)式階數(shù)：注：1.因指定采用多項(xiàng)式形式，故其它擬合函數(shù)一律不給分！2.最佳階數(shù)應(yīng)由差分表確定！主觀認(rèn)定或散點(diǎn)圖認(rèn)定均不給分。3.采用代入部分點(diǎn)求解參數(shù)的方法不給分，應(yīng)為不符合擬合原則！y12.160013.970014.960015.490016.8000dy1.81000.99000.53001.3100d2y-0.8200-0.46000.7800d3y0.36001.2400―――――――一階差分波動(dòng)為0.82，二階差分波動(dòng)為1.24，根據(jù)差分表確定最佳多項(xiàng)式的次數(shù)為1。―――――――假設(shè)x與y之間的關(guān)系為：。根據(jù)最小二乘法，求解本問(wèn)題的正規(guī)方程：。其中，，，――――――則，解此正規(guī)方程可得：，故最佳多項(xiàng)式為：。―――――――當(dāng)加熱1小時(shí)，即時(shí)，代入擬合函數(shù)計(jì)算可得此時(shí)溫度22.236℃。――4.注：本題如果采用和法、根法等不能保證精度的算法求解得到的只能作為其它算法的初值，不能作為最終結(jié)果使用，否則不給分。解法一：A的特征多項(xiàng)式：，用牛頓迭代公式，可根據(jù)根的隔離方法得出隔離區(qū)間，從中取初值，建議取為3，解出（取3.15～3.25均可算對(duì)），代入驗(yàn)證，所以A的不一致程度不在容許范圍之內(nèi)。解法二：A為3階矩陣，對(duì)應(yīng)的RI=0.58由層次分析法一致性檢驗(yàn)可知，當(dāng)隨機(jī)一致性比率時(shí)可以認(rèn)為A的不一致程度在容許范圍之內(nèi)，其中一致性指標(biāo)。因此如果A的不一致程度在容許范圍之內(nèi)，則將的上界3.116代入A的特征多項(xiàng)式：，直接計(jì)算可知，因?yàn)?，從而由連續(xù)函數(shù)介值定理可以知道，因此假設(shè)不成立，所以A的不一致程度不在容許范圍之內(nèi)。――――――――――5．常見(jiàn)錯(cuò)誤：1.將本模型混同為L(zhǎng)eslie模型。2.不知所云，生搬硬套書(shū)上定崗定編模型，轉(zhuǎn)而求解平衡點(diǎn)、穩(wěn)定域等概念。解：假設(shè)第n年技術(shù)人員分布情況用向量表示，總?cè)藬?shù)為,調(diào)入企業(yè)人數(shù)為R=80,退出企業(yè)人數(shù)為.內(nèi)部一步轉(zhuǎn)移概率矩陣為，調(diào)入分布向量,退出向量.則.關(guān)于人數(shù)分布情況的演化規(guī)律可以用下面的模型描述：，即或者由遞推法可以知道:――――記，則，關(guān)于總量的演化規(guī)律可以用下面的模型描述：（直接表達(dá)式）或者（間接表達(dá)式）―――――《數(shù)學(xué)建?！窂?fù)習(xí)資料(三)一、解答題1、三個(gè)系學(xué)生共200名（甲系100，乙系60，丙系40），代表會(huì)議共20席，按比例分配，三個(gè)系分別為10，6，4席?，F(xiàn)因?qū)W生轉(zhuǎn)系，三系人數(shù)為103,63,34。（1）用比例加慣性對(duì)20席進(jìn)行分配。（2）若增加為21席，用Q值方法進(jìn)行分配。2、長(zhǎng)、吃水深度的船以速度航行，若不計(jì)風(fēng)的影響，那么航船受的阻力除依賴(lài)于船的諸變量,,以外，還與水的密度和重力加速度有關(guān)。下面用量綱分析方法確定與這些物理量之間的關(guān)系。3、在按年齡分組的種群增長(zhǎng)模型中,設(shè)一群動(dòng)物的最高年齡為15歲,每5歲一組,分成3個(gè)年齡組,各組的繁殖率為存活率為開(kāi)始時(shí)三組各有1000只.求15年后各組分別有多少只,以及時(shí)間充分長(zhǎng)以后種群的增長(zhǎng)率(即固有增長(zhǎng)率)和按年齡組的分布。4、基因問(wèn)題在基因遺傳過(guò)程中,考慮3種基因類(lèi)型:優(yōu)種D(dd),混種H(dr),劣種R(rr).對(duì)于任意的個(gè)體,每次用混種與之交配,所得后代仍用混種交配,如此繼續(xù)下去.構(gòu)造馬氏鏈模型,說(shuō)明它是正則鏈.求穩(wěn)態(tài)概率及由優(yōu)種和混種出發(fā)的首次返回平均轉(zhuǎn)移次數(shù).如果每次用優(yōu)種與之交配,所得后代仍用優(yōu)種交配,如此繼續(xù)下去.構(gòu)造馬氏鏈模型,說(shuō)明它是吸收鏈.求由混種和劣種出發(fā)變?yōu)閮?yōu)種的平均轉(zhuǎn)移次數(shù).《數(shù)學(xué)建?！窂?fù)習(xí)資料(三)答案一、解答題1、答:人數(shù)（%）比例結(jié)果甲10351.510.310乙6331.56.36丙3417.03.44按人數(shù)比例的整數(shù)部分已將19席分配完畢,第20席計(jì)算Q值Q1=96.4,Q2=94.5,Q3=96.3Q1最大，第20席給甲系,第21席Q1=80.4,Q3最大，第21席給丙系。2、解：要尋求的關(guān)系記為，物理量的量綱為，，，，，，rankA=3=0有=3個(gè)基本解為得到阻力的顯式表達(dá)式3、記時(shí)段種群按年齡組的分布向量為.由繁殖率和存活率構(gòu)成的矩陣為,則按年齡組的分布方程為.15年后各組分別為14375,1375,875只.由可得其正的特征根對(duì)應(yīng)的特征向量為時(shí)間充分長(zhǎng)之后種群的增長(zhǎng)率為1.5,按年齡組的