曲阜師范大學(xué)常微分方程期末復(fù)習(xí)題

《常微分方程》復(fù)習(xí)資料1一、敘述題敘述一階微分方程解的存在唯一性定理并寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的積分方程二、求下列方程的實(shí)通解1.2.3.三、計(jì)算題1．試求的基解矩陣.四、證明題1．假設(shè)在平面上有定義、連續(xù)和有界,同時(shí)存在關(guān)于的一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則方程的任一個(gè)解的最大存在區(qū)間是.2．試證：階線性非齊次方程(其中在上連續(xù))在區(qū)間上存在且最多存在個(gè)線性無(wú)關(guān)解.3．假設(shè)在區(qū)間上是（其中連續(xù)）的基解矩陣,試證：在區(qū)間上也是的基解矩陣，其中為非奇異的階常矩陣.參考答案敘述題如果在矩形域上連續(xù)且關(guān)于滿足李普希茲條件,則初值問(wèn)題在區(qū)間上有且只有一個(gè)解,其中對(duì)應(yīng)的積分方程為二、求下列方程的實(shí)通解1.解：這是變量分離方程.當(dāng)時(shí),分離變量積分得到原方程的通解為其中為任意常數(shù).2.解：這是時(shí)的伯努利方程.令，則原方程可化為一階線性微分方程解之得將代入上式整理得到原方程的通解為或者其中為任意常數(shù).3.解：令由于所以方程有積分因子以它乘方程得到所以原方程的通解為其中為任意常數(shù).三、計(jì)算題（10×2＝20）1．解：因?yàn)槎液竺娴膬蓚€(gè)矩陣可以交換,所以四、證明題（10×3＝30）1．證明:根據(jù)已知條件,可知方程的右端函數(shù)在整個(gè)平面上滿足解的存在唯一性定理及解的延展定理的條件.假設(shè)滿足初值的解的存在區(qū)間是,其中為有限數(shù).則當(dāng)時(shí),不趨于(因?yàn)橛薪?,這與延展定理矛盾.2．證明：設(shè)為對(duì)應(yīng)齊次線性方程的個(gè)線性無(wú)關(guān)解,為非齊次線性方程的一個(gè)解,則為非齊次線性方程組的個(gè)線性無(wú)關(guān)解.設(shè)為非齊次線性方程的任意個(gè)解,則為對(duì)應(yīng)齊次線性方程組的個(gè)解,這個(gè)解線性相關(guān).從而得到非齊次線性方程的任意個(gè)解線性相關(guān).所以階線性非齊次方程在區(qū)間上存在且最多存在個(gè)線性無(wú)關(guān)解.3．證明:由在區(qū)間上是的基解矩陣知所以即為解矩陣.由非奇異可知從而是的基解矩陣.《常微分方程》復(fù)習(xí)資料2一、敘述題1．積分因子二、求下列方程的實(shí)通解1.2.3.三、計(jì)算題1．已知函數(shù)在連續(xù),函數(shù)是線性微分方程的4個(gè)解.求此方程的通解和滿足初值的特解.2．已知是線性非齊次方程組在區(qū)間上的個(gè)線性無(wú)關(guān)解,其中和在上連續(xù).試寫(xiě)出該方程組的通解的表達(dá)式.四、證明題1．假設(shè)和在平面上連續(xù),試證：對(duì)于任意的及方程滿足的解都在上存在.2．假設(shè)是階線性齊次方程在區(qū)間上的個(gè)解,其中在上連續(xù).試證：在區(qū)間上線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是所對(duì)應(yīng)的朗斯基行列式參考答案一、敘述題1．如果存在連續(xù)可微的函數(shù)使得為恰當(dāng)方程,則稱(chēng)為方程的積分因子.二、求下列方程的實(shí)通解1.解：令，則原方程可化為變量分離方程解之得將代入上式整理得到原方程的通解為其中為任意常數(shù).2.解：這是時(shí)的伯努利方程.令，則原方程可化為一階線性微分方程解之得將代入上式整理得到原方程的通解為或者其中為任意常數(shù).3.解：令由于所以方程有積分因子以它乘方程得到所以原方程的通解為其中為任意常數(shù).三、計(jì)算題1．解：因?yàn)楹瘮?shù)是線性微分方程的4個(gè)解,所以為所對(duì)應(yīng)的齊次微分方程的兩個(gè)解,由此可得到為對(duì)應(yīng)的齊次微分方程的一個(gè)基本解組,為原方程的一個(gè)特解.故原方程的通解為其中為任意常數(shù).由解得故滿足初值的特解為.2．解：令因?yàn)闉榉驱R次線性方程組的個(gè)線性無(wú)關(guān)解，所以為對(duì)應(yīng)齊次線性方程組的個(gè)線性無(wú)關(guān)解，即一個(gè)基本解組.所以非齊次線性方程組的通解為其中是滿足的任意常數(shù).四、證明題1．證明:根據(jù)題設(shè),可以證明方程的右端函數(shù)在整個(gè)平面上滿足解的存在唯一性定理及解的延展定理的條件.顯然,為方程在上的解,由延展定理可知,滿足(其中任意,)的解上的點(diǎn)應(yīng)當(dāng)無(wú)限遠(yuǎn)離原點(diǎn),而由解的唯一性,不能穿過(guò)直線,所以只能向兩側(cè)無(wú)限延展,從而這解應(yīng)在上存在.2．證明：(必要性)利用反證法.設(shè)存在使得考慮關(guān)于的以為系數(shù)行列式的齊次線性代數(shù)方程組.由知此代數(shù)方程組有非零解以這組常數(shù)構(gòu)造函數(shù)由解的唯一性可知這與在區(qū)間上線性無(wú)關(guān)矛盾.―――5分(充分性)利用反證法.設(shè)在區(qū)間上線性相關(guān),則存在一組不全為零的常數(shù)解使得依次對(duì)微分此恒等式,得到把它看成關(guān)于的齊次線性代數(shù)方程組,它的系數(shù)行列式為因?yàn)樗幸唤M非零解,所以它的系數(shù)行列式必須為零,即這與矛盾.《常微分方程》復(fù)習(xí)資料3一、計(jì)算題1、求方程的通解。求微分方程的解.解方程：求方程的奇解二、求下列高階微分方程的通解三、求初值問(wèn)題的解的存在區(qū)間，并求第二次近似解，給出在解的存在區(qū)間的誤差估計(jì)。四、求下列微分方程組的通解（1）參考答案一、計(jì)算題評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：1、解：積分因子兩邊同乘以后方程變?yōu)榍‘?dāng)方程：兩邊積分得：得：因此方程的通解為：2、解：，則所以另外也是方程的解3、解：，令z=x+y則所以–z+3ln|z+1|=x+，ln=x+z+即4、解:利用判別曲線得消去得即所以方程的通解為,所以是方程的奇解5、解：方程化為令，則，代入上式，得分量變量，積分，通解為原方程通解為二、求下列高階微分方程的通解解齊次方程的通解為x=不是特征根，故取代入方程比較系數(shù)得A=，B=于是通解為x=+三、解：，解的存在區(qū)間為即