曲阜師范大學常微分方程期末復習題

《常微分方程》復習資料1一、敘述題敘述一階微分方程解的存在唯一性定理并寫出對應的積分方程二、求下列方程的實通解1.2.3.三、計算題1．試求的基解矩陣.四、證明題1．假設在平面上有定義、連續(xù)和有界,同時存在關于的一階連續(xù)偏導數(shù),則方程的任一個解的最大存在區(qū)間是.2．試證：階線性非齊次方程(其中在上連續(xù))在區(qū)間上存在且最多存在個線性無關解.3．假設在區(qū)間上是（其中連續(xù)）的基解矩陣,試證：在區(qū)間上也是的基解矩陣，其中為非奇異的階常矩陣.參考答案敘述題如果在矩形域上連續(xù)且關于滿足李普希茲條件,則初值問題在區(qū)間上有且只有一個解,其中對應的積分方程為二、求下列方程的實通解1.解：這是變量分離方程.當時,分離變量積分得到原方程的通解為其中為任意常數(shù).2.解：這是時的伯努利方程.令，則原方程可化為一階線性微分方程解之得將代入上式整理得到原方程的通解為或者其中為任意常數(shù).3.解：令由于所以方程有積分因子以它乘方程得到所以原方程的通解為其中為任意常數(shù).三、計算題（10×2＝20）1．解：因為而且后面的兩個矩陣可以交換,所以四、證明題（10×3＝30）1．證明:根據(jù)已知條件,可知方程的右端函數(shù)在整個平面上滿足解的存在唯一性定理及解的延展定理的條件.假設滿足初值的解的存在區(qū)間是,其中為有限數(shù).則當時,不趨于(因為有界),這與延展定理矛盾.2．證明：設為對應齊次線性方程的個線性無關解,為非齊次線性方程的一個解,則為非齊次線性方程組的個線性無關解.設為非齊次線性方程的任意個解,則為對應齊次線性方程組的個解,這個解線性相關.從而得到非齊次線性方程的任意個解線性相關.所以階線性非齊次方程在區(qū)間上存在且最多存在個線性無關解.3．證明:由在區(qū)間上是的基解矩陣知所以即為解矩陣.由非奇異可知從而是的基解矩陣.《常微分方程》復習資料2一、敘述題1．積分因子二、求下列方程的實通解1.2.3.三、計算題1．已知函數(shù)在連續(xù),函數(shù)是線性微分方程的4個解.求此方程的通解和滿足初值的特解.2．已知是線性非齊次方程組在區(qū)間上的個線性無關解,其中和在上連續(xù).試寫出該方程組的通解的表達式.四、證明題1．假設和在平面上連續(xù),試證：對于任意的及方程滿足的解都在上存在.2．假設是階線性齊次方程在區(qū)間上的個解,其中在上連續(xù).試證：在區(qū)間上線性無關的充分必要條件是所對應的朗斯基行列式參考答案一、敘述題1．如果存在連續(xù)可微的函數(shù)使得為恰當方程,則稱為方程的積分因子.二、求下列方程的實通解1.解：令，則原方程可化為變量分離方程解之得將代入上式整理得到原方程的通解為其中為任意常數(shù).2.解：這是時的伯努利方程.令，則原方程可化為一階線性微分方程解之得將代入上式整理得到原方程的通解為或者其中為任意常數(shù).3.解：令由于所以方程有積分因子以它乘方程得到所以原方程的通解為其中為任意常數(shù).三、計算題1．解：因為函數(shù)是線性微分方程的4個解,所以為所對應的齊次微分方程的兩個解,由此可得到為對應的齊次微分方程的一個基本解組,為原方程的一個特解.故原方程的通解為其中為任意常數(shù).由解得故滿足初值的特解為.2．解：令因為為非齊次線性方程組的個線性無關解，所以為對應齊次線性方程組的個線性無關解，即一個基本解組.所以非齊次線性方程組的通解為其中是滿足的任意常數(shù).四、證明題1．證明:根據(jù)題設,可以證明方程的右端函數(shù)在整個平面上滿足解的存在唯一性定理及解的延展定理的條件.顯然,為方程在上的解,由延展定理可知,滿足(其中任意,)的解上的點應當無限遠離原點,而由解的唯一性,不能穿過直線,所以只能向兩側無限延展,從而這解應在上存在.2．證明：(必要性)利用反證法.設存在使得考慮關于的以為系數(shù)行列式的齊次線性代數(shù)方程組.由知此代數(shù)方程組有非零解以這組常數(shù)構造函數(shù)由解的唯一性可知這與在區(qū)間上線性無關矛盾.―――5分(充分性)利用反證法.設在區(qū)間上線性相關,則存在一組不全為零的常數(shù)解使得依次對微分此恒等式,得到把它看成關于的齊次線性代數(shù)方程組,它的系數(shù)行列式為因為它有一組非零解,所以它的系數(shù)行列式必須為零,即這與矛盾.《常微分方程》復習資料3一、計算題1、求方程的通解。求微分方程的解.解方程：求方程的奇解二、求下列高階微分方程的通解三、求初值問題的解的存在區(qū)間，并求第二次近似解，給出在解的存在區(qū)間的誤差估計。四、求下列微分方程組的通解（1）參考答案一、計算題評分標準：1、解：積分因子兩邊同乘以后方程變?yōu)榍‘敺匠蹋簝蛇叿e分得：得：因此方程的通解為：2、解：，則所以另外也是方程的解3、解：，令z=x+y則所以–z+3ln|z+1|=x+，ln=x+z+即4、解:利用判別曲線得消去得即所以方程的通解為,所以是方程的奇解5、解：方程化為令，則，代入上式，得分量變量，積分，通解為原方程通解為二、求下列高階微分方程的通解解齊次方程的通解為x=不是特征根，故取代入方程比較系數(shù)得A=，B=于是通解為x=+三、解：，解的存在區(qū)間為即