固體物理學(xué)課件

緒論

緒論二、固體物理學(xué)的發(fā)展現(xiàn)代固體物理學(xué)大致建立于本世紀(jì)三十年代，在此之前，已經(jīng)在下述四個方面為固體物理學(xué)的創(chuàng)建作了準(zhǔn)備：

1、有悠久歷史的晶體學(xué)的研究

2、固體比熱理論的建立

3、關(guān)于金屬導(dǎo)電的自由電子理論

4、關(guān)于鐵磁性的研究

緒論三、主要內(nèi)容

固體物理是研究晶體結(jié)構(gòu)和晶體中原子、電子運(yùn)動規(guī)律的學(xué)科。緒論

不能根據(jù)固體的外形特點(diǎn)來判斷一種固體是否是晶體，應(yīng)當(dāng)根據(jù)固體內(nèi)部原子排列的規(guī)律性來判斷一種固體是否是晶體。若一種固體在微觀大范圍內(nèi)（微米數(shù)量級）原子的排列是有規(guī)律的、周期性的則稱為晶體，反之則不是晶體。

緒論

晶體有單晶和多晶之分，若將晶體分裂成尺寸為微米數(shù)量級的顆粒，這些顆粒稱為晶粒。在晶粒內(nèi)部原子的排列是有一定規(guī)律的，晶粒之間的排列是混亂的，這樣的晶體稱之為多晶體。若整個晶體中原子的排列是遵守同一規(guī)律，這種晶體稱為單晶體。緒論

晶體是由相同的結(jié)構(gòu)單元組成的，固體物理研究的對象是理想晶體，即在晶體中原子的排列遵從完全的嚴(yán)格的周期性。緒論

晶體內(nèi)部原子的排列在任何地方都不會破壞它的周期性。若某個原子的位置與周期性發(fā)生了偏離就稱為缺陷，這也就是說，理想晶體是無缺陷、雜質(zhì)的完整晶體。緒論

理想晶體在各處應(yīng)遵從同一的周期性，即在邊界上的原子也應(yīng)有這樣的周期性。但實(shí)際晶體邊界上的原子與內(nèi)部原子的周期性是不一樣的。因此理想晶體應(yīng)該是無邊界的其周期性是無限延伸的，不會在任何地方終止。緒論

只有充分研究了理想晶體以后，才能研究晶體的缺陷、雜質(zhì)以及非晶體等。我們這門課所研究的對象是理想晶體。

參考書目

1.基特爾著科學(xué)出版社

《固體物理學(xué)導(dǎo)論》（第五版）中譯本

2.黃昆原著，韓汝琦改編

《固體物理學(xué)》高教出版社

3.顧秉林王喜坤編

《固體物理學(xué)》清華大學(xué)出版社

4.陳洗編

《固體物理基礎(chǔ)》華中理工大學(xué)出版社

5.劉友之等編

《固體物理習(xí)題指導(dǎo)書》

6.Ashcroftet.al

“solidstatePhysics”第一章晶體結(jié)構(gòu)

§.原子的周期性列陣

1.點(diǎn)陣和基元晶體就是原子或原子團(tuán)在三維空間無限地排列起來的列陣。它的基本特點(diǎn)就是原子或原子團(tuán)排列的周期性。從這個意義上來講，晶體結(jié)構(gòu)實(shí)際上就是周期結(jié)構(gòu)。固體物理的研究對象是周期結(jié)構(gòu)，怎樣分析和處理一個周期結(jié)構(gòu)就是本章要解決的問題。第一章晶體結(jié)構(gòu)

若有一個由五角星排列成的二維周期結(jié)構(gòu)：

第一章晶體結(jié)構(gòu)

點(diǎn)陣是周期結(jié)構(gòu)中等同點(diǎn)的幾何抽象，點(diǎn)陣所描寫的或所代表的僅僅是晶體結(jié)構(gòu)的周期性質(zhì),點(diǎn)陣并不同于周期結(jié)構(gòu)本身，只有把物理實(shí)體以相同的方式放置在點(diǎn)陣的陣點(diǎn)上（方位要相同）才能形成周期結(jié)構(gòu)。第一章晶體結(jié)構(gòu)

現(xiàn)在我們回到晶體結(jié)構(gòu)的研究上來，若有一個二維的晶體結(jié)構(gòu)是由下列原子團(tuán)重復(fù)堆積而成：第一章晶體結(jié)構(gòu)

基元就是構(gòu)成晶體結(jié)構(gòu)的原子或原子團(tuán)，基元以相同的形式排列在空間就構(gòu)成了晶體結(jié)構(gòu)，基元可以是一個原子，也可以是成千上萬個原子或原子團(tuán)以及分子組成的。第一章晶體結(jié)構(gòu)

點(diǎn)陣是在空間規(guī)則地排列著的點(diǎn)的列陣。它是晶體結(jié)構(gòu)中等同點(diǎn)的幾何抽象，從點(diǎn)陣中的任一個陣點(diǎn)去觀察，周圍的陣點(diǎn)的分布情況和方位是一樣的。第一章晶體結(jié)構(gòu)

點(diǎn)陣是為了描寫晶體結(jié)構(gòu)的周期性從具體晶體中抽象出來的一系列規(guī)則排列的點(diǎn)的列陣，基元是組成晶體的具體的原子或原子團(tuán)，是實(shí)實(shí)在在的物理實(shí)體，基元以相同的方式，即在點(diǎn)陣的陣點(diǎn)上進(jìn)行重復(fù)才能得到晶體結(jié)構(gòu)，這可以歸納為一個公式：

點(diǎn)陣＋基元＝晶體結(jié)構(gòu)第一章晶體結(jié)構(gòu)2.點(diǎn)陣平移矢量

若有一個二維晶體如下圖：第一章晶體結(jié)構(gòu)

為了描寫一個點(diǎn)陣，在二維情況下可以選取任意兩個不共線的基本矢量，由這兩個基本矢量的整倍數(shù)的和可以確定點(diǎn)陣中任意一個陣點(diǎn)的坐標(biāo)（或點(diǎn)陣矢量）：

R=ua+vb(u、v為整數(shù)）

這兩個基本矢量a、b就叫作這個點(diǎn)陣的初基平移矢量，簡稱基矢。b3a6b5b2b1a3a4b4b6a5a2a1第一章晶體結(jié)構(gòu)

對于一個三維點(diǎn)陣，我們可以選取不共面的三個矢量，由這三個矢量整數(shù)倍的線性組合會確定點(diǎn)陣中任一點(diǎn)的位置即：

R=ua+vb+wc

其中u、v、w為整數(shù)。

第一章晶體結(jié)構(gòu)

晶體中等同點(diǎn)的排列稱之為布拉菲點(diǎn)陣（Bravaislattice），是晶體中基元排列周期性的一種數(shù)學(xué)抽象。

一個三維的布拉菲點(diǎn)陣可以這樣來定義：即由點(diǎn)陣平移矢量

R=ua+vb+wc

聯(lián)系起來的諸點(diǎn)的列陣其中u、v、w為整數(shù)，a、b、c為不共面的三條基矢。第一章晶體結(jié)構(gòu)3.基元和點(diǎn)陣的初基晶胞

各原子的位置用基元中各原子相對于陣點(diǎn)的相對坐標(biāo)來表示?；械趈個原子的坐標(biāo)為：

r=xa+yb+zc

其中0≤x、y、z≤1第一章晶體結(jié)構(gòu)

組成晶體的最小體積單元稱為初基晶胞，將初基晶胞平移所有點(diǎn)陣平移矢量，初基晶胞必然會填滿整個空間既不會留下空隙，也不會自身重疊。

第一章晶體結(jié)構(gòu)例如有一個二維晶體如下圖:非初級晶胞初級晶胞123第一章晶體結(jié)構(gòu)

由基矢構(gòu)成的平行六面體必定是初基晶胞，每個初基晶胞中必定只包含一個陣點(diǎn)。

第一章晶體結(jié)構(gòu)

對于一個點(diǎn)陣，初基晶胞的選取不是唯一的，無論初基晶胞的形狀如何，初基晶胞的體積是唯一的，體積就等于基矢構(gòu)成的平行六面體的體積：

V=（a×b）.c

第一章晶體結(jié)構(gòu)

晶體可以看成是一些相同的積木塊堆積起來的。這些積木塊往往是一些體積單元，稱之為晶胞。組成晶體的最小的體積單元稱之為初基晶胞。將初基晶胞平移所有的點(diǎn)陣平移矢量，初基晶胞必然會填滿整個空間，既不會留下縫隙、也不會自身重疊。

第一章晶體結(jié)構(gòu)

根據(jù)初基晶胞的定義，由基矢組成的平行六面體必定是初基晶胞（在二維情況下是一個平行四邊形），初基晶胞必定只包含一個陣點(diǎn)第一章晶體結(jié)構(gòu)

對于一個點(diǎn)陣，初基晶胞的選取不是唯一的（因?yàn)榛傅倪x取就不止一種，因而晶胞的選取也不止一種），無論初基晶胞的形狀如何，初基晶胞的體積是唯一確定的，初基晶胞的體積就等于基矢構(gòu)成的平行六面體的體積。

第一章晶體結(jié)構(gòu)

初基晶胞和基元是兩個完全不同的概念，初基晶胞是一個體積單元，而基元是具體的原子或原子團(tuán)，是一個結(jié)構(gòu)單元。一個初基晶胞只包含一個陣點(diǎn)，也就是說一個初基晶胞中只有一個基元。第一章晶體結(jié)構(gòu)

我們今后還有一種常見的晶胞叫做維格喇－賽斯晶胞，它是這樣來構(gòu)成的：

（1）把某個陣點(diǎn)同所有與它相鄰的陣點(diǎn)用直線連接起來。

第一章晶體結(jié)構(gòu)（2）在這些連線的中點(diǎn)處做垂直面（二維情況下做垂直線），這些垂直面（或垂直線）所圍成的最小體積（或最小面積）就稱作維格喇－賽斯晶胞（簡稱為Ｗ－Ｓ晶胞）。第一章晶體結(jié)構(gòu)

W-S晶胞是一個初基晶胞，也就是說，把這個晶胞平移所有點(diǎn)陣平移矢量，它會填滿整個空間，既不會留下縫隙，也不會自身重疊。第一章晶體結(jié)構(gòu)W-S晶胞是一個初基晶胞，它的對稱性可以反映出整個晶體的對稱性，是一種非常重要的晶胞。(如下圖)w-s晶胞第一章晶體結(jié)構(gòu)

下面我們以二維蜂巢狀網(wǎng)絡(luò)作為一個例子，來看它的基矢、布拉菲點(diǎn)陣、初基晶胞以及W-S晶胞等第一章晶體結(jié)構(gòu)第一章晶體結(jié)構(gòu)第一章晶體結(jié)構(gòu)§2.點(diǎn)陣的基本類型

1.對稱操作

布拉菲點(diǎn)陣有一些基本性質(zhì)，對稱性是其基本性質(zhì)之一。點(diǎn)陣的類型是由點(diǎn)陣的對稱性來區(qū)分的。第一章晶體結(jié)構(gòu)

所謂點(diǎn)陣的對稱操作是這樣一種運(yùn)動或動作，將點(diǎn)陣經(jīng)過這樣一種操作后，點(diǎn)陣中的所有陣點(diǎn)都會落到操作前的等價點(diǎn)上，這種操作的結(jié)果是把點(diǎn)陣引入到與原始狀態(tài)完全等價的構(gòu)型上。第一章晶體結(jié)構(gòu)對稱操作通常包括兩大類：

平移對稱操作

點(diǎn)對稱操作第一章晶體結(jié)構(gòu)平移對稱操作：把點(diǎn)陣或晶體平移點(diǎn)陣矢量群中的任一矢量的操作稱之為平移對稱操作。經(jīng)過這種操作點(diǎn)陣（或晶體）自身是還原的，這種性質(zhì)稱為平移對稱性。第一章晶體結(jié)構(gòu)點(diǎn)對稱操作：在操作的過程中點(diǎn)陣或晶體中至少有一個點(diǎn)是保持不動的，這種操作稱為點(diǎn)對稱操作。同樣，經(jīng)過點(diǎn)對稱操作，點(diǎn)陣或晶體也觀察不到任何變化。

第一章晶體結(jié)構(gòu)點(diǎn)對稱操作主要分以下幾類：

（1）轉(zhuǎn)動

將點(diǎn)陣（或晶體）繞通過某一定點(diǎn)的軸進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，如果，每轉(zhuǎn)動2π/ｎ點(diǎn)陣都是自身還原的，則相應(yīng)的轉(zhuǎn)動軸，我們稱之為ｎ重轉(zhuǎn)動軸。轉(zhuǎn)動軸的符號用1、2、3、4、6表示。

第一章晶體結(jié)構(gòu)（2）鏡面反映

若一個點(diǎn)陣以通過某一定點(diǎn)的平面為鏡面，將點(diǎn)陣反映為它的鏡象，點(diǎn)陣是自身還原的，這種對稱性稱為鏡面對稱性，這種操作稱為鏡面對稱操作。通常用符號ｍ或σ表示。

第一章晶體結(jié)構(gòu)第一章晶體結(jié)構(gòu)（3）中心反演

通過某一定點(diǎn)的直線為軸，將點(diǎn)陣或晶體先轉(zhuǎn)動1800，然后通過過這一定點(diǎn)而垂直于旋轉(zhuǎn)軸的平面再作鏡面反映的操作稱為中心反演。這樣的操作效果相當(dāng)于把（ｘ，ｙ，ｚ）變成為（－ｘ，－ｙ，－z）。原點(diǎn)O稱為對稱心，中心反演一般用ｉ表示。第一章晶體結(jié)構(gòu)（４）轉(zhuǎn)動反演通過過某定點(diǎn)的軸把點(diǎn)陣先轉(zhuǎn)動2π/ｎ，再進(jìn)行中心反演，相應(yīng)的轉(zhuǎn)動軸稱為ｎ重轉(zhuǎn)動反演軸，用符號ｎ表示，ｎ只可能取1、2、3、4、6。第一章晶體結(jié)構(gòu)（５）轉(zhuǎn)動反映

繞通過某一定點(diǎn)的轉(zhuǎn)軸將點(diǎn)陣先轉(zhuǎn)動2π/ｎ，接著對垂直于轉(zhuǎn)軸的平面作鏡面反映。第一章晶體結(jié)構(gòu)

轉(zhuǎn)動軸、對稱心、鏡面等這些幾何元素，即進(jìn)行對稱操作所依靠的幾何元素稱為對稱元素。第一章晶體結(jié)構(gòu)

對稱操作是一種運(yùn)動、是一種動作，只有當(dāng)晶體存在對稱元素時才能進(jìn)行對稱操作，對稱操作只有與對稱元素相聯(lián)系才可能進(jìn)行，它們是相互關(guān)聯(lián)的，對稱元素的存在只有依靠對稱操作才能證實(shí)。

第一章晶體結(jié)構(gòu)點(diǎn)陣（或晶體）中的對稱元素：

（ａ）轉(zhuǎn)動軸：1、2、3、4、6

（ｂ）轉(zhuǎn)動反演：4

（ｃ）對稱心：ｉ

（ｄ）鏡面：ｍ

第一章晶體結(jié)構(gòu)

一種點(diǎn)陣可以同時存在若干種對稱元素。對稱操作的一種特定的組合方式叫做點(diǎn)群。點(diǎn)群在“群論”中有嚴(yán)格的定義，點(diǎn)群代表的是點(diǎn)陣或晶體的對稱性，也就是點(diǎn)陣或晶體能進(jìn)行什么樣的對稱操作。

第一章晶體結(jié)構(gòu)立方晶系的對稱性（對稱操作）：

對稱元素：（1）有3個相互垂直的四重軸，繞這些四重軸將點(diǎn)陣轉(zhuǎn)π/2，點(diǎn)陣是自身還原的，通常把四重軸叫做立方軸，它通過立方體的中心點(diǎn)，記作4。

第一章晶體結(jié)構(gòu)（2）有4個三重軸，即體對角線的連線，點(diǎn)陣或晶體轉(zhuǎn)動2π/3是自身還原的，記作3。

第一章晶體結(jié)構(gòu)（3）有6個二重軸，即立方體的一個邊的中點(diǎn)到對面的另一條對邊中點(diǎn)的連線，繞這樣的軸每轉(zhuǎn)動π，點(diǎn)陣是自身還原的，記作2。第一章晶體結(jié)構(gòu)（4）有一個對稱心，作中心反演點(diǎn)陣自身是還原的，記作ｉ。第一章晶體結(jié)構(gòu)立方晶體的對稱操作：

有一個4重軸就會有3種對稱操作：π/2、π、3π/2

（2π另外考慮）

共有3個4重軸共有

3×3＝9種對稱操作。

第一章晶體結(jié)構(gòu)

有一個3重軸就會有兩種對稱操作2π/3、4π/3

（2π另外考慮）

共有4個3重軸一共有

4×2＝8種對稱操作。

第一章晶體結(jié)構(gòu)

有一個2重軸就會有一種對稱操作π

（2π另外考慮）

共有6個2重軸就會有：

6×1＝6種對稱操作。

第一章晶體結(jié)構(gòu)

所有的轉(zhuǎn)動2π算一種對稱操作。因此立方晶體的純轉(zhuǎn)動對稱操作有：

9＋8＋6＋1＝24種。

第一章晶體結(jié)構(gòu)

每一個轉(zhuǎn)動對稱操作再作中心反演還是對稱操作（由于立方晶體有一個對稱心），所以立方晶體的全部對稱操作為：

24×2＝48種。

第一章晶體結(jié)構(gòu)第一章晶體結(jié)構(gòu)正四面體的對稱操作：

一個正四面體可在立方體中畫出，它的四個面都是正三角形，邊長是立方體的面對角線，立方體的中心為O點(diǎn)，有三個立方軸，這些軸雖然是立方體的四重軸但不是四面體的四重軸，而是二重軸。因?yàn)槊哭D(zhuǎn)動π晶體自身是還原的。所以正四面體有三個二重軸。第一章晶體結(jié)構(gòu)

體對角線的延長線是正四面體的三重軸（也是立方體的三重軸）。每轉(zhuǎn)動2π/3晶體自身是還原的，共有四個三重軸。第一章晶體結(jié)構(gòu)

立方軸既是正四面體的二重軸又是四重轉(zhuǎn)動反演軸（正四面體雖然沒有對稱心，沒有四重軸，但有四重轉(zhuǎn)動反演軸）。共有3個四重轉(zhuǎn)動反演軸。第一章晶體結(jié)構(gòu)

還有EFDC是對稱面，對此面進(jìn)行鏡面反映，正四面體無變化，這樣的對稱面共有6個。第一章晶體結(jié)構(gòu)正四面體的對稱操作共有：

1個2π3個23×1＝3；

4個34×2＝83個43×2＝66個ｍ

對稱操作共有1＋3＋8＋6＋6＝24（種）其中：

純轉(zhuǎn)動對稱操作＝1＋3＋8＝12（種）。第一章晶體結(jié)構(gòu)

正四面體只具有立方體的一部分對稱操作，因此它的對稱性沒有立方體高。

第一章晶體結(jié)構(gòu)

上面講的對稱性主要是點(diǎn)對稱性，即在操作的過程中至少有一個點(diǎn)保持不動。若再考慮到平移對稱性，還有兩種對稱操作，這兩種對稱操作只有晶體結(jié)構(gòu)才有，點(diǎn)陣沒有這種對稱操作。一種是ｎ重螺旋軸，另一種是滑移面對稱。

第一章晶體結(jié)構(gòu)

將晶體結(jié)構(gòu)繞定軸轉(zhuǎn)動2π/ｎ，接著再對轉(zhuǎn)軸平移T／ｎ，T為沿軸向的最短的平移周期，這個軸稱為ｎ重螺旋軸。第一章晶體結(jié)構(gòu)

將晶體先作鏡面反映，再滑移T/ｎ后可得到原子的等價點(diǎn)，這種操作稱為滑移面對稱操作。

第一章晶體結(jié)構(gòu)第一章晶體結(jié)構(gòu)2.慣用晶胞

為了能反映出點(diǎn)陣的對稱性，選取的晶胞稱為慣用晶胞。慣用晶胞選取的原則是在反映點(diǎn)對稱性的前提下，體積最小的晶胞。

第一章晶體結(jié)構(gòu)

慣用晶胞可以是初基的，也可以是非初基的，若一個初基晶胞能反映出點(diǎn)陣的對稱性。那么它也就是慣用晶胞。比如立方點(diǎn)陣，初基晶胞也就是慣用晶胞。慣用晶胞的體積總是等于初基晶胞體積的整數(shù)倍

V＝ｎVｃ

ｎ為慣用晶胞中的陣點(diǎn)數(shù)。第一章晶體結(jié)構(gòu)第一章晶體結(jié)構(gòu)

為了反映點(diǎn)陣的對稱性就要考慮點(diǎn)陣所選取的慣用晶胞的晶胞參量。二維空間中是晶胞的棱長和夾角，三維情況下，是三棱的長ａ，ｂ，ｃ及三棱之間的夾角。

第一章晶體結(jié)構(gòu)第一章晶體結(jié)構(gòu)

經(jīng)常用到的一個物理量是點(diǎn)陣常數(shù)。所謂點(diǎn)陣常數(shù)是描寫慣用晶胞幾何尺寸的數(shù)字。如立方點(diǎn)陣的點(diǎn)陣常數(shù)只要知道棱長ａ即可，長方體為三棱長ａ，ｂ，ｃ。

第一章晶體結(jié)構(gòu)3．二維點(diǎn)陣類型

（1）二維斜方

a≠b,ψ是任意的,只有獨(dú)立操作1.是二維點(diǎn)陣中對稱性最低的一種。

第一章晶體結(jié)構(gòu)（2）二維六角

由對稱操作3.6要求，陣點(diǎn)分布如圖。a=b，ψ=1200，它既是初級晶胞，又是慣用晶胞。

第一章晶體結(jié)構(gòu)（3）二維正方

由點(diǎn)對稱操作4要求，a=b，

ψ=900。

第一章晶體結(jié)構(gòu)

（4）二維矩形

由鏡面對稱性所要求。

（5）二維有心矩形

由鏡面對稱性所要求。

二維矩形a≠b,ψ=900

二維有心矩形a≠b,ψ≠900

第一章晶體結(jié)構(gòu)第一章晶體結(jié)構(gòu)4.三維點(diǎn)陣類型

在三維空間點(diǎn)對稱操作與平移對稱操作的組合共有14種，因此三維空間只有14種Bravais點(diǎn)陣，分屬7個晶系。

第一章晶體結(jié)構(gòu)(1）立方晶體

有三種不同的類型，這三種點(diǎn)陣的慣用晶胞都是立方體，慣用晶胞的幾何特征是a=b=c，α=β=γ=900。

立方晶系有三種Bravais點(diǎn)陣，即簡單立方（sc），體心立方（bcc）和面心立方（fcc）。

這三個點(diǎn)陣的點(diǎn)對稱性相同，慣用晶胞相同，但平移對稱性不同。第一章晶體結(jié)構(gòu)第一章晶體結(jié)構(gòu)a.簡單立方點(diǎn)陣（sc）

慣用晶胞也是它的初級晶胞初級晶胞與慣用晶胞的體積相等，都等于a3，a是立方點(diǎn)陣的點(diǎn)陣常數(shù)，v=vc=a3。簡單立方點(diǎn)陣的基矢的選取通常取它的三個立方軸作晶軸，若用笛卡爾坐標(biāo)表示，它的三個基矢分別為，每一個陣點(diǎn)有六個最近鄰的點(diǎn)陣，最近鄰距離就是點(diǎn)陣常數(shù)a。

第一章晶體結(jié)構(gòu)b.體心立方（bcc）

在sc點(diǎn)陣的體對角線中點(diǎn)上放一個點(diǎn)陣，這個點(diǎn)陣與角隅上的陣點(diǎn)是等價的。（如對二維有心點(diǎn)陣，從任一陣點(diǎn)去看周圍的陣點(diǎn)分布都是相同的）。

體心立方點(diǎn)陣與sc點(diǎn)陣一樣，都具有立方體的點(diǎn)對稱性，但平移對稱性不同，故屬于不同的點(diǎn)陣類型，體心立方點(diǎn)陣的基矢的選取通常用一種比較對稱的取法，取一個頂點(diǎn)到相鄰的三個體心點(diǎn)，這組基矢用笛卡爾坐標(biāo)表示為：

第一章晶體結(jié)構(gòu)第一章晶體結(jié)構(gòu)

體心立方點(diǎn)陣的每一個陣點(diǎn)的最近鄰陣點(diǎn)有8個，a是慣用晶胞的邊長。慣用晶胞中有兩個陣點(diǎn)，相對于立方軸，這兩個陣點(diǎn)的坐標(biāo)為:

（000）（1/2,1/2,1/2）。

第一章晶體結(jié)構(gòu)C.面心立方（fcc）

在sc點(diǎn)陣的每一個面的中心附加一個陣點(diǎn)，慣用晶胞也是一個立方體，點(diǎn)對稱操作與sc點(diǎn)陣一樣，平移對稱操作與sc點(diǎn)陣不同，慣用晶胞也不是初級晶胞，因?yàn)閼T用晶胞中含有4個陣點(diǎn)（八個頂點(diǎn)算一個，每個面心算1/2個，共有6個面），慣用晶胞的體積是初級晶胞體積的4倍，即初級晶胞的體積。

第一章晶體結(jié)構(gòu)

面心立方點(diǎn)陣基矢的選取通常取一個頂角點(diǎn)到最近面心的矢量為基矢，用笛卡兒坐標(biāo)寫出來就是：第一章晶體結(jié)構(gòu)(2）四角晶系

將立方體沿某一晶軸拉長，立方體就變成了四角體，慣用晶胞的晶胞參量a=b≠c，α=β=γ=900，四角體的對稱性比立方體要低，若將立方晶系的三種Bravais點(diǎn)陣的c軸都拉長，就過渡到兩種四角晶系的Bravais點(diǎn)陣，即簡單四角和體心四角，體心四角是由bcc，fcc點(diǎn)陣沿c軸拉長得到的。

第一章晶體結(jié)構(gòu)(3）正交晶系

將四角晶系的另外一個晶軸再拉長，就得到正交晶系，慣用晶胞的晶胞參量a≠b≠c，α=β=γ=900，正交晶系有四種Bravais點(diǎn)陣。分別為簡單正交、底心正交、體心正交、面心正交，慣用晶胞都一樣，正交晶系的點(diǎn)對稱性低于四角晶系。

第一章晶體結(jié)構(gòu)(4）單斜晶系

進(jìn)一步將正交晶系體變形，即將其一晶軸傾斜，就過渡到單斜晶系，對于單斜晶系a≠b≠c，α=γ=900，β≠900，單斜晶系有兩種Bravais點(diǎn)陣：簡單單斜和有心單斜（上下底面各有一個陣點(diǎn)），它比正交晶系的點(diǎn)對稱性還低）。

第一章晶體結(jié)構(gòu)(5）三斜晶系

將單斜晶系的另一個晶軸再傾斜就得到三斜晶系，對于三斜晶系，慣用晶胞的晶胞參量a≠b≠c，α≠β≠γ，它只有一種Bravais點(diǎn)陣，即簡單三斜，這是對稱性最低的Bravais點(diǎn)陣，只有轉(zhuǎn)動1的對稱性。

第一章晶體結(jié)構(gòu)(6）三角晶系

將一個完整的正方體沿體對角線方向拉長，三個晶軸不正交，但夾角相等，邊等長，慣用晶胞的特征是a=b=c，α=β=γ≠900＜1200，對稱性低于立方體，只有一種布拉菲點(diǎn)陣。

第一章晶體結(jié)構(gòu)(7）六角晶系

前面六種晶系均可由立方體變形得到，但六角晶系不能由立方體變形得到，慣用晶胞的特征是：a=b≠c，α=β=900，γ=1200，慣用晶胞是菱形正棱柱，如選用如圖的直角坐標(biāo)系，基矢用笛卡兒坐標(biāo)表示為：第一章晶體結(jié)構(gòu)第一章晶體結(jié)構(gòu)第一章晶體結(jié)構(gòu)§3、晶面指數(shù)系統(tǒng)

1.晶列和晶向

由于點(diǎn)陣和晶體有平移對稱性，點(diǎn)陣中的陣點(diǎn)可以看作分布在一系列相互平行的直線上，一組相互平行的直線成為晶列，晶列的方向就是陣點(diǎn)分布的方向，晶列的方向稱為晶向，它代表陣點(diǎn)排列的方向，一個點(diǎn)陣可以有不止一種晶列，通常晶體暴露在外觀的都是晶向，為了描寫晶向，通常要給出晶向指數(shù)。第一章晶體結(jié)構(gòu)第一章晶體結(jié)構(gòu)

首先選定晶軸，然后取晶列方向最短的平移矢量，把它的三個指數(shù)放在方括號中表示晶向，則此晶向?yàn)椋篬uvw]。

也可以取晶列方向上的任一矢量，用基矢表示，然后把R1R2R3化成三個互質(zhì)的最小整數(shù)，放在方括號中，仍為[uvw]。

要確定一個的方向指數(shù)，首先要定出晶軸，知道晶軸后，沿晶列方向的最短平移矢量的指數(shù)就是晶向。第一章晶體結(jié)構(gòu)2、晶面指數(shù)

點(diǎn)陣中的陣點(diǎn)可以看作是分布在一系列相互平行的平面上，這些相互平行的平面是等間距的，在每一個平面上的陣點(diǎn)分布情況是完全一樣的，因此隨便哪一個平面都可以代表這一組平面，這一組相互平行的稱為平面族，一組相互平行的點(diǎn)陣平面應(yīng)當(dāng)把所有的陣點(diǎn)概括無遺，這是由點(diǎn)陣的平移對稱性所決定的,換句話說如果在這種情況下有遺漏掉的點(diǎn),這個遺漏的點(diǎn)決不是陣點(diǎn)。第一章晶體結(jié)構(gòu)

首先要確定原點(diǎn)和晶軸，任取一個陣點(diǎn)為原點(diǎn)，取3個晶軸,晶軸的端點(diǎn)必定是陣點(diǎn)，這些端點(diǎn)必定要落在這組平行平面的某些平面上,若ａ落在第h面上,ｂ落在第k個平面上,ｃ落在第L個平面上,也就是說這組平面必須是等間距的切割晶軸,分別將ａ、ｂ、ｃ切割成h,k,L等份,這一組平面中距原點(diǎn)最近的那一個平面在三個晶軸上的截距分別為ａ／ｈ,ｂ／ｋ，ｃ／ｌ通常我們用晶軸的長度為單位量度截距,最近的平面截距為１／ｈ，１／ｋ,１／ｌ我們把hkL括在圓括號中,表示為(hkL),它就作為這組晶面的晶面指數(shù)。若截距無窮大（平行于晶軸）則倒數(shù)為0。第一章晶體結(jié)構(gòu)

根據(jù)以上分析，我們可以確定找出一個晶面指數(shù)的基本方法:

（１)先找出晶面在三個晶軸上的截距值,晶軸可以是初基的,也可以是非初基的。

（２)將這些數(shù)取倒數(shù)。

（３)通常將三個數(shù)化成三個互質(zhì)的整數(shù)，放在圓括號中（hkl），若選定的晶軸是初基的（即是基矢），則hkl是不含公約數(shù)的。第一章晶體結(jié)構(gòu)第一章晶體結(jié)構(gòu)第一章晶體結(jié)構(gòu)§4.簡單晶體結(jié)構(gòu)

1.sc.bcc.fcc結(jié)構(gòu)

在sc.bcc.fcc點(diǎn)陣的每一個陣點(diǎn)上放上一個同種原子就變成了sc.bcc.fcc晶體結(jié)構(gòu)。例如金屬鈉是在bcc點(diǎn)陣的每個陣點(diǎn)上放上一個原子得到的晶體。第一章晶體結(jié)構(gòu)

對于bcc結(jié)構(gòu)，若選的點(diǎn)陣是bcc點(diǎn)陣，初基晶胞只有一個原子，但還可選用立方點(diǎn)陣來處理，這時基元中將要包含兩個原子，由于bcc結(jié)構(gòu)的Bravais點(diǎn)陣不是正交點(diǎn)陣，故常用sc點(diǎn)陣來處理，換了晶軸就意味著換了點(diǎn)陣，相應(yīng)的基元也要換。第一章晶體結(jié)構(gòu)fcc結(jié)構(gòu)的Bravais點(diǎn)陣是fcc點(diǎn)陣，基元是一個原子，這種方法由于基矢不正交，處理不方便，我們常選用立方晶軸，這就意味著點(diǎn)陣發(fā)生了變化，相應(yīng)的基元也要變化，因此fcc結(jié)構(gòu)可用sc點(diǎn)陣處理，基元就包含有四個原子。第一章晶體結(jié)構(gòu)2.NaCl結(jié)構(gòu)

將Na+Cl-交替放在sc點(diǎn)陣的陣點(diǎn)上，每個離子周圍有6個異類離子作近鄰，sc點(diǎn)陣不是NaCl結(jié)構(gòu)的Bravais點(diǎn)陣，Na+與Cl-不是等同點(diǎn)，但Na+和Cl-分別在fcc點(diǎn)陣的陣點(diǎn)上，因此NaCl結(jié)構(gòu)是兩個fcc點(diǎn)陣套起來的，一個fcc點(diǎn)陣上放的是Na+，另一個點(diǎn)陣上放的是Cl-離子，所以NaCl結(jié)構(gòu)的是點(diǎn)陣fcc點(diǎn)陣，基元中包含有一個Na+和一個Cl-。第一章晶體結(jié)構(gòu)

通常我們把一個晶體結(jié)中一個原子最近鄰的原子數(shù)稱為配位數(shù)。

sc晶體的配位數(shù)為6

bcc晶體為8

fcc晶體為12

NaCl結(jié)構(gòu)的配位數(shù)為6，每一個離子周圍有6個異類離子為近鄰。

配位數(shù)的高低反映了晶體結(jié)構(gòu)的原子排列的緊密程度，配位數(shù)高原子排列就緊密，反之則比較稀松。第一章晶體結(jié)構(gòu)3.CsCl結(jié)構(gòu)

CsCl結(jié)構(gòu)是在sc點(diǎn)陣的陣點(diǎn)上放一種離子，而在體心位置上放另一種離子形成的，每個離子周圍有8個異類離子作近鄰，它是Bravais點(diǎn)陣是sc點(diǎn)陣（每一種離子都分別形成sc點(diǎn)陣），它是由兩種sc點(diǎn)陣分別放不同離子穿套而成的（相對位移了1/2體對角線長），最小基元應(yīng)包含兩個離子，一個Cs+和一個Cl-。第一章晶體結(jié)構(gòu)

由于CsCl結(jié)構(gòu)的點(diǎn)陣是sc點(diǎn)陣，則慣用晶胞就是初基晶胞，CsCl結(jié)構(gòu)的配位數(shù)是8，很多離子晶體都有CsCl結(jié)構(gòu)，NaCl和CsCl結(jié)構(gòu)是最常見的兩種離子晶體結(jié)構(gòu)，它們在一定條件下可以相互變化，這種變化稱為結(jié)構(gòu)相變。第一章晶體結(jié)構(gòu)4.六角密堆積結(jié)構(gòu)

將原子看成剛性硬球，在一個平面上按最緊密排列，這樣一個原子排列最緊密的平面我們通常稱為密排面.把一個個密排面按最近密方式堆積起來就是密堆結(jié)構(gòu).在排列時第二層球的球心要對準(zhǔn)第一層球的球隙,這種排法只有兩種可能的選取,一種是放在B位置,第三層再回到A位置.第四層再放在Ｂ位置,這種以ABABAB……排列的方式稱為六角密堆結(jié)構(gòu)。第一章晶體結(jié)構(gòu)

另一種堆積方式是第一層為A,第二層在B位,第三層球的球心對準(zhǔn)C位,第四層還原到A位,第五層為B位,第六層為C位……,即以ABCABCABC……這樣堆積的結(jié)構(gòu)稱為立方密堆積結(jié)構(gòu)(實(shí)際上就是fcc結(jié)構(gòu))從fcc結(jié)構(gòu)的體對角線方向觀察,堆積序列就是ABCABC……每個原子有12個最近鄰。第一章晶體結(jié)構(gòu)5.金剛石結(jié)構(gòu)

它是由兩個fcc點(diǎn)陣,每個點(diǎn)陣放上同種原子,沿體對角線平移１／４體對角線長穿套起來的,這個結(jié)構(gòu)的Bravais點(diǎn)陣是fcc點(diǎn)陣,它的初基基元包含兩個原子,基元中兩個原子的坐標(biāo)用慣用晶胞的晶軸寫出就是(000)和(１／４,１／４,１／４),將這兩個原子組成的基元按fcc點(diǎn)陣的排列便可得金剛石結(jié)構(gòu),慣用晶胞中有4個基元,共有8個原子。第一章晶體結(jié)構(gòu)第一章晶體結(jié)構(gòu)6.立方ZnS結(jié)構(gòu)

兩個fcc點(diǎn)陣放不同原子沿體對角線平移１／４體對角線長穿套而得，也稱閃鋅礦結(jié)構(gòu)，它的布拉菲點(diǎn)陣仍為fcc點(diǎn)陣，基元由一個S原子和一個Zn原子組成，

這兩個原子的坐標(biāo)為（000）與(１／４，１／４，１／４),慣用晶胞中含8個原子，4個S原子與4個Zn原子。第一章晶體結(jié)構(gòu)

第一章晶體結(jié)構(gòu)

內(nèi)容提要

1．布拉菲點(diǎn)陣和初基矢量

2.初基晶胞（原胞）

3．慣用晶胞（單胞）

4．維格納---賽茲晶胞（W-S晶胞）

5．晶體結(jié)構(gòu)

6．簡單晶體結(jié)構(gòu)

7．晶面指數(shù)和晶向指數(shù)

8．對稱操作

9．七種晶系和十四種布拉菲點(diǎn)陣

布洛赫（Bloch）定理求晶體中的電子態(tài)，要解定態(tài)薛定諤方程

2

(k,r)＋

E－V(r)

(k,r)＝0其中勢能函數(shù)V(r)具有晶格周期性，即V(r)＝V（r＋Rn）＝V（r+n1a1+n2a2+n3a3）一．布洛赫定理晶體中的電子波函數(shù)是按照晶格周期性進(jìn)行的調(diào)幅平面波.即（以一維為例）

（k,x）＝u（k，x）eikx其中

u（k，x）＝u（k,x+na）晶體中的電子波又稱為Bloch波。討論：1．電子出現(xiàn)的幾率具有正晶格的周期性。

∣

（k,x）∣2＝∣u（k，x）∣2∣

（k,x＋na）∣2=∣u（k,x+na）∣2∵u（k，x）=u（k,x+na）∴∣

（k,x）∣2=∣

（k,x＋na）∣22.布洛赫定理的另一種表示。

證明:∵

（k,x）＝u（k，x）eikxu（k，x）＝u（k,x+na）得：u（k，x）＝

（k,x）e-ikx(A)u（k,x+na）=

（k,x+na）e-ik(x+na)=e-ikx[e-ikna

（k,x+na）](B)比較（A）（B）二式，左右分別相等

∴

（k,x+na）＝

（k,x）eikna

以上證明各步均可逆，故Bloch定理的兩種表示等價。3．函數(shù)

（k,x）本身并不具有正晶格的周期性。

（k,x＋na）＝u（k，x+na）eik(x+na)

=u（k，x+na）eikx×eikna=u（k，x）eikx×eikna

=

（k,x）eikna而一般情況下∵k不是倒格矢eikna≠1∴

（k,x＋na）≠

（k,x）二．Bloch定理的證明1．由于勢能函數(shù)V(x)具有晶格周期性，適當(dāng)選取勢能零點(diǎn)，它可以作如下的付里葉級數(shù)展開：說明：

∴(1)2.將待求的波函數(shù)ψ（r）向動量本征態(tài)――平面波eik?x展開(2)求和是對所有滿足波恩－卡曼邊界條件的波矢k’進(jìn)行的。將（1）式和（2）式代入薛定諤方程得:(3)將此式兩邊左乘e－ik.x,然后對整個晶體積分。并利用平面波的正交歸一性得到（4）式

利用δ函數(shù)的性質(zhì)，得（4）式

該方程實(shí)際上是動量表象中的薛定諤方程，稱作中心方程。

K態(tài)與其相差不是一個倒格矢的態(tài)之間無耦合方程（4）說明，與K態(tài)系數(shù)C(K)的值有關(guān)的態(tài)是與K態(tài)相差任意倒格矢Gn

的態(tài)的系數(shù)C(K－Gn)…….與K相差不是一個倒格矢的態(tài)不進(jìn)入方程（4），該結(jié)論也應(yīng)適用于波函數(shù)

(k,x)。因此波函數(shù)應(yīng)當(dāng)可寫成與Bloch定理比較

（k,x）＝u（k，x）eikx

需證明

=u(K,x+na)∵Gh·Rn＝2

m，一維情況Rn=na,Ghna=2mexp(-iGhna)=1于是布洛赫定理得證。三．布洛赫定理的一些重要推論（1）K態(tài)和K＋Gh態(tài)是相同的狀態(tài)，這就是說：（A）

（K＋Gh,r）＝

（K，r）（B）E（K＋Gh）＝E(K)下面分別證明之?！?/p>

（k,x）求和遍取所有允許的倒格矢令G‘n

－Gn=Gn’’,則

（∵求和也是遍取所有允許的倒格矢）即相差任意倒格矢的狀態(tài)等價。由薛定諤方程

(k,r)=E(k)

(k,r)∴E（k）=E(k+Gn)

可見，在波矢空間，布洛赫電子態(tài)具有倒格子周期性，為了使波矢K和狀態(tài)一一對應(yīng)，通常限制k在第一B.Z.內(nèi)變化。第一B.Z.內(nèi)的波矢又叫簡約波矢。與等價（2）E（k）＝E（－k）即能帶具有k=0的中心反演對稱性。（3）E（k）具有與正晶格相同的對稱性。四．能態(tài)密度由布洛赫波所應(yīng)滿足的周期性邊界條件：波矢k在空間分布是均勻，允許的波矢為

每個k點(diǎn)在k空間平均占有的體積為k空間內(nèi)，k點(diǎn)的密度為Vc/（2π）3。能態(tài)密度：對給定體積的晶體，單位能量間隔的電子狀態(tài)數(shù)。在k空間，對某一能帶n,每一個k點(diǎn)對應(yīng)此能帶一個能量En,反過來，對于一個給定的能量En,可以對應(yīng)波矢空間一系列的k點(diǎn)，這些能量相等的k點(diǎn)形成一個曲面，稱之為等能面?？紤]E→E＋dE二個等能面之間的電子狀態(tài)數(shù)。在k空間等能面E和E＋dE之間，第n個能帶所對應(yīng)的波矢k數(shù)目為將k空間的體元dτk表示成dτk＝dSE·dk⊥由于dE＝∣▽kEn(k)∣·dk⊥故有則E→E+dE之間，第n個能帶所對應(yīng)的狀態(tài)數(shù)應(yīng)為（考慮自旋應(yīng)×2）：其中D(En)即是第n個能帶對E→E＋dE能量區(qū)間所貢獻(xiàn)的狀態(tài)密度。如果能帶之間沒有交疊，則D（En）就是總的狀態(tài)密度；如果有交疊，應(yīng)對所有交疊帶求和，即一般應(yīng)寫成:因此，只要由實(shí)驗(yàn)測出關(guān)系En(k)~k（或稱能帶結(jié)構(gòu)）就可求得狀態(tài)密度D（En）。反過來，若由實(shí)驗(yàn)測得D（En），也可推測出能帶結(jié)構(gòu)En(k)。例：求自由電子的態(tài)密度函數(shù)D（E）在k空間，自由電子的等能面為球面對應(yīng)于一定的電子能量E,半徑為

K空間中，在半徑為∣k∣的球體積內(nèi)的電子態(tài)數(shù)目，應(yīng)等于球的體積乘以K空間單位體積內(nèi)的電子態(tài)數(shù)Vc/4π3，即于是自由電子的態(tài)密度函數(shù)D（E）為ED

常見晶體結(jié)構(gòu)舉例面心立方（fcc)------Cu(GT002)

致密度η（又稱空間利用率）：晶體中原子所占體積與晶體總體積之比。

配位數(shù)CN：晶體中一個原子最近鄰的原子數(shù)。（注意：不是格點(diǎn)數(shù)）例如：Cu

配位數(shù)＝12，慣用元胞包含格點(diǎn)數(shù)＝4最近鄰原子間距＝？2.體心立方（bcc)-----w3.金剛石結(jié)構(gòu)

(GT016)

兩個fcc子格子沿對角線相對位移1/4體對角線長度套構(gòu)而成。

B格子與子格子相同－－－fcc

慣用元胞包含格點(diǎn)數(shù)＝4

基元內(nèi)原子數(shù)＝2（同種元素）慣用元胞包含原子數(shù)＝2x4=8

配位數(shù)＝44.閃鋅礦結(jié)構(gòu)（立方硫化鋅結(jié)構(gòu)）

套構(gòu)形式與金剛石結(jié)構(gòu)相同，區(qū)別是基元內(nèi)含2個原子為不同的元素。

B格子是--------

慣用元胞包含格點(diǎn)數(shù)＝?

慣用元胞包含原子數(shù)＝?

配位數(shù)＝?5.氯化銫（CsCl)結(jié)構(gòu)

Cs＋，Cl－離子分別為簡立方（SC）子格子，二子格子體心套構(gòu)。

B格子＝SC

配位數(shù)＝？6.NaCl結(jié)構(gòu)

Na＋,Cl－分別為fcc子格子，沿立方邊位移a/2套構(gòu)而成。

(GT016)注意

不同晶體結(jié)構(gòu)的Cu.NaCl,金剛石結(jié)構(gòu)，閃鋅礦結(jié)構(gòu)等，它們的B格子均為fcc。

所以，B格子的種類數(shù)大大少于晶體結(jié)構(gòu)的種類數(shù)。7.六方密排結(jié)構(gòu)（hcp)-------Mg(模型)

慣用元胞是以正六邊形為底的直角棱柱。晶格常數(shù)是正六邊形的邊長a和柱高c.

密堆積：如果晶體由全同的一種粒子組成，而粒子被看成是小圓球，這些小圓球最緊密的堆積狀態(tài)。此時它有最大的配位數(shù)－－－12。有最大配位數(shù)12的排列方式稱為密堆積。

hcp基元內(nèi)原子數(shù)＝2

慣用元胞體積是初基元胞體積的3倍。hcp的排列方式為AB,AB,……

密排面垂直于棱柱高c軸。

fcc的排列方式為ABC,ABC,……

密排面垂直于體對角線。（GT003，模型）

hcp和fcc均為配位數(shù)為12的密堆積，可能給我們什么啟示？8.纖維鋅礦結(jié)構(gòu)（六角硫化鋅結(jié)構(gòu)）兩個hcp套構(gòu)而成。例如，ZnO,ZnS。（模型）9.鈣鈦礦結(jié)構(gòu)例如，BaTiO3,SrTiO3

OⅠ,OⅡ,OⅢ的周圍“環(huán)境”不同，鈣鈦礦結(jié)構(gòu)由五個SC子格子套構(gòu)而成。（GT017，GT018）

倒格子與布里淵區(qū)一.

倒格子

（先在基矢坐標(biāo)系中討論)1.定義：正格子基矢a1a2a3

倒格子基矢

b1b2b32πi=j

ai·bj=0i≠j

即i≠jai

⊥bj例如:b1

在a2×a3所確定的方向上（或反方向上）

b1＝c(a2×a3)c為待定系數(shù)則，

a1·b1＝ca1·(a2×a3)＝cΩ(A)

其中Ω為正格子初基元胞體積，同時，由定義

a1·b1＝2π（B）比較（A）,（B）式得

b1＝（a2×a3）類似可得

b2＝（a3×a1）b3＝(a1×a2)2*有了倒格子基矢，可構(gòu)成倒格矢。Gh＝h1b1＋h2b2＋h3b3

倒格子周期性其中h1h2h3為任意整數(shù)，由倒格矢Gh確定的空間叫倒格子空間。由上定義可知，Gh與波矢K有相同的量鋼。屬同一“空間”

Gh是K空間的特定矢量。倒格子初基元胞“體積”Ω※＝b1·(b2×b3)

注意：正倒格矢量綱不同，屬不同的空間，可有方向上的關(guān)系，不能直接比較大小。思考題：

對二維格子，已知正格基矢a1、a2,如何確定b1、b2的方向？

強(qiáng)調(diào)：這里定義的倒格矢，所對應(yīng)的正格矢是在基矢坐標(biāo)系中的。2．倒格子的重要性質(zhì)（正倒格子間的關(guān)系）

(1).若h1、h2、h3為互質(zhì)整數(shù)，則Gh＝h1b1＋h2b2＋h3b3為該方向的最短倒格矢。

(2).正、倒格子互為倒格子。

(3).Gh

＝h1b1＋h2b2＋h3b3垂直于晶面族（h1、h2、h3）（兩個h1、h2、h3分別相等）。證：晶面族（h1、h2、h3）中的一個晶面在a1、a2、

a3上的截距為x,y,z,由面指數(shù)的定義:（h1、h2、h3）＝m(1/x、1/y、1/z)即h1x＝h2y＝h3z＝m（m為公因子）（A）在該晶面上作二非平行矢量（如圖）

u＝xa1－ya2

v＝y(tǒng)a2－za3

則u·Gh＝(xa1－ya2)·(h1b1＋h2b2＋h3b3)由倒基矢定義＝2π（h1x－h(huán)2y）由（A）式＝2π(m－m)＝0即

U⊥Gh

同理可證υ⊥GhGh與（h1、h2、h3）面內(nèi)二條非平行直線均垂直,所以Gh垂直于（h1、h2、h3）晶面族。(4)

某方向最短倒格矢

Gh＝h1b1＋h2b2＋h3b3

之模

和晶面族（h1、h2、h3）的

面間距dh成反比。

設(shè):ABC為晶面族(h1h2h3)(h1,h2,h3為互質(zhì)整數(shù))中離原點(diǎn)最近的晶面。ABC面與a1,a2,a3軸的截距矢量分別為a1/h1,a2/h2,a3/h3,請同學(xué)自證:h1=h1,h2=

h2,h3=

h3該晶面族的法向矢為倒格矢G(h’1h’2h’3),其中最短倒格矢Gh＝h1b1＋h2b2＋h3b3(h1,h2,h3為互質(zhì)整數(shù))。晶面間距即為a1/h1,a2/h2,a3/h3,在法向的投影

dh1h2h3==

=（5）倒格矢Gh和正格矢Rn的

標(biāo)積是2π的整數(shù)倍

Gh·Rn＝2πm問題：若Gh，Rn分別為正、倒格矢，上式成立。反之，若上式成立，若已知一個為正格矢，則另一個必為倒格矢嗎？(p36*)證：Gn

x晶面族(h1h2h3)中離原點(diǎn)距離為mdh的晶面方程為：其中x為晶面上的任意位矢，并不一定是格矢。

（6）正、倒格子初基元胞體積間滿足Ω·Ω※＝（2π）3由性質(zhì)（4）所以，故上反定理不成立。(7)晶體的傅立葉變換

設(shè)函數(shù)V(x)具有正晶格周期性，它可以作付里葉級數(shù)展開：n是整數(shù)V(Gn)是V(x)在倒空間的“映像和表述”，它們之間滿足傅立葉變換的關(guān)系?！嗨钥梢哉f，一個具有正格子周期性的物理量，在正格子中的表述與在倒格子中的表述之間滿足傅立葉變換的關(guān)系。二．布里淵區(qū)（B.Z）GT010

定義：任選一倒格點(diǎn)為原點(diǎn)，從原點(diǎn)向它的第一、第二、第三……近鄰倒格點(diǎn)畫出倒格矢，并作這些倒格矢的中垂面，這些中垂面繞原點(diǎn)所圍成的多面體稱第一B.Z，它即為倒空間的W－S元胞，其“體積”為Ω※＝b1·(b2×b3)說明并不是原點(diǎn)僅到最近鄰的倒格點(diǎn)的倒格矢的中垂面所圍成的區(qū)域叫第一B.Z;

第一B.Z又可表述為從原點(diǎn)出發(fā)，不與任何中垂面相交，所能達(dá)到的倒空間區(qū)域。第nB.Z則是從原點(diǎn)出發(fā)跨過（n－1）個倒格矢中垂面所達(dá)到的區(qū)域；各級B.Z體積相等。?布里淵區(qū)界面方程Gh

K由晶面方程：當(dāng)x換為倒格矢中垂面上的任意波矢K時，得到布里淵區(qū)界面方程

點(diǎn)陣振動

§1.一維原子鏈的點(diǎn)陣振動

1.簡諧近似

這一章我們要考慮原子在平衡位置附近的振動。這種考慮是建立在簡諧近似的基礎(chǔ)之上的，所謂簡諧近似即認(rèn)為振動是小振動，振幅很小，這種振動的位移與力之間是滿足線性關(guān)系的。

F=-cx從能量的角度來看，認(rèn)為原子間有了相對位移后，兩原子間的相互作用勢也有了變化

將勢能展開成級數(shù)：

2.一維單原子點(diǎn)陣的運(yùn)動方程和色散關(guān)系

一維單原子點(diǎn)陣在每個陣點(diǎn)上只有一個原子，第s個原子相對于它平衡時的位移是Us。第ｓ個原子所受到的來自第s+p個原子的作用力與它的對位移成正比第s個原子所受到的力等于所有原子作用力的總和：

Mus=

當(dāng)s取不同值時，上述方程為一方程組代表各個原子的位移和運(yùn)動。

原子在平衡位置附近的小振動可看作是耦合的簡諧振子的運(yùn)動。這種耦合諧振子可以通過正則變換化成一組獨(dú)立的無相互耦合的簡諧振動的運(yùn)動。經(jīng)過這樣變換的每一個獨(dú)立的諧振子代表簡正模式，點(diǎn)陣振動的簡正模式是指有一定頻率、一定波矢的平面波，第s個原子的位移按簡正模式解可寫成：

這也就是頻率為ω,波矢為k的平面波對第s個原子位移的貢獻(xiàn)。這個平面波稱之為格波，把尋求到的運(yùn)動方程的解帶入運(yùn)動方程就能找出ω與k的關(guān)系即所謂色散關(guān)系。將帶入運(yùn)動方程得：

（其中u=u）

M

約去兩邊相同的因子得：

代表第s+p個原子的位移的位相差。

由于點(diǎn)陣有平移對稱性（+p原子與-p原子的力常數(shù)相等）。Cp=C-p

則

=-

利用歐拉合成化簡可得：

這就是一維單原子晶考慮了所有原子的作用后得到的格波的頻率與波矢所滿足的關(guān)系。

通常只考慮最近鄰原子的作用（最近鄰近似）：

則色散關(guān)系變?yōu)椋?/p>

或

此函數(shù)關(guān)系在第一布里淵區(qū)的圖如下：

簡正模式的色散關(guān)系是點(diǎn)陣平移矢量的周期函數(shù)，（n為整數(shù)），可以證明將色散關(guān)系

中的k換成后，ω是不變的。

sin[

平移后色散關(guān)系不變。色散關(guān)系是點(diǎn)陣平移矢量的周期函數(shù)，它主要是由于我們研究的對象是分立的周期結(jié)構(gòu)所引起的。

當(dāng)把k換成-k時色散關(guān)系也不變。即K與-k對應(yīng)的頻率完全一樣（稱之為色散關(guān)系的反演對稱性）

ω（k）=ω（-k）.

3.周期性邊界條件

我們前面研究的對象是理想晶體,邊界上與內(nèi)部的原子是一樣的,既理想晶體不考慮晶體邊界,沒有邊界效應(yīng)。長為L的一維原子鏈,要作為理想晶體來對待,就要用到周期性邊界條件(即循環(huán)邊界條件或玻恩一卡曼邊界條件).

所謂周期性邊界條件是把實(shí)際晶體看作是無限的,要求運(yùn)動方程的解以晶體的長度L=Na為周期,既要求:

這個邊界條件的意思是相當(dāng)于將晶體的首位相接構(gòu)成一個園環(huán),第0個原子與第N個原子重合。

因此此邊界條件又稱為循環(huán)邊界條件，經(jīng)過這樣處理，邊界上原子與晶體內(nèi)部原子的狀態(tài)一樣，即可把實(shí)際晶體當(dāng)作理想晶體看待。但是，在周期性邊界條件下，格波的波矢只能取一系列分立值。

k=0，

k=

由此可從k求出ω，由于k值是無限的，相應(yīng)的應(yīng)有無窮多簡正模式，但實(shí)際上在這些簡正模式中只有一部分是獨(dú)立的。即k取邊界條件允許的值時，有些格波將對應(yīng)相同的頻率和位移，因此它們是同一個簡正模式。

4．第一布里淵區(qū)

簡正模式的色散關(guān)系有一個重要的性質(zhì)：

一維時

則

當(dāng)把k換成時對應(yīng)的頻率完全一樣，不僅頻率相等，而且與這兩個波矢相應(yīng)的原子的位移情況也一樣，進(jìn)一步說這兩個簡正模式是同一個簡正模式，是代表同一個格波。

當(dāng)

=

因?yàn)閯t

當(dāng)波矢k平移倒易點(diǎn)陣矢量后所給出的簡正模式是同一個模式，頻率及每個原子的位移都是相同的，這兩個格波是同一個格波。

如上圖.

∴k與k‘是同一列格波,是同一個簡正模式

在滿足周期性邊界條件下，凡是波矢相差一個倒易點(diǎn)陣矢量的簡正模式是同一個簡正模式，這樣我們就可把格波的波矢ｋ限制在第一布里淵區(qū)之中，第一布里淵區(qū)以外的k總可以平移一個后用第一布里淵區(qū)中的k來等價描述，第一布里淵區(qū)以外k只不過是第一布里淵區(qū)中的ｋ的重復(fù)和再現(xiàn)而已。

在第一布里淵區(qū)中有多少k值呢？

第一布里淵區(qū)中的k值數(shù)目實(shí)際上就是晶體中初基晶胞的數(shù)目，長為L的一維原子鏈中的獨(dú)立的簡正模式數(shù)等于晶體中的原子數(shù)。

每一個簡正模式代表一個一定頻率與波矢的平面波，那么運(yùn)動方程就有N個獨(dú)立的簡正模式解，但這些解都不代表原子的真實(shí)位移。

在點(diǎn)陣振動中，我們不研究原子的真實(shí)位移，因?yàn)檫@是毫無實(shí)際意義的。它對晶體的物理性質(zhì)（如熱學(xué)性質(zhì)等）并沒有什么貢獻(xiàn)，而有貢獻(xiàn)的只是存在有那些簡正模式。

5.群速

若晶體中有一個擾動，有一個原子偏離了平衡位置。由于原子間有相互作用，則這個擾動可以看作是基本格波組成的波包的運(yùn)動，波包的運(yùn)動速度是格波的群速，。它是有一系列格波疊加起來的波包的運(yùn)動，波包中心所對應(yīng)的速度為群速度，它是介質(zhì)中能量傳輸?shù)乃俣取Ｎ覀儗⑸㈥P(guān)系：

對k微商可得：

可以將此關(guān)系作圖如下：

在布里淵區(qū)邊界上滿足Laue或Bragg條件，要發(fā)生衍射現(xiàn)象，這不僅限于對x-raｙ，而任何波只要滿足Laue或Bragg條件都會發(fā)生衍射，格波也不例外，在一維情況下的Bragg反射條件：

（n只能等于1，而不可能大于1，∵當(dāng)n>1時λ<2a是沒有任何實(shí)際意義的）。滿足Bragg反射條件，而反射波與λ射波是兩個相反方向的同頻，同波矢的波的疊加。

相當(dāng)與λ>>a(故稱為長波極限).色散關(guān)系:

＝

(因?yàn)閗a<<1則sin

它表明當(dāng)格波的波長比點(diǎn)陣常數(shù)大的多時,可以把格波當(dāng)作連續(xù)介質(zhì)中的彈性波處理。也就是說可以把晶體看作連續(xù)介質(zhì)，當(dāng)λ》a時，點(diǎn)陣的分立性就顯示不出來，傳播時感覺不到分立性，若波長縮短，分立結(jié)構(gòu)的特性對格波的影響就逐漸顯露出來，色散關(guān)系的線性關(guān)系就要改變，當(dāng)λ=2a時，k=，正處在布里淵區(qū)邊界，發(fā)生了Brａgg反射。

§2.一維雙原子點(diǎn)陣的點(diǎn)陣振動

考慮一個初級晶胞有兩個原子的情況

1.運(yùn)動方程和色散關(guān)系

一個初基晶胞中兩個原子的質(zhì)量不同，但為了處理問題方便起見，認(rèn)為原子間的力常數(shù)是一樣的，在簡諧近似下，用最近鄰近似，認(rèn)為各原子之間是用同樣的彈簧聯(lián)系起來的。

若只考慮最近鄰近似，第ｓ個晶胞中質(zhì)量為M1的原子所受的力為：

其運(yùn)動方程為

同理可寫出第s個晶胞中質(zhì)量為M2的原子的運(yùn)動方程為：

u，v可以是復(fù)數(shù)，第ｓ個晶胞中質(zhì)量為的原子的ω與k相同，但振幅不同，由于u，v是復(fù)數(shù)，故u，v可以有一個相因子之差，表示它們之間的相位關(guān)系。

我們將代回運(yùn)動方程得：

這是以u，v為未知數(shù)的方程組，要有非零解須系數(shù)行列式為零。

便可得到：

展開此行列式可得：

即

上式中取“＋”號時，有較高頻率稱為光學(xué)支色散關(guān)系，取“－”號時，有較低頻率稱為聲學(xué)支色散關(guān)系。

把色散關(guān)系作圖得：

2.光學(xué)支和聲學(xué)支格波

為了討論比較典型,我們處理長波極限下的情況。當(dāng)ka《1（即波長比點(diǎn)陣常數(shù)大得多的光學(xué)支與聲學(xué)支）

coska≈，帶入色散關(guān)系中：

取“＋”號時，≈

取“－”號時：≈

由u.v的方程組,我們知道:

當(dāng)ka<<1時:

對“＋”號的一支:

[這是k∽0時,將帶入u，v方程組中得到的]

它表明同一個初基晶胞中的兩個原子每時每刻的振動位相是相反的，而且是質(zhì)心不動的，不同的初基晶胞有一個位相差。在離子晶體中由于它們不斷的反位相振動，電偶極距可與電磁波耦合，這種振動模式可用光波來激發(fā)，故稱之為光學(xué)支振動模式，實(shí)際上它是簡正模式中的一部分，而不是光波，它可與光波耦合，但不要與光波混淆。

對“－”號支：

這表明ka《1時，同一初基晶胞中兩個原子每時每刻是同位相運(yùn)動（振動之比為1），而且連同質(zhì)心一起作整體運(yùn)動。不同初基晶胞之間的振動有一個相因子，初基晶胞的整體運(yùn)動存在著類似聲波的色散關(guān)系ω=vk，有類似聲波的性質(zhì)，故稱之為聲學(xué)支模式。它不是聲波。

兩支模式的區(qū)別在于，光學(xué)支模式是描寫初基晶胞中兩個原子相對運(yùn)動的振動模式，若這兩個原子組成一個分子，光學(xué)支模式實(shí)際上是分子振動模式，描寫的是同一個分子中的原子的相對運(yùn)動情況，聲學(xué)支模式代表同一初基晶胞中原子的整體運(yùn)動，若初基晶胞中的兩個原子組成一個分子的話，聲學(xué)支模式則代表分子的整體運(yùn)動模式，這種振動模式的色散關(guān)系類似于聲波。但它不是聲波。

當(dāng)k=±

設(shè)

對聲學(xué)支

對光學(xué)支

3．簡正模式計數(shù)

在前面的討論中無論是單原子點(diǎn)陣還是雙原子點(diǎn)陣我們只討論一維情況，還沒有涉及到簡正模式的偏振狀態(tài)，在三維空間，對一個波矢對應(yīng)有3個偏振態(tài)，兩個橫振動，一個縱振動，對于3個不同的偏振態(tài)來說原子的力常數(shù)是不同的?？v波的原子的運(yùn)動與波的傳播是同向的，原子間的作用力是拉伸力，而橫波原子的運(yùn)動與波的傳播是垂直方向的，原子間的作用力是切向力，這樣兩種力的力常數(shù)是不相同的，色散關(guān)系也是不一樣的。

對于單原子晶體，簡正模式的色散關(guān)系有三支，每支色散關(guān)系對應(yīng)有Ｎ個簡正模式，則共有3N個模式，對于雙原子點(diǎn)陣，點(diǎn)陣模式的色散關(guān)系有6支，3支聲學(xué)支，3支光學(xué)支。每支色散關(guān)系各有N個簡正模式，故有3N個聲學(xué)摸，在長波極限下它對應(yīng)于初基晶胞的整體，這種整體運(yùn)動的自由度共有3N個，這3N個自由度對應(yīng)3N個聲學(xué)模式。

光學(xué)支也有3 N個簡正模式，對應(yīng)與初基晶胞中原子的相對運(yùn)動，有3N個自由度。因此總的簡正模式（包括光學(xué)支，聲學(xué)支）共有3×2×N=6N個，也就是說雙原子點(diǎn)陣共有6N個簡正模式，這6N個簡正模式對應(yīng)于晶體中所有原子的總自由度。

推而廣之，對于每個初基晶胞中有P個原子的點(diǎn)陣，簡正模式的色散關(guān)系有3P支，其中有3支是聲學(xué)支,對應(yīng)于聲學(xué)摸的三種偏振狀態(tài),剩下的3P-3都是光學(xué)支,每一支的K的取值都有N個,因此共有3PN個簡正模式。其中3N個聲學(xué)模式，剩下的3NP-3N個都是光學(xué)模式，無論基晶胞中有多少個原子，色散關(guān)系的聲學(xué)支只能有3支，因?yàn)槁晫W(xué)支對應(yīng)于初基晶胞中原子的整體運(yùn)動而這種運(yùn)動只能有三個，剩下的3P-3支都是光學(xué)支，代表了初基晶胞中原子的相對振動。

需要說明的是，在色散關(guān)系中，對三維晶體而言，通常要指定波矢K的方向后才能畫出對應(yīng)的色散關(guān)系，即ω-K的關(guān)系圖。對應(yīng)于晶體中對稱性比較高的方向，簡正模式可以是簡并的。但這并不是說它們的簡正模式數(shù)減少了，因?yàn)榇藭r盡管兩支橫光學(xué)支或橫聲學(xué)支簡并，在同一個K下它們的頻率相同，但時它們處于不同的偏振態(tài)，各自仍然是獨(dú)立的。

§3.聲子

1．聲子

點(diǎn)陣振動可用簡正模式來描述，每一個簡正模式描寫一個一定頻率一定波矢和偏振狀態(tài)的平面波，而每一個平面波對應(yīng)于一個簡諧振動，給定了K就可以通過一定的色散關(guān)系求出ω。一個簡正模式就代表一個頻率為ω的簡諧振動，簡諧振動的能量是量子化的，一個頻率為ω，波矢為K的簡正模式，處于N激發(fā)態(tài)，它的能量為：

點(diǎn)陣振動的簡正模式（或格波）的能量的量子稱為聲子。聲子是格波能量的量子，并非格波本身，一個頻率為ω，波矢為k的簡正模式處在第N個激發(fā)態(tài)，我們就說在這個能量態(tài)上，占據(jù)了N個波矢為K頻率為ω的聲子。聲子的數(shù)目對應(yīng)于格波激發(fā)態(tài)的量子數(shù)，而格波的簡正模式對應(yīng)于聲子的種類。

一個波矢為K的第S支模式處在第N個激發(fā)態(tài)，我們就說在晶體中存在著N個波矢為K的第S支聲子（因?yàn)榻o定了K與第S支模式則ω可由色散關(guān)系唯一確定），在晶體中波矢為K的縱聲學(xué)支模式處于N激發(fā)態(tài)，我們就說晶體中有N個波矢為K的縱聲學(xué)支聲子。

聲子這個名詞是模仿光子而來（因?yàn)殡姶挪ㄒ彩且环N簡諧振動）。聲子與光子都代表簡諧振動能量的量子。所不同的是光子可存在于介質(zhì)或真空中，而聲子只能存在于晶體之中，只有當(dāng)晶體中的點(diǎn)陣由于熱激發(fā)而振動時才會有聲子，在絕對零度下，即在OK時，所有的簡正模式都沒有被激發(fā)，這時晶體中沒有聲子，稱之為聲子真空。聲子與光子存在的范圍不同，即寄居區(qū)不同。

若點(diǎn)陣振動的波矢為K的第S支的簡正模式由于外界干擾而被激發(fā)，能量提高了一級，由N→N+1，那么我們就說晶體中產(chǎn)生了一個波矢為ｋ的第S支聲子。反之，若由于外界的激發(fā)，格波的激發(fā)態(tài)下降為N-1，則我們說在晶體中淹沒了一個波矢為K的第S支聲子。

由于聲子是格波簡正模式的能量量子，若其能量為：