高等數(shù)學(xué)課件第三節(jié)函數(shù)的極限

第三節(jié)函數(shù)的極限各自變量的變化過程中的極限極限的性質(zhì)1/25一、各自變量的變化過程中的極限由xn=f(n)n

N，有極限問題中的２個要素：1)自變量的變化過程，2)函數(shù)。2/25函數(shù)６種自變量的連續(xù)變化過程：x

x-

x

x

x0

x

x0+0x

x0-0

直觀上，當(dāng)|x|無限增大時，函數(shù)f(x)=1/x無限接近于

當(dāng)x往正方向無限增大時，函數(shù)f(x)=arctanx無限接近于問題:如何用數(shù)學(xué)語言刻劃函數(shù)“無限增大”、“無限接近”?

0。對任給定的0，都存在自然數(shù)N=N()

，使得當(dāng)n>N

時，恒有|xn-a|=|f(x)-a|<成立。定義

設(shè)f(x)在[a,+∞)有定義，

=A

對任給定的0，都存在

X=X()

a，使得當(dāng)

x>X時，恒有|f(x)-A|<成立。定義幾何解釋

y

A+

y=f(x)

A

A-

O

X

x即＝A

x+時，曲線y=f(x)

有水平漸近線

y=A.定義

f(x)在（-∞，a]有定義，＝A

對任給定的0，都存在X=X()>0，使得當(dāng)x<-X時，恒有|f(x)-A|<成立。定義幾何解釋

y

A-MO即＝A

x-時，曲線

y=f(x)

有水平漸近線

y=A。定義設(shè)f(x)在U(∞)有定義，＝A

對任給定的0，都存在X=X()>0，使得當(dāng)|x|>X時，恒有|f(x)-A|<成立。定義

即＝A

x

時，曲線y=f(x)有水平漸近線

y=A.幾何解釋:不難證明：定義*例6證22/25定義

設(shè)f(x)在x0的某個去心鄰域有定義，＝A

對任給定的0，都存在

=()>0，使得當(dāng)0<

|x-x0|<時，恒有|f(x)-A|<成立。幾何解釋:定義

設(shè)f(x)在x0的某個右去心鄰域有定義，

對任給定的0，都存在

=

()>0,使得當(dāng)0<

x-x0<

(即x0<x<x0+

)時，恒有|f(x)-A|<

成立。定義

設(shè)f(x)在x0的某個左去心鄰域有定義，

對任給定的0，都存在

=

()>0,使得當(dāng)-

<

x-x0<0

(即x0-

<x<x0)時，恒有|f(x)-A|<

成立。不難證明：注意：例4

證明

2證：例5

證明：

證：對任給定的

>0，左右極限存在但不相等,例7證例8解：例3

設(shè)x00，試證：證：對任給定的

>0，1)當(dāng)x0>0時，

14/25例5

解16/25二、極限的性質(zhì)唯一性：若對自變量t

的某一變化過程，f(t)

收斂，則在此變化過程中f(t)的極限唯一。有界性：

若對自變量t

的某一變化過程，f(t)

收斂，則在此變化過程中的某一時刻之后f(t)

有界。19/253.保號性：

若對自變量t

的某一變化過程，有l(wèi)imf(t)>0(或<0)，則在此變化過程中的某一時刻之后，恒

有f(t)>0(或<0)。此性質(zhì)等價于：若對自變量t

的某一變化過程，f(t)

收斂，并且在此變化過程中的某一時刻之后，恒

有f(t)

0(或

0)，則對此變化過程有l(wèi)imf(t)

0(或

0)

。注意：若對自變量t的某一變化過程，f(t)

收斂，并且在此變化過程中的某一時刻之后，恒

有f(t)>0

對此變化過程有l(wèi)imf(t)>0。20/254.保序性：

若對自變量t

的某一變化過程，有l(wèi)imf(t)>limg(t)，

則在此變化過程中的某一時刻之后，恒有f(t)>g(t)

。此性質(zhì)等價于：若對自變量t

的某一變化過程，f(t)、g(t)收斂，并且在此變化過程中的某一時刻之后，恒有f(t)

g(t)，則對此變化過程有

limf(t)

limg(t)。21/25*函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系23/25*例7證二者不相等,24/25三、小結(jié)極限的兩個要素,函數(shù)極限的定義