控制工程 第六章 系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差及穩(wěn)定性分析

第六章系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差及穩(wěn)定性分析第二節(jié)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)2007.11.16系統(tǒng)穩(wěn)定性的概念假設(shè)系統(tǒng)由于輸入量所引起的瞬態(tài)呼應(yīng)，在外加信號(hào)消逝后，隨時(shí)間的推移而衰減并趨于零，那么稱該系統(tǒng)為穩(wěn)定系統(tǒng)?！环€(wěn)定的平衡點(diǎn)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，是系統(tǒng)本身的固有特性。只與系統(tǒng)的構(gòu)造參數(shù)有關(guān)，而與輸入量無關(guān)穩(wěn)定性分析表示圖—穩(wěn)定的平衡點(diǎn)系統(tǒng)在初始條件的影響下，其過渡過程隨時(shí)間的推移逐漸衰減并趨于零，稱為穩(wěn)定系統(tǒng)穩(wěn)定的條件設(shè)系統(tǒng)的傳送函數(shù)為,方程B(s)=0稱為系統(tǒng)的特征方程系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為：系統(tǒng)特征方程的全部根的實(shí)部為負(fù)。假設(shè)系統(tǒng)特征根中有部分為零或者為純虛數(shù)，那么系統(tǒng)在輸入量撤銷后，隨時(shí)間的推移而趨于一常數(shù)或者等幅振蕩，稱為臨界穩(wěn)定。從工程意義上來說，是不穩(wěn)定的。系統(tǒng)不穩(wěn)定產(chǎn)生的后果實(shí)踐上，物理系統(tǒng)輸出量只能添加到一定的范圍，以后或者遭到機(jī)械止動(dòng)安裝的限制，或者使系統(tǒng)遭到破壞，也能夠當(dāng)輸出量超越一定數(shù)值后，系統(tǒng)變成非線性的，而使線性微分方程不再適用。勞斯判據(jù)系統(tǒng)穩(wěn)定性的判據(jù)根據(jù)系統(tǒng)的特征方程可判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。那么如何斷定呢？根據(jù)系統(tǒng)特征方程中系數(shù)與根的關(guān)系，間接判別出特征方程的根的情況。設(shè)系統(tǒng)的特征方程為那么系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件為：特征方程B(s)=0的各項(xiàng)系數(shù)bi的符號(hào)均一樣且不等于零。系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件勞斯在此根底上提出了系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為：勞斯數(shù)列表中第一列各項(xiàng)的符號(hào)均為正且不等于零。假設(shè)有負(fù)號(hào)存在，那么發(fā)生符號(hào)的變化次數(shù)，就是不穩(wěn)定根的個(gè)數(shù)。如那么勞斯數(shù)列表為smb0b2b4b6…sm-1b1b3b5b7…sm-2C1C2C3C4…sm-3D1D2D3D4…………………s0…其中兩個(gè)特殊情況：勞斯數(shù)列表中任一行第一項(xiàng)為零，其他各項(xiàng)不為零或者部分不為零處理方法：用一恣意小的正數(shù)ε替代零的那一項(xiàng)，然后繼續(xù)計(jì)算。假設(shè)的上下項(xiàng)的符號(hào)不變，且第一列一切項(xiàng)的符號(hào)為正，那么方程有共軛虛根，系統(tǒng)屬臨界穩(wěn)定。勞斯數(shù)列表中任一行全為零處理方法：利用全為零的這一行的上一行的各項(xiàng)作系數(shù)組成一個(gè)多項(xiàng)式方程〔最高階次為該行的相應(yīng)階次，相鄰項(xiàng)的階次相差為2〕；對(duì)輔助方程取導(dǎo)數(shù)得一新方程；以新方程的系數(shù)替代全為零的那一行。例1知系統(tǒng)的特征方程為B(s)=s4+8s3+17s2+16s+5=0解用勞斯判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。s41175s38160s2C1=C2=0s1D1=00s0E1=00勞斯數(shù)列表為1513.355例2知系統(tǒng)特征方程為s3-3s+2=0。判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性，假設(shè)不穩(wěn)定，試確定不穩(wěn)定根的個(gè)數(shù)。解系統(tǒng)不穩(wěn)定s31-30s20≈ε20s1C100s0D1=200故系統(tǒng)有兩個(gè)不穩(wěn)定根。例3知系統(tǒng)的傳送函數(shù)為判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性解列勞斯數(shù)列表S5114200S4288800S3-30-2000S274.78000S112100S080000例4++-Xi(s)Xo(s)+解系統(tǒng)傳送函數(shù)為知ξ=0.2,ωn=86.6，確定K取何值時(shí)系統(tǒng)才干穩(wěn)定。=s3+34.6s2+7500s+7500Ks3+34.6s2+7500s+7500K所以，勞斯數(shù)列表為s3175000s234.67500K0s1C100s07500K00∴K>034.6x7500-7500K>0即K<34.6胡爾維茨判據(jù)設(shè)系統(tǒng)的特征方程為那么系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是特征方程各項(xiàng)系數(shù)均大于零；特征方程各項(xiàng)系數(shù)組成的行列式均為正，即b1b3b5…b2k-1b0b2b4…b2k-20b1b3…b2k-30b0b2…b2k-400b1…b2k-5…000…bkD1D2D3D1>0Dm>0D2>0…Dm-1>0Dm-3>0Dm-5>0例5知系統(tǒng)傳送函數(shù)為解用胡爾維茨判據(jù)確定系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)的K。3K012003K特征方程的系數(shù)組成的行列式為D1=3D2=6-K>0D3=6K-K2>0{0<K<6模擬控制與數(shù)字控制最大的區(qū)別在于控制器處置的信號(hào)模擬量與數(shù)字量模擬控制要處置的是延續(xù)的模擬量，并以此為根底完成操作量運(yùn)算。數(shù)字控制要處置的那么是采樣周期為Ts的采樣離散時(shí)間信號(hào)，它是一種非延續(xù)的數(shù)字量，操作量的運(yùn)算也是在這個(gè)根底上進(jìn)展的。模擬控制系統(tǒng)中，控制量有電壓、速度、壓力和溫度等普通的物理量，這些量都是模擬量。此外，由于操作控制量的執(zhí)行機(jī)構(gòu)，多半是類似馬達(dá)和油壓缸的模擬式機(jī)械，所以輸入到控制對(duì)象中的操作量也是模擬量。在模擬控制系統(tǒng)中，控制器的輸入量采用了模擬量，操作量那么經(jīng)過擬計(jì)算電路進(jìn)展運(yùn)算。在數(shù)字控制系統(tǒng)中，那么是先對(duì)目的值控制量的反響值之間進(jìn)展模擬／數(shù)字轉(zhuǎn)換，然后將數(shù)值化后的數(shù)字量輸?shù)娇刂破髦?。控制器利用?shù)值化后的目的值和控制量的反響值，再對(duì)操作量進(jìn)展數(shù)值運(yùn)算，然后保送到D／A變換器中。D／A變換器把數(shù)字量變換成模擬量，然后送到控制對(duì)象中。模擬控制系統(tǒng)與數(shù)字控制系統(tǒng)的比較MATLAB簡介Matlab是一個(gè)高級(jí)的數(shù)學(xué)分析與運(yùn)算軟件，可以用作動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的建模與仿真。非常適用于矩陣的分析與運(yùn)算，具有豐富的控制實(shí)際與CAD運(yùn)用程序集〔工具箱〕，如控制系統(tǒng)、信號(hào)處置、最優(yōu)控制、模糊控制工具箱等。Matlab的根本元素是雙精度復(fù)數(shù)矩陣。也包含實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)矢量與常數(shù)，也間接包含多項(xiàng)式與傳送函數(shù)。設(shè)一單位負(fù)反響的開環(huán)傳送函數(shù)如下,試求其閉環(huán)傳送函數(shù),并繪制輸出量階躍呼應(yīng)曲線和脈沖呼應(yīng)曲線時(shí)域分析首先根據(jù)開環(huán)傳送函數(shù)求出閉環(huán)傳送函數(shù),再用部分分式展開法,進(jìn)展拉普拉斯反變換,求出瞬態(tài)呼應(yīng);然后根據(jù)不同時(shí)辰的t值,求出對(duì)應(yīng)的輸出,再繪出系統(tǒng)在不同輸入下的呼應(yīng)曲線.該方法繁瑣,計(jì)算量大,且無法繪出準(zhǔn)確的呼應(yīng)曲線.傳統(tǒng)方法利用MATLAB求解根據(jù)MATLAB提供的命令和函數(shù)，經(jīng)過編寫m文件，可以很容易地完成標(biāo)題要求。在MATLABCommandWindows下新建一個(gè)M文件，程序?yàn)椋篊learall,closeall;a0=[00000.8];b1=[10];b2=[0.31];b3=[0.50.71];b0=conv(b1,conv(b2,b3));aa=a0;bb=b0+a0;disp(‘SystemClosedLoopTransferFunctionis:’)aabbt=0:0.1:20y=step(aa,bb,t);yy=impulse(aa,bb,t);plot(t,y);title(‘系統(tǒng)階躍呼應(yīng)’)；xlabel(‘時(shí)間’)；ylabel(‘呼應(yīng)值’)；Grid;plot(t,yy);title(‘系統(tǒng)脈沖呼應(yīng)’)；xlabel(‘時(shí)間’)；ylabel(‘呼應(yīng)值’)；Grid;運(yùn)轉(zhuǎn)該程序,可得到如下結(jié)果:系統(tǒng)的閉環(huán)傳送函數(shù)系統(tǒng)為:SystemClosedLoopTransferFunctionis:aa=00000.8bb=0.150.71110.8