2023年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題與解答B(yǎng)卷

2023年全國中學(xué)數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽一試(B卷)

一、填空題：本大題共8個小題，每小題8分，共64分.

1.在等比數(shù)列｛4｝中，%=曰則的值為.

2.設(shè)復(fù)數(shù)Z滿意z+9=10三+22,，則IzI的值為.

3.設(shè)/(x)是定義在R上的函數(shù)，若/(幻+/是奇函數(shù)，f(x)+2'是偶函數(shù)，則/⑴的值為.

4.在AABC中，若sinA=2sinC,且三條邊a,仇c成等比數(shù)列，貝UcosA的值為.

5.在正四面體ABC。中，瓦尸分別在棱4氏4。上，滿意BE=3,EF=4,且所及平面BCD平行，

則ADEF的面積為.

6.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)集K=｛(x,y)|x,y=-l,0,l｝,在K中隨機(jī)取出三個點(diǎn)，則這三個點(diǎn)兩兩

之間距離均不超過2的概率為.

7.設(shè)a為非零實(shí)數(shù)，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次曲線尤2+。>2+/=。的焦距為%則。的值

為?

8.若正整數(shù)。，仇c滿意2017210a2100Z?>1000c,則數(shù)組(a,b,c)的個數(shù)為.

二、解答題(本大題共3小題，共56分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)

9.設(shè)不等式|2"-a|<|5-2*|對全部xw[l,2]成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

10.設(shè)數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列，數(shù)列電｝滿意勿=4+4+2一片，〃=1，2,

(1)證明：數(shù)列仍,J也是等差數(shù)列；

(2)設(shè)數(shù)列｛4｝、｛4｝的公差均是并且存在正整數(shù)s",使得4+〃是整數(shù)，求|q|的最小值.

11.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線G：V=4x,曲線。2：(x—4)2+丁=8,經(jīng)過G上一點(diǎn)P作一條傾

斜角為45的直線/,及。2交于兩個不同的點(diǎn)Q，R，求IPQMPRI的取值范圍.

2023年全國中學(xué)數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽加試(B卷)

一、(本題滿分40分)

設(shè)實(shí)數(shù)a,O,c滿意a+b+c=O,令4=max｛同，網(wǎng),胤，證明：|(1+a)(l+/?)(1+c)|>1—J2

二、（本題滿分40分）

給定正整數(shù)加，證明：存在正整數(shù)左，使得可將正整數(shù)集N+分拆為女個互不相交的子集4,4，，4,每

個子集4中均不存在4個數(shù)a,"c,d（可以相同），滿意ab—cd=m.

三、（本題滿分50分）

如圖，點(diǎn)。是銳角AA8C的外接圓。上弧6c的中點(diǎn)，直線ZM及圓切過點(diǎn)B,C的切線分別相交于點(diǎn)

P,Q,BQ及4c的交點(diǎn)為X,CP及AB的交點(diǎn)為丫，8Q及CP的交點(diǎn)為T,求證：AT平分線段XY.

四、(本題滿分50分)

設(shè)qg,,a20e{l,2,,5),偽也，.也()e{l,2,,10),集合

X={(z,j)|l</<j<20,(a,.-a7)(Z?,.-^)<0},求X的元素個數(shù)的最大值.

一試試卷答案

Q

1.答案：-

9

18

--

解：數(shù)列｛%｝的公比為，故％+生?！?9-

%+^2017

2.答案：行

解：設(shè)z=Q+〃M/￡火，由條件得m+9)+4=10a+(—10〃+22?,比較兩邊實(shí)虛部可得，解得：

a=l,b=2,故z=l+2i,進(jìn)而|z|=&\

7

3.答案：-

4

解：由條件知，/(I)+1=-(/(-I)+(-1)2)=-/(-I)-1-

兩式相加消去了(—I),可知：，即.

4.答案：

解：由正弦定理知，，又廿=ac,于是a:〃：c=2:后：1,從而由余弦定理得：

.b2+c2-a2(V2)2+l2-2272

cosA=-----------=------7=----=----.

2hc2xv2xl4

5.答案：2莊

解：由條件知，石戶平行于BC,因?yàn)檎拿骟wAB8的各個面是全等的正三角形，故AE=AF=ER=4,

A￡)=AB=AE+B￡=7.

由余弦定理得，DE=\IAD2+AE2-2AD?AE*COS60=J49+16-28=歷,

同理有DF=而.

作等腰AD所底邊政上的高則，故DH=dDE-EH。=底，

于是SgEF=|EF.DH=2V33.

6.答案：—

14

解：留意K中共有9個點(diǎn)，故在K中隨機(jī)取出三個點(diǎn)的方式數(shù)為C；=84種,

當(dāng)取出的三點(diǎn)兩兩之間距離不超過2時，有如下三種狀況：

(1)三點(diǎn)在一橫線或一縱線上，有6種狀況，

(2)三點(diǎn)是邊長為1,1,、歷的等腰直角三角形的頂點(diǎn)，有4x4=16種狀況，

(3)三點(diǎn)是邊長為0,0,2的等腰直角三角形的頂點(diǎn)，其中，直角頂點(diǎn)位于(0,0)的有4個，直角頂點(diǎn)位

于(±1,0),(0,±1)的各有一個，共有8種狀況.

綜上可知，選出三點(diǎn)兩兩之間距離不超過2的狀況數(shù)為6+16+8=30,進(jìn)而所求概率為.

7.答案：

解：二次曲線方程可寫成，明顯必需-a>0,故二次曲線為雙曲線，其標(biāo)準(zhǔn)方程為，則

。2=(口)2+(-。)2=/_。，留意到焦距2c，=4,可知〃一。=4,又a<0,所以.

8.答案：574

解：由條件知，當(dāng)c=l時，有T0W匕W20,對于每個這樣的正整數(shù)匕，由10bWaW201知，相應(yīng)的a的

個數(shù)為202-10b，從而這樣的正整數(shù)組的個數(shù)為*(202-10A)=002+2”11=572,

*=io2

2017

當(dāng)c=2時，由，知，。=20,進(jìn)而200<a<[、一]=201,

10

故a=200,201,此時共有2組(a,。,c).

綜上所述，滿意條件的正整數(shù)組的個數(shù)為572+2=574.

9.解:設(shè)f=2設(shè)則fe[2,4],于是—對全部fw[2,4]成立，由于

|f|<|5—Z|<=>(t—<(5—Z)21(2f—a—5)(5—a)<0,

對給定實(shí)數(shù)a,設(shè)/(f)=(2f—a—5)(5—a),則/Q)是關(guān)于r的一次函數(shù)或常值函數(shù)，留意fe[2,4],因

此/?)<0等價于，解得3<a<5

[/(4)=(3-?)(5-?)<0

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍是3<a<5.

10.解：(1)設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d,則％-2=&+2%+3-。3)-(%%+2-4)

2

=%+2(?！?3-4+1)一(4+1+a”)(4+1一。“)=%+2儂-(?n+1+a,)?d=(2an+2-an+1-a,^d=3d

所以數(shù)列｛勿｝也是等差數(shù)列.

(2)由已知條件及(1)的結(jié)果知：3/=d，因?yàn)閐h0,故，這樣％=an+ian+2-a^=(??+d)(a?+2d)-a；

22

若正整數(shù)s/滿意&+々￡Z,則4+〃=4+—=4+(s-l)d+q+Q—l)d+—

99

記，則/eZ,且184=3(3/—s—f+D+1是一個非零的整數(shù)，故|18q|21,從而.

117

又當(dāng)時，有4+a=—+—=leZ,

』31818

綜上所述，|q|的最小值為

18

11.解：設(shè)P(r,2/),則直線/的方程為y=x+為一”，代入曲線的方程得，(x-4)2+(x+2f-產(chǎn))2=8,

化簡可得：2/一2(產(chǎn)一2,+4)x+(產(chǎn)-2/>+8=0①，

由于/及G交于兩個不同的點(diǎn)，故關(guān)于x的方程①的判別式A為正，計(jì)算得，

-=(t2-2t+4)2-2((產(chǎn)-2f)2+8)=(產(chǎn)-2/)2_8(產(chǎn)-2f)+16—2(產(chǎn)-2r)2-16

4

=—(r-2。2+8(產(chǎn)-2t)=一(產(chǎn)-2/)(產(chǎn)-2/-8)=-t(t-2)(/+2)(/-4),

因此有fw(—2,0)、(2,4),②

設(shè)Q,R的橫坐標(biāo)分別為王,々，由①知，=產(chǎn)―2/+4,,

因此，結(jié)合/的傾斜角為45可知，

2

|PQ\.\PR\=V2(x,-r>V2(x2-t)=2xxx2—2產(chǎn)(玉+々)+2-

=(產(chǎn)-+8—2產(chǎn)(r2一2/+4)+2/

=t4-4/+4產(chǎn)+8-2f4+4戶-8f2+2t&

=t4-4t2+8

=(產(chǎn)-2>+4,③

由②可知，r2-2G(-2,2).(2,14),故(產(chǎn)—2>e[0,4)l..(4,196),從而由③得：

\PQ\.\PR\=(?2-2)2+4eL4,8)(8,200)

注1：利用G的圓心到/的距離小于的半徑，列出不等式，

同樣可以求得②中f的范圍.

注2：更簡便的計(jì)算IPQMPR|的方式是利用圓幕定理，事實(shí)上，的圓心為“(4,0),半徑為r=20,

故IPQ|.|PRHPM|2-r2=(產(chǎn)-4)2+(2r)2一(20>=r4-4r2+8.

加試試卷答案

、

證明：當(dāng)dNl時，不等式明顯成立

以下設(shè)OWd<l,不妨設(shè)。力不異號，即。匕20,那么有

(1+。)(1+b)=1+。+/?+cib21+。+%=1-cZl-d>0

因止匕|(1+a)(l+0)(1+c)|>|(l-c)(l+c)|=l-c2=l-|c|2>\-d2

二、

證明：取攵=機(jī)+1,令4={x|x三i(mod/%+l),xeN+},/=1,2,,m+1

設(shè)a,Z?,c,de,則aO-cdsZ?z-z?z=0(modm+1),

故m+l|a。一cd,而所以在A,.中不存在4個數(shù)a,b,c,d,滿意ab—cd=tn

三、

證明：首先證明yx〃BC,即證

連接8D,CO,因?yàn)椋?/p>

-AC?CQsinZACQ-AC?BCsinZACB-AC?AQsinZCAQ

所以彳------------------?]--------------------二，--------------------.①

-AB?BCsinZABC~AB?BPsinZABP-AB?APsinZBAP

222

由題設(shè)，BP,CQ是圓。的切線，所以NACQ=NA8C,ZACB^ZABP,又

NCAQ=NDBC=NDCB=NBAP(留意。是弧BC的中點(diǎn))，于是由①知②

因?yàn)镹C4Q=NB4P,所以/BAQ=NC4P,

c-AB*AQsinZBAQ.D4c

于夷SAAB。=2丫=AB.AQ③

SMCP-AC?APsinZCAPAC*AP

2

c■BC?CQsinZ.BCQ「八

而也絲-------------------④

S&BCPLBC?BPsinNCBPBP

2

由②，③，④得，

即

又，

故

設(shè)邊BC的中點(diǎn)為M,因?yàn)椋?/p>

所以由塞瓦定理知，AM,BX,Cy三線共點(diǎn)，交點(diǎn)即為T,故由KY〃8C可得AT平分線段XY

四、

解：考慮一組滿意條件的正整數(shù)(％,勺，，%)，仇也，,也。)

對女=1,2,,5,設(shè)4,,4o中取值為人的數(shù)有々個，依據(jù)X的定義，當(dāng)《=為時，,因此至

少有個?")不在X中，留意到，則柯西不等式，我們有

EG=；?(￡1/4)2；”:(打)2-打)=；?20?m-1)=30

女=1,k=\k=]Z°k=\2=1,>

從而X的元素個數(shù)不超過C；o-30=190-30=160

另一方面，取“4?-3=”4*-2=”4"-I=(k=1,2,,5),4=6-4(/=1,2,,20).

則對隨意(lWi<j<20),有(q—%)(〃.一。/)=(4—%)((6-q)—(6—q))=—(4-勺)2W()

等號成立當(dāng)且僅當(dāng)=%,這恰好發(fā)生5C：=30次，此時X的元素個數(shù)達(dá)到《0-30=160

綜上所述，X的元素個數(shù)的最大值為160.

2017年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽一試(B卷)

參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)

說明：

1.評閱試卷時，請依據(jù)本評分標(biāo)準(zhǔn).填空題只設(shè)8分和0分兩檔：其他各題的

評閱，請嚴(yán)格按照本評分標(biāo)準(zhǔn)的評分檔次給分，不得增加其他中間檔次.

2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步驟正確，在評卷時可

參考本評分標(biāo)準(zhǔn)適當(dāng)劃分檔次評分，解答題中第9小期4分為一個檔次，第10、

11小題5分為一個檔次，不得增加其他中間檔次.

一、填空題：本大題共8小題，每小題8分，共64分.

I.在等比數(shù)列｛4｝中，為=虛,d=有，則&+"題1的值為

ai+02017

答案：I-

解：數(shù)列他｝的公比為g="=平，故％+%?！?4+a刈1=[=*.

a2V2%+%o”(1(?!+?20)|)q'9

2.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z+9=10W+22i,則同的值為.

答案：垂.

解:設(shè)2=。+〃，a,b€R.由條件得

(a+9)+6i=10a+(106+22)i.

比較兩邊實(shí)虛部可得

。+9=10",

’6=-106+22,

解得。=1,6=2,故z=l+2i,進(jìn)而上|=石.

3.設(shè)八x)是定義在R上的函數(shù)，若〃幻+.一是奇函數(shù)，〃x)+2,是偶函數(shù),

則/(I)的值為.

答案：-；

4

解：由條件知，/(l)+l=-(/(-l)+(-l)2)=-/(-D-K/(1)+2=/(-1)+^,

兩式相加消去〃一1),可知2/(1)+3=-』，即八1)=-1.

24

4.在△力8c中，若sin/=2sinC,且三條邊Q,b,c成等比數(shù)列，則cos/的

值為.

答案:邛

解：由正弦定理知，巴=也1=2,又b2=ac,于是a:加c=2:&:l,從

csinC

而由余弦定理得,^±￡i^i

cosj=2bc2x5/2xl4

5.在正四面體48c。中，￡尸分別在棱4氏/C上，滿足8￡=3,￡/=4,且

EF與面BCD平行，則bDEF的面積為

答案：.

解：由條件知，斯平行于8c.因?yàn)檎拿骟w48CQ

的各個面是全等的正三角形，故

AE=AF=EF=4,AD=AB=AE+BE=7.

由余弦定理得，

DE=y/AD2+AE2-2ADAE-cos60°

=749+16-28=V37,

同理有OF=JF.

作等腰ADEF底邊防上的高?！?，則E〃=：M=2,故

2

DH=>lDE2-EH-=>/33?

于是SgR.=；,EF=2后?

6.在平面直角坐標(biāo)系xQi，中，點(diǎn)集K={(x,y)|x,y=—1,0,1}.在K中隨機(jī)

取出三個點(diǎn)，則這三個點(diǎn)兩兩之間距離均不超過2的概率為.

解:注意K中共有9個點(diǎn)，故在K中隨機(jī)取出三個點(diǎn)的方式數(shù)為C：=81種.

當(dāng)取出的三點(diǎn)兩兩之間距離不超過2時，有如卜.三種情況：

(1)三點(diǎn)在一橫線或一縱線上，有6種情況.

(2)三點(diǎn)是邊長為1」,正的等腰直角三角形的頂點(diǎn)，有4x4=16種情況.

(3)三點(diǎn)是邊長為立,2的等腰直角三角形的頂點(diǎn)，其中，直角頂點(diǎn)位

于Y0.0)的有4個，直角頂點(diǎn)位于(±1*0),(0,±1)的各有一個，共有8種情況.

綜上可知，選出三點(diǎn)兩兩之間距離不超過2的情況數(shù)為6-I6+R30.進(jìn)

而所求概率為史=上.

8414

7.設(shè)。為非零實(shí)數(shù)，在平面直角坐標(biāo)系KOJ?中，二次曲線/+"2+標(biāo)=0的

焦距為4,則a的值為____________.

答案：上空.

2

解:二次曲線方程可寫成-￡-^=1.顯然必須—>o,故二次曲線為雙曲

a*a

線，其標(biāo)準(zhǔn)方程為一^一-J=l.則c2=(G)2+(-4=/—a,注意到焦距

(￡尸(-4

2c=4,可知/—a=4,又a<0,所以。='!—.

2

8.若正整數(shù)明4c滿足2017210aNIOObNIOOOc,則數(shù)組(a,正c)的個數(shù)

為.

答案：574.

解：由條件知T麗卜2?

當(dāng)c=l時，有10W8W20.對于每個這樣的正整數(shù)6,由108WaW201知，

2

相應(yīng)的。的個數(shù)為202-10人從而這樣的正整數(shù)組的個數(shù)為

102+2x11

52(20210/?)=<)=572.

io2

當(dāng)c=2時，由20S叱[2檢017，知/>=20.進(jìn)而20043帶2017=201,

故。=200,201.此時共有2組(4瓦c).

綜上所述，滿足條件的正整數(shù)組的個數(shù)為572-2574.

二、解答題：本大題共3小題，滿分56分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過

程或演算步屏.

9.(本題滿分16分)設(shè)不等式|2'-4<|5-2]對所有「川，2|成立，求實(shí)

數(shù)”的取值范圍.

解：設(shè)r=2、，則相[2,4],于是|/<;|<5/對所有/E[2.4]成立.由于

|/-a|<|5-r|4=>(r-a)2<(5-/)*

<^(2t-a-5)(5-a)<0..................8分

對給定實(shí)數(shù)-設(shè)/⑺=(2/-。-5)(5-G，則/”)是關(guān)于，的一次函數(shù)或常

值函數(shù).注意/€24],因此/。)<0等價于

/(2)=(-l-a)(5-fl)<0,

/(4)=(3-aX5-<0,

解得3<o<5.

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍是3<a<5..................16分

10.（本題滿分20分）設(shè)數(shù)列組,｝是等差數(shù)列，數(shù)列也｝滿足

”=%+四“+2一。1〃=

（1）證明：數(shù)列依｝也是等差數(shù)列：

（2）設(shè)數(shù)列｛4｝、色｝的公差均是"工0,并且存在正整數(shù)s,/,使得&+4

是整數(shù),求同的最小值.

解：（1）設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差是"，則

4+1-4=（%+必+3一“3）一（磯+4+2-a：）

=4+2（?！?3一”,+1）-（?！?1+-。"）

=4+22d

=（2%+2-勺+1一%）"二3/?

所以數(shù)列也｝也是等差數(shù)列............5分

（2）由已知條件及（1）的結(jié)果知3/二/因?yàn)椋?/0,故這樣

3

b?=一。：=（勺+?）（%+2d）-a：

:分

=3dan4-2d=a”+9—........................10

若正整數(shù)s./滿足〃*ft，則

22

%+4=4+q+—=%+(s—l)d+q+(f-l)d+-

99

c22—

=2a?H---------1—€Z.

39

記/=%+竽+今則“Z,且973/—+I是一個非零的

整數(shù)，故網(wǎng).|〉1,從而間...........15分

又當(dāng)〃一時，有“]+仄='+□=?丘z.

1811818

綜上所述，同的最小值為表............20分

II.(本題滿分20分)在平面直角坐標(biāo)系K@，中，曲線G：V=4x,曲線

C\:(x-4)2+r=8-經(jīng)過G上一點(diǎn)p作一條傾斜角為45。的直線/,與G交于兩

個不同的點(diǎn)求|戶0|歸留的取值范圍.

解：設(shè)P(H2r),則直線/的方程為y=x+2'-J,代入曲線G的方程得，

(x-4)2+(x+2r-z2)2=8,

化簡可得2/-2(八一2'+4)》+(/-2/)2+8=0.①

由于/與G交于兩個不同的點(diǎn)，故關(guān)于x的方程①的判別式△為正.計(jì)算得，

—=(/2-2Z+4)2-2((/2-2/):+8)-2/)2—8(/―27)+16—2(〃-2/)2-16

4

=一(「—21)~+8(/~-2，)=一(廠—2f)(「一2/—8)=t(t-2)(/+2)(/—4),

因此有/6(-2,0)11(2,4).②

............10分

...........1U處

設(shè)0R的橫坐標(biāo)分別為小七，由①知，

M+X?=廣-2,+4,M,q=~((/*-21r+8),

因此，結(jié)合/的傾斜角為45?？芍?，

\PQ\■網(wǎng)=一.>0(X2-])=2/與_2/區(qū)+W)+21*

=(『-2r尸+8-2r(尸一2,+4)+2r

=〃-4/+4〃+8-2/+4/-8〃+2r

=/4-4r2+8=(r2-2)2+4.③

...........15分

由②可知，，2-2€(-2,2)11(2,14),故(--2『€[0,4)11(4,196),從而由③得,

\PQ\-\PR\=(t1-2)2+4G[4.8)U(8,200)............20分

注1：利用G的圓心到/的距離小于G的半徑，列出不等式土弓F<2近，

同樣可以求得②中「的范圍.

注2：更簡便的計(jì)算仍價|產(chǎn)用的方式是利用圓幕定理.事實(shí)上，G的圓心為

A/(4,0),半徑為r=2&,故

\PQ\-|P/?|=\PMf-r2=(r-4f+(2//一(2&尸=/一4產(chǎn)+8.

2017年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽加試(B卷)

參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)

說明：

1.評閱試卷時，請嚴(yán)格按照本評分標(biāo)準(zhǔn)的評分檔次給分.

2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步現(xiàn)正確，在評卷時可

參考本評分標(biāo)準(zhǔn)適當(dāng)劃分檔次評分,10分為一個檔次，不得增加其他中間檔次.

一、(本圈滿分40分)設(shè)實(shí)數(shù)a,b,c滿足a+b+c=0.令〃=max{|磯向,|c|}.

證明：

|(l+aXl+*Xi+c)|>l-</2.

證明：當(dāng)"21時，不等式顯然成立..............10分

以下設(shè)不妨設(shè)a,b不異號，即那么有

(14-o)(14-6)=1+a+b+a方2l+o+b=1—c>\—d>0.

..............20分

因此

|(l+a)(l+/?Xl+c)|2|(l-cXl+c)|=1-，=1-固*―/.

40分

二、（本期I分40分）給定正整數(shù)m,證明：存在正整數(shù)〃，使得可將正整

數(shù)集N.分拆為A個互不相交的子集44,….4,每個子集4中均不存在4個數(shù)

a、b,c、d（可以相同），滿足ab-cd=m.

證明：取〃+1,令4=1x|x三/（modm+1）,x€NJ,i=1,2,…./n+1.

...........................20分

設(shè)a泊,c,dw4，則

ab-cd三i?i-i?i=0（mod/7j+1）?

故/n+“H—cd，而m+所以在耳中不存在4個數(shù)a,b,c,d,滿足

ab-cd=m?...........................40分

三、（本題清分50分）如圖，點(diǎn)。是銳角△45C的外接圓◎上弧6c的中

點(diǎn)，直線與圓卬過點(diǎn)3.C的切線分別相交于點(diǎn)P,。，8。與力C的交點(diǎn)為X，

CP與力B的交點(diǎn)為Y,BQ與CP的交點(diǎn)為7.求證：47平分線段XX.

（答題時請將圖畫在答卷紙上）

.AXAY

證明：首先證明四〃8C，即Hn證T——=——

XCYB

連接8。,CO.因?yàn)?/p>

SjucpS/U8C=S*?Q

八4”4b尸

-ACCQsinZACQ-ACBCsinZACB-ACAQsinZCAQ

所以2------------------------2--------------=2--------------,①

—AB-BCsinAABC-AB-BPsinZABP-AB-/P$inZ.BAP

222

由題設(shè)，8P,C。是圓切的切線，所