吉林省白城市通榆縣第一中學(xué)校2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題含答案

通榆一中2021級高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷命題人：一、單選題（本大題共8小題，共40.0分.在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.設(shè)x，，向量，，且，，則（）A. B. C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】根據(jù)，，解得x，y，然后由空間向量的模公式求解.【詳解】因?yàn)橄蛄浚?，且由得，由，得解得，所以向量，，所以，所以故選：C2.設(shè),若直線與直線平行,則的值為A. B. C.或 D.或【答案】B【解析】【分析】由a（a+1）﹣2=0，解得a．經(jīng)過驗(yàn)證即可得出．【詳解】由a（a+1）﹣2=0，解得a=﹣2或1．經(jīng)過驗(yàn)證：a=﹣2時(shí)兩條直線重合，舍去．∴a=1．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了兩條直線平行的充要條件，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．3.如圖，在平行六面體中，，，，，，則線段的長為（）A5 B.3 C. D.【答案】C【解析】【分析】，然后平方可算出答案.【詳解】在平行六面體中，，，，，，∵，∴，∴.故選：C.4.若圓與圓關(guān)于直線對稱，則直線的方程是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意化圓C為標(biāo)準(zhǔn)方程，由兩圓位置關(guān)系得兩圓相交，直線l是兩圓的公共弦所在的直線，故把兩圓的方程相減可得直線l的方程．【詳解】由題圓C：,則兩圓心距為，故兩圓相交由于圓O：與圓C：關(guān)于直線l對稱，則直線l是兩圓的公共弦所在的直線，故把兩圓的方程相減可得直線l的方程為，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查圓和圓的位置關(guān)系，直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，判斷直線l是兩圓的公共弦所在的直線，是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．5.已知經(jīng)過點(diǎn)的平面的法向量為，則點(diǎn)到平面的距離為（）A. B.2 C. D.【答案】D【解析】【分析】求出的坐標(biāo)，利用點(diǎn)到平面距離的向量求法計(jì)算作答.【詳解】依題意，，所以點(diǎn)P到平面的距離為.故選：D6.若雙曲線的離心率為，則其漸近線方程為A.y=±2x B.y= C. D.【答案】B【解析】【詳解】雙曲線的離心率為，漸進(jìn)性方程為，計(jì)算得，故漸進(jìn)性方程為.【考點(diǎn)定位】本小題考查了離心率和漸近線等雙曲線的性質(zhì).7.拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A（5，3），M為拋物線上一點(diǎn)，且M不在直線AF上，則△MAF周長的最小值為（）A.6+ B.12 C.11 D.10【答案】C【解析】【分析】求△MAF周長的最小值，即求|MA|+|MF|的最小值．設(shè)點(diǎn)M在準(zhǔn)線上的射影為D，則根據(jù)拋物線的定義，可知|MF|=|MD|，因此問題轉(zhuǎn)化為求|MA|+|MD|的最小值，根據(jù)平面幾何知識，當(dāng)D、M、A三點(diǎn)共線時(shí)|MA|+|MD|最小，由此即可求出|MA|+|MF|的最小值．【詳解】求周長的最小值，即求的最小值，設(shè)點(diǎn)在準(zhǔn)線上的射影為，根據(jù)拋物線的定義，可知，因此，的最小值，即的最小值，根據(jù)平面幾何知識，可得當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)最小，因此最小值為，因?yàn)?，所以周長的最小值為11，故選C.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)拋物線中的最值問題，用到的知識點(diǎn)有拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離和到準(zhǔn)線的距離是相等的，從而將有關(guān)線段轉(zhuǎn)換，再者就是三點(diǎn)共線時(shí)對應(yīng)的線段的長度和是最小的，從而求得相應(yīng)的結(jié)果8.北京天壇圜丘壇的地面由石板鋪成，最中間的是圓形的天心石，圍繞天心石的是9圈扇環(huán)形的石板，從內(nèi)到外各圈的石板數(shù)依次為，設(shè)數(shù)列為等差數(shù)列，它的前項(xiàng)和為，且，，則（）A.189 B.252 C.324 D.405【答案】C【解析】【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得出，解方程得出，最后根據(jù)等差數(shù)列的求和公式得出.【詳解】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，，得，解得：，所以故選：C.二、多選題（本大題共4小題，共20.0分.在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）9.下列結(jié)論中正確的有（）A.過點(diǎn)且與直線平行的直線的方程為B.過點(diǎn)且與直線垂直的直線的方程為C.若直線：與直線：平行，則a的值為或3D.過點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線的方程為【答案】AB【解析】【分析】對于選項(xiàng)A，B，D，根據(jù)給定條件求出對應(yīng)的直線方程判斷作答；對于選項(xiàng)C，由給定條件求出a值判斷作答.【詳解】對于A，直線的斜率為2，則過點(diǎn)且與直線平行的直線的方程為，即，A正確；對于B，直線的斜率為2，則過點(diǎn)且與直線垂直的直線的方程為，即，B正確；對于C，直線：的斜率為，因直線與直線平行，則直線的斜率存在，且，解得或3，當(dāng)時(shí)，兩直線重合，當(dāng)，兩直線平行，C錯(cuò)誤；對于D，因過點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則當(dāng)截距都為0時(shí)，直線方程為，截距不為0時(shí)，當(dāng)直線方程為，D錯(cuò)誤.故選：AB10.以下命題正確的是（）A.直線l方向向量為，直線m方向向量，則l與m垂直；B.直線l的方向向量，平面的法向量，則；C.平面的法向量分別為，則；D.平面經(jīng)過三點(diǎn)，，，向量是平面的法向量，則．【答案】AD【解析】【分析】按照線線垂直、線線平行、面面平行的向量表示以及平面的法向量依次判斷4個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】，直線l與m垂直，A正確；

，或，B錯(cuò)誤；不共線，所以與不平行，故C錯(cuò)誤；，向量是平面的法向量，

，即，則，D正確．

故選：AD．11.已知實(shí)數(shù)，滿足方程，則下列說法不正確的是（）A.的最大值為 B.的最大值為C.的最大值為 D.的最大值為【答案】CD【解析】【分析】設(shè)，則只需直線與圓有公共點(diǎn)，利用點(diǎn)到直線的距離公式可得不等式求得z的范圍，可判斷A；同理可判斷D；設(shè)，利用幾何意義求得t的范圍判斷B；設(shè)，則直線和圓有公共點(diǎn)，進(jìn)而可得不等式求得k的范圍判斷C.【詳解】由題意知方程即表示圓，圓心為，半徑為，對于A，設(shè)，則只需直線與圓有公共點(diǎn)，則，解得，即的最大值為，A正確；對于B，設(shè)，其幾何意義為圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，而上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最大值為，即t的最大值為，故的最大值為，B正確；對于C，設(shè)，則，則直線和圓有公共點(diǎn)，則，解得，即的最大值為，C錯(cuò)誤；對于D，設(shè)，則直線與圓有公共點(diǎn)，則，解得，即的最大值為，D錯(cuò)誤；故選：CD12.已知曲線，下列結(jié)論正確的是（）A.若曲線表示橢圓，則且B.若時(shí)，以為中點(diǎn)的弦所在的直線方程為C.當(dāng)時(shí)，為焦點(diǎn)，為曲線上一點(diǎn)，且為直角三角形，則的面積等于4D.若時(shí)，存在四條過點(diǎn)的直線與曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程可判斷A；利用點(diǎn)差法可求直線的方程可判斷B；利用所給條件及橢圓定義求得，進(jìn)而求得的面積可判斷C；設(shè)過點(diǎn)的直線的方程為，與曲線方程聯(lián)立方程組，消去得方程，判斷只有一個(gè)解時(shí)的值即可判斷D.【詳解】對于A，若曲線表示橢圓，則且，故A正確；對于B，若時(shí)，曲線為橢圓，設(shè)，，中點(diǎn)，故，，又，兩式相減得，，所在的直線方程為即，故B錯(cuò)；對于C，當(dāng)時(shí)，曲線表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則，則，即①當(dāng)時(shí)，得②，由①②可得，則的面積為；當(dāng)時(shí)，令可得，則的面積為，不是常量，故C錯(cuò)誤；對于D，時(shí)，曲線表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，由題意，過點(diǎn)的直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，代入雙曲線方程，消去整理得，因?yàn)橹本€與曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，即，；當(dāng)時(shí)，，直線與漸近線平行，符合題意.故時(shí)，存在四條過點(diǎn)的直線與曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，故D正確.故選：AD.三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13.已知是空間任一點(diǎn)，四點(diǎn)滿足任三點(diǎn)均不共線，但四點(diǎn)共面，且，則________.【答案】-1【解析】【分析】利用空間向量基本定理，及向量共面的條件，即可得到結(jié)論．【詳解】∵2x?3y?4z?，∴2x?3y?4z?，∵O是空間任意一點(diǎn)，A、B、C、D四點(diǎn)滿足任三點(diǎn)均不共線，但四點(diǎn)共面∴﹣2x﹣3y﹣4z＝1∴2x+3y+4z＝﹣1故答案為﹣1【點(diǎn)睛】本題考查空間向量基本定理，考查向量共面的條件，屬于基礎(chǔ)題．14.直線與直線垂直，則實(shí)數(shù)的值為_______．【答案】【解析】【分析】由題得（-1）,解之即得a的值.【詳解】由題得（-1）,所以a=2.故答案為；2【點(diǎn)睛】本題主要考查兩直線垂直的斜率關(guān)系，意在考查學(xué)生對該知識的理解掌握水平和分析推理能力.15.拋物線的準(zhǔn)線方程是______.【答案】####【解析】【分析】拋物線化為，即可得到拋物線的準(zhǔn)線方程.【詳解】拋物線，即，焦準(zhǔn)距，故其準(zhǔn)線方程是,故答案為:.16.已知F為雙曲線的右焦點(diǎn)，A為C的右頂點(diǎn)，B為C上的點(diǎn)，且BF垂直于x軸.若AB的斜率為3，則C的離心率為______________.【答案】2【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)可知，，，即可根據(jù)斜率列出等式求解即可．【詳解】聯(lián)立，解得，所以.依題可得，，，即，變形得，,因此，雙曲線的離心率為.故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的離心率的求法，以及雙曲線的幾何性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．四、解答題（本大題共6小題，共72.0分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.如圖，棱錐的底面是矩形，平面，．（1）求證：平面；（2）求平面和平面夾角的余弦值的大?。敬鸢浮浚?）證明過程見解析；（2）【解析】【分析】（1）求出，得到底面ABCD是正方形，對角線互相垂直，進(jìn)而證明出線面垂直；（2）找到兩平面的夾角的平面角，再進(jìn)行求解.【小問1詳解】因?yàn)槠矫?，BD平面，所以PA⊥BD，因?yàn)?，底面是矩形，所以由勾股定理得：，所以底面ABCD是正方形，所以AC⊥BD，又PA=A，所以BD⊥平面PAC.【小問2詳解】因?yàn)镻A⊥底面ABCD，CD平面ABCD，所以PA⊥CD，又CD⊥AD，PA，所以CD⊥平面PAD，因?yàn)镻D平面PAD，所以CD⊥PD，又因?yàn)镃D⊥AD，所以∠PDA是平面和平面的夾角，由于PA=AD，∠PAD=90°，所以∠PDA=45°，所以，所以平面PCD與平面ABCD的夾角余弦值為.18.已知橢圓的長軸長為，短軸長為．(1)求橢圓方程；(2)過作弦且弦被平分，求此弦所在的直線方程及弦長．【答案】(1)；(2)，.【解析】【分析】（1）根據(jù)橢圓的性質(zhì)列方程組解出a，b，c即可；（2）設(shè)以點(diǎn)P（2，1）為中點(diǎn)的弦與橢圓交于A（x1，y1），B（x2，y2），利用點(diǎn)差法求出k，然后求出直線方程，聯(lián)立解方程組，求出A，B，再求出|AB|．【詳解】(1)由橢圓長軸長為，短軸長為，得，所以，所以橢圓方程為．(2)設(shè)以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦與橢圓交于，則.在橢圓上，所以，，兩式相減可得，所以的斜率為，∴點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在直線方程為.由，得，所以或，所以．【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的方程，直線方程的求法，弦長公式，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意點(diǎn)差法的合理運(yùn)用．19.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，，設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證：．【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）先令求得，再由時(shí)，與原式作差證得是等比數(shù)列，寫出通項(xiàng)公式即可；（2）先利用對數(shù)性質(zhì)化簡，得到，再求和進(jìn)行消項(xiàng)即得結(jié)果.【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，，得，當(dāng)時(shí)，①，②，①－②得，所以，所以數(shù)列是首項(xiàng)，公比等比數(shù)列，所以；（2），則，．【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前n項(xiàng)和的常見類型：（1）等差型，其中是公差為的等差數(shù)列；（2）無理型；（3）指數(shù)型；（4）對數(shù)型.20.已知圓的圓心在軸上，且經(jīng)過點(diǎn)．（1）求線段的垂直平分線方程；（2）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（3）若過點(diǎn)的直線與圓相交于兩點(diǎn)，且，求直線的方程．【答案】（1）（2）（3）或【解析】【分析】（1）根據(jù)已知得到線段中點(diǎn)的坐標(biāo)及的斜率，根據(jù)垂直關(guān)系得出垂直平分線的斜率，利用點(diǎn)斜式即可求解；（2）設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由圓心的位置分析可得的值，進(jìn)而計(jì)算可得的值，據(jù)此分析可得答案；（3）設(shè)為的中點(diǎn)，結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系，分直線的斜率是否存在兩種情況討論，綜合即可得答案.【小問1詳解】設(shè)的中點(diǎn)為，則．由圓的性質(zhì)，得，所以，得.所以線段的垂直平分線的方程是.小問2詳解】設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，其中，半徑為，由（1）得直線的方程為，由圓的性質(zhì)，圓心在直線上，化簡得，所以圓心，，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問3詳解】由（1）設(shè)為中點(diǎn)，則，得，圓心到直線的距離，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，的方程，此時(shí)，符合題意；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)的方程，即，由題意得，解得；故直線的方程為，即；綜上直線的方程為或.21.已知數(shù)列，，．（1）求，，，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，求．【答案】（1），，，；（2）【解析】【分析】（1）由，分別令，求得的值，再兩邊同除，化簡得到，進(jìn)而得到，求得，得到.（2）由，可得，結(jié)合乘公比錯(cuò)位相減法求和，即可求解.【小問1詳解】解：由題意，數(shù)列中，，，所以，，，兩邊同除，可得，即，設(shè)，可得，令，解得，所以，因?yàn)椋?，所以，可得，所以?shù)列的通項(xiàng)公式為.【小問2詳解】解：由，可得，則，可得，兩式相減得到，所以.22.已知橢圓和直線l：，橢圓的離心率，坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離為.（1）求橢圓的方程；（2）已知定點(diǎn)，若直線與橢圓相交于C，D兩點(diǎn)，試判斷是否存在實(shí)數(shù)k，使以CD為直徑的圓過定點(diǎn)E？若存在，求出k的值，若不存在，說明理由.【答案】（1）（2）存在，【解析】【分析】（1）根據(jù)題意寫出關(guān)于的等式，進(jìn)行聯(lián)立即可求解；（2）先假設(shè)假設(shè)存在實(shí)數(shù)k，聯(lián)立直線與橢圓可得，以CD為直徑的圓過定點(diǎn)E可得，將韋達(dá)定理代