廣東省惠州市2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題含答案

惠州市2022-2023學(xué)年度第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測高二數(shù)學(xué)試題一?單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題滿分5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，選對得5分，選錯(cuò)得0分.1.過點(diǎn)且平行于直線直線方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)直線的方程為，代入點(diǎn)的坐標(biāo)即得解.【詳解】解：設(shè)直線的方程為，把點(diǎn)坐標(biāo)代入直線方程得.所以所求的直線方程為.故選：A2.已知是等差數(shù)列，且是和的等差中項(xiàng)，則的公差為（）A.1 B.2 C.-2 D.-1【答案】B【解析】【分析】利用等差中項(xiàng)的性質(zhì)得導(dǎo)方程，利用通項(xiàng)公式轉(zhuǎn)化為關(guān)于首項(xiàng)和公差的方程，即可求得公差的值.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d.由已知條件，得，即，解得.故選B.3.棱長為的正四面體中，則等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用空間向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可求得的值.【詳解】.故選：A.4.已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，且過點(diǎn)，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)出橢圓方程，結(jié)合已知條件，即可容易求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意，橢圓的焦點(diǎn)在軸上，故設(shè)其方程為：，顯然，，則，故橢圓方程為.故選：B.5.已知空間向量，則向量在坐標(biāo)平面上的投影向量是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用投影向量的定義可得結(jié)果.【詳解】由題意可知，向量在坐標(biāo)平面上的投影向量是.故選：B.6.直線l：與圓C：交于A，B兩點(diǎn)，則當(dāng)弦AB最短時(shí)直線l的方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)直線方程，求所過定點(diǎn)，探究弦在垂直時(shí)取的最短，結(jié)合垂直直線斜率乘積為，由點(diǎn)斜式方程，可得答案.【詳解】由，，則令，解得，故直線過定點(diǎn)，由，則圓心，半徑，當(dāng)時(shí)，弦最短，直線的斜率，則直線的斜率，故直線為，則.故選：B.7.已知直線的方程是，的方程是（，），則下列各圖形中，正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】有條件知，兩直線的斜率均存在且不為0，寫出它們的斜截式方程后再進(jìn)行判斷．【詳解】解：，直線與直線的斜率均存在直線的斜截式方程為；直線的斜截式方程為對于A選項(xiàng)，根據(jù)直線的圖象可知，且，因此直線的斜率應(yīng)小于0，直線的縱截距應(yīng)小于0，故A圖象不符合；對于B選項(xiàng)，根據(jù)直線的圖象可知，且，因此直線的斜率應(yīng)大于0，在軸上的截距應(yīng)小于0，故B圖象不符合；對于C選項(xiàng)，根據(jù)直線的圖象可知，且，因此直線的斜率應(yīng)大于0，在軸上的截距應(yīng)大于0，故C圖象不符合；對于D選項(xiàng)，根據(jù)直線的圖象可知，且，因此直線的斜率應(yīng)大于0，在軸上的截距應(yīng)大于0，故D圖象符合．故選：D．8.在數(shù)列中，若（為常數(shù)），則稱為“等方差數(shù)列”，下列是對“等方差數(shù)列”的判斷：①若是等方差數(shù)列，則是等差數(shù)列；②不是等方差數(shù)列；③若是等方差數(shù)列，則（為常數(shù)）也是等方差數(shù)列；④若既是等方差數(shù)列，又是等差數(shù)列，則該數(shù)列為常數(shù)列.其中正確命題序號為（）A.①③④ B.②③④ C.①③ D.①④【答案】A【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的定義，結(jié)合等方差數(shù)列的定義逐一判斷即可.【詳解】①是等方差數(shù)列，（為常數(shù)）得到為首項(xiàng)是，公差為的等差數(shù)列；故①正確②數(shù)列中，，所以是等方差數(shù)列；故②不正確③因?yàn)槭堑确讲顢?shù)列，所以，把以上的等式相加，得，，即數(shù)列是等方差數(shù)列，故③正確；④是等差數(shù)列，，則設(shè)，是等方差數(shù)列，是常數(shù)，故，故，所以，是常數(shù)，故④正確.正確命題的是①③④，故選：A二?多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題滿分5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則下列說法不正確的是（）A.為等差數(shù)列 B.C.最小值為 D.為單調(diào)遞增數(shù)列【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)求出，并確定為等差數(shù)列，進(jìn)而可結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)以及前項(xiàng)和分析求解.【詳解】對于A，當(dāng)時(shí)，，時(shí)滿足上式，所以,所以，所以為等差數(shù)列，故A正確；對于B，由上述過程可知，，故B錯(cuò)誤；對于C，因?yàn)?，對稱軸為，又因?yàn)?，所以?dāng)或3時(shí)，最小值為，故C錯(cuò)誤；對于D，由上述過程可知的公差等于2，所以單調(diào)遞增數(shù)列，故D正確.故選:BC.10.已知空間中，則下列結(jié)論正確的有（）A. B.與共線的單位向量是C. D.平面的一個(gè)法向量是【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)空間向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算可判斷AD,根據(jù)模長公式可判斷C,根據(jù)共線可判斷B.【詳解】對于A,，故故A正確；對于B,不是單位向量，且與不共線，故B錯(cuò)誤；對于C,故C正確；對于D，設(shè)，則，，所以，又，所以平面的一個(gè)法向量是故D正確.故選：ACD11.已知曲線，則下列判斷正確的是（）A.若，則是圓，其半徑為B.若，則是雙曲線，其漸近線方程為C.若，則是橢圓，其焦點(diǎn)在軸上D.若，則是兩條直線【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)橢圓，雙曲線的幾何性質(zhì)，圓的定義逐個(gè)進(jìn)行判斷即可【詳解】若時(shí)，轉(zhuǎn)化為，半徑為，故A錯(cuò)誤；若，當(dāng)，是焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，當(dāng)，是焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，無論焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上，令，整理可得均是的漸近線，故B正確；若，轉(zhuǎn)化為，由于可知，是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，故C正確；若，轉(zhuǎn)化為，雙曲線不是兩條直線，故D錯(cuò)誤.故選：BC12.2022年4月16日9時(shí)56分，神舟十三號返回艙成功著陸，返回艙是宇航員返回地球的座艙，返回艙的軸截面可近似看作是由半圓和半橢圓組成的“曲圓”，如圖在平面直角坐標(biāo)系中半圓的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半圓所在的圓過橢圓的焦點(diǎn)F（0，2），橢圓的短軸與半圓的直徑重合，下半圓與y軸交于點(diǎn)G．若過原點(diǎn)O的直線與上半橢圓交于點(diǎn)A，與下半圓交于點(diǎn)B，則（）A.橢圓的長軸長為B.的周長為C.線段AB長度的取值范圍是D.面積的最大值是【答案】BC【解析】【分析】由題意可得b、c，然后可得a，可判斷A；由橢圓定義可判斷B；由橢圓性質(zhì)可判斷C；設(shè)所在直線方程為，分別聯(lián)立橢圓、圓的方程，求出A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)，得出根據(jù)單調(diào)性可得最大值判斷D.【詳解】對于A，由題知，橢圓中，得，則，故A錯(cuò)誤；對于B，由橢圓定義知，，所以的周長，故B正確；對于C，，由橢圓性質(zhì)可知，所以，故C正確；對于D,設(shè)所在直線方程為，聯(lián)立可得，聯(lián)立可得，則，顯然當(dāng)時(shí)，函數(shù)是減函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，有最大值4，故D錯(cuò)誤.故選：BC三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.拋物線：的焦點(diǎn)坐標(biāo)為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)拋物線的相關(guān)知識(shí)即可求得焦點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】由已知，所以故，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為：故答案為：14.已知雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，則離心率為__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)經(jīng)過的點(diǎn)可得，進(jìn)而根據(jù)雙曲線方程得，由離心率公式即可求解.【詳解】雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，所以，解得，所以雙曲線方程為，所以雙曲線焦點(diǎn)在軸上，，所以它的離心率為.故答案為：.15.已知圓上有且僅有3個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于1，請寫出滿足上述條件的一條直線方程__________.（寫出一個(gè)正確答案即可）【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】找出一條滿足條件直線方程即可.【詳解】圓的圓心為，半徑為2，若要使圓上有且僅有3個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于1，則圓心到直線的距離應(yīng)該為1，則直線可以為：，此時(shí)由圓得圓心為：，半徑為2，則如圖所示：由圖可知圓上只有點(diǎn)到直線的距離為1，故答案為：（答案不唯一）.16.空間直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)且一個(gè)法向量為的平面的方程為，過點(diǎn)且方向向量為的直線的方程為，閱讀上面材料，并解決下面問題：已知平面的方程為，直線是兩個(gè)平面與的交線，則直線與平面所成角的正弦值為___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合材料，分別求出平面的法向量和直線的方向向量，即可求解.【詳解】根據(jù)材料可知，由平面的方程為，得為平面的法向量，同理可知，與分別為平面與的法向量.設(shè)直線的方向向量，則，即，取，則.設(shè)直線與平面所成角為，則.故答案為：.四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.已知數(shù)列滿足.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)累加迭代即可求解通項(xiàng)；（2）根據(jù)等差數(shù)列的求和公式即可求解.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，滿足上式，；【小問2詳解】，則，所以是以0為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，故，.18.如圖，在棱長為2的正方體中，E，F(xiàn)，G分別是DD1，BD，BB1的中點(diǎn)，（1）求證：（2）求EF與CG所成角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，易知坐標(biāo)表示，利用空間向量的數(shù)量積運(yùn)算易得，故；（2）在（1）的條件下，易知的坐標(biāo)表示，利用可求得EF與CG所成角的余弦值.【小問1詳解】依題意，建立以D為原點(diǎn)，以DA，DC，分別為x，y，z軸的空直角坐標(biāo)系，如圖，則，則，所以，故，即EFCF.【小問2詳解】由（1）得，則，所以，所以EF與CG所成角的余弦值為.19.已知，，為平面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足.（1）求點(diǎn)的軌跡方程；（2）若直線為，求直線被曲線截得的弦的長度.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)首先設(shè)點(diǎn)，利用兩點(diǎn)間距離表示，化簡求軌跡方程；（2）代入直線與圓相交的弦長公式，即可求解.【小問1詳解】由題意可設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由及兩點(diǎn)間的距離公式可得，整理得.【小問2詳解】由（1）可知，曲線圓心到直線的距離，所以弦的長度.20.已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)是拋物線上異于點(diǎn)的不同的兩點(diǎn)，其中為原點(diǎn).（1）求拋物線的方程；（2）若，求面積的最小值.【答案】（1）（2）4【解析】【分析】（1）將點(diǎn)代入拋物線方程即可求得結(jié)果；（2）設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線和拋物線方程，利用韋達(dá)定理寫出的面積表達(dá)式即可求得其最小值.【小問1詳解】由拋物線經(jīng)過點(diǎn)知，解得，則拋物線的方程為；【小問2詳解】由題知，直線不與軸垂直，設(shè)直線，由消去，得，，設(shè)，則，因?yàn)?，所以即，所以解得（舍去）或，所以即，所以直線，所以直線過定點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)，等號成立，所以面積的最小值為4.【解法二】由題意知直線，直線的斜率均存在，且不為0不妨設(shè)直線方程為，代入由可得當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立所以面積的最小值為4【解法三】當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，則為等腰直角三角形，此時(shí)，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線，由消去，得，則，因?yàn)?，所以即，所以解得（舍去）或，所以直線，所以直線過定點(diǎn)，綜上：面積的最小值為4.21.如圖，在多面體中，四邊形是菱形，，，，平面，，，是的中點(diǎn)．（1）求證：平面平面；（2）求直線與平面所成的角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）連接交于，則是的中點(diǎn)連結(jié)，則，從而平面，再由，即可得到平面，由此能證明平面平面．（2）連接，即可證明平面，如圖以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以、、為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線與面成的角的正弦值．【小問1詳解】證明：連接交于，則是的中點(diǎn)，連接，是的中點(diǎn)，，平面，平面，平面；又，平面，平面，平面，又與相交于點(diǎn)，平面，所以平面平面．【小問2詳解】解：連接，因?yàn)樗倪呅问橇庑?，所以，又，，所以為等邊三角形，所以，又，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，因?yàn)槠矫?，所以平面，如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以、、為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，設(shè)面的法向量為，依題意有，則，令，，，則，所以，所以直線與面成的角的正弦值是．22.已知雙曲線的右焦點(diǎn)為為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線的兩條漸近線的夾角為．（1）求雙曲線的方程；（2）過點(diǎn)作直線交于兩點(diǎn)，在軸上是否存在定點(diǎn)，使為定值？若存在，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)及這個(gè)定值；若不存在，說明理由．【答案】（1）（2）存在；定點(diǎn)，【解析】【分析】（1）由漸近線夾角得出漸近線的傾斜角，從而得的值，再由求得得雙曲線方程；（2）當(dāng)直線不與軸重合時(shí)，設(shè)直線的方程為，代入雙曲線方程，設(shè)點(diǎn)，得，再設(shè)，計(jì)算，由其為常數(shù)求得，同時(shí)驗(yàn)證當(dāng)直線斜率為0時(shí)，此值也使得為剛才的常數(shù)，即得結(jié)論．【小問