中國振動工程學會模態(tài)分析高級研修班講課資料(第五章)

多輸入多輸出系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)識別張永強高級工程師靖江泰斯特電子西北工業(yè)大學振開工程研討所概述單點鼓勵的缺乏鼓勵能量不夠，且傳送過程中損耗過大；離鼓勵點較遠的地方呼應信號較弱，信噪比低；較大鼓勵會呵斥部分呼應過大，產(chǎn)生非線性景象假設鼓勵處于節(jié)點位置，系統(tǒng)變成不可控和不可觀的；模態(tài)密集時辨識才干較弱；多輸入多輸出方法時域和頻域兩種方法；多輸入多輸出頻響函數(shù)估計系統(tǒng)的多輸入多輸出模型輸入與輸出實測輸入實測輸出輸入噪聲輸出噪聲真實輸入真實輸出系統(tǒng)模型干擾影響無干擾時有干擾時誤差〔總體誤差〕丈量誤差信號處置誤差非線性誤差估計－輸出噪聲估計模型估計模型無輸入噪聲輸出噪聲與輸入信號無關(guān)估計右乘F的共軛轉(zhuǎn)置再求數(shù)學期望，得輸出噪聲與輸入信號不相關(guān)時頻響函數(shù)估計F－輸入向量H－頻響函數(shù)矩陣X－輸出向量N－系統(tǒng)噪聲向量GXF－輸入輸出互功率譜密度矩陣GFF－輸入自功率譜密度矩陣GNF－輸出誤差和輸入的互功率譜矩陣特點是一種欠估計對輸入噪聲比較敏感輸入噪聲較大時，精度受影響，在共振點附近更是如此要對輸入自譜矩陣求逆，計算量大，且矩陣奇特易導致求逆失敗GFF奇特的幾方面緣由某個輸入譜為零時兩個或更多輸入信號完全相關(guān)時數(shù)值計算中的問題:矩陣病態(tài)等檢驗判別工具假設某一輸入信號與輸出信號常相關(guān)函數(shù)等于1，那么表示該輸入信號與該輸出信號完全相關(guān)，該輸出完全由該輸入產(chǎn)生假設兩輸入信號常相關(guān)函數(shù)等于1，那么表示兩個輸入信號完全相關(guān)常相關(guān)函數(shù)〔闡明兩信號的因果關(guān)系〕偏相關(guān)函數(shù)消除其它輸入信號的潛在奉獻后，輸入與輸入、輸入與輸出、輸出與輸出之間的相關(guān)函數(shù)；假設輸入偏相關(guān)函數(shù)為1，闡明兩個輸入力是相關(guān)的。重相關(guān)函數(shù)描畫某個輸出信號與一切知輸入信號之間因果關(guān)系；重相關(guān)函數(shù)等于1，表示輸出xi全部由輸入信號f1、f1、…、fp引起；重相關(guān)函數(shù)等于0，表示輸出xi全部由未知噪聲引起的。估計－輸入噪聲估計模型估計模型只需輸入噪聲假設輸入噪聲與輸出信號不相關(guān)估計右乘X的共軛轉(zhuǎn)置再求數(shù)學期望輸入噪聲與輸出信號不相關(guān)時頻響函數(shù)估計F－輸入向量H－頻響函數(shù)矩陣X－輸出向量

M－系統(tǒng)噪聲向量GXF－輸入輸出互功率譜密度矩陣GFF－輸入自功率譜密度矩陣GNF－輸出誤差和輸入的互功率譜矩陣特點有獨一解的條件是GFX的逆矩陣存在當鼓勵力數(shù)P比呼應測點數(shù)L小時，GFX的逆不存在此時可利用最小二乘解，利用GFX的偽逆矩陣，求解只思索輸入噪聲的影響，對輸出噪聲比較敏感是一種過估計，即有在共振點附近，估計較估計有較高的精度在反共振點附近，情況相反輸入輸出噪聲估計模型同時思索輸入輸出噪聲估計取和的算術(shù)平均值或取其加權(quán)平均估計取和的幾何平均值估計利用最小二乘法原理，極小化誤差矩陣的方法圓盤構(gòu)造三種估計對比實驗圓板放置在泡沫塑料襯墊上采用隨機鼓勵故意呵斥一些走漏人為施加一些噪聲特征系統(tǒng)實現(xiàn)算法〔ERA〕最小二乘復頻域法〔PolyMax〕特征系統(tǒng)實現(xiàn)算法〔ERA〕首先由美國國家航空與宇航局(NASA〕所屬的Langley研討中心于1984年提出。它是一種屬于多輸入多輸出的時域整體模態(tài)參數(shù)辨識方法。它移植了自動控制實際中的最小實現(xiàn)實際，利用脈沖呼應數(shù)據(jù)，采用奇特值分解的方法，求得系統(tǒng)的特征值與特征向量，從而求得模態(tài)參數(shù)。該方法于1984年提出后，當年即在美國伽利略航天器的模態(tài)分析中運用，次年又在航天飛機機載巨型太陽能帆板的太空模態(tài)實驗中運用，均獲得良好的效果，該方法有最正確的精度，因此是目前比較先進的一種時域參數(shù)辨識方法。特征系統(tǒng)實現(xiàn)算法〔ERA法〕特征系統(tǒng)實現(xiàn)算法是利用實測的自在呼應〔脈沖呼應函數(shù)，相關(guān)函數(shù)〕，運用奇特值分解方法，確定系統(tǒng)的階次和形狀方程中的系統(tǒng)矩陣A、輸人矩陣B和輸出矩陣C，進而求解系統(tǒng)矩陣A的特征值問題，求得極點與留數(shù)，從而確定系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)。當矩陣A、B、C的階次為最小時，即為最小實現(xiàn)。此時系統(tǒng)是可控的，又是可觀的。根本思緒〔1〕系統(tǒng)的形狀方程描畫

對一個N自在度的線性系統(tǒng)，假設在P個點鼓勵，在L個點上丈量呼應，可用以下形狀方程描畫：式中：K為采樣點序號；X(K〕是在K△時辰系統(tǒng)的形狀向量，(2Nxl)；△為采樣間隔時間；Y(K〕是在K△時辰的實測呼應向量，Lx1;F(K〕是在K△時辰系統(tǒng)的輸人向量，Pxl;A為系統(tǒng)矩陣，2Nx2N;B為輸入矩陣，又稱控制矩陣，2NxP；C為輸出矩陣，又稱觀測矩陣，Lx2N。

對一線性定常系統(tǒng)，自在呼應可用脈沖呼應來替代。因此自在呼應的最小實現(xiàn)問題常用脈沖呼應的最小實現(xiàn)問題來替代?！?〕脈沖呼應矩陣的建立

系統(tǒng)的脈沖呼應可由實側(cè)傳送函數(shù)的拉氏逆變換求得。對各點的脈沖呼應函數(shù)h(t〕進展離散采樣后，便可得離散的脈沖呼應函數(shù)序列h(K),K=1,2,…。設采樣的時間間隔為△。在K△時辰，各丈量點的脈沖呼應可構(gòu)成以下脈沖呼應矩陣：式中：hij。為j點鼓勵、i點丈量的脈沖呼應函數(shù)；L、P分別為丈量點與鼓勵點的數(shù)目。脈沖呼應的最小實現(xiàn)問題是知及求矩陣A、B、C，并使三重矩陣[A，B，C]的階次最小。在求得系統(tǒng)矩陣A后，再由其特征值與特征向量確定模態(tài)參數(shù)?！?〕構(gòu)成Hankel矩陣脈沖呼應的最小實現(xiàn)普通是從生成Hankel分塊矩陣開場。Hankel矩陣有如下方式：①對線性定常系統(tǒng)脈沖呼應與矩陣A、B、C之間有如下關(guān)系：〔4〕、脈沖呼應與三重矩陣【A、B、C】之間的關(guān)系

對上式遞推，可得

繼續(xù)遞推并代入式①，可得②

式中；P矩陣稱為可觀性矩陣；Q矩陣稱為可控性矩陣；α、β那么稱為可觀、可控性指數(shù)，且有由此即可導出特征系統(tǒng)實現(xiàn)算法的主要計算公式?！?〕、特征系統(tǒng)實現(xiàn)算法由式②，當K=1時，有③顯然亦有④對進展奇特值分解，⑤式中：U為左奇特向量；V為右奇特向量；∑為奇特值矩陣,∑∈,U、V是正交歸一化矩陣，σi稱為奇特值，并且有σ1≥σ2≥σ3…≥σr。矩陣的秩即為系統(tǒng)的階次。可由不為零的奇特值的個數(shù)來確定。U，V，∑和A,B,C的關(guān)系其中

因此系統(tǒng)的形狀方程規(guī)范型可寫為由式⑨可見，A矩陣的階次取決于∑的階次，而矩陣∑∈。因此，雖然的階次很高〔LαxPβ),經(jīng)過奇特值分解后，∑屬于2N階。由于由此可見，系統(tǒng)矩陣A為2N階方陣。相應的形狀矢量X(K)的階次必為2N階，它是描畫2N階系統(tǒng)的最小階次，因此是最小實現(xiàn)。經(jīng)上述推導，可以對做奇特值分解的含意，了解如下；1〕從逼近實際來看，是所在子空間的最正確逼近。2〕從信號處置角度來看，用替代相當于對數(shù)據(jù)進展一次維納濾波。被濾掉的是對應于奇特值為零的那些與輸入、輸出無關(guān)的隨機噪聲。因此形狀方程無需再為噪聲提供出口，無需再進展擴階。

3〕以最少的參數(shù)、最小的階次來描畫系統(tǒng)的特征和進展運算，從而減小了運算量。

4〕提高了算法的抗噪聲干擾才干，防止了在模態(tài)轉(zhuǎn)化過程中產(chǎn)生計算誤差，即出現(xiàn)虛偽模態(tài)。

〔6〕、模態(tài)參數(shù)辨識

系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)可由系統(tǒng)矩陣A的特征值及特征向量來確定。系統(tǒng)矩系統(tǒng)矩陣A可由下式確定，

對矩陣A進展特征值分解，求出特征值矩陣，然后求出特征向量矩陣式中：z為特征值矩陣；Ψ為特征向量矩陣，

由此便可確定系統(tǒng)的模態(tài)振型，

然后由以下公式可求的系統(tǒng)的模態(tài)頻率ωr及模態(tài)阻尼ξr;矩陣A的特征值與系統(tǒng)特征值之間有如下關(guān)系；式中Zr及λr均為復數(shù)，可寫成PolyMax模態(tài)識別方法,屬于多自在度時域識別法,也稱作多參考點最小二乘復頻域法(Polyreferenceleastsquarescomplexfrequencydomainmethod)，是最小二乘復頻域法(LSCF)的多輸入方式，是一種對極點和模態(tài)參預因子進展整體估計的多自在度法,普通首先經(jīng)過實驗建立穩(wěn)態(tài)圖，以斷定真實的模態(tài)頻率、阻尼和參預因子；建立可以線性化的直交矩陣分式模型，然后基于正那么方程縮減最小二乘問題,得到緊縮正那么方程,于是模態(tài)參數(shù)可以經(jīng)過求解最小二乘問題得到。該方法集合了多參考點法和LSCF方法的優(yōu)點,可以得出非常明晰的穩(wěn)態(tài)圖,并且密集空間可以被分別出來,尤其在模態(tài)較密集的系統(tǒng)(動力總成系統(tǒng))，或者FRF數(shù)據(jù)遭到嚴重噪聲污染的情況下仍可以建立明晰的穩(wěn)態(tài)圖，識別出高度密集的模態(tài)，對每一個模態(tài)的頻率、阻尼和振型都有很好的識別精度,是國際最新開展并流行的基于傳送函數(shù)的模態(tài)分析方法?！?〕建立頻率呼應函數(shù)模型多參考點最小二乘復頻域識別技術(shù)〔PRLSCF或PolyMAX〕要以頻響函數(shù)矩陣作為識別的初始數(shù)據(jù),其數(shù)學模型采用右矩陣分式模型來描畫。.在頻域中，系統(tǒng)輸出〔，其中為輸出點數(shù)〕和全部輸入的關(guān)系可用右矩陣分式模型〔RMFD〕來描畫，右矩陣分式模型的表達式為〔1〕式中：—實際頻響函數(shù)的第行，是輸入點數(shù)，即鼓勵數(shù)；—分子多項式行向量；—分母多項式矩陣。且和可以表示成如下方式：〔〕〔2〕〔3〕式中：N—多項式階次其中分母系數(shù)矩陣和分子系數(shù)行向量是待估計的參數(shù)。一切這些系數(shù)合并為一個矩陣?！?〕其中〔5〕式〔2〕和式〔3〕中出現(xiàn)的多項式基函數(shù)，普通地，有以下兩種選擇：ⅰ.對于延續(xù)時域模型，可取為〔6〕式中：—縮放因子，用來提高方程的數(shù)值情況。ⅱ.對于離散時域模型，可取為〔7〕式中：—采樣周期。通常采用離散時域模型。〔2〕參數(shù)的線性化經(jīng)過實驗丈量出的頻率呼應函數(shù)矩陣，用表示實測頻響矩陣的第行，，那么關(guān)于參數(shù)矩陣的非線性最小二乘〔NLS〕目的函數(shù)可表示為〔8〕式中：－矩陣的復共扼轉(zhuǎn)置；－矩陣的跡，即矩陣的主對角元素之和。經(jīng)過對式〔8〕求極小值，便可以得到頻率呼應函數(shù)矩陣的右分式矩陣模型各系數(shù)的估計值，即矩陣的估計值。式〔8〕中的加權(quán)非線性最小二乘誤差函數(shù)被定義：〔9〕上式中是一個加權(quán)函數(shù)。普通地，為了提高估計的質(zhì)量，我們采用〔10〕式中：—方差，可用相關(guān)函數(shù)求取。也可運用公式〔11〕來做加權(quán)函數(shù)的。這兩種加權(quán)函數(shù)都思索了丈量頻響函數(shù)數(shù)據(jù)的好壞：測得頻響的方差越小，對目的函數(shù)的奉獻越大。非線性誤差函數(shù)可以經(jīng)過一個近似的處置為一個線性的問題。實踐上，經(jīng)過對右乘，那么可以得到一個關(guān)于參數(shù)為線性的方程，此加權(quán)線性最小二乘〔LS〕方程誤差為〔12〕這款式〔12〕關(guān)于參數(shù)為線性，將一切頻率列，，它可用矩陣方式來表示〔13〕其中：

〔14〕〔15〕式中，—Kronecker積?！?〕縮減規(guī)范方程加權(quán)線性最小二乘估計表達式為〔16〕式中：同時，目的函數(shù)〔16〕等價于〔17〕式中，是Jacobian矩陣，被如下定義〔18〕為使值最小，將對系數(shù)矩陣和求導，并令其為零〔19〕〔20〕由式〔19〕得到，把它代入式〔20〕得〔21〕其中，由式〔19〕和〔20〕得到規(guī)范方程，經(jīng)過整理，此規(guī)范方程的表達式為〔22〕式〔21〕即為“縮減〞規(guī)范方程，其中矩陣維數(shù)為比規(guī)范方程式〔22〕中的的維數(shù)要小的多?！?〕求解縮減規(guī)范方程經(jīng)過求解“縮減〞規(guī)范方程，便可得到分母系數(shù)矩陣。根據(jù)線性方程組的求解實際，先對系數(shù)矩陣施加一個約束。假設，設定系數(shù)矩陣中的一個系數(shù)矩陣塊等于正那么常數(shù)矩陣〔例如設系數(shù)矩陣的最后一個矩陣塊〕,在這種前提下，縮減規(guī)范方程變?yōu)椤?3〕其中系數(shù)矩陣的最小二乘估計為〔24〕一旦求得了，那么經(jīng)過就可得到一切的分子系數(shù)這種方法思索了規(guī)范方程的構(gòu)造特性，比直接求解方程〔22〕要快得多。確定了分母系數(shù)矩陣后，經(jīng)過求解的伴隨矩陣的特征值和特征向量，這樣就可以得到了系統(tǒng)的極點和相應的模態(tài)參與因子。方程如下〔25〕上式中，，矩陣的最后行就是模態(tài)參與因子；對角陣的角元記錄為由不穩(wěn)定的數(shù)學極點和穩(wěn)定的物理構(gòu)造點兩部分組成。記穩(wěn)定的物理構(gòu)造極點為，經(jīng)過對這些物理構(gòu)造極進展轉(zhuǎn)換，便可得出構(gòu)造的固有頻率和模態(tài)阻尼比；關(guān)系式如下或〔26〕〔5〕計算頻率點和阻尼比點根據(jù)信號與系統(tǒng)根本實際中對系統(tǒng)穩(wěn)定性的描畫：系統(tǒng)的全部極點落于域左半平面〔不包括虛軸〕，且滿足有界輸入有界輸出原那么，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。復特征矩陣中的復特征值總是以共軛對的方式出現(xiàn)，同時也包含實數(shù)〔虛軸上〕，在求解頻率點和阻尼比點時，對于每個共軛對只取其中一個進展分析，且不思索實數(shù)。復特征矩陣中的對角元，由式〔26〕，用描畫，那么〔27〕〔28〕