銅陵市第一中學(xué)2024屆高三（4月）月考數(shù)學(xué)試題

銅陵市第一中學(xué)2024屆高三（4月）月考數(shù)學(xué)試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在(0,+∞)單調(diào)遞減，則（）A． B．C． D．2．要排出高三某班一天中，語文、數(shù)學(xué)、英語各節(jié)，自習(xí)課節(jié)的功課表，其中上午節(jié)，下午節(jié)，若要求節(jié)語文課必須相鄰且節(jié)數(shù)學(xué)課也必須相鄰（注意：上午第五節(jié)和下午第一節(jié)不算相鄰），則不同的排法種數(shù)是（）A． B． C． D．3．設(shè)集合，則（）A． B． C． D．4．（）A． B． C． D．5．已知，，由程序框圖輸出的為（）A．1 B．0 C． D．6．已知，，，是球的球面上四個不同的點，若，且平面平面，則球的表面積為（）A． B． C． D．7．過拋物線的焦點的直線與拋物線交于、兩點，且，拋物線的準(zhǔn)線與軸交于，的面積為，則（）A． B． C． D．8．設(shè)，則““是“”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必條件9．已知隨機變量服從正態(tài)分布，且，則（）A． B． C． D．10．“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件11．已知實數(shù)，則的大小關(guān)系是()A． B． C． D．12．函數(shù)在的圖像大致為A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，，，且，則的最小值為___________．14．在三棱錐中，已知，且平面平面，則三棱錐外接球的表面積為______.15．如圖，四面體的一條棱長為，其余棱長均為1，記四面體的體積為，則函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是____；最大值為____.16．已知實數(shù)x，y滿足，則的最大值為____________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，其中，．（1）當(dāng)時，求的值；（2）當(dāng)?shù)淖钚≌芷跒闀r，求在上的值域．18．（12分）已知函數(shù)，其中e為自然對數(shù)的底數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）用表示中較大者，記函數(shù).若函數(shù)在上恰有2個零點，求實數(shù)a的取值范圍.19．（12分）如圖，在正四棱錐中，，點、分別在線段、上，．（1）若，求證：⊥；（2）若二面角的大小為，求線段的長．20．（12分）如圖，已知橢圓的右焦點為，，為橢圓上的兩個動點，周長的最大值為8.（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）直線經(jīng)過，交橢圓于點，，直線與直線的傾斜角互補，且交橢圓于點，，，求證：直線與直線的交點在定直線上.21．（12分）已知函數(shù)是自然對數(shù)的底數(shù).（1）若，討論的單調(diào)性；（2）若有兩個極值點，求的取值范圍，并證明:.22．（10分）設(shè)數(shù)列，的各項都是正數(shù)，為數(shù)列的前n項和，且對任意，都有，，，（e是自然對數(shù)的底數(shù)）.（1）求數(shù)列，的通項公式；（2）求數(shù)列的前n項和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】

利用是偶函數(shù)化簡，結(jié)合在區(qū)間上的單調(diào)性，比較出三者的大小關(guān)系.【題目詳解】是偶函數(shù)，，而，因為在上遞減，，即．故選:D【題目點撥】本小題主要考查利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性比較大小，屬于基礎(chǔ)題.2、C【解題分析】

根據(jù)題意，分兩種情況進行討論：①語文和數(shù)學(xué)都安排在上午；②語文和數(shù)學(xué)一個安排在上午，一個安排在下午.分別求出每一種情況的安排方法數(shù)目，由分類加法計數(shù)原理可得答案．【題目詳解】根據(jù)題意，分兩種情況進行討論：①語文和數(shù)學(xué)都安排在上午，要求節(jié)語文課必須相鄰且節(jié)數(shù)學(xué)課也必須相鄰，將節(jié)語文課和節(jié)數(shù)學(xué)課分別捆綁，然后在剩余節(jié)課中選節(jié)到上午，由于節(jié)英語課不加以區(qū)分，此時，排法種數(shù)為種；②語文和數(shù)學(xué)都一個安排在上午，一個安排在下午.語文和數(shù)學(xué)一個安排在上午，一個安排在下午，但節(jié)語文課不加以區(qū)分，節(jié)數(shù)學(xué)課不加以區(qū)分，節(jié)英語課也不加以區(qū)分，此時，排法種數(shù)為種.綜上所述，共有種不同的排法.故選：C．【題目點撥】本題考查排列、組合的應(yīng)用，涉及分類計數(shù)原理的應(yīng)用，屬于中等題．3、C【解題分析】

解對數(shù)不等式求得集合，由此求得兩個集合的交集.【題目詳解】由，解得，故.依題意，所以.故選：C【題目點撥】本小題主要考查對數(shù)不等式的解法，考查集合交集的概念和運算，屬于基礎(chǔ)題.4、D【解題分析】

利用，根據(jù)誘導(dǎo)公式進行化簡，可得，然后利用兩角差的正弦定理，可得結(jié)果.【題目詳解】由所以，所以原式所以原式故故選：D【題目點撥】本題考查誘導(dǎo)公式以及兩角差的正弦公式，關(guān)鍵在于掌握公式，屬基礎(chǔ)題.5、D【解題分析】試題分析：，，所以，所以由程序框圖輸出的為.故選D．考點：1、程序框圖；2、定積分．6、A【解題分析】

由題意畫出圖形，求出多面體外接球的半徑，代入表面積公式得答案．【題目詳解】如圖，取BC中點G，連接AG，DG，則，，分別取與的外心E，F(xiàn)，分別過E，F(xiàn)作平面ABC與平面DBC的垂線，相交于O，則O為四面體的球心，由，得正方形OEGF的邊長為，則，四面體的外接球的半徑，球O的表面積為．故選A．【題目點撥】本題考查多面體外接球表面積的求法，考查空間想象能力與思維能力，是中檔題．7、B【解題分析】

設(shè)點、，并設(shè)直線的方程為，由得，將直線的方程代入韋達定理，求得，結(jié)合的面積求得的值，結(jié)合焦點弦長公式可求得.【題目詳解】設(shè)點、，并設(shè)直線的方程為，將直線的方程與拋物線方程聯(lián)立，消去得，由韋達定理得，，，，，，，，可得，，拋物線的準(zhǔn)線與軸交于，的面積為，解得，則拋物線的方程為，所以，.故選：B.【題目點撥】本題考查拋物線焦點弦長的計算，計算出拋物線的方程是解答的關(guān)鍵，考查計算能力，屬于中等題.8、B【解題分析】

解出兩個不等式的解集，根據(jù)充分條件和必要條件的定義，即可得到本題答案.【題目詳解】由，得，又由，得，因為集合，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B【題目點撥】本題主要考查必要不充分條件的判斷，其中涉及到絕對值不等式和一元二次不等式的解法.9、C【解題分析】

根據(jù)在關(guān)于對稱的區(qū)間上概率相等的性質(zhì)求解．【題目詳解】，，，．故選：C．【題目點撥】本題考查正態(tài)分布的應(yīng)用．掌握正態(tài)曲線的性質(zhì)是解題基礎(chǔ)．隨機變量服從正態(tài)分布，則．10、B【解題分析】

或，從而明確充分性與必要性.【題目詳解】，由可得：或，即能推出，但推不出∴“”是“”的必要不充分條件故選【題目點撥】本題考查充分性與必要性，簡單三角方程的解法，屬于基礎(chǔ)題.11、B【解題分析】

根據(jù)，利用指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出．【題目詳解】解：∵，∴，，．∴．故選：B．【題目點撥】本題考查了指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．12、B【解題分析】

由分子、分母的奇偶性，易于確定函數(shù)為奇函數(shù)，由的近似值即可得出結(jié)果．【題目詳解】設(shè)，則，所以是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點成中心對稱，排除選項C．又排除選項D；，排除選項A，故選B．【題目點撥】本題通過判斷函數(shù)的奇偶性，縮小考察范圍，通過計算特殊函數(shù)值，最后做出選擇．本題較易，注重了基礎(chǔ)知識、基本計算能力的考查．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

由，先將變形為，運用基本不等式可得最小值，再求的最小值，運用函數(shù)單調(diào)性即可得到所求值.【題目詳解】解：因為，，，且，所以因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號，所以令，則，令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以所以則所求最小值為故答案為：【題目點撥】此題考查基本不等式的運用：求最值，注意變形和滿足的條件：一正二定三相等，考查利用單調(diào)性求最值，考查化簡和運算能力，屬于中檔題.14、【解題分析】

取的中點，設(shè)等邊三角形的中心為，連接.根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可求得，，由等腰直角三角形的性質(zhì)，得，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)得平面，，由勾股定理求得，可得為三棱錐外接球的球心，根據(jù)球體的表面積公式可求得此外接球的表面積.【題目詳解】在等邊三角形中，取的中點，設(shè)等邊三角形的中心為，連接.由，得，，由已知可得是以為斜邊的等腰直角三角形，,又由已知可得平面平面，平面，，，所以，為三棱錐外接球的球心，外接球半徑，三棱錐外接球的表面積為.故答案為：【題目點撥】本題考查三棱錐的外接球的表面積，關(guān)鍵在于根據(jù)三棱錐的面的關(guān)系、棱的關(guān)系和長度求得外接球的球心的位置，球的半徑，屬于中檔題.15、(或?qū)懗?【解題分析】試題分析：設(shè)，取中點則,因此,所以，因為在單調(diào)遞增，最大值為所以單調(diào)增區(qū)間是，最大值為考點：函數(shù)最值，函數(shù)單調(diào)區(qū)間16、1【解題分析】

直接用表示出，然后由不等式性質(zhì)得出結(jié)論．【題目詳解】由題意，又，∴，即，∴的最大值為1．故答案為：1．【題目點撥】本題考查不等式的性質(zhì)，掌握不等式的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解題分析】

（1）根據(jù)，得到函數(shù)，然后，直接求解的值；（2）首先，化簡函數(shù)，然后，結(jié)合周期公式，得到，再結(jié)合，及正弦函數(shù)的性質(zhì)解答即可．【題目詳解】（1）因為，所以（2）因為即因為，所以所以因為所以所以當(dāng)時，．當(dāng)時，（最大值）當(dāng)時，在是增函數(shù)，在是減函數(shù)．的值域是．【題目點撥】本題主要考查了簡單角的三角函數(shù)值的求解方法，兩角和與差的正弦、余弦公式，三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識，考查了運算求解能力，屬于中檔題．18、（1）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）.【解題分析】

（1）由題可得,結(jié)合的范圍判斷的正負,即可求解；（2）結(jié)合導(dǎo)數(shù)及函數(shù)的零點的判定定理,分類討論進行求解【題目詳解】（1）,①當(dāng)時,,∴函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增；②當(dāng)時,令,解得或,當(dāng)或時,,則單調(diào)遞增,當(dāng)時,,則單調(diào)遞減,∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和,單調(diào)遞減區(qū)間為（2）（Ⅰ）當(dāng)時,所以在上無零點；（Ⅱ）當(dāng)時,,①若,即,則是的一個零點；②若,即,則不是的零點（Ⅲ）當(dāng)時,,所以此時只需考慮函數(shù)在上零點的情況,因為,所以①當(dāng)時,在上單調(diào)遞增。又，所以（?。┊?dāng)時,在上無零點；（ⅱ）當(dāng)時,,又,所以此時在上恰有一個零點；②當(dāng)時,令,得,由,得；由,得,所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,因為,,所以此時在上恰有一個零點,綜上,【題目點撥】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間,考查利用導(dǎo)數(shù)處理零點個數(shù)問題,考查運算能力,考查分類討論思想19、（1）證明見解析；（2）．【解題分析】試題分析：由于圖形是正四棱錐，因此設(shè)AC、BD交點為O，則以O(shè)A為x軸正方向，以O(shè)B為y軸正方向，OP為z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，可用空間向量法解決問題．（1）只要證明＝0即可證明垂直；（2）設(shè)＝λ，得M(λ，0，1－λ)，然后求出平面MBD的法向量，而平面ABD的法向量為，利用法向量夾角與二面角相等或互補可求得．試題解析:(1)連結(jié)AC、BD交于點O，以O(shè)A為x軸正方向，以O(shè)B為y軸正方向，OP為z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系．因為PA＝AB＝，則A(1，0，0)，B(0，1，0)，D(0，－1，0)，P(0，0，1)．由＝，得N，由＝，得M，所以，＝(－1，－1，0)．因為＝0，所以MN⊥AD(2)解：因為M在PA上，可設(shè)＝λ，得M(λ，0，1－λ)．所以＝(λ，－1，1－λ)，＝(0，－2，0)．設(shè)平面MBD的法向量＝(x，y，z)，由，得其中一組解為x＝λ－1，y＝0，z＝λ，所以可?。?λ－1，0，λ)．因為平面ABD的法向量為＝(0，0，1)，所以cos＝，即＝，解得λ＝，從而M，N，所以MN＝＝．考點：用空間向量法證垂直、求二面角．20、（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見解析.【解題分析】

（Ⅰ）由橢圓的定義可得，周長取最大值時，線段過點，可求出，從而求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）設(shè)直線，直線，，，，.把直線與直線的方程分別代入橢圓的方程，利用韋達定理和弦長公式求出和，根據(jù)求出的值.最后直線與直線的方程聯(lián)立，求兩直線的交點即得結(jié)論.【題目詳解】（Ⅰ）設(shè)的周長為，則，當(dāng)且僅當(dāng)線段過點時“”成立.，，又，，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（Ⅱ）若直線的斜率不存在，則直線的斜率也不存在，這與直線與直線相交于點矛盾，所以直線的斜率存在.設(shè)，，，，，.將直線的方程代入橢圓方程得：.，,.同理，.由得，此時.直線，聯(lián)立直線與直線的方程得，即點在定直線.【題目點撥】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的邏輯推理能力和運算能力，屬于難題.21、（1）減區(qū)間是，增區(qū)間是；（2），證明見解析.【解題分析】

（1）當(dāng)時，求得函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)以及二階導(dǎo)函數(shù)，由此求得的單調(diào)區(qū)間.（2）令求得，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)區(qū)間、極值和最值，結(jié)合有兩個極值點，求得的取值范圍.將代入列方程組，由證得.【題目詳解】（1），，又，所以在單增，從而當(dāng)時，遞減，當(dāng)時，遞增.（2）.令，令，則故在遞增，在遞減，所以.注意到當(dāng)時，所以當(dāng)時，有一個極值點，當(dāng)時，有兩個極值點，當(dāng)時，沒有極值點，綜上因為是的兩個極值點，所以不妨設(shè)，得，因為在遞減，且，所以又所以【題目點撥】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值點，考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等