常州高級(jí)中學(xué)2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

第18頁/共18頁2021-2022學(xué)年江蘇省常州高級(jí)中學(xué)高一（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的..1.對(duì)于實(shí)數(shù)，“”是“”的（）條件.A.充分不必要 B.必要不充分C.充要 D.既不充分也不必要【答案】B【解析】【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可.詳解】當(dāng)時(shí)，例如當(dāng)，但，故充分性不成立；反之，若，則，故必要性成立.故選：B.2.若，則角的終邊在A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】【詳解】試題分析：直接由實(shí)數(shù)大小比較角的終邊所在象限，，所以的終邊在第三象限．考點(diǎn)：考查角的終邊所在的象限．【易錯(cuò)點(diǎn)晴】本題考查角的終邊所在的象限，不明確弧度制致誤．3.已知向量不共線，且，，，則共線的三點(diǎn)是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】需結(jié)合觀察法，對(duì)四個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行排除，經(jīng)檢驗(yàn)C相符合題意【詳解】已知向量不共線，且，，，由，得，則，即，所以三點(diǎn)共線，中對(duì)應(yīng)點(diǎn)經(jīng)檢驗(yàn)均不符合題意，舍去故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查三點(diǎn)共線的向量求法，可簡記為：若三點(diǎn)共線，則（表達(dá)方式不唯一），屬于基礎(chǔ)題4.已知，，那么2x+y的值為（）A.8 B.3 C.1 D.log23【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用指數(shù)運(yùn)算求解作答.【詳解】由，得，而，因此，所以故選：B5.函數(shù)的值域是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由的范圍，可得的范圍，結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)而求出函數(shù)的值域．【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)楹瘮?shù)在上遞增，上遞減，又，，，所以即.故選：A．6.函數(shù)的大致圖象是（）A. B.C D.【答案】D【解析】【分析】從函數(shù)的定義域，奇偶性，以及特殊值，排除選項(xiàng).【詳解】函數(shù)的定義域是，排除A，，所以函數(shù)奇函數(shù)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故排除C，當(dāng)時(shí)，，故排除B,滿足條件的只有D.故選：D7.已知偶函數(shù)在上單調(diào)遞減，若，，，則下列不等關(guān)系中正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，由三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式可得，，，由正切函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性分析可得答案．【詳解】因?yàn)?，，，又由為偶函?shù)，則，，，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，又在上單調(diào)遞減，則有，故選：D．8.若不等式在上恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】把不等式變形為，分和情況討論，數(shù)形結(jié)合求出答案.【詳解】變形為：，即在上恒成立，若，此時(shí)在上單調(diào)遞減，，而當(dāng)時(shí)，，顯然不合題意；當(dāng)時(shí)，畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象，要想滿足在上恒成立，只需，即，解得：，綜上：實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故選：C二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，至少有兩項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知函數(shù)，下列結(jié)論中正確的有（）A.若，則是的整數(shù)倍B.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱D.函數(shù)在單調(diào)遞增【答案】BC【解析】【分析】利用特殊值代入可得A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)BC，利用帶入檢驗(yàn)法可得是函數(shù)的一條對(duì)稱軸，是的一個(gè)對(duì)稱中心，可知BC正確；由正弦函數(shù)單調(diào)性可得D錯(cuò)誤.【詳解】對(duì)于A，若，可令，可得，但不是的整數(shù)倍，即A錯(cuò)誤；對(duì)于B，將代入可得，取得最小值，即可知直線是函數(shù)的一條對(duì)稱軸，即B正確；對(duì)于C，將代入可得，即可得是的一個(gè)對(duì)稱中心，所以C正確；對(duì)于D，若時(shí)，，由正弦函數(shù)單調(diào)性可知，在上不是單調(diào)遞增的，所以D錯(cuò)誤.故選：BC10.要得到函數(shù)的圖像，只要將的圖像A.向左平移個(gè)單位長度 B.向右平移個(gè)單位長度C.向左平移個(gè)單位長度 D.向右平移個(gè)單位長度【答案】A【解析】【分析】先將函數(shù)轉(zhuǎn)化成，所以將的圖像向左平移個(gè)單位長度得到.【詳解】，∴將的圖像向左平移個(gè)單位長度可得的圖像.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的圖像的平移，屬于簡單題.11.若M是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則下列說法中正確的是（）A.若，則M是邊BC的中點(diǎn)B.若，則M是邊BC的中點(diǎn)C.若，則點(diǎn)M是△ABC的重心D.若，且，則△MBC的面積是△ABC面積的【答案】ACD【解析】【分析】對(duì)A，根據(jù)中點(diǎn)的性質(zhì)即可判斷；對(duì)B，根據(jù)向量的運(yùn)算得到，即可判斷；對(duì)C，根據(jù)重心的性質(zhì)即可判斷；對(duì)D，根據(jù)向量的運(yùn)算得到，即可求解.【詳解】對(duì)于A，由，得，即，因此點(diǎn)M是邊BC的中點(diǎn)，故A正確；對(duì)于B，，，則點(diǎn)在邊的延長線上，所以B不正確；對(duì)于C，設(shè)中點(diǎn)，則,，由重心性質(zhì)可知C正確；對(duì)于D，，且，設(shè)分別取AB，的中點(diǎn)為N，，則，即點(diǎn)M在過AB中點(diǎn)且平行BC的直線上即M在上，在的中位線上，的面積是的，選項(xiàng)D正確.故選：ACD.12.已知函數(shù)f（x）=，則下列說法中正確的是（）A.若f（x）的最小值為-1，則B.當(dāng)時(shí)，恒成立.C.當(dāng)時(shí)，存在且，使得D.存在，使得對(duì)任意恒成立.【答案】ABC【解析】【分析】A.分和時(shí)，由對(duì)數(shù)型函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)求解判斷；B.由時(shí)單調(diào)遞增判斷；C.取時(shí)作圖判斷；D.分和由二次函數(shù)的性質(zhì)求解判斷.【詳解】A.當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，則，所以時(shí)，，若，則在遞減，則，不符合題意；若，在上遞減，在上遞增，則在上最小值為，解得或（舍去），故正確；B.當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，則，若，則在遞減，則，則當(dāng)時(shí)，恒成立，故正確；C.當(dāng)時(shí)，，如圖所示：由圖象知：當(dāng)時(shí)，存在且，使得，故正確；D.假設(shè)存在，使得對(duì)任意恒成立，當(dāng)時(shí)，在上的最小值為，則，即，顯然不成立；當(dāng)時(shí)，在時(shí)取得最小值為，則，即，顯然不成立，故錯(cuò)誤；故選：ABC三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.計(jì)算：___________.【答案】【解析】【分析】由三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式化簡即可得出答案.【詳解】原式故答案為：.14.工藝扇面是中國書畫的一種常見表現(xiàn)形式.某班級(jí)想用布料制作一面如圖所示的扇面，已知扇面展開的中心角為，外圓半徑為40cm，內(nèi)圓半徑為20cm，那么制作這樣一面扇面至少需要用布料為__________cm2【答案】400π【解析】【分析】由扇形的面積公式計(jì)算即可得到答案.【詳解】解：根據(jù)題意，由扇形的面積公式可得：制作這樣一面扇面需要的布料為.故答案為：400π15.已知正數(shù)滿足，則的最小值為_____．【答案】9【解析】【分析】把要求的式子變形為，利用基本不等式即可得到的最小值．【詳解】因?yàn)?所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，取等號(hào)．故答案為：916.已知函數(shù)，若方程有四個(gè)不同的解，且，則a的最小值是_________.的最小值是_________.【答案】①.②.【解析】【分析】由分段函數(shù)解析式可畫出函數(shù)圖象，利用函數(shù)與方程的思想即可得時(shí)，方程有四個(gè)不同的解，且，，化簡并利用基本不等式即可得的最小值是.【詳解】根據(jù)題意，畫出函數(shù)的圖象如下圖所示：若方程有四個(gè)不同的解，等價(jià)于與的圖象有四個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合圖象可知；所以a的最小值是；由圖可知關(guān)于對(duì)稱，所以；由圖知滿足，而即，所以；所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；所以的最小值是.故答案為：，四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.17.設(shè)m為實(shí)數(shù)，（1）當(dāng)時(shí)，解不等式；（2）若不等式的解集為，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）{或}；（2）【解析】【分析】（1）直接解一元二次不等式即可；（2）由題意得恒成立，則，解不等式組可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，解得或故不等式的解集為或，【小問2詳解】由題意可得，恒成立，則，解得故m的取值范圍為18.在平面直角坐標(biāo)系：中，角以O(shè)x為始邊，它的終邊與單位圓交于第二象限內(nèi)的點(diǎn).（1）若，求tanα及的值；（2）若，求點(diǎn)P的坐標(biāo).【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用三角函數(shù)的定義，誘導(dǎo)公式以及同角三角函數(shù)間的關(guān)系求解即可；（2）由題意可求出，聯(lián)立方程即可求解.【小問1詳解】若角以O(shè)x為始邊，它的終邊與單位圓交于第二象限內(nèi)的點(diǎn)，若，則，則，可得，【小問2詳解】由題意又，①兩邊平方，可得，可得，可得，②聯(lián)立①②，可得所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為.19.已知函數(shù)（1）求證：函數(shù)是上的減函數(shù)；（2）已知函數(shù)的圖象存在對(duì)稱中心的充要條件是的圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，判斷函數(shù)的圖象是否存在對(duì)稱中心，若存在，求出該對(duì)稱中心的坐標(biāo)，若不存在，說明理由.【答案】（1）證明見解析（2）存在對(duì)稱中心【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義按照步驟證明即可得函數(shù)是上的減函數(shù)；（2）利用有對(duì)稱中心的充要條件可知恒成立，即可得存在對(duì)稱中心.【小問1詳解】證明：設(shè)，則，由，可得，則，即，所以函數(shù)是上的減函數(shù)；【小問2詳解】由已知條件“函數(shù)的圖象存在對(duì)稱中心的充要條件是的圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱”，即可得，可得所以化簡可得，則需滿足，代入可得，解得，所以函數(shù)的圖象存在對(duì)稱中心.20.已知函數(shù)的圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為，且恒成立.（1）求函數(shù)的解析式（2）求函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為，得到周期，進(jìn)而求得，再由恒成立得到，從而得解；（2）利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求得在上的單調(diào)遞增區(qū)間，結(jié)合取交集即可得解.【小問1詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為，所以，則，故，又，故，所以又恒成立，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，所以，即，又，所以，所以.【小問2詳解】令，得，可得的單調(diào)遞增區(qū)間為，結(jié)合，可得的單調(diào)遞增區(qū)間為.21.某自然資源探險(xiǎn)組織試圖穿越某峽谷，但峽谷內(nèi)被某致命昆蟲所侵?jǐn)_，為了穿越這個(gè)峽谷，該探險(xiǎn)組織進(jìn)行了詳細(xì)的調(diào)研，若每平方米的昆蟲數(shù)量記為昆蟲密度，調(diào)研發(fā)現(xiàn)，在這個(gè)峽谷中，昆蟲密度是時(shí)間（單位：小時(shí)）的一個(gè)連續(xù)不間斷的函數(shù)其函數(shù)表達(dá)式為，其中時(shí)間是午夜零點(diǎn)后的小時(shí)數(shù)，為常數(shù).（1）求的值；（2）求出昆蟲密度的最小值和出現(xiàn)最小值的時(shí)間；（3）若昆蟲密度不超過1250只/平方米，則昆蟲的侵?jǐn)_是非致命性的，那么在一天24小時(shí)內(nèi)哪些時(shí)間段，峽谷內(nèi)昆蟲出現(xiàn)非致命性的侵?jǐn)_.【答案】（1）（2）昆蟲密度的最小值為0，出現(xiàn)最小值的時(shí)間為和（3）至至【解析】【分析】（1）由題意得，解出即可；（2）將看成一個(gè)整體，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出結(jié)論；（3）解不等式即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）因?yàn)樗且粋€(gè)連續(xù)不間斷的函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，得到，即；（2）當(dāng)時(shí)，，，則當(dāng)時(shí)，達(dá)到最小值0，，解得，所以在和時(shí)，昆蟲密度達(dá)到最小值，最小值為0；（3）時(shí)，令，得，即，即，即，解得，，因?yàn)?，令得，令得所以，所以，在至至?nèi)，峽谷內(nèi)昆蟲出現(xiàn)非致命性的侵?jǐn)_．【點(diǎn)睛】本題主要考查分段函數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用，同時(shí)考查了三角函數(shù)的應(yīng)用，屬于中檔題．22.已知函數(shù)是偶函數(shù).（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）設(shè)函數(shù)，若函數(shù)與的圖像只有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）1；（2）；（3）【解析】【分析】（1）函數(shù)是偶函數(shù),所以得出值檢驗(yàn)即可；（2）因?yàn)闀r(shí)，存在零點(diǎn)，即關(guān)于的方程有解，求出的值域即可；（3）因?yàn)楹瘮?shù)與的圖像只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以關(guān)于的方程有且只有一個(gè)解，所以，換元，研究二次函數(shù)圖象及性質(zhì)即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）因?yàn)槭巧系呐己瘮?shù)，所以，即解得，經(jīng)檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，滿足題意.（2）因?yàn)?，所以因?yàn)闀r(shí)，存在零點(diǎn)