人教課標(biāo)實(shí)驗(yàn)A版必修1集合與函數(shù)概念 集合 集合的基本運(yùn)算 公開課比賽一等獎

1．1.3集合的基本運(yùn)算1．一般地，由所有屬于集合A

屬于集合B的元素所組成的集合叫做A與B的并集，記作

，用描述法表示為

．(1)設(shè)A＝{1，2}，B＝{2，3，4}，則A∪B＝

．(2)設(shè)A＝{1，2}，B＝{a，3}，若A∪B＝{1，2，3}，則a＝

；若A∪B＝{1，2，3，4}，則a＝

.(3)設(shè)A＝{x|x<1}，B＝{x|x<－1}，則A∪B＝

．(4)設(shè)A＝{x|x<－1}，B＝{x|x>－2}，則A∪B＝

.(5)設(shè)A＝{x|x<－1}，B＝{x|x>1}，則A∪B＝

．或A∪B{x|x∈A或x∈B}{1，2，3，4}1或24{x|x<1}R{x|x<－1或x>1}2．一般地，由所有屬于集合A

屬于集合B的所有元素組成的集合叫做A與B的交集，記作

，用描述法表示為

．用Venn圖表示為

.(1)設(shè)A＝{1，2}，B＝{2，3，4}，則A∩B＝

．(2)設(shè)A＝{x|x<1}，B＝{x|x>2}，則A∩B＝

.且A∩B{x|x∈A且x∈B}{2}?D(4)設(shè)A＝{1，2}，B＝{a，3}，若A∩B＝{1}，則a＝

；若A∩B≠?，則a＝

.(5)設(shè)A＝{x|x>－1}，B＝{x|x<－2}，則A∩B＝

.3．(1)A∩A＝

，A∪A＝

，A∩?＝

，A∪?＝

.A∩B

B∩A，A∪B

B∪A.(A∩B)∩C＝A∩(B∩C)，(A∪B)∪C＝A∪(B∪C)．A∩B?A，A∩B?B，A?A∪B，B?A∪B.11或2?AA?A＝＝(2)A?B?A∩B＝

?A∪B＝

.A∩B＝A∪B?A

B，A∪B＝??A＝B＝

.*(3)A∩(B∪C)＝(A∩B)∪(A∩C)A∪(B∩C)＝(A∪B)∩(A∪C)．4．設(shè)A＝{3，5，6，8}，B＝{4，5，7，8}，則A∩B＝

，A∪B＝

．5．(2010·湖南文，9)已知集合A＝{1，2，3}，B＝{2，m，4}，A∩B＝{2，3}，則m＝________.[解析]

由題意知m＝3.[答案]

3AB＝?{5，8}{3，4，5，6，7，8}6．(上海文)已知集合A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥a}，且A∪B＝R，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．[答案]

a≤1[解析]將集合A、B分別表示在數(shù)軸上，如圖所示．要使A∪B＝R，則a≤1.7．你會求解下列問題嗎？集合A＝{x|－2≤x<1}．(1)若B＝{x|x>m}，A?B，則m的取值范圍是

.(2)若B＝{x|x<m}，A?B，則m的取值范圍是

.(3)若B＝{x|x<m－5且x≥2m－1}，A∩B＝?，則m的取值范圍是

.m<－2m≥11≤m≤3本節(jié)重點(diǎn)：交集與并集的概念．本節(jié)難點(diǎn)：弄清交集與并集的概念及符號之間的聯(lián)系和區(qū)別．1．正確理解和區(qū)分集合的“交”、“并”運(yùn)算：①A與B的交集是由A與B的所有的公共元素組成的集合．當(dāng)兩個(gè)集合A與B無公共元素時(shí)，A∩B＝?.A與B的并集是由A的所有元素和B的所有元素組成的集合，當(dāng)兩個(gè)集合有公共元素時(shí)，公共元素在A∪B中只能出現(xiàn)一次．②要注意“且”與“或”的含義，注意“且”與“或”和“交”與“并”分別對應(yīng)．2．利用數(shù)形結(jié)合的思想，將滿足條件的集合用韋恩圖或數(shù)軸一一表示出來，從而求集合的交集、并集，這是既簡單又直觀且是最基本、最常見的方法，要注意靈活運(yùn)用．3．集合元素的互異性在解決集合的相等關(guān)系、子集關(guān)系、交集等時(shí)常遇到，忽視它很多時(shí)候會造成結(jié)果失誤，解題時(shí)要多留意．解決集合問題時(shí)，常常要分類討論，要注意劃分標(biāo)準(zhǔn)的掌握，做到不重、不漏，注意檢驗(yàn)．若已知x∈A∪B，那么它包含三種情形：①x∈A且x?B；②x∈B且x?A；③x∈A且x∈B，這在解決與并集有關(guān)問題時(shí)應(yīng)引起注意．[例1]

(1)若A＝{－1，1，3}，B＝{－2，1，2，3}，求A∪B.(2)設(shè)A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|1<x<3}，求A∪B.[分析]

(1)由并集的定義求解．(2)結(jié)合數(shù)軸求解．[解析]

(1)A∪B＝{－2，－1，1，2，3}．(2)A∪B＝{x|－1<x<2}∪{x|1<x<3}＝{x|－1<x<3}．(1)已知集合A＝{x|x2－16＝0}，B＝{x|x2－x－12＝0}，則A∪B＝________.(2)設(shè)A＝{x|x是銳角三角形}，B＝{x|x是鈍角三角形}，則A∪B＝________.[答案]

(1){－3，4，－4}(2){x|x是斜三角形}[解析]

(1)∵A＝{4，－4}，B＝{－3，4}，∴A∪B＝{－3，4，－4}(2)A∪B＝{x|x是銳角三角形}∪{x|x是鈍角三角形}＝{x|x是斜三角形}.在求A∩B時(shí)，只要搞清兩集合的公共元素是什么或公共元素具有怎樣的性質(zhì)即可．反之，若已知a∈A∩B，那么就可以斷定a∈A且a∈B；若A∩B＝?，說明集合A與B沒有公共元素．[例2]

(全國Ⅱ文)設(shè)集合M＝{m∈Z|－3<m<2}，N＝{n∈Z|－1≤n≤3}，則M∩N＝(

)A．{0，1}

B．{－1，0，1}C．{0，1，2} D．{－1，0，1，2}[解析]∵M(jìn)＝{－2，－1，0，1}，N＝{－1，0，1，2，3}，∴M∩N＝{－1，0，1}，故選B.若集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x<－1或x>4}，則集合A∩B等于(

)A．{x|x≤3或x>4} B．{x|－1<x≤3}C．{x|3≤x<4} D．{x|－2≤x<－1}[答案]

D[解析]將集合A、B表示在數(shù)軸上，由數(shù)軸可得A∩B＝{x|－2≤x<－1}，故選D.[例3]

已知A＝{(x，y)|4x＋y＝6}，B＝{(x，y)|3x＋2y＝7}，則A∩B＝________.已知A＝{x|x是等腰三角形}，B＝{x|x是直角三角形}，則A∩B＝________.[答案]

{x|x是等腰直角三角形}[解析]

A∩B＝{x|x是等腰三角形}∩{x|x是直角三角形}＝{x|x是等腰直角三角形}.[例4]已知集合A＝{x|1≤x＜3}，B＝{x|x＞2}，試求A∩B和A∪B.[分析]借助于數(shù)軸直觀解題．[解析]根據(jù)A∩B、A∪B的定義，借助圖形可知．A∩B＝{x|2＜x＜3}，A∪B＝{x|x≥1}．

總結(jié)評述：要注意A∩B與A∪B的區(qū)別與聯(lián)系，特別注意端點(diǎn)位置的數(shù)是否在其中．設(shè)集合A＝{x|1≤x<3}，B＝{x|x>a}．(1)若A?B，則a的取值范圍是________；(2)若A∩B≠?，則a的取值范圍是________；(3)若A∪B＝B，則a的取值范圍是________；(4)求A∩B＝A，則a的取值范圍是________．[答案]

(1)a<1

(2)a<3

(3)a<1

(4)a<1[解析]

借助數(shù)軸討論，注意端點(diǎn)能否取到．[例5]

已知集合A＝{－4，2a－1，a2}，B＝{a－5，1－a，9}，分別求適合下列條件的a值．(1)9∈A∩B；(2){9}＝A∩B.[分析]

9∈A∩B與{9}＝A∩B意義不同，9∈A∩B說明9是A與B的一個(gè)公共元素，但A與B中允許有其它公共元素．{9}＝A∩B，說明A與B的公共元素有且只有一個(gè)9.[解析]

(1)∵9∈A∩B，∴9∈A∴2a－1＝9或a2＝9，∴a＝5或a＝±3.檢驗(yàn)知：a＝5或a＝－3滿足題意．(2)∵{9}＝A∩B，∴9∈A∩B，∴a＝5或a＝±3.檢驗(yàn)知：a＝5時(shí)，A∩B＝{－4，9}不合題意，∴a＝－3.

總結(jié)評述：(1)中檢驗(yàn)的是集合A、B中的元素是否是互異的，a＝3時(shí)，B中元素a－5與1－a相同，所以a＝3應(yīng)舍去；(2)中進(jìn)一步檢驗(yàn)A與B有沒有不是9的公共元素，a＝5時(shí)，A＝{－4，9，25}，B＝{0，－4，9}，這時(shí)A∩B＝{－4，9}≠{9}，所以a＝5應(yīng)舍去．已知：A＝{x|2x2－ax＋b＝0}，B＝{x|bx2＋(a＋2)x＋5＋b＝0}，且A∩B＝{}，求A∪B.[例6]高一(3)班的學(xué)生中，參加語文課外小組的有20人，參加數(shù)學(xué)課外小組的有22人，既參加語文又參加數(shù)學(xué)小組的有10人，既未參加語文又未參加數(shù)學(xué)小組的有15人，問高一(3)班共有學(xué)生幾人？[分析]

借助Venn圖可直觀地得出有限集元素的個(gè)數(shù)．用card(A)表示集合A中所含元素的個(gè)數(shù)，則計(jì)數(shù)公式card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)[解析]設(shè)U＝{高一(3)班學(xué)生}，A＝{高一(3)班參加語文小組的學(xué)生}，B＝{高一(3)班參加數(shù)學(xué)小組的學(xué)生}，則A∩B＝{高一(3)班既參加語文小組又參加數(shù)學(xué)小組的學(xué)生}．有card(U)＝15＋card(A∪B)＝15＋card(A)＋card(B)－card(A∩B)＝15＋20＋22－10＝47(人)．故高一(3)班有47名學(xué)生．50名學(xué)生報(bào)名參加A、B兩項(xiàng)課外活動小組，報(bào)名參加A組的人數(shù)是全體學(xué)生數(shù)的五分之三，報(bào)名參加B組的人數(shù)比報(bào)名參加A組的人數(shù)多3人，兩組都沒報(bào)名的人數(shù)比同時(shí)報(bào)名參加A、B兩組人數(shù)的三分之一多1人．求同時(shí)報(bào)名參加兩組的人數(shù)．[例7]

設(shè)集合A＝{y∈R|y＝x2＋1，x∈R}，B＝{y∈R|y＝x＋1，x∈R}，則A∩B＝(

)A．{(0，1)，(1，2)}

B．{(0，1)}C．{(1，2)} D．{y∈R|y≥1}[辨析]以上解法不對．集合A，B應(yīng)該結(jié)合代表元素從整體意義上把握，它們是當(dāng)x取一切實(shí)數(shù)時(shí)所得的y的值的集合，在審題時(shí)必須首先弄清集合的本質(zhì)含義．[正解]

A＝{y∈R|y≥1}，B＝R，故A∩B＝{y∈R|y≥1}，正確答案為D.一、選擇題1．若集合M＝{(x，y)|x＋y＝0}，P＝{(x，y)|x－y＝2}，則M∩P等于(

)A．(1，－1) B．{x＝1或y＝1}C．{1，－1} D．{(1，－1)}[答案]

D2．設(shè)集合A＝{x|－1≤x≤2}，集合B＝{x|x≤a}，若A∩B＝?，則實(shí)數(shù)a的取值集合為(

)A．{a|a<2} B．{a|a≥－1}C．{a|a<－1} D．{a|－1≤a≤2}[答案]

C[解析]如圖．要使A∩B＝?，應(yīng)有a<－1.3．(遼寧文)已知集合M＝{x|－3<x≤5}，N＝{x|x<－5或x>5}，則M∪N＝(

)A．{x|x<－5或x>－3}B．{x|－5<x<5}C．{x|－3<x<5}D．{x|x<－3或x>5}[答案]

A[解析]在數(shù)軸上分別表示出集合A、B，觀察得出答案．4．(廣東理)已知全集U＝R，集合M＝{x|－2≤x－1≤2}和N＝{x|x＝2k－1，k＝1，2，…}的關(guān)系的韋恩(Venn)圖如圖所示，則陰影部分所示的集合的元素共有(

)A．3個(gè) B．2個(gè)C．1個(gè) D．無窮多個(gè)[答案]

B[解析]

M＝{x|－1≤x≤3}，N為正奇數(shù)集，∴M∩N＝{1，3}．二、填空題5．A＝{x∈N*|4<x<8}，B＝{x|x2－8x＋15＝0}，則A∪B＝________.[答案]

{3，5，6，7}[解析]解A＝{5，6，7}，B＝{3，5}，∴A∪B＝{3，5，6，7}．