2023浙江專升本高等數(shù)學(xué)真題

2023年浙江專升本高數(shù)考試真題答案

一、選擇題：本大題共5小題，每小題4分，共20分。

SinXχ>o

I、設(shè)/(X)=八，則/(X)在(TI)內(nèi)(c)

Y,x≤0

A、有可去間斷點(diǎn)B、連續(xù)點(diǎn)C、有跳動(dòng)間斷點(diǎn)D、有其次間斷點(diǎn)

Qin?

解析：Iim/(x)=HmX=O,Um/(x)=Iim------=1

x→0-x→0-x→0+x→0+X

???Iim/(x)≠?imf(x),但是又存在，:x=O是跳動(dòng)間斷點(diǎn)

x→0^x→0*

2、當(dāng)x→0時(shí)，SinX—XCOSX是/的(D)無窮小

A、低階B、等階C、同階D、高階

解析：Iim-----------------=Iim----------------------------=Iim-------=0=>高階無窮小

XTOχ^^Λ→02,xx→02

3、設(shè)/(x)二階可導(dǎo)，在x=/處/"(公)<0,Um^^=O,則∕?(x)在X=Xo處(B)

V

XfoX-X0

A、取得微小值B、取得極大值C、不是極值D、(XoJ(Xo))是拐點(diǎn)

,,

解析：?.?Iim=O,.-.∕(x0)=Iim/⑷——,則其∕(χ0)=O,/(x0)=0,

vλ

*→?X-X0→?X-X0

x0為駐點(diǎn)，又(XO)<O/.X=x0是極大值點(diǎn)。

4、已知/(X)在“上連續(xù)，則下列說法不正確的是(B)

A、已知(XMX=O,則在鼠司上，f(χ)=0

B、—f'f(t)dt-f(2x)-f(x),其中x,2x∈[a,b]

dxix

C、/(α)?∕S)<0,則(。力)內(nèi)有4使得/《)=O

D、y=∕(x)在上有最大值M和最小值"？，則根S-4)≤∕∕,(尤)dx≤Mg-a)

解析：A.由定積分幾何意義可知，∕2(%)≥0,XMX為/O)在除“上與X軸圍成

的面積，該面積為On∕2(x)=0,事實(shí)上若/(%)滿足

連續(xù)

<非負(fù)=>/(?)=0(?<x<b)

∫f(x)dx=0

IJa

df2.r

B.—∫f(xWx=2∕(2x)-∕(x)

CbCJX

C.有零點(diǎn)定理知結(jié)論正確

D.由積分估值定理可知，xe(a,b),m≤f(x)≤M,

濁fibSbf>b

則mdx<f(x)dx<Mdx=>m(b-?)≤f(x)dx≤M(b-a)

JaJaJaJo

5、下列級(jí)數(shù)確定收斂的是(C)

.((-i)π^'C3(-D,,^'001

A、/-/B、/----------D、

Zf√H+1念ln5+l)

1

解析：A.lim4J=1,由Sj=發(fā)散nY=發(fā)散

"T8幾√∏+ι

yfn

1

in

B.Iim—4—=Um(I+")=limJ-=0,由之L發(fā)散=之一?—發(fā)散

w→∞1w→o°nn→∞1+nT?iln(l+n)

ln(l+n)

1

2

_CosnJ1_1.Jn+9,e1l,a,1....Cosn

C./：■≤[，，而Iim-----------=1,由/2-r收改=I■收斂=I-

√n2+9√√+9…?ZfJ√∕I2+9√√+9

收斂

D.SL發(fā)散

〃=】〃

二、填空題

?

6、lim(l+6zsinx)v=e^

XTO

]

-In(Uasinx)Iim螞H竺叫Dlimj±βsinZl^

解析：lim(l+tzsinx)x=Iimex-er^>°X=er_*°1=ea

x->0.r→0

7、Iim/(3)二/(3-2x)=3,則(⑶=3

3SinX2

柳法/(3)-∕(3-2x)/(3-2%)-/(3)

解析：?rm---------------------=21im----------------------=2/(3)=3

XTosinxXTo-2x

SinX

8、若常數(shù)9使得物尸Z(cosx-?)=5,則〃=一9

sinXx(cosx-?)

解析：Iim(cosx-Z?)=Iim=5

XToex→0

所以依據(jù)洛必達(dá)法則可知：=0,4=1

x(cosx-Z?)cosx-Z?l-b

Iim--------------=Iim

Λ→02xΛ→022

l-b

F

x=ln(l÷r)

9、設(shè)＜，則I=!

y=^-arctanf

1

~?^2(l+0辦I

解析：，/T1

dx11+/

1+/

10、y=∕(x)是一一y2-i=o所確定的隱函數(shù)，則娛/-?2

dxy3

Y

r,

解析：方程兩邊同時(shí)求導(dǎo)，得：2x-2yy=0,y=-1

y

方程2%-2?'=0同時(shí)求導(dǎo)，得：1—(y')2-W=0,將了=色帶入,

y

d2y〃1X2V-/

則得，1-(二)2一》〃=0,------=V=----------=-----------

12J33

yaxyyy

X

11、求y—?的單增區(qū)間是

1+x

1+X2-2X2_1-X2

解析：y,=

(l+A：2)2(I+工)

令y'>0,則/<1,-1<Λ<1

12、求已知∣7(X)JX=J+C,則IimW./(()=e-l

J〃f0°氣〃n

解析:0=e-l

f+αc,1

13、[------^dx=1

JeX(InX)2

,4

14、由y=jc：y=l,x=2圍成的圖形面積為-

解析：A=JI（X2一1）公=（；Y-琳=（

15、常系數(shù)齊次線性微分方程y〃-2y'+y=O的通解為y=（C∣+。2幻仁（GG為隨意常

數(shù)）

2

解析：特征方程：r-2r+l=0,特征根：rl^r2=?

通解為丁=（6+。2無）-（GG為隨意常數(shù)）

三、計(jì)算題（本大題共8小題，其中16-19小題每小題7分，20-23小題每小題8分，共

60分）

?v→0ln(l+sinx)

x-^x2x-12x2x

解析：e~e=]ime~x-e~~—=Iim?-=Iim—=2

ι→0ln(l+sinx)XfOln(l+sinx)-t→0sinx*→°x

17、設(shè)y(x)=(l+sinx)',求y(x)在X=Tr處的微分

解析：y(x)=(l+si∏x)”

Iny=xln(l+sinx)

l.、Cosx

—yz=1Izn1(I+sιnx)+x-----------

yl+sinx

dy=[?n(l+sinx)+x------——](1+sinx)xdx

1+sinx

將x=4代入上式，得微分dy=-%伙

18、

解析：Vl-Cos2xdx=￡Isin%IJx

∣?π?2πZ?3Λ,∕?4zr^5π

=sinxdx+(-sinx)dx+SinXdx+(-sinxW%+sinxdx

JoJΛ?J2πJ3πJ4π

-cosx∣θ+cosx-c0sx∣2^+c0sx∣3^一CoSXE；=10

19、求JarctanJLiX

解析：令G=t'貝h=〃，dx=2tdt

JarctanrJr=r2arctan/-?t2darctant

2

=z2arctan∕-∫r—^dt

l+r2

2

=∕arctan∕-∫l^≠dt

J1+產(chǎn)

=Z2arctan∕-[(1--------)dt

J1+產(chǎn)

2

=廠arctanr-r÷arctanr+c

貝IJ原式=xarctanVx-Vx+arctanVx+c

r?zxxcosxλ,

20、(z+-----)dx

J?'√5-4X1+Λ4

XCOSX

解析：???為奇函數(shù)，

??.該式不代入計(jì)算

則T5—產(chǎn)

令/=y∣5-4X9

clx=——tdt

2

'上Tfl5—11,

該式=------(—t)dt

人4t2

=爐5—/)力

4(5/4/3)|'4

2x+?,x≤0=

21、已知/(x)=V在X=O處可導(dǎo)，求

ln(l÷6zx),x>0

解析:

?.?.f(x)在X=O處可導(dǎo)

，/(無)在尤=0處連續(xù)

l?m/(?)=?im/(X)=/(0)

X→0*Λ→0^

?.?Iimf(x)=0,Iim/(x)=b

x→0+Λ?→0-

:.b=0

?.?Iimff(x)=Iimf,(x)

x→0+x→0^

,In(I+0x)-0

Iimf(x)=Iun----------------=a

x→0+x→0+X-O

2r-0

Iimf,(x)=Iim--------=2

Dx→0x—0

,?a=2

x=t-{

22、求過點(diǎn)A(―1,2,1)且平行于2x—3y+z-7=0又與直線(y=f+3相交的直線方程。

z=2t

直線過點(diǎn)A(—1,2,1),因?yàn)橹本€平行于平面，所以片，五，?=(2-3,1),

設(shè)兩條直線的交點(diǎn)P(r-lJ+3,2。,所以M=Pk=QJ+l,2z-1),

→

所以2,一3r-3+2∕—1=0,f=4,P(3,7,8),所以PA=(4,5,7),

所以直線方程為止=2匚=3。

457

23、探討/(χ)=∣%3-2√+3x+l極值和拐點(diǎn)

解析：/(x)=gχ3-2χ2+3χ+l

(1)/(X)的極值

2

/'(X)=X-4Λ+3

令/'(X)=0，則Xl=I,々=3

列表如下：

(-∞,1)(3,+8)

X1(1,3)3

/'(%)+O-O+

/(X)↑極大值微小值↑

所以極大值為

17

/(l)=--2+3+l=-,微小值/(3)=1

(2)/(x)的拐點(diǎn)

f"(x)=2x-4令/"(x)=0則X=2

列表如下：

X(—8,2)2(2,+∞)

/'(X)-O+

?(?)凸拐點(diǎn)凹

拐點(diǎn)為

四、綜合題(本大題共3大題，每小題10分，共30分)

18

24、利用‘一=Z(T)"/',

1+Xn=0

(1)將函數(shù)In(I+x)綻開成X的幕級(jí)數(shù)

(2)將函數(shù)ln(3+x)綻開成x—2的幕級(jí)數(shù)

]18

解析：(1)令/(x)=In(I+x),∕,(x)=——，當(dāng)x∈(-1,1)時(shí)?，——=Y(-1),V

l÷x1+xM

.?./(χ)=[∕W?+∕(0)=∫0?-f∑(-i)^=∑(-ιr

1+/υ/1=0H=Oλ2+l

當(dāng)x=—l時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)X=I時(shí)，級(jí)數(shù)收斂，故收斂域?yàn)?-1,1］。

X—2X—2

(2)ln(3+x)=ln[5+(x-2)]=ln[5(l+.)]=ln5+ln(l+.)

r

*1Y-)(Λ-2),,+1

=32)’工(甘嚴(yán)=ln5+∑(-l)n

,,+1

A=O5(n+l)

其中，-l<^^≤ln-3<x≤70

5

25、/(χ)在［1,+8)上導(dǎo)函數(shù)連續(xù)，/(?)>O,已知曲線/(χ)與直線X=LX=r(r>l)及

X=IC>1)及X軸所圍成的去邊梯形繞X軸所圍成的旋轉(zhuǎn)體體積是該曲邊梯形的R倍,

求/(X)

解析：S=［f(x)dx,V=∫V2(x)d?

2

由題意知，∫?(x)√x=^r∫ι7(x)Jx,求導(dǎo)得，得科2?)=萬f/(χ)公+的⑺

再求導(dǎo)，得2πf(t)f'(t)=#(/)+球(t*mf'Q)

即2/(。+(f⑺=2/(。/'?),則2y+a'=2R,2y=(2y-t)y',=當(dāng)，

2ydy

手+M=1,P(y)=；,Q(y)=l,t=e^dy+C)=?(j+O，

dy2yIyJJy3

,11

由∕?(D=/2(1)=/(I)=1,帶入得。=上，故