河南省鄭州市2022-2023學(xué)年高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

高一數(shù)學(xué)第Ⅰ卷（選擇題，共60分）一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出集合B中元素范圍，再求即可.【詳解】，又，.故選：B.2.若a，b，c∈R，a>b，則下列不等式恒成立的是（）A.< B.a2>b2C.> D.a|c|>b|c|【答案】C【解析】【分析】舉特例即可判斷選項(xiàng)A，B，D，利用不等式的性質(zhì)判斷C即可作答.【詳解】當(dāng)a=1，b=-2時(shí)，滿足a>b，但，a2<b2，排除A，B；因>0，a>b，由不等式性質(zhì)得，C正確；當(dāng)c=0時(shí)，a|c|>b|c|不成立，排除D，故選：C3.英國浪漫主義詩人(雪萊)在《西風(fēng)頌》結(jié)尾寫道“”春秋戰(zhàn)國時(shí)期，為指導(dǎo)農(nóng)耕，我國誕生了表示季節(jié)變遷的節(jié)氣.它將黃道(地球繞太陽按逆時(shí)針方向公轉(zhuǎn)的軌道，可近似地看作圓)分為等份，每等份為一個(gè)節(jié)氣.2019年12月22日為冬至，經(jīng)過小寒和大寒后，便是立春.則從冬至到次年立春，地球公轉(zhuǎn)的弧度數(shù)約為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】找到每一等份的度數(shù)，進(jìn)而可得答案．【詳解】解：由題可得每一等份為，從冬至到次年立春經(jīng)歷了等份，即.故答案為：A.【點(diǎn)睛】本題考查角的運(yùn)算，是基礎(chǔ)題.4.若，，，則下列結(jié)論正確的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)三種函數(shù)的單調(diào)性即可判斷大小.【詳解】函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，又，.故選：D.5.已知函數(shù)的表達(dá)式為．若且，則的取值范圍為（）A.； B.；C.； D.．【答案】D【解析】【分析】由對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)與基本不等式求解即可【詳解】因?yàn)?，所以，故或．若，則（舍去）；若，則，又，所以，因此（等號當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)成立），即的取值范圍是．故選：D．6.函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】分析出函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，利用特殊值法結(jié)合排除法可得出合適的選項(xiàng).【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋?，故函?shù)的圖象關(guān)于直線對稱，排除BC選項(xiàng)，，排除A選項(xiàng).故選：D.7.將函數(shù)的圖象沿x軸向左平移個(gè)單位后，得到一個(gè)偶函數(shù)的圖象，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先利用輔助角公式化簡，然后利用平移的規(guī)則得到，進(jìn)而令可得的值，最后根據(jù)絕對值最小得答案.【詳解】由已知，其沿x軸向左平移個(gè)單位后得,，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，，即，當(dāng)時(shí)，最值，且為.故選：A.8.設(shè)函數(shù)，若對任意的，都有，則m的最小值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】作圖函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合即可求解【詳解】作出f（x）的部分圖象，如圖所示.當(dāng)時(shí)，f（x）=8（x+5）.令f（x）=-4，解得.數(shù)形結(jié)合可得，若對任意的，都有，則m的最小值是.故選：D二、多選題：（本題共4小題，每小題5分，共20分）9.下列說法正確的是（）A.“”是“”的充分不必要條件B.“”是“”的必要不充分條件C.命題“，”的否定是“，”D.的最大值為【答案】AC【解析】【分析】對A、B：根據(jù)充分、必要條件結(jié)合不等式性質(zhì)分析判斷；對C：根據(jù)特稱命題的否定分析判斷；對D：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性分析判斷.【詳解】對A：若“”，則，即，故；若“”，則，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立；綜上所述：“”是“”的充分不必要條件，A正確；對B：若“”，不能得出，例如，則；若“”，不能得出，例如，則；綜上所述：“”是“”的既不充分也不必要條件，B錯(cuò)誤；對C：命題“，”的否定是“，”，C正確；對D：∵，且在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，∴的最小值為，D錯(cuò)誤.故選：AC.10.已知實(shí)數(shù)a，b滿足等式，下列式子可以成立的是（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)圖象分析判斷.【詳解】設(shè)，分別作出的函數(shù)圖象，如圖所示：當(dāng)，則，A成立；當(dāng)，則，B成立，C不成立；當(dāng)時(shí)，則，D成立.故選：ABD.11.已知，，其中，為銳角，則以下命題正確的是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)同角的三角函數(shù)的基本關(guān)系式和兩角和與差的余弦公式和積化和差公式即可求解.【詳解】因?yàn)?為銳角),故,故正確;因?yàn)?所以,故B錯(cuò)誤;由,故,故C正確;且,所以,故D錯(cuò)誤.故選:AC.12.已知的解集是，則下列說法中正確的是（）A.若c滿足題目要求，則有成立B.的最小值是4C.函數(shù)的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是D.當(dāng)時(shí)，，的值域是，則的取值范圍是【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)三個(gè)二次之間的關(guān)系分析可得，對A：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性分析判斷；對B：根據(jù)基本不等式分析運(yùn)算；對C：根據(jù)對數(shù)函數(shù)分析判斷；對D：根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)運(yùn)算判斷.【詳解】若的解集是，則方程的根為，且，可得，解得，對A：∵，則，∴，A正確；對B：∵，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，∴的最小值是，B錯(cuò)誤；對C：函數(shù)的值域?yàn)?，則函數(shù)的值域包含，且，可得，解得，C正確；對D：當(dāng)時(shí)，則，，令，解得；令，解得或；若在上的值域是，則或，可得，故的取值范圍是，D正確.故選：ACD【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：注意理解以下兩種情況：（1）的值域?yàn)?，則；（2）的定義域?yàn)椋瑒t.第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）三、填空題：（本題共4小題，每小題5分，共20分）.13.用二分法研究函數(shù)f(x)=x3+3x-1的零點(diǎn)時(shí)，第一次經(jīng)計(jì)算，可得其中一個(gè)零點(diǎn)x0∈(0，1)，那么經(jīng)過下一次計(jì)算可得x0∈___________(填區(qū)間).【答案】【解析】【分析】根據(jù)零點(diǎn)存在性定理判斷零點(diǎn)所在區(qū)間.【詳解】，，所以下一次計(jì)算可得故答案為：14.已知某扇形的圓心角為，周長為，則該扇形的面積為________．【答案】6【解析】【分析】求出弧的半徑和弧長后可得面積.【詳解】設(shè)扇形半徑為，弧長為，則，解得，扇形面積為．故答案為：6．15.函數(shù)的圖像恒過定點(diǎn)，若，則的最小值________.【答案】8【解析】【分析】首先求定點(diǎn)，再利用“1”的變換，利用基本不等式求最小值.【詳解】函數(shù)，所以函數(shù)恒過點(diǎn),即，即，則，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號成立，的最小值為，此時(shí)，解得，.故答案為：16.已知函數(shù)和是定義在上的函數(shù)，且是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，，則__；若對于任意，都有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__．【答案】①.x②.【解析】【分析】由題意，根據(jù)構(gòu)造方程的思想，結(jié)合奇偶函數(shù)的性質(zhì)，可得函數(shù)解析式；根據(jù)單調(diào)性的定義，整理不等式，構(gòu)造函數(shù)，分和兩種情況，結(jié)合一次函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案.【詳解】根據(jù)題意，，則，兩式相加可得，又由是定義在上的奇函數(shù)，是定義在上的偶函數(shù)，所以，即，．若對于任意，都有，變形可得，令，則在上單調(diào)遞增；所以，若，則在上單調(diào)遞增，滿足題意；若，則是對稱軸為的二次函數(shù)，若在上單調(diào)遞增，只需或，解得或，綜上，．即的取值范圍為：．故答案為：；.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.（1）化簡：；（2）求值：.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用誘導(dǎo)公式化簡計(jì)算即可；（2）利用指數(shù)，對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】（1）；（2）.18.已知集合.（1）求；（2）已知集合，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)確定集合，然后由集合的運(yùn)算法則計(jì)算．（2）由集合包含關(guān)系得不等關(guān)系，求得參數(shù)范圍．【詳解】解：（1），，，.（2）當(dāng)時(shí)，，即成立；當(dāng)時(shí)，成立.綜上所述，．【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：本題考查集合的運(yùn)算，考查由集合的包含關(guān)系示參數(shù)范圍．在中，要注意的情形，空集是任何集合的子集．這是易錯(cuò)點(diǎn)．19.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求關(guān)于x的不等式的解集；（2）若在區(qū)間（1，+∞）上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】（1），1）（2，.（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)一元二次不等式的解法求解即可；（2）原不等式等價(jià)于在上恒成立，分離參數(shù)得，令，利用基本不等式和不等式恒成立思想可得答案.【小問1詳解】解：當(dāng)時(shí)，則，由，得，令，解得，或，原不等式的解集為，1）（2，；【小問2詳解】解：由即在上恒成立，從而有：，令，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.20.已知函數(shù)，其中，.從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇兩個(gè)作為已知條件.條件①：函數(shù)最小正周期為；條件②：函數(shù)圖像關(guān)于點(diǎn)對稱；條件③：函數(shù)圖像關(guān)于對稱.求：（1）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）函數(shù)在區(qū)間的最大值和最小值.【答案】（1）（2）最大值為1，最小值為【解析】【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)求的解析式，進(jìn)而求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）由x的范圍求得的范圍，結(jié)合正弦函數(shù)求的最值.小問1詳解】若選①②：∵函數(shù)最小正周期為，則，解得，且，故，故，又∵函數(shù)圖像關(guān)于點(diǎn)對稱，則，解得，由，則，，故，令，解得，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；若選①③：∵函數(shù)最小正周期為，則，解得，且，故，故，∵函數(shù)圖像關(guān)于對稱，則，解得，由，則，，故，令，解得，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；若選②③：∵函數(shù)圖像關(guān)于點(diǎn)對稱，則，由，，可得，則，即，又∵函數(shù)圖像關(guān)于對稱，則，由，，可得，則，即，故，解得，故，令，解得，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.【小問2詳解】由（1）可得：，∵，則，則當(dāng)，即時(shí)，取到最大值1；當(dāng)，即時(shí)，取到最小值；∴函數(shù)在區(qū)間的最大值為1，最小值為.21.近年來，中國自主研發(fā)的長征系列運(yùn)載火箭的頻頻發(fā)射成功，標(biāo)志著中國在該領(lǐng)域已逐步達(dá)到世界一流水平.設(shè)火箭推進(jìn)劑的質(zhì)量為M（單位：t），去除推進(jìn)劑后的火箭有效載荷質(zhì)量為m（單位：t），火箭的飛行速度為v（單位：），初始速度為（單位：），已知其關(guān)系式為齊奧爾科夫斯基公式：，其中是火箭發(fā)動(dòng)機(jī)噴流相對火箭的速度.假設(shè)，.（參考數(shù)據(jù)：，）.（1）若，當(dāng)火箭飛行速度達(dá)到第三宇宙速度（16.7）時(shí)，求相應(yīng)的M；（精確到小數(shù)點(diǎn)后一位）（2）如果希望火箭飛行速度達(dá)到16.7，但火箭起飛質(zhì)量的最大值為2000t，請問的最小值為多少？（精確到小數(shù)點(diǎn)后一位）【答案】（1）t（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可得，令運(yùn)算求解；（2）根據(jù)題意可得，令整理可得，解不等式即可得結(jié)果.【小問1詳解】由題意可得：，令，則（t），故當(dāng)火箭飛行速度達(dá)到第三宇宙速度（16.7）時(shí)，相應(yīng)的為t.【小問2詳解】由題意可得：，令，則，∴，故的最小值為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：函數(shù)有關(guān)應(yīng)用題的常見類型及解決問題的一般程序（1）常見類型：與函數(shù)有關(guān)的應(yīng)用題，經(jīng)常涉及物價(jià)、路程、產(chǎn)值、環(huán)保等實(shí)際問題，也可涉及角度、面積、體積、造價(jià)的最優(yōu)化問題；（2）應(yīng)用函數(shù)模型解決實(shí)際問題一般程序讀題（文字語言）?建模（數(shù)學(xué)語言）?求解（數(shù)學(xué)應(yīng)用）?反饋（檢驗(yàn)作答）；（3）解題關(guān)鍵：解答這類問題的關(guān)鍵是確切地建立相關(guān)函數(shù)解析式，然后應(yīng)用函數(shù)、方程、不等式和導(dǎo)數(shù)的有關(guān)知識加以綜合解答．22.已知函數(shù)（，），在區(qū)間上有最大值，最小值，設(shè)．（1）求常數(shù)，的值；（2）方程有三個(gè)不同的解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1），（