安徽省蕪湖市2022-2023學(xué)年高一上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量統(tǒng)測(cè)數(shù)學(xué)試題

2022-2023學(xué)年度第一學(xué)期蕪湖市中學(xué)教學(xué)質(zhì)量統(tǒng)測(cè)高一年級(jí)數(shù)學(xué)試題卷注意事項(xiàng)：1．本試卷滿(mǎn)分為100分，考試時(shí)間為120分鐘.2．本試卷包括“試題卷”和“答題卷”兩部分.“試題卷”共4頁(yè)，“答題卷”共6頁(yè).3．請(qǐng)務(wù)必在“答題卷”上答題，在“試題卷”上答題是無(wú)效的.4．考試結(jié)束后，請(qǐng)將“答題卷”交回.一、單選題（本題共8小題，每小題3分，共24分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合題目要求的）1.設(shè)集合，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)集合的交集，可得答案.【詳解】由題意，.故選：A.2.不等式的解集是（）A. B.C.或 D.或【答案】B【解析】【分析】根據(jù)一元二次不等式的解法計(jì)算可得；【詳解】由，解得，即原不等式的解集為；故選：B.3.（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)后得結(jié)論．【詳解】．故選：C．4.已知命題，則命題為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】給定命題是全稱(chēng)量詞命題，由全稱(chēng)量詞命題的否定的意義即可得解.【詳解】因是全稱(chēng)量詞命題，則命題為存在量詞命題，由全稱(chēng)量詞命題的否定意義得，命題：.故選：C5.若，，則下列不等式成立是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)可判斷A，取特值可判斷B，C，D.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)椋?，所以，故A正確；對(duì)于B，若，則，故B正確；對(duì)于C，若，則，故C不正確；對(duì)于D，若，則，故D不正確.故選：A.6.折扇是一種用竹木或象牙做扇骨，?紙或綾絹?zhàn)錾让娴哪苷郫B的扇子，如圖1，其平面圖如圖2的扇形，其中，，則扇面（曲邊四邊形）的面積是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由扇形面積公式計(jì)算（大扇形面積減去小扇形面積）．【詳解】由已知，，扇面面積為故選：B．7.下列說(shuō)法正確的是（）A.“”是“”的既不充分也不必要條件B.“”是“”的充分不必要條件C.若，則“”是“”的必要不充分條件D.在中，角，均為銳角，則“”是“是鈍角三角形”的充要條件【答案】D【解析】【分析】利用充分不必要條件，必要不充分條件，充要條件定義進(jìn)行逐項(xiàng)判定.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)槟軌虻玫?，反之不成立，所以“”是“”的必要不充分條件，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)闀r(shí)，，而當(dāng)時(shí)，，所以“”是“”的必要不充分條件，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，無(wú)法得出；當(dāng)，，所以，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)榻?，均為銳角，當(dāng)時(shí)，，由于所以，即，所以是鈍角三角形；反之依然成立，D正確.故選：D.8.已知實(shí)數(shù)，，，那么實(shí)數(shù)，，的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用作差法，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算，以及對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得答案.【詳解】，由，則，即，可得；，由，則，即，可得；，由，則，即，可得；綜上，.故選：A.二、多選題（本題共4小題，每小題4分，共16分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得4分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分）9.下圖為冪函數(shù)的大致圖象，則的解析式可能為（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，以及冪函數(shù)的性質(zhì)，可得答案.【詳解】對(duì)于A、C，，，顯然為奇函數(shù)，且指數(shù)在0到1之間，在第一象限是越增越慢的，故A、C正確；對(duì)于B、D，，，顯然為偶函數(shù)，故B、D錯(cuò)誤.故選：AC.10.下列說(shuō)法中正確的是（）A.在上單調(diào)遞增B.與的圖象相同C.不等式的解集為D.的圖象對(duì)稱(chēng)中心為【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可判斷A，根據(jù)誘導(dǎo)公式及余弦函數(shù)的性質(zhì)可判斷B，根據(jù)輔助角公式及正弦函數(shù)的圖象函數(shù)性質(zhì)可判斷C，根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)可判斷D.【詳解】對(duì)于A：因?yàn)榈膯握{(diào)增區(qū)間為，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故A正確；對(duì)于B：因?yàn)椋?，所以與的圖象相同，故B正確；對(duì)于C：由，可得，則，即，所以不等式的解集為，故C正確；對(duì)于D：對(duì)于函數(shù)的圖象對(duì)稱(chēng)中心為，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.11.已知，，則下列選項(xiàng)一定正確的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)于A，利用等量代換整理函數(shù)解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案；對(duì)于B，利用基本不等式，可得答案；對(duì)于C，利用反例，可得答案；對(duì)于D，利用等量代換整理函數(shù)解析式，利用導(dǎo)數(shù)研究其最值，可得答案.【詳解】對(duì)于A，由，則，由，則，，，故A正確；對(duì)于B，由，即，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，而，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由，則，由，則，，令，，令，解得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，故D正確；故選：ABD.12.已知函數(shù)圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，且，都有．若不等式，對(duì)恒成立，則的取值可以為（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】由題可得的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，且在上單調(diào)遞增，進(jìn)而將不等式轉(zhuǎn)化為，對(duì)恒成立，然后利用換元法結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得的取值范圍，即得.【詳解】因函數(shù)圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，所以的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，又，都有，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，因?yàn)椴坏仁?，?duì)恒成立，所以，對(duì)恒成立，令，則，則，所以，對(duì)恒成立，因?yàn)?，，，故，所以BC正確，AD錯(cuò)誤.故選；BC.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：恒（能）成立問(wèn)題的解法：若在區(qū)間上有最值，則（1）恒成立：；；（2）能成立：；.若能分離常數(shù)，即將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：（或），則（1）恒成立：；；（2）能成立：；.三、填空題（本題共4小題，每題4分，共16分）13.已知為第三象限角，，則___________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)商式關(guān)系以及平方和關(guān)系，可得答案.【詳解】由，則，，由，則，由為第三象限角，，，則.故答案為：.14.函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則時(shí)，___________．【答案】【解析】【分析】由偶函數(shù)的定義求解．【詳解】時(shí)，，是偶函數(shù)，∴，故答案為：．15.科學(xué)家通過(guò)生物標(biāo)本中某種放射性元素的存量來(lái)估算該生物的年代，已知某放射性元素的半衰期約為1620年（即：每經(jīng)過(guò)1620年，該元素的存量為原來(lái)的一半），某生物標(biāo)本中該元素的初始存量為，經(jīng)檢測(cè)生物中該元素現(xiàn)在的存量為，（參考數(shù)據(jù)：）請(qǐng)推算該生物距今大約___________年．【答案】3780【解析】【分析】由指數(shù)函數(shù)模型求解．【詳解】設(shè)放射性元素的存量模型為，由已知，所以，，，設(shè)題中所求時(shí)間為，則，，，，∴，．故答案為：3780.16.定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)的所有零點(diǎn)之和為_(kāi)__________．【答案】【解析】【分析】畫(huà)出函數(shù)與圖象，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性以及對(duì)數(shù)函數(shù)的運(yùn)算得出零點(diǎn)之和.【詳解】令，即，故函數(shù)的零點(diǎn)就是函數(shù)與圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)與在上圖象如圖所示：設(shè)與圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，由對(duì)稱(chēng)性可知，，.由，結(jié)合奇偶性得出，即解得，即.故答案為：四、解答題（本題共6小題，共44分）17.計(jì)算：（1）；（2）．【答案】（1）4（2）【解析】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算與指數(shù)運(yùn)算，可得答案.【小問(wèn)1詳解】原式．【小問(wèn)2詳解】原式18.小明家院子中有塊不規(guī)則空地，如圖所示．小明測(cè)量并計(jì)算得出空地邊緣曲線擬合函數(shù)，小明的爸爸打算改造空地，用家中現(xiàn)有的8米長(zhǎng)的柵欄如圖圍一面靠墻矩形空地用來(lái)鋪設(shè)草皮，請(qǐng)問(wèn)小明的爸爸需要購(gòu)買(mǎi)多少平方米的草皮才能鋪滿(mǎn)矩形草地？（不考慮材料的損耗）【答案】.【解析】【分析】設(shè)，進(jìn)而可得，根據(jù)條件可得方程，然后結(jié)合條件即得.【詳解】設(shè)，因?yàn)?，則，所以，解得，即，，此時(shí)矩形的面積為，即小明的爸爸需要購(gòu)買(mǎi)6平方米的草皮才能鋪滿(mǎn)矩形草地．19.已知集合，．（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）解分式不等式可得集合，后根據(jù)并集的定義運(yùn)算即可；（2）由題可得，然后分類(lèi)討論，結(jié)合子集的定義即得.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，故；【小?wèn)2詳解】若，則，，，，符合；②，，不符合，舍去；③，，則；綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.20.已知函數(shù)．（1）判斷函數(shù)奇偶性并證明；（2）設(shè)函數(shù)，若函數(shù)與的圖象沒(méi)有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）偶函數(shù)，證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)偶函數(shù)的定義，可得答案；（2）根據(jù)函數(shù)與方程的關(guān)系，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案.【小問(wèn)1詳解】函數(shù)定義域?yàn)椋?，，是偶函?shù).【小問(wèn)2詳解】等價(jià)于方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．令，則沒(méi)有大于的根，令．①時(shí)，符合；②時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸，，無(wú)正根符合；③時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸，，有一根大于，不符合．綜上，．21.三角函數(shù)變形化簡(jiǎn)中常用“切割化弦”的技巧．其中“弦”指正弦函數(shù)與余弦函數(shù)，“切”指正切函數(shù)與余切函數(shù)，“割”指正割函數(shù)與余割函數(shù)．設(shè)是一個(gè)任意角，如圖所示它的終邊上任意一點(diǎn)（不與原點(diǎn)重合）的坐標(biāo)為，與原點(diǎn)的距離為，則的正割函數(shù)定義為．（1）已知函數(shù)，寫(xiě)出的定義域和單調(diào)區(qū)間；（2）方程在所有根的和為，求的值．【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）1.【解析】【分析】（1）利用正割函數(shù)的定義可得函數(shù)的定義域及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；或使用轉(zhuǎn)化思想，將對(duì)正割函數(shù)的研究轉(zhuǎn)化為已學(xué)的余弦函數(shù)，進(jìn)而即得；（2）根據(jù)函數(shù)的奇偶性可得，進(jìn)而即得.【小問(wèn)1詳解】解法一：根據(jù)正割函數(shù)定義，是一個(gè)任意角，它的終邊上任意一點(diǎn)（不與原點(diǎn)重合）的坐標(biāo)為，因?yàn)椋@然，因此角的終邊不能落在軸上，結(jié)合終邊相同的角的表示，正割函數(shù)的定義域?yàn)?，且因?yàn)?，是該函?shù)的一個(gè)周期．為大于0的定值，當(dāng)時(shí)，此時(shí)越大即弧度制下的角越大，因此角終邊上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)越小，與橫坐標(biāo)的比值就越大，所以為函數(shù)的一個(gè)單調(diào)增區(qū)間，結(jié)合該函數(shù)的周期，為函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，同理為函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，和為的單調(diào)減區(qū)間；解法二：，，，，，定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，在區(qū)間和單調(diào)遞減，所以的單調(diào)增區(qū)間為和；在區(qū)間和單調(diào)遞增，所以的單調(diào)減區(qū)間為和；【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，，，，故兩函?shù)均為偶函數(shù)，所以它們函數(shù)圖象的交點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，因此方程的根的和為0，也即，所以．22.已知函數(shù)，在區(qū)間上有最大值8，有最小值0，設(shè)．（1）求，值；（2）不等式在上有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)結(jié)合條件可得關(guān)于的方程，進(jìn)而即得；（2）由題可得存在,使得成立，然后根據(jù)參變分離結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即得；（3）根據(jù)條件結(jié)合