新教材適用2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用復(fù)習(xí)課課件北師大版選擇性必修第二冊(cè)

第2課時(shí)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用復(fù)習(xí)課內(nèi)容索引0102知識(shí)梳理構(gòu)建體系專題歸納核心突破知識(shí)梳理構(gòu)建體系【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】

【要點(diǎn)梳理】

1.什么叫函數(shù)的平均變化率?它的作用是什么?提示:函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[x1,x2]上的平均變化率為

,用它來刻畫函數(shù)值在區(qū)間[x1,x2]上變化的快慢.2.何為函數(shù)的瞬時(shí)變化率?其作用是什么?提示:函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的瞬時(shí)變化率為

,它刻畫的是函數(shù)在某一點(diǎn)處變化的快慢.3.函數(shù)y=f(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)是如何定義的?其幾何意義是什么?提示:稱瞬時(shí)變化率為函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù),通常用符號(hào)f'(x0)表示,記函數(shù)y=f(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)f'(x0),是曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x0,f(x0))處的切線的斜率k,即k=f'(x0).4.導(dǎo)數(shù)運(yùn)算、四則運(yùn)算、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo).(1)求導(dǎo)數(shù)時(shí),要熟記公式,掌握規(guī)則,靈活應(yīng)用.常見的導(dǎo)數(shù)公式如表2-1.表2-1

(2)導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算①[f(x)+g(x)]'=f'(x)+g'(x);②[f(x)-g(x)]'=f'(x)-g'(x);③[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x);(3)求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)yx'=[f(φ(x))]'=f'(u)φ'(x),其中u=φ(x).5.導(dǎo)數(shù)的符號(hào)與函數(shù)的單調(diào)性有什么關(guān)系?提示:若在某個(gè)區(qū)間上,函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x)>0或f'(x)≥0且只在有限個(gè)點(diǎn)為0,則在這個(gè)區(qū)間上,函數(shù)y=f(x)單調(diào)遞增;若在某個(gè)區(qū)間上,函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x)<0或f'(x)≤0且只在有限個(gè)點(diǎn)為0,則在這個(gè)區(qū)間上,函數(shù)y=f(x)單調(diào)遞減.6.函數(shù)的極值是怎樣定義的?提示:在包含x0的一個(gè)區(qū)間(a,b)上,函數(shù)y=f(x)在任何不為x0的一點(diǎn)處的函數(shù)值都小(大)于點(diǎn)x0處的函數(shù)值,稱點(diǎn)x0為函數(shù)y=f(x)的極大(小)值點(diǎn),其函數(shù)值f(x0)為函數(shù)的極大(小)值.函數(shù)的極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)統(tǒng)稱極值點(diǎn),極大值與極小值統(tǒng)稱極值.7.何為函數(shù)f(x)的最值?提示:函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的最大(小)值點(diǎn)x0指的是:函數(shù)f(x)在這個(gè)區(qū)間上所有點(diǎn)處的函數(shù)值都不超過(不小于)f(x0);最大(小)值或者在極大(小)值點(diǎn)取得,或者在區(qū)間的端點(diǎn)取得,函數(shù)的最大值和最小值統(tǒng)稱最值.【思考辨析】

判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號(hào)內(nèi)畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”.(1)f'(x0)是函數(shù)值f(x0)的導(dǎo)數(shù).(×)(2)若函數(shù)f(x)在多處取得極大值,則f(x)的最大值一定是所有極大值中最大的一個(gè)值.(×)(3)與曲線y=f(x)有兩個(gè)或兩個(gè)以上交點(diǎn)的直線也可能是曲線y=f(x)的切線.(√)(4)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上單調(diào)遞減,則對(duì)任意x0∈(a,b)都有f'(x0)<0.(×)(5)若f'(x0)=0,則x0必為f(x)的極值點(diǎn).(×)(6)在開區(qū)間(a,b)上連續(xù)的函數(shù)f(x)若只有某一點(diǎn)處存在極大值(或極小值),則函數(shù)f(x)在該點(diǎn)處取得最大值(或最小值).(√)專題歸納核心突破【專題整合】

專題一

求函數(shù)的平均變化率和瞬時(shí)變化率【例1】

已知函數(shù)f(x)=x3+.(1)求f(x)在區(qū)間[-1,2]上的平均變化率;(2)求f(x)在x=1處的瞬時(shí)變化率.【變式訓(xùn)練1】

已知函數(shù)f(x)=3-2x,則f(x)在區(qū)間[-5,5]上的平均變化率為

;在x=0處的瞬時(shí)變化率為

.

答案:-2

-2專題二

求曲線在某點(diǎn)處的切線方程【例2】

已知函數(shù)f(x)=x2+xsinx+cosx.若曲線y=f(x)在點(diǎn)(a,f(a))處與直線y=b相切,求實(shí)數(shù)a與b的值.解:由f(x)=x2+xsin

x+cos

x,得f'(x)=x(2+cos

x).因?yàn)榍€y=f(x)在點(diǎn)(a,f(a))處與直線y=b相切,所以f'(a)=a(2+cos

a)=0,f(a)=b.解得a=0,b=f(0)=1.處理切線問題時(shí)應(yīng)記住函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)等于切線的斜率.搞清所給點(diǎn)是不是切點(diǎn).注意區(qū)分“在某點(diǎn)處的切線”和“過某點(diǎn)的切線”.【變式訓(xùn)練2】

若曲線y=f(x)=在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與直線ax+y+1=0垂直,則實(shí)數(shù)a等于

.

專題三

求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)【例3】

求函數(shù)y=sinex+ln3x的導(dǎo)數(shù).解:y'=(sin

ex)'+(ln

3x)'=excos

ex+.對(duì)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo),關(guān)鍵是將y=f(φ(x))準(zhǔn)確拆分為y=f(u)與u=φ(x).專題四

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

【例4】

已知函數(shù)f(x)=x++b(x≠0),其中a,b∈R.(1)若曲線y=f(x)在點(diǎn)P(2,f(2))處的切線方程為y=3x+1,求函數(shù)f(x)的解析式;(2)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性.根據(jù)x1,x2,列表2-2分析f'(x)的符號(hào)、f(x)的單調(diào)性和極值點(diǎn):表2-2利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟:(1)求函數(shù)f(x)的定義域;(2)求導(dǎo)數(shù)f'(x);(3)在定義域內(nèi)解不等式f'(x)>0和f'(x)<0,當(dāng)不等式中帶有參數(shù)時(shí),要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論;(4)確定函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.【變式訓(xùn)練4】

已知函數(shù)f(x)=x-+a(2-lnx),a>0,討論f(x)的單調(diào)性.x(0,x1)x1(x1,x2)x2(x2,+∞)f'(x)+0-0+f(x)↗極大值↘極小值↗根據(jù)x1,x2,列表2-3分析f'(x)的符號(hào)、f(x)的單調(diào)性和極值點(diǎn):表2-3專題五

函數(shù)的極值(最值)與導(dǎo)數(shù)【例5】

已知函數(shù)f(x)=x2+ax-lnx,a∈R.(1)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞減,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(2)令g(x)=f(x)-x2,是否存在實(shí)數(shù)a,使得當(dāng)x∈(0,e](e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))時(shí),函數(shù)g(x)的最小值是3?若存在,求出a的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.函數(shù)的極值、最值與函數(shù)的單調(diào)性是聯(lián)系在一起的,只要考查函數(shù)的極值或最值,對(duì)導(dǎo)數(shù)的考查就很全面了.對(duì)于極值、最值應(yīng)注意幾點(diǎn):(1)據(jù)極值點(diǎn)求參數(shù)后,應(yīng)代回驗(yàn)證;(2)研究極值點(diǎn)就是研究函數(shù)的單調(diào)性,即研究f'(x)的符號(hào);(3)求最大值要在極大值與端點(diǎn)值中取最大者,求最小值要在極小值與端點(diǎn)值中取最小者.【變式訓(xùn)練5】

已知函數(shù)f(x)=在區(qū)間[-2,2]上的最大值為5,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

).A.[-2ln2,+∞) B.[0,ln2]C.(-∞,0] D.[-ln2,+∞)解析:當(dāng)x∈[0,2]時(shí),f(x)=2x3-3x2+1,f'(x)=6x2-6x=6x(x-1).令f'(x)=0,解方程,得x=0或x=1.由函數(shù)f(x)的單調(diào)性,知x=1為函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn).又f(0)=1,f(2)=5,所以當(dāng)x∈[0,2]時(shí),f(x)max=5.要滿足當(dāng)x∈[-2,2]時(shí),f(x)max=5,只需當(dāng)x∈[-2,0)時(shí),f(x)≤5即可.當(dāng)x∈[-2,0)時(shí),f(x)=eax+1,f'(x)=aeax,答案:D①當(dāng)a=0時(shí),f(x)=2,符合題意;②當(dāng)a>0時(shí),f'(x)>0,函數(shù)f(x)在區(qū)間[-2,0)上單調(diào)遞增,f(x)<f(0)=e0+1=2,符合題意;③當(dāng)a<0時(shí),f'(x)<0,函數(shù)f(x)在區(qū)間[-2,0)上單調(diào)遞減,f(x)≤f(-2)=e-2a+1.令e-2a+1≤5,解得a≥-ln

2,則-ln

2≤a<0.綜上,實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-ln

2,+∞).專題六

利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問題

【例6】

某旅游景點(diǎn)預(yù)計(jì)今年1月份起前x個(gè)月的旅游人數(shù)的和p(x)(單位:萬人)與x的關(guān)系近似地滿足p(x)=x(x+1)(39-2x)(x∈N+,且x≤12).已知第x個(gè)月的人均消費(fèi)額q(x)(單位:元)與x的近似關(guān)系是(1)寫出今年第x個(gè)月的旅游人數(shù)f(x)(單位:萬人)與x的函數(shù)關(guān)系式;(2)問今年第幾個(gè)月旅游消費(fèi)總額最大?最大月旅游消費(fèi)總額為多少元?解:(1)當(dāng)x=1時(shí),f(1)=p(1)=37,當(dāng)2≤x≤12,且x∈N+時(shí),所以f(x)=-3x2+40x(x∈N+,且1≤x≤12).(2)設(shè)第x個(gè)月旅游消費(fèi)總額(單位:萬元)為g(x),當(dāng)1≤x<5時(shí),g'(x)>0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞增;當(dāng)5<x≤6時(shí),g'(x)<0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞減,所以當(dāng)x=5時(shí),g(x)取得極大值也是最大值,g(x)max=g(5)=3

125.②當(dāng)7≤x≤12,且x∈N+時(shí),g(x)=-480x+6

400是減函數(shù),∴當(dāng)x=7時(shí),g(x)取得最大值,g(x)max=g(7)=3

040.綜上,預(yù)計(jì)今年5月份的旅游消費(fèi)總額最大,最大月旅游消費(fèi)總額為3

125萬元.解決生活中的最優(yōu)化問題時(shí),一般要注意以下幾點(diǎn):(1)在求實(shí)際問題中的最大(小)值時(shí),一定要考慮問題的實(shí)際意義,不符合實(shí)際意義的值應(yīng)舍去.例如,長(zhǎng)度、寬度應(yīng)大于零,銷售價(jià)格應(yīng)為正數(shù).(2)在解決最優(yōu)化問題時(shí),不僅要注意將問題中涉及的變量關(guān)系用函數(shù)關(guān)系表示,還應(yīng)確定函數(shù)的定義域.(3)得出函數(shù)的最大值或最小值之后,要將數(shù)學(xué)問題還原到實(shí)際問題.【變式訓(xùn)練6】

某同學(xué)大學(xué)畢業(yè)后,決定利用所學(xué)專業(yè)進(jìn)行自主創(chuàng)業(yè),經(jīng)過市場(chǎng)調(diào)查,生產(chǎn)一小型電子產(chǎn)品需投入固定成本2萬元,每生產(chǎn)x萬件,需另投入流動(dòng)成本C(x)萬元,當(dāng)年產(chǎn)量小于7萬件時(shí),C(x)=x2+2x(萬元);當(dāng)年產(chǎn)量不小于7萬件時(shí),C(x)=6x+lnx+-17(萬元).已知每件產(chǎn)品售價(jià)為6元,假如該同學(xué)生產(chǎn)的產(chǎn)品當(dāng)年能全部售完.(1)寫出年利潤(rùn)p(x)(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x(萬件)的函數(shù)解析式.(注:年利潤(rùn)=年銷售收入-固定成本-流動(dòng)成本)(2)當(dāng)年產(chǎn)量約為多少萬件時(shí),該同學(xué)的這一產(chǎn)品所獲年利潤(rùn)最大?最大年利潤(rùn)是多少?(取e3≈20)解:(1)每件產(chǎn)品售價(jià)為6元,則x萬件產(chǎn)品,銷售收入為6x萬元.∵當(dāng)7≤x<e3時(shí),p'(x)>0,函數(shù)p(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x>e3時(shí),p'(x)<0,函數(shù)p(x)單調(diào)遞減.∴當(dāng)x=e3時(shí),p(x)取得極大值,也是最大值,最大值為p(e3)=15-ln

e3-1=11.∵11>10,∴當(dāng)x=e3≈20時(shí),p(x)取得最大值11,即當(dāng)年產(chǎn)量約為20萬件時(shí),該同學(xué)的這一產(chǎn)品所獲年利潤(rùn)最大,最大年利潤(rùn)為11萬元.【高考體驗(yàn)】

考點(diǎn)一

利用導(dǎo)數(shù)求切線問題1.(2022·新高考Ⅰ卷,15)若曲線y=(x+a)ex有兩條過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線,則a的取值范圍是

.

解析:本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求切線方程問題.由題意可得,y'=ex+(x+a)ex=(1+x+a)ex.∵曲線y=(x+a)ex有兩條過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線,∴Δ=a2+4a>0,解得a>0或a<-4.故a的取值范圍是(-∞,-4)∪(0,+∞).答案:(-∞,-4)∪(0,+∞)2.(2022·新高考Ⅱ卷,14)曲線y=ln|x|經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條切線方程分別為

,

.

解析:本題考查導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用,考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.考點(diǎn)二

導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

解析:本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算,利用導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性求最值.函數(shù)f(x)的定義域是(0,+∞).答案:B4.(2022·全國(guó)甲卷,文20)已知函數(shù)f(x)=x3-x,g(x)=x2+a,曲線y=f(x)在點(diǎn)(x1,f(x1))處的切線也是曲線y=g(x)的切線.(1)若x1=-1,求a;(2)求a的取值范圍.命題立意

本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,考查分類討論思想、邏輯推理能力、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力、分析問題和解決問題的能力.解:(1)∵f'(x)=3x2-1,∴f'(-1)=2.當(dāng)