奧數(shù)-六年級競賽-幾何直線形面積-燕尾定理.教師版word

直線型面積—燕尾定理第直線型面積—燕尾定理第4講理解燕尾定理，靈活運用定理解題．用份數(shù)思想求面積之間的關(guān)系．本講是在秋季所學四大模型的根底上，講解運用燕尾定理求解面積問題．至此五大模型已講解完畢．體會五大模型解決問題的優(yōu)勢．燕尾定理：S△ABGS△AGCS△BGES△EGCBEEC；S△BGAS△BGCS△AGFS△FGCAFFC；S△AGCS△BCGS△ADGS△DGBADDB；問：為什么稱之為燕尾定理？答：我們看看燕子的尾巴然后再看看右圖的陰影局部，看看陰影局部是不是很像燕子的尾巴，A是尾巴與身體的連接點，AG是燕子尾巴的中分線，左右兩個陰影三角形構(gòu)成燕子尾巴的兩側(cè)翼.同學們也可以自己動手，試試以三角形的另外兩個頂點作為尾巴與身體的連接點能不能畫出燕子的尾巴.燕尾定理因為圖形類似燕尾而得名，它的特殊性在于，它可以存在于任何一個三角形之中，為三角形中的三角形面積對應底邊之間提供互相聯(lián)系的途徑.通過一道例題證明一下燕尾定理：舉例：如右圖，D是BC上任意一點，請你說明S1S4S2S3BDDC三角形BED與三角形CED同高，分別以BD、DC為底，所以有S1S4BDDC；三角形ABE與三角形EBD同高，S1S2EDEA三角形ACE與三角形CED同高，S4S3，所以S1S4S2S3；綜上可得S1S4S2S3BDDC.用燕尾定理求面積用燕尾定理求面積如圖，，，三角形的面積是30，求陰影局部面積.題中條件只有三角形面積給出具體數(shù)值，其他條件給出的實際上是比例的關(guān)系，由此我們可以初步判斷這道題不應該通過面積公式求面積.又因為陰影局部是一個不規(guī)那么四邊形，所以我們需要對它進行改造，那么我們需要連一條輔助線，(法一)連接，因為，，三角形的面積是30，所以，．根據(jù)燕尾定理，，,所以，，所以陰影局部面積是．(法二)連接，由題目條件可得到，，所以，，而．所以陰影局部的面積為．右圖的大三角形被分成5個小三角形，其中4個的面積已經(jīng)標在圖中，那么，陰影三角形的面積是．方法一：整個題目讀完，我們沒有發(fā)現(xiàn)任何與邊長相關(guān)的條件，也沒有任何與高或者垂直有關(guān)系的字眼，由此，我們可以推斷，這道題不能依靠三角形面積公式求解.我們發(fā)現(xiàn)右圖三角形中存在一個比例關(guān)系：，解得.方法二：回憶下燕尾定理，有，解得.如右圖，三角形ABC中，BDDC49，CEEA43，求AFFB.燕子尾巴非常明顯.根據(jù)燕尾定理，，，所以，所以.如圖在中，,求的值．連接BG,設1份，根據(jù)燕尾定理,,得(份)，(份),那么(份)，因此,同理連接AI、CH得,,所以如右圖，三角形ABC中，AFFBBDDCCEAE32，且三角形GHI的面積是1，求三角形ABC的面積．連接BG，4份根據(jù)燕尾定理，，得(份)，(份)，那么(份)，因此,同理連接AI、CH得,,所以三角形GHI的面積是1，所以三角形ABC的面積是19如圖，三角形ABC被分成6個三角形，己知其中4個三角形的面積，問三角形ABC的面積是多少?設，，根據(jù)燕尾定理,得,即，，即，解得，所以三角形ABC的面積是三角形ABC的面積為15平方厘米，D為AB中點，E為AC中點，F(xiàn)為BC中點，求陰影局部的面積．令BE與CD的交點為M，CD與EF的交點為N，連接AM，BN．在中，根據(jù)燕尾定理，,,所以由于S，所以在中，根據(jù)燕尾定理，設(份)，那么(份)，(份)，(份)，所以,，因為,F為BC中點,所以,,所以(平方厘米)如右圖，中，是的中點，、、是邊上的四等分點，與交于，與交于，的面積比四邊形的面積大平方厘米，那么的面積是多少平方厘米？連接、．根據(jù)燕尾定理，，，所以；再根據(jù)燕尾定理，，所以，所以，那么，所以．根據(jù)題意，有，可得(平方厘米)如右圖，三角形ABC的面積是1，BDDEEC，CFFGGA，三角形ABC被分成9局部，請寫出這9局部的面積各是多少?設BG與AD交于點P，BG與AE交于點Q，BF與AD交于點M，BF與AE交于點N．連接CP，CQ，CM，CN．根據(jù)燕尾定理，，，設(份)，那么(份)，所以同理可得，,,而，所以，．同理，,所以，,,四邊形ABCD，CHFG為正方形，，a與b是兩個正方形的邊長，求觀察圖形，感覺陰影局部像蝴蝶定理，但是細細分析發(fā)現(xiàn)用蝴蝶定理無法繼續(xù)往下走，注意到題目條件中給出了兩個正方形的邊長，有邊長就可以利用比例，再發(fā)現(xiàn)在連接輔助線后可以利用燕尾，那么我們就用燕尾定理來求解連接EO、AF，根據(jù)燕尾定理：，所以，作OM⊥AE、ON⊥EF，∵AEEF∴∴∴求面積方法的綜合運用求面積方法的綜合運用如圖，在平行四邊形中，，．求陰影面積與空白面積的比．方法一：因為，，所以，．因為，所以，所以，．同理可得，，．因為，所以空白局部的面積，所以陰影局部的面積是．，所以陰影面積與空白面積的比是．方法二：連接CG、CH、AC,AC交BD于O，有在中，根據(jù)燕尾定理可以得到,,所以,所以,同理在中，根據(jù)燕尾定理可以得到,,所以,所以所以陰影面積與空白面積的比如圖，在一個梯形內(nèi)有兩個面積分別為10與12的三角形，梯形的上底長是下底長的，那么余下的陰影局部的面積是______．設上底為2a,那么下底為3a,梯形的高為45,所以陰影局部面積為如下圖，在中，，是的中點，那么．連接．由于，，所以，根據(jù)燕尾定理，．三角形中，是直角，，，，，那么三角形(陰影局部)的面積為多少？連接．的面積為根據(jù)燕尾定理，；同理設面積為1份，那么的面積也是1份，所以的面積是份，而的面積就是份，也是4份，這樣的面積為份，所以的面積為．三角形ABC的面積是1平方厘米，且BE2EC，F(xiàn)是CD的中點．那么陰影局部的面積是平方厘米．連接BF，根據(jù)燕尾定理,又因為F是CD的中點，所以，所以,即D是AB的中點，設(份)，那么(份),(份),(份)，(份)，所以(平方厘米)如圖，線段AB與BC垂直，AD=EC=4，DB=BE=6，那么圖中陰影局部面積是多少？這個圖是個對稱圖形，且各邊長度已經(jīng)給出，我們不妨連接這個圖形的對稱軸看看.作輔助線BO，那么圖形關(guān)于BO對稱，設△ADO的面積為2份，那么△DBO的面積為3份，直角三角形ABE的面積為8份.因為，而陰影局部的面積為4份，所以陰影局部的面積為如圖，中，，與平行，的面積是1平方厘米．那么的面積是平方厘米．因為，，與平行，所以,，，那么，又因為,所以(平方厘米)．富烏富烏鴉樹上落了一只嘴里銜著一大塊東西的烏鴉。許多追蹤這個富有者的烏鴉立刻成群飛來。它們?nèi)悸湎聛恚宦暡豁?，一動不動。那只嘴里叼著東西的烏鴉已經(jīng)很累了，很吃力地喘息著，不是嗎，它不可能一下子就把這一大塊東西吞下去呀。它也不能飛下去，在地上沉著不迫地把這塊東西啄碎，烏鴉們會猛撲過去，于是就要開始一場通常所說的混戰(zhàn)了。它只好停在那兒，保衛(wèi)嘴巴里的那塊東西。也許是因為嘴里叼著東西呼吸困難，也許是因為先前被大家追趕得精疲力竭——只見它搖晃了一下，突然失落了叼著的那塊東西。所有的烏鴉都猛撲上去，在這場混戰(zhàn)中，一只非常機靈的烏鴉搶到了那塊東西，立刻展翅飛去。頭一只被迫趕得精疲力竭的烏鴉也在跟著飛，但已明顯地落在大家后面了。結(jié)果是第二只烏鴉也像第一只一樣，精疲力竭地落到一棵樹上，最終也失落了那塊東西。于是又是