工程碩士復(fù)習

工程碩士復(fù)習上海交通大學運用數(shù)學系張憶1第一講函數(shù)極限§1函數(shù)一、定義 P183例1 ,為一樣的函數(shù)。例2設(shè)f(x)在〔-∞,+∞〕有定義，且滿足2f(x)+f(1-x)=x2試求f(x)的表達式。即：從得：22yyxxeexeey---=-=與證：令2例3知:,且求:解：∵∴據(jù)題意有又：從而有定義域：即x≤0且寫出它的定義域第一講函數(shù)極限3例4如f(x)的定義域為[0，1]，那么f(x+a)+f(x-a)定義域[a,1-a]例5求:函數(shù)的反函數(shù)①②∴反函數(shù)解：①-②第一講函數(shù)極限)(0<a<4第一講函數(shù)極限二、函數(shù)的幾種特性〔P183〕1、單調(diào)性：f(x)區(qū)間I上有定義，為I上恣意兩點。，如恒有

那么稱f(x)在I上單調(diào)添加〔減少〕設(shè)例 P536 考題62、有界性設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上有定義。如存在M>0，使得那么稱f(x)在區(qū)間I上有界，否那么稱f(x)在I上無界。例P184 練習一：3、45第一講函數(shù)極限3、奇偶性：設(shè)f(x)的定義域Z關(guān)于原點對稱，如恒有:f(-x)=f(x)x∈Z，稱f(x)為偶函數(shù)，圖形對稱y軸f(-x)=-f(x)x∈Z，稱f(x)為奇函數(shù)，圖形對稱原點例1：證明：例2：知：為奇函數(shù)，且當時，求：在時的表達式

解：， 為奇函數(shù)6第一講函數(shù)極限4、周期性設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為X，如存在常數(shù)T≠0,使得x∈Z時，必有x±T∈Z,且恒有f()=f(x+T),x∈X,那么稱f(x)為周期函數(shù),使上式成立的最小正數(shù)T為該函數(shù)的周期。7第一講函數(shù)極限三、初等函數(shù)1、根本初等函數(shù)(P183)(1)常函數(shù)y=c(-∞，+∞)偶函數(shù);(2)冪函數(shù)定義域隨u不同而不同,

(3)指數(shù)函數(shù)過〔0，1〕是指數(shù)函數(shù)(4)對數(shù)函數(shù)反函數(shù)常用性質(zhì)

()()0,1,0>+￥￥-1>=xxaaaay

8第一講函數(shù)極限(5)三角函數(shù)y=sinx,y=cosx,y=tanx,y=cotx,y=secx,y=cscx常用公式：，，

降冪公式：，，例∴的周期為π。9第一講函數(shù)極限(6)反三角函數(shù)

y=arccosx(-1≤x≤1,0≤y≤π)y=arccotx(-∞<x<+∞,0<y<π)都有界y=arctanx(-∞<x<+∞,<y<)-)≤y≤-(-1≤x≤1,y=arcsinx10第一講函數(shù)極限x∈∈(0,+∞),

=2+3,∈(-∞,+∞)復(fù)合函數(shù)那么2、復(fù)合函數(shù)例1復(fù)合而成的函數(shù)。稱為由y=f(u),那么x∈X定義：y=f(u)u∈su=,u∈s,X,當x∈11

第一講函數(shù)極限例2設(shè)求：解：

-12第一講函數(shù)極限例3函數(shù)由那些函數(shù)復(fù)合而成解：3、初等函數(shù)定義：由根本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四那么運算和有限次復(fù)合而成的并能用一個分析式子表示的函數(shù)。13第一講函數(shù)極限§2 極限與延續(xù) 一、數(shù)列的極限 P185 1，2，3，4例 設(shè)：，且那么與

A、都收斂于a， B、都收斂，不一定收斂于a，C、能夠收斂，能夠發(fā)散，D、都發(fā)散。選A：14第一講函數(shù)極限二、函數(shù)極限 P186

()211lim21lim211=--=+??xxxxx

先看例1極限定義15第一講函數(shù)極限012YX例的變化趨勢。時而極限定義中有定義沒有關(guān)系，因此能否有元極限與函數(shù)在闡明函數(shù)在()xfxx01xx0?xx0=xx0=16第一講函數(shù)極限2．函數(shù)極限性質(zhì) 〔同數(shù)列〕 3．函數(shù)極限運算〔1〕四那么運算 〔2〕存在準那么同數(shù)列 〔3〕復(fù)合函數(shù)

〔4〕兩個重要極限4．無窮小量與無窮大量 P18717第一講函數(shù)極限例1在x=0極限能否存在？∵∴解：例2問f(x)在x=2極限能否存在？解：∵存在∴問)f(18第一講函數(shù)極限例3不存在例4

不存在解：解：例5

例619第一講函數(shù)極限例7例8例9例1020第一講函數(shù)極限例11

例1221第一講函數(shù)極限例13例14

例15

22第一講函數(shù)極限例16知求解：原式必需分子次數(shù)<分母次數(shù)例18例1923第一講函數(shù)極限，求之值

分母

∴當即將

∴例20知解一:原式代入原式并有理化得

24第一講函數(shù)極限解二:原式為型，得∴例21知 求解可得即

25第一講函數(shù)極限三、延續(xù)1、定義(1) (2)在處的延續(xù)性}Δyx0+Δxx00y=f(x)xy}Δyx0+Δxx00xy即滿足： iii存在I存在ii 存在26第一講函數(shù)極限2、根本結(jié)論(1)延續(xù)函數(shù)的和、差、積、商〔分母不為零〕仍為延續(xù)函數(shù)；(2)延續(xù)函數(shù)復(fù)合函數(shù)仍延續(xù)；(3)初等函數(shù)在其有定義的區(qū)間內(nèi)是延續(xù)的。(4)單調(diào)延續(xù)函數(shù)的反函數(shù)也延續(xù)。例1設(shè) 在〔-∞，+∞〕延續(xù)，那么a=2那么當A=7時f(x)在x=2延續(xù)例2設(shè)27第一講函數(shù)極限例3在A.、ln2B、0C、2D、恣意實數(shù)延續(xù)，那么a=______________例4

延續(xù)，且A、1 B、2C、3 D、028例5討論解：當

在定義域內(nèi)能否延續(xù)第一講函數(shù)極限延續(xù)在),()(1)()(lim)(lim

ex

lnex0

1)(ex+￥-￥\===?íì>￡<=\+??xfefxfxfxxfex29第一講函數(shù)極限3、延續(xù)點可去使左極限右極限騰躍延續(xù)點騰躍延續(xù)點，不可去右極限=右極限延續(xù)點第二類延續(xù)點：左,右極限至少有一個不存在(無窮、振蕩等)第一類延續(xù)點(左,右極限都存在)，改動定義，可去不存在使補充定義30第一講函數(shù)極限例1A、騰躍 B、可去 C、無窮 D、振蕩

∴x=0為第一類可去延續(xù)點。x=0是的〔B〕延續(xù)點∵例2P50 例1.36指出函數(shù)的延續(xù)點并討論延續(xù)點類型，如有可去延續(xù)點，指出如何補充或改函數(shù)的定義使它延續(xù)。31第一講函數(shù)極限例3解：f(x)的延續(xù)點為x=0，x=-1，x=1

∴x=0為f(x)的騰躍延續(xù)點，不可去?！鄕=1是f(x)的第一類∴x=-1是f(x)的第二類延續(xù)點?！摺摺呖扇パ永m(xù)點，假設(shè)補充定義f(1)=1/2，就使f(x)在x=1延續(xù)。32第一講函數(shù)極限例4解：x=0,x=2為第二類延續(xù)點x=1為第一類可去延續(xù)點，補充定義使f(1)=133第一講函數(shù)極限例5設(shè)函數(shù) A、不存在延續(xù)點 B、存在第一類延續(xù)點C、存在延續(xù)點x=0 D、存在延續(xù)點x=1解：選Bx=0為第一類騰躍延續(xù)點，不可去。，討論函數(shù)延續(xù)點其結(jié)論為34第一講函數(shù)極限4閉區(qū)間上延續(xù)函數(shù)性質(zhì)：<有界性定理>閉區(qū)間上延續(xù)函數(shù)必有界。<最值存在定理>閉區(qū)間上延續(xù)函數(shù)必有最小值、最大值。<介值定理>閉區(qū)間上延續(xù)函數(shù)一定能獲得介于最小值和最大值之間的任何值。<零點存在定理>設(shè)f(x)∈C[a，b]，且f(a)f(b)<0，那么存在ξ∈(a，b)，使得f(ξ)=0例1證明方程至少有一個小于1的正根∴存在ξ∈(0，