四川省2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期11月月考數(shù)學(xué)模擬試題（含答案）

四川省2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期11月月考數(shù)學(xué)模擬試題一、單選題（每題5分，共8小題，總計(jì)40分）1．直線的一個方向向量是（

）A． B． C． D．2．為空間的一組基底，則下列各項(xiàng)中能構(gòu)成基底的一組向量是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，3．今有水平相當(dāng)?shù)钠迨旨缀推迨忠疫M(jìn)行某項(xiàng)圍棋比賽，勝者可獲得24000元獎金.比賽規(guī)定下滿五局，五局中獲勝局?jǐn)?shù)多者贏得比賽，比賽無平局，若比賽已進(jìn)行三局，甲兩勝一負(fù)，由于突發(fā)因素?zé)o法進(jìn)行后面比賽，如何分配獎金最合理？（

）A．甲12000元，乙12000元 B．甲16000元，乙8000元C．甲20000元，乙4000元 D．甲18000元，乙6000元4．已知某運(yùn)動員每次投籃命中的概率都為40%.現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)該運(yùn)動員三次投籃恰有兩次命中的概率：先由計(jì)算器算出0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三個隨機(jī)數(shù)為一組，代表三次投籃的結(jié)果.經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了20組隨機(jī)數(shù)：907

966

191

925

271

932

812

458

569

683431

257

393

027

556

488

730

113

537

989據(jù)此估計(jì)，該運(yùn)動員三次投籃恰有兩次命中的概率為（

）A．0.35 B．0.25 C．0.20 D．0.155．如圖，空間四邊形中，，，.點(diǎn)在上，且，為的中點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．6．十項(xiàng)全能是田徑運(yùn)動中全能項(xiàng)目的一種，是由跑、跳、投等個田徑項(xiàng)目組成的綜合性男子比賽項(xiàng)目，比賽成績是按照國際田徑聯(lián)合會制定的專門田徑運(yùn)動會全能評分表將各個單項(xiàng)成績所得的評分加起來計(jì)算的，總分多者為優(yōu)勝者.如圖，這是某次十項(xiàng)全能比賽中甲、乙兩名運(yùn)動員的各個單項(xiàng)得分的雷達(dá)圖，則下列說法不正確的是（

）A．在米跑項(xiàng)目中，甲的得分比乙的得分高B．在跳高和標(biāo)槍項(xiàng)目中，甲、乙水平相當(dāng)C．甲的各項(xiàng)得分比乙的各項(xiàng)得分更均衡D．甲的各項(xiàng)得分的極差比乙的各項(xiàng)得分的極差大7．設(shè)直線l的方程為，則直線l的傾斜角的范圍是（

）A． B． C． D．8．如圖，已知正方體，空間中一點(diǎn)滿足，且，當(dāng)取最小值時，點(diǎn)位置記為點(diǎn)，則數(shù)量積的不同取值的個數(shù)為（）

A．3 B．6 C．7 D．8二、多選題（每題5分，共4小題，總計(jì)20分）9．甲?乙各投擲一枚骰子，下列說法正確的是（

）A．事件“甲投得5點(diǎn)”與事件“甲投得4點(diǎn)”不是互斥事件B．事件“甲投得6點(diǎn)”與事件“乙投得5點(diǎn)”是相互獨(dú)立事件C．事件“甲?乙都投得6點(diǎn)”與事件“甲?乙不全投得6點(diǎn)”是對立事件D．事件“至少有1人投得6點(diǎn)”與事件“甲投得6點(diǎn)且乙沒投得6點(diǎn)”是相互獨(dú)立事件10．直線過點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距的絕對值相等，則直線在軸上的截距可能是（

）A．3 B．0 C． D．111．某校高二年級有男生600人，女生400人，小華按男生、女生進(jìn)行分層，通過分層抽樣的方法，得到一個總樣本量為100的樣本，計(jì)算得到男生、女生的平均身高分別為170cm和160cm，方差分別為15和30，則下列說法正確的有（）A．若小華采用樣本量比例分配的方式進(jìn)行抽樣，則男生、女生分別應(yīng)抽取60人和40人；B．若小華采用樣本量比例分配的方式進(jìn)行抽樣，則樣本的方差為37.8；C．若小華采用樣本量比例分配的方式進(jìn)行抽樣，則樣本的平均數(shù)為166，此時可用樣本平均數(shù)估計(jì)總體的平均數(shù)；D．若小華采用等額抽取，即男生、女生分別抽取50人，則某男生甲被抽到的概率為.12．如圖，在長方體中，點(diǎn)P是底面內(nèi)的動點(diǎn)，分別為中點(diǎn)，若，則下列說法正確的是（

）

A．最大值為1B．四棱錐的體積和表面積均不變C．若面，則點(diǎn)P軌跡的長為D．在棱上存在一點(diǎn)M，使得面面三、填空題（每題5分，共4小題，總計(jì)20分）13．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到平面的距離為.14．已知直線互相垂直，則的值為.15．在正四棱錐S-ABCD中，O為頂點(diǎn)在底面內(nèi)的投影，P為側(cè)棱SD的中點(diǎn)，且SO＝OD，則直線BC與平面PAC的夾角是．16．已知正三棱柱的所有棱長均為2，為線段上的動點(diǎn)，則到平面的最大距離為.四、解答題（本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．已知直線過點(diǎn)．(1)若直線與直線垂直，求直線的方程；(2)若直線與兩坐標(biāo)軸上圍成的三角形面積為，求直線的方程．18．甲、乙兩校各有3名教師報(bào)名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．（1）若從甲校和乙校報(bào)名的教師中各任選1名，寫出所有可能的結(jié)果，并求選出的2名教師性別相同的概率；（2）若從報(bào)名的6名教師中任選2名，寫出所有可能的結(jié)果，并求選出的2名教師來自同一學(xué)校的概率．19．如圖，在四棱錐中，底面，，，，.(1)求異面直線與所成角的余弦值；(2)求平面與平面夾角的余弦值.20．從2022年秋季學(xué)期起，四川省啟動實(shí)施高考綜合改革，實(shí)行高考科目“3+1+2”模式.“3”指語文、數(shù)學(xué)、外語三門統(tǒng)考學(xué)科，以原始分?jǐn)?shù)計(jì)入高考成績；“1”指考生從物理、歷史兩門學(xué)科中“首選”一門學(xué)科，以原始分?jǐn)?shù)計(jì)入高考成績；“2”指考生從政法、地理、化學(xué)、生物四門學(xué)科中“再選”兩門學(xué)科，以等級分計(jì)入高考成績.按照方案，再選學(xué)科的等級分賦分規(guī)則如下，將考生原始成績從高到低劃分為A，B，C，D，E五個等級，各等級人數(shù)所占比例及賦分區(qū)間如下表：等級ABCDE人數(shù)比例賦分區(qū)間將各等級內(nèi)考生的原始分依照等比例轉(zhuǎn)換法分別轉(zhuǎn)換到賦分區(qū)間內(nèi)，得到等級分，轉(zhuǎn)換公式為，其中，分別表示原始分區(qū)間的最低分和最高分，，分別表示等級賦分區(qū)間的最低分和最高分，Y表示考生的原始分，表示考生的等級分，規(guī)定原始分為時，等級分為，計(jì)算結(jié)果四舍五入取整.某次化學(xué)考試的原始分最低分為50，最高分為98，呈連續(xù)整數(shù)分布，其頻率分布直方圖如下：

(1)根據(jù)頻率分布直方圖，求此次化學(xué)考試成績的平均值；(2)按照等級分賦分規(guī)則，估計(jì)此次考試化學(xué)成績A等級的原始分區(qū)間；(3)用估計(jì)的結(jié)果近似代替原始分區(qū)間，若某學(xué)生化學(xué)成線的原始分為90，試計(jì)算其等級分.21．如圖,在四棱錐中,底面是菱形,,三角形為正三角形,且側(cè)面底面.分別為線段,的中點(diǎn).

(1)求證:平面;(2)在棱上是否存在點(diǎn),使平面平面,請說明理由.22．如圖1，在中，，，分別為邊，的中點(diǎn)，且，將沿折起到的位置，使，如圖2，連接，.

圖1

圖2(1)求證：平面；(2)若為的中點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值；(3)線段上一動點(diǎn)滿足，判斷是否存在，使二面角的正弦值為，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.1．B【分析】直接根據(jù)方向向量的定義解答即可．【詳解】直線的斜率為，則選項(xiàng)中是直線的一個方向向量，即B正確．故選：B．2．C【分析】確定，，排除ABD，得到答案.【詳解】對選項(xiàng)A：，向量共面，故不能構(gòu)成基底，錯誤；對選項(xiàng)B：，向量共面，故不能構(gòu)成基底，錯誤；對選項(xiàng)C：假設(shè)，即，這與題設(shè)矛盾，假設(shè)不成立，可以構(gòu)成基底，正確；對選項(xiàng)D：，向量共面，故不能構(gòu)成基底，錯誤；故選：C3．D【分析】根據(jù)甲乙兩人最終獲勝的概率即可按比例分配.【詳解】乙最終獲勝的概率為，甲最終獲勝的概率為，所以甲乙兩人按照分配獎金才比較合理，所以甲元，乙元，故選：D4．B【分析】已知三次投籃共有20種，再得到恰有兩次命中的事件的種數(shù)，然后利用古典概型的概率公式求解.【詳解】三次投籃共有20種，恰有兩次命中的事件有：191，271，932，812，393，有5種∴該運(yùn)動員三次投籃恰有兩次命中的概率為故選：B本題主要考古典概型的概率求法，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.5．C【分析】根據(jù)空間向量的加減和數(shù)乘運(yùn)算直接求解即可.【詳解】為的中點(diǎn)，,.故選：C.6．C【分析】利用雷達(dá)圖、結(jié)合方差、極差的概念逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】對于A，由圖中數(shù)據(jù)知，在米跑項(xiàng)目中，甲的得分比乙的得分高，正確；對于B，由圖中數(shù)據(jù)知，在跳高和標(biāo)槍項(xiàng)目中，甲、乙水平相當(dāng)，正確；對于C，甲的各項(xiàng)得分差異比乙的各項(xiàng)得分差異大，因此乙的各項(xiàng)得分更均衡，不正確；對于D，甲的各項(xiàng)得分的極差大于400，乙的各項(xiàng)得分的極差小于200，所以乙的各項(xiàng)得分的極差大，正確.故選：C.7．D【分析】當(dāng)時，可得傾斜角，當(dāng)時，由直線方程可得斜率，然后由余弦函數(shù)和正切函數(shù)的性質(zhì)求解．【詳解】當(dāng)時，方程為，直線的傾斜角，當(dāng)時，由直線方程可得斜率，，且，，即，又，，綜上，傾斜角的范圍是故選：D．8．A【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、分別為軸、軸、軸建立空間坐標(biāo)系，由題意可得點(diǎn)在平面內(nèi)，且當(dāng)平面時，取最小值，即平面,求出的坐標(biāo)，計(jì)算出的值，即可得答案.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、分別為軸、軸、軸建立空間坐標(biāo)系，如圖所示：

設(shè)正方體的棱長為，則，，，，，，，，因?yàn)?，且，所以點(diǎn)在平面內(nèi)，

又因?yàn)槿忮F為正三棱錐，當(dāng)平面時，取最小值，此時點(diǎn)位置記為點(diǎn)，所以為的重心，則，故，又因?yàn)?，，，，，，，所以，，，，，，，所以?個不同的取值.故選：A.關(guān)鍵點(diǎn)睛：在平面中，如果，且，則三點(diǎn)共線；在空間中，如果，且，則四點(diǎn)共面.9．BC【分析】根據(jù)互斥事件、獨(dú)立事件和對立事件的定義逐一判斷即可.【詳解】對于A，事件“甲投得5點(diǎn)”與事件“甲投得4點(diǎn)”不可能同時發(fā)生，二者為互斥事件，A錯誤；對于B,事件“甲投得6點(diǎn)”發(fā)生與否對事件“乙投得5點(diǎn)”沒有影響，二者是相互獨(dú)立事件，B正確；對于C，事件“甲?乙都投得6點(diǎn)”的反面為“至少有1人沒有投得6點(diǎn)”，也即“甲?乙不全投得6點(diǎn)”，故事件“甲?乙都投得6點(diǎn)”與事件“甲?乙不全投得6點(diǎn)”是對立事件，C正確；對于D，事件“至少有1人投得6點(diǎn)”包含“甲投得6點(diǎn)且乙沒投得6點(diǎn)”的情況，故事件“至少有1人投得6點(diǎn)”與事件“甲投得6點(diǎn)且乙沒投得6點(diǎn)”不是相互獨(dú)立事件，D錯誤，故選：BC10．ABD【分析】通過討論直線截距是否為的情況，即可得出結(jié)論【詳解】由題意，直線過點(diǎn)，在兩坐標(biāo)軸上的截距的絕對值相等，當(dāng)直線的截距為0時，顯然滿足題意，為：；當(dāng)直線的截距不為0時，設(shè)橫、縱截距分別為，則直線方程為：，∴，解得：或，∴直線的縱截距可取.故選：ABD.11．AC【分析】根據(jù)分層抽樣、方差、平均數(shù)、古典概型等知識對選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】A選項(xiàng)，男生抽取，女生抽取人，A選項(xiàng)正確.C選項(xiàng)，樣本平均數(shù)為，可以用樣本平均數(shù)估計(jì)總體的平均數(shù)，C選項(xiàng)正確.B選項(xiàng)，樣本方差為，所以B選項(xiàng)錯誤.D選項(xiàng)，男生甲被抽到的概率為，D選項(xiàng)錯誤.故選：AC12．ACD【分析】，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時，，可得最大值為1可判斷A；利用棱錐的體積公式計(jì)算可得四棱錐的體積；當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合、為上底面的中心時，計(jì)算出表面積可判斷B；取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，利用面面平行的判定定理可得平面平面，可得點(diǎn)P軌跡為線段，求出可判斷C；以為原點(diǎn)，所在的直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，求出平面、平面的一個法向量，利用面面垂直的向量求法求出可判斷D.【詳解】對于A，，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時，，即，所以，所以，所以最大值為1，故A正確；

對于B，因?yàn)辄c(diǎn)到底面的距離為，底面面積為，所以四棱錐的體積為，是定值；當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時，四個側(cè)面都為直角三角形，所以表面積為，

當(dāng)點(diǎn)為上底面的中心時，連接，則，且，，此時表面積為，所以，故C錯誤；

對于C，取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，分別連接，可得，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，且，平面，所以平面平面，?dāng)時，平面，可得面，則點(diǎn)P軌跡為線段，此時，故C正確；

對于D，以為原點(diǎn)，所在的直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，所以，設(shè)，則，，，設(shè)平面的一個法向量為，所以，，令可得，設(shè)平面的一個法向量為，所以，，令可得，由，解得，滿足題意，故D正確.

故選：ACD.空間中面面角的解題步驟：第一步首先建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系并寫出相應(yīng)點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)；第二步然后求出兩個平面的法向量；第三步再利用向量的夾角公式即可得出結(jié)論.13．5【分析】根據(jù)空間直角坐標(biāo)系的定義和點(diǎn)的坐標(biāo)得到答案.【詳解】到平面的距離為豎坐標(biāo)的絕對值，即為5故514．.【分析】根據(jù)兩條直線垂直的條件，得到所滿足的等量關(guān)系式，解方程，求得的值.【詳解】因?yàn)橹本€互相垂直，則有，即，進(jìn)一步化簡得，解得或，故答案是0或2.該題所考查的是有關(guān)兩條直線垂直的條件，利用垂直的條件是，得到關(guān)于所滿足的等量關(guān)系式，求得結(jié)果.15．30°【分析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法求線面角．【詳解】解：如圖所示，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.設(shè)OD＝SO＝OA＝OB＝OC＝a，則A(a，0，0)，B(0，a，0)，C(－a，0，0)，，則＝(2a，0，0)，＝，＝(a，a，0)．設(shè)平面PAC的法向量為＝(x，y，z)，因?yàn)椤?，，所以所以x＝0，y＝z，令y＝1，則＝(0，1，1)是平面PAC的一個法向量，所以cos〈〉＝，所以〈〉＝60°，所以直線BC與平面PAC的夾角為90°－60°＝30°．故30°．方法點(diǎn)睛：本題考查證明線面垂直，考查求直線與平面所成的角，求線面角常用方法：（1）定義法：作出直線與平面所成的角并證明，然后在直角三角形中計(jì)算可得；（2）向量法：建立空間直角坐標(biāo)系，由直線的方向向量與平面的法向量夾角的余弦的絕對值等于直線與平面所成角的正弦值計(jì)算．16．【分析】取的中點(diǎn)，連接，以為原點(diǎn)，所在的直線為軸，所在的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，然后利用空間向量求解即可.【詳解】取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)槿庵鶠檎庵?，所以，平面，因?yàn)槠矫妫?，所以以為原點(diǎn)，所在的直線為軸，所在的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)檎庵乃欣忾L均為2，所以，設(shè)，則，所以,當(dāng)時，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，設(shè)到平面的距離為，則，當(dāng)時，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，設(shè)到平面的距離為，則，所以當(dāng)時，取得最大值，因?yàn)椋缘狡矫娴淖畲缶嚯x為，故17．(1)(2)或【分析】（1）設(shè)直線的方程為，代入點(diǎn)坐標(biāo)可得答案；（2）設(shè)直線的方程為，求出橫截距、縱截距，利用可得答案.【詳解】（1）設(shè)直線的方程為過點(diǎn)，的方程：；（2）設(shè)直線的方程為，橫截距為，縱截距為，，或，方程為或.18．（1）（2）【詳解】甲校的男教師用A、B表示，女教師用C表示，乙校的男教師用D表示，女教師用E、F表示，（1）根據(jù)題意，從甲校和乙校報(bào)名的教師中各任選1名，有（AD），（AE），（AF），（BD），（BE），（BF），（CD），（CE），（CF），共9種；其中性別相同的有（AD）（BD）（CE）（CF）四種；則選出的2名教師性別相同的概率為P=；（2）若從報(bào)名的6名教師中任選2名，有（AB）（AC）（AD）（AE）（AF）（BC）（BD）（BE）（BF）（CD）（CE）（CF）（DE）（DF）（EF）共15種；其中選出的教師來自同一個學(xué)校的有6種；則選出的2名教師來自同一學(xué)校的概率為P=．19．(1)(2)【分析】（1）由向量法即可求得異面直線的夾角余弦值；（2）由向量法即可求得面面角的夾角余弦值.【詳解】（1）因?yàn)榈酌?，底面，所以，，且，，所以，以為坐?biāo)原點(diǎn)，分別以為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，則，，所以，故異面直線與所成角的余弦值為.（2），設(shè)平面的法向量為，則，即，令，得.易知是平面的一個法向量，因?yàn)?，所以平面與平面夾角的余弦值為.20．(1)73(2)(3)91分【分析】（1）利用頻率分布直方圖各小矩形面積和為1求出，由頻率分布直方圖中平均數(shù)的概念求解平均數(shù)；（2）求出等級A的原始分區(qū)間的最低分，又最高分為98，即可得解；（3）利用給定轉(zhuǎn)換公式求出等級分作答．【詳解】（1）由，可得，此次化學(xué)考試成績的平均值為分．（2）由頻率分布直方圖知，原始分成績位于區(qū)間的占比為，位于區(qū)間的占比為，因?yàn)槌煽傾等級占比為，所以等級A的原始分區(qū)間的最低分位于區(qū)間，估計(jì)等級A的原始分區(qū)間的最低分為，已知最高分為98，所以估計(jì)此次考試化學(xué)成績A等級的原始分區(qū)間為．（3）由，解得，該學(xué)生的等級分為91分．21．