2022年全國(guó)新高考I卷數(shù)學(xué)試卷（解析版）

絕密☆啟用前試卷類型：A

2022年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試

數(shù)學(xué)

本試卷共4頁(yè)，22小題，滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)

號(hào)和座位號(hào)填寫在答題卡上.用2B鉛筆將試卷類型(A)填涂在答題卡相應(yīng)位

置上.將條形碼橫貼在答題卡右上角”條形碼粘貼處”.

2.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的

答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答

在試卷上.

3.非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目

指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫上新的答

案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無(wú)效.

4.考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)

中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.若集合M=[x|?<4},N={x|3xNl},則Mp|N=()

A.{x|04x<2}B.-x^<x<2C.1x|3<x<161D.

1

<[x—3<x<16>J

【答案】D

【解析】

【分析】求出集合M,N后可求McN.

詳解】M={x|0<x<16},N={x|xNg},故MDN=<>,

故選：D

2.若i(l-z)=l,則z+N=()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D

【解析】

【分析】利用復(fù)數(shù)的除法可求z,從而可求z+N.

1?

【詳解】由題設(shè)有l(wèi)-z=；=m=-i,故Z=l+i，故Z+彳=(l+i)+(l—i)=2,

故選：D

3.在AABC中，點(diǎn)。在邊AB上，BD=2DA.記臣=而，。方=萬(wàn)，則無(wú)=()

A.3m—2ftB.-2m+3nC.3m+2nD.

2慶+3/7

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)幾何條件以及平面向量的線性運(yùn)算即可解出.

【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)。在邊AB上，BD=2DA，所以M=2方印，即

CD-CB=2(CA-CD),

所以麗=3瓦-2與=35-2碗=-2后+3方.

故選:B.

4.南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問(wèn)題，其中一部分水蓄入某水庫(kù).已知該水

庫(kù)水位為海拔148.5m時(shí)，相應(yīng)水面的面積為MO.Okn?；水位為海拔157.5m時(shí)，相應(yīng)水

面的面積為180.0km2,將該水庫(kù)在這兩個(gè)水位間的形狀看作一個(gè)棱臺(tái)，則該水庫(kù)水位從

海拔148.5m上升到157.5m時(shí)，增加的水量約為(77=2.65)()

A.1.0xl09m3B.1.2xl09m3C.1.4xlO9m3D.

1.6xl09m3

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)題意只要求出棱臺(tái)的高，即可利用棱臺(tái)的體積公式求出.

【詳解】依題意可知棱臺(tái)的高為MN=157.5—148.5=9(m),所以增加的水量即為棱臺(tái)的

體積V.

棱臺(tái)上底面積S=140.0km2=140xl()6m2,下底面積S'=ISO.Okn?=18()xl()6m2,

AV=1/?(S+S,+V^7)=1X9X(140X106+180X106+V140X180X1012)

=3X(320+60V7)X106?(96+18X2.65)X107=1.437x109?1.4xl09(m3).

故選：c.

5.從2至8的7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù)，則這2個(gè)數(shù)互質(zhì)的概率為（）

111

A.—B.-C."D.

632

【答案】D

【解析】

【分析】由古典概型概率公式結(jié)合組合、列舉法即可得解.

【詳解】從2至8的7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù)，共有C；=21種不同的取法,

若兩數(shù)不互質(zhì),不同的取法有：（2,4）,（2,6）,（2,8）,（3,6）,（4,6）,（4,8）,（6,8）,共7種,

21-72

故所求概率P=——-=-

213

故選：D.

6.記函數(shù)/（x）=sin[++（口>0）的最小正周期為7.若上<T〈乃，且

I4；3

y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)|日,2）中心對(duì)稱，則/（）

35

A.1B.-C.-D.3

22

【答案】A

【解析】

【分析】由三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)可求得參數(shù)，進(jìn)而可得函數(shù)解析式，代入即可得解.

27r

【詳解】由函數(shù)的最小正周期T滿足——<7<?,得，解得2<①<3,

3

又因?yàn)楹瘮?shù)圖象關(guān)于點(diǎn)（￡,2）對(duì)稱,3乃7T

所以——(D+—=k7r,kGZ且匕=2,

24

1?5571

所以G=----1—k、kQZ、所以啰=一/(x)=sin_九+一+2,

63224

所以/圖=sin序+[+2=1.

故選：A

7.設(shè)a=O.le°」I=,，c=-ln0.9,則()

9

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.

a<c<b

【答案】C

【解析】

【分析】構(gòu)造函數(shù)/(%)=ln(l+x)-x,導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，由此確定凡瓦。大小.

【詳解】設(shè)〃x)=ln(l+x)-x(x>-l),因?yàn)?'(幻=」--1=一_—,

l+x1+X

當(dāng)(-1,0)時(shí)，f'(x)>0,當(dāng)xe(0,+oo)時(shí)/'(x)<0,

所以函數(shù)/(x)=ln(l+x)—x在(0,+8)單調(diào)遞減，在(-1,0)上單調(diào)遞增，

所以/(3</(0)=0,所以lnW—_L<。，故J.>inW=Tn0.9，即匕〉c,

99999

191Q--1-1

所以/(一一)</(0)=0,所以始二+一<0,故二<e?),所以」-6。<上，

10101010109

故。<6,

1(%2_1\已*_i_1

設(shè)g(x)=xe'+ln(l—x)(0<x<l),則=(x+l)e'+——----------，

、'x-1x-1

令h(x)=ex(x2-1)+1,h'(x)=ex(x2+2x-l),

當(dāng)0<x<a-M寸，〃(力<0,函數(shù)//(》)=e'，—1)+1單調(diào)遞減，

當(dāng)后一1<%<1時(shí)，〃'(幻>°，函數(shù)〃(x)=e'(x2一1)+1單調(diào)遞增，

又〃(0)=0,

所以當(dāng)0cx<0-1時(shí)，h(x)<0,

所以當(dāng)0cx<0-1時(shí)，g'(以>。,函數(shù)g(x)=xe*+ln(l-x)單調(diào)遞增,

所以g(0.1)>g(0)=0,即0.1e°'>—ln0.9,所以

故選：C.

8.已知正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為/,其各頂點(diǎn)都在同一球面上.若該球的體積為36萬(wàn)，且

34/W3G，則該正四棱錐體積的取值范圍是()

A.18丹27812764

B.C.D.

44443

[18,27]

【答案】C

【解析】

【分析】設(shè)正四棱錐的高為/?,由球的截面性質(zhì)列方程求出正四棱錐的底面邊長(zhǎng)與高的關(guān)

系，由此確定正四棱錐體積的取值范圍.

【詳解】V球的體積為36萬(wàn)，所以球的半徑R=3,

設(shè)正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為2a,高為力，

則/=24+/,32=2/+(3-02,

所以6。=廣，2a2=F—信

112/4I21(,6\

4

所以正四棱錐的體積V=-SA=-X4?2X/Z=-X(/2---)x—=-I-—

3333669[36J

所以V'

916J

當(dāng)34/42幾時(shí)，V'＞0，當(dāng)2指＜”38時(shí)，當(dāng)＜0,

所以當(dāng)/=2幾時(shí)，正四棱錐的體積V取最大值，最大值為亍,

,27[―.81

又/=3時(shí)，V=—,/=3百時(shí)，V=—

44

27

所以正四棱錐的體積V的最小值為

2764

所以該正四棱錐體積的取值范圍是，

43

故選：C.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中,

有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0

分.

9.已知正方體ABCO-A4GR,則()

A.直線BG與0A所成的角為90°B.直線8G與CA所成的角為90°

C.直線8c與平面B8QO所成的角為45°D,直線與平面ABC。所成的角為

45°

【答案】ABD

【解析】

【分析】數(shù)形結(jié)合，依次對(duì)所給選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.

【詳解】如圖，連接qc、BG，因?yàn)镈4.//8C，所以直線BG與qc所成的角即為直

線BG與所成的角，

因?yàn)樗倪呅?4GC為正方形，則故直線BQ與￡>A所成的角為90°,A正

確；

連接AC，因?yàn)槠矫鍮BCC，8C|U平面BgGC，則AqLBG，

因?yàn)锽C^BG，所以BG1.平面A,BC，

又ACu平面A及C,所以BG，C4,故B正確;

連接4G，設(shè)4005。=。，連接50,

因?yàn)?g_L平面4月。1。1，。。匚平面人用6口，則G0,616,

因?yàn)镃QJ-BQi，B[DiCB]B=Bi，所以C0_L平面BBQ。，

所以NCR。為直線BG與平面8線。力所成的角，

設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，則GO=?Z，BC、=母,sinNC/O=2?=4,

128G2

所以，直線與平面88QQ所成的角為30°，故C錯(cuò)誤；

因?yàn)镚。，平面ABC。，所以NC|BC為直線與平面ABC。所成的角，易得

NC0C=45°,故D正確.

故選：ABD

10.已知函數(shù)/(為=%3一x+1,則()

A./(X)有兩個(gè)極值點(diǎn)B.f(x)有三個(gè)零點(diǎn)

C.點(diǎn)(0,1)是曲線y=/(%)的對(duì)稱中心D.直線y=2x是曲線y=/(x)的切

線

【答案】AC

【解析】

【分析】利用極值點(diǎn)的定義可判斷A,結(jié)合/(幻的單調(diào)性、極值可判斷B,利用平移可判

斷C；利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義判斷D.

【詳解】由題，/'(%)=3/-1,令得x>當(dāng)或x<_曰,

令/'(x)<0得一正<X<且，

33

所以Ax)在(_g，F(xiàn))上單調(diào)遞減，在(-co,-半)，(g,+oo)上單調(diào)遞增，

所以x=±立是極值點(diǎn)，故A正確：

3

因/1(-字=1+竽>0,/、哼)=1-苧>0,/(-2)=一5<0，

所以，函數(shù)/(力在-8,-等)上有一個(gè)零點(diǎn)，

當(dāng)xN立時(shí)，/(x)>/￥>°，即函數(shù)/(力在g，+8上無(wú)零點(diǎn)，

3k37I3>

綜上所述，函數(shù)/(X)有一個(gè)零點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；

令/?(x)=%3-x,該函數(shù)的定義域?yàn)镽,A(-x)=(-%)3-(-x)=-x3+x=-A(x),

則〃(x)是奇函數(shù)，(0,0)是/z(x)的對(duì)稱中心，

將h(x)的圖象向上移動(dòng)一個(gè)單位得到/*)的圖象，

所以點(diǎn)(0,1)是曲線y=/(x)的對(duì)稱中心，故C正確；

令_f(x)=3d-1=2,可得x=±l,又/⑴="7)=1,

當(dāng)切點(diǎn)為(1,1)時(shí)，切線方程為y=2x—1,當(dāng)切點(diǎn)為(—1,1)時(shí)，切線方程為y=2x+3,

故D錯(cuò)誤.

故選：AC

11.已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A(1,D在拋物線C：x2=2py(0>o)上，過(guò)點(diǎn)B(0,-1)的直線

交C于尸，Q兩點(diǎn)，則()

A.C的準(zhǔn)線為丁=-1B.直線48與C相切

C.\OP[\OQ\>\OA^D.\BP\-\BQ\>\BA\1

【答案】BCD

【解析】

【分析】求出拋物線方程可判斷A,聯(lián)立AB與拋物線的方程求交點(diǎn)可判斷B,利用距離

公式及弦長(zhǎng)公式可判斷C、D.

【詳解】將點(diǎn)A的代入拋物線方程得1=2〃，所以拋物線方程為/=>，故準(zhǔn)線方程為

y=-1,A錯(cuò)誤；

4

1-(-1)

41=2,所以直線AB的方程為y=2x-l,

1—0

(y=2x-l

聯(lián)立〈2,可得X?—2x+l=0，解得x=l,故B正確；

x=y

設(shè)過(guò)3的直線為/,若直線/與y軸重合，則直線/與拋物線。只有一個(gè)交點(diǎn)，

所以，直線/的斜率存在，設(shè)其方程為丁=履一1,?(冷弘),。(蒞，必)，

y=kx-\

聯(lián)立〈，得元2+1=0，

x-2=y

△二攵2一4>0

2

所以<玉+々=攵，所以左>2或a<—2,y]y2=(x]x2)=1,

x}x2=1

又|OP|=,|OQ|==也+l'

所以ICPI?I。。|=Jyy2(l+X)(l+必)=>/gxg=Z|>2=|04『,故c正確；

2

因?yàn)閨3P|=Jl+二|xj,\BQ[=yJ\+k|x2|-

所以|5「卜|30|=(1+無(wú)2>X/2|=1+無(wú)2>5,而|BA『=5,故D正確.

故選：BCD

12.已知函數(shù)f(x)及其導(dǎo)函數(shù)f(x)的定義域均為R,記g(x)=/'(x),若-

g(2+x)均為偶函數(shù)，則()

A./(0)=0B.g(-g)=0C./(-1)=/(4)D.

g(T)=g(2)

【答案】BC

【解析】

【分析】轉(zhuǎn)化題設(shè)條件為函數(shù)的對(duì)稱性，結(jié)合原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖象的關(guān)系，根據(jù)函數(shù)的性

質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可得解.

【詳解】因?yàn)?g(2+x)均為偶函數(shù)，

所以/1.Zx,/C+Z，即/喳—xg(2+x)=g(2—x)，

所以〃3-x)=,f(x),g(4—x)=g(x),則以(-1)=/(4),故C正確；

3

函數(shù)fW，g(x)的圖象分別關(guān)于直線x=二,x=2對(duì)稱，

2

又g(x)=/'(x),且函數(shù)/(x)可導(dǎo),

所以g[T]=0，g(3—x)=—g(x),

所以g(4—元)=g(x)=—g(3—x),所以g(x+2)=-g(x+l)=g(x),

所以g(-g)=g6=0,g(-l)=g⑴=-g⑵

故B正確，D錯(cuò)誤;

若函數(shù)f（x）滿足題設(shè)條件，則函數(shù)/（x）+C（C為常數(shù)）也滿足題設(shè)條件，所以無(wú)法確定

/*）的函數(shù)值，故A錯(cuò)誤.

故選：BC.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化題干條件為抽象函數(shù)的性質(zhì)，準(zhǔn)確把握原函

數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖象間的關(guān)系，準(zhǔn)確把握函數(shù)的性質(zhì)（必要時(shí)結(jié)合圖象）即可得解.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.0一號(hào)）（尤+歷8的展開式中的系數(shù)為（用數(shù)字作答）.

【答案】-28

【解析】

【分析】[1-!）（尤+?。?可化為（x+y）8-?（x+y『，結(jié)合二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式求

解.

【詳解】因?yàn)镮一?x+y)8=(x+yy_?x+y)8,

所以1一?X+y）8的展開式中含尤2y6的項(xiàng)為C"2y6—2c江3y5=-28f、6,

X

[1一?J（x+y）8的展開式中X2/的系數(shù)為-28

故答案為：-28

14.寫出與圓/+>2=1和（x—3f+（y—4）2=16都相切的一條直線的方程

35725

［答案］y——xH—或>=—x----或x=_］

44-2424

【解析】

【分析】先判斷兩圓位置關(guān)系，分情況討論即可.

【詳解】圓/+丁=］的圓心為0(0,()),半徑為［,圓。一3)2+(丁一4)2=16的圓心。|

為(3,4),半徑為4，

兩圓圓心距為J32+42=5,等于兩圓半徑之和，故兩圓外切，

如圖，

433

當(dāng)切線為/時(shí)，因?yàn)樽髤n=§,所以勺=一^，設(shè)方程為丁=一1%+々>0)

d=-JI.=1535

。到/的距離］￥,解得/=一,所以/的方程為丁=一一x+—,

V1+16444

當(dāng)切線為，"時(shí)，設(shè)直線方程為代+y+p=0,其中p>0,k<Q,

|p|

-1L=_2_

由題意］歷晨，解得"，丁=9?%—會(huì)

\3k+4+p\_=252424

?nk=4［”一五

當(dāng)切線為〃時(shí)，易知切線方程為x=—1,

35725

故答案為：y=-x~\—或,=—x----或x=-1.

15.若曲線y=（x+a）e*有兩條過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則a的取值范圍是

【答案】（-8,T）U（0,+8）

【解析】

【分析】設(shè)出切點(diǎn)橫坐標(biāo)X。，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線方程，根據(jù)切線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)得到

關(guān)于X。的方程，根據(jù)此方程應(yīng)有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求得a的取值范圍.

【詳解】?.,y=（x+a）e",y'=（x+l+a）e*,

設(shè)切點(diǎn)為伍,%），則%=（為+a）e%,切線斜率&=（距+1+a）e*,

切線方程為：y-（毛+a）e*=（毛+l+a）e*。（x-/），

?切線過(guò)原點(diǎn)，；.一（毛+a）e"=（/+l+a）e"（一天），

整理得：尺+，優(yōu)0-。=0,

,/切線有兩條，????=/+4a>0,解得a<-4或a>0,

???”的取值范圍是（y,-4）u（0,+。），

故答案為：（―00,-4）<J（0,+oO）

22

16.已知橢圓C:二+與=l（a>8>0）,C的上頂點(diǎn)為A,兩個(gè)焦點(diǎn)為耳，K,離心率

a-b-

為過(guò)耳且垂直于AK的直線與c交于。，E兩點(diǎn),|。￡|=6,則AADE的周長(zhǎng)是

【答案】13

【解析】

22

【分析】利用離心率得到橢圓的方程為1萬(wàn)+a=1，即3/+4/_12。2=0,根據(jù)離

心率得到直線AB的斜率，進(jìn)而利用直線的垂直關(guān)系得到直線0E的斜率，寫出直線。E

的方程：x=y/3y-c,代入橢圓方程3/+4>2一］2。2=0,整理化簡(jiǎn)得到：

13y2一66cy—9c2=0,利用弦長(zhǎng)公式求得c=g,得a=2c=1,根據(jù)對(duì)稱性將

&ADE的周長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為△鳥。E的周長(zhǎng)，利用橢圓的定義得到周長(zhǎng)為4a=13.

c1

【詳解】?.?橢圓的離心率為e=-=—,，a=2c,，從=Q2—C2=3C2,.?.橢圓的方程

a2

為券+梟，BP3X2+4/-12C2=0,不妨設(shè)左焦點(diǎn)為G，右焦點(diǎn)為五2,如圖所

TT

示，?.?Ag=a,OF2=C,a=2c,為正三角形，?.?過(guò)巴且

垂直于人工的直線與C交于。，E兩點(diǎn)，OE為線段A6的垂直平分線，.?.直線的斜

率為且，斜率倒數(shù)為百，直線QE的方程：x=y/3y-c,代入橢圓方程

3'

3X2+4/-12C2=0,整理化簡(jiǎn)得到：I3y2-6y/3cy-9c2=0,

判別式.=(6有c『+4X13X9C2=62X16XC2,

S="+(@|x-y2[=2x*=2x6x4x/=6，

13m-13

c=—,得a=2c=—,

84

為線段AF2的垂直平分線，根據(jù)對(duì)稱性，AD=DF2,AE=Eg,.?.△ADE的周

長(zhǎng)等于△瑪OE的周長(zhǎng)，利用橢圓的定義得到AF2DE周長(zhǎng)為

\DF2\+\EF2\+\DE\=|DF21+|EF21+|DFt|+|EFt|=|DFf\+\DF21+||+|匹|=2a+2。=4a=13

故答案為：13.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算

步驟.

5]1

17.記S,為數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和，已知弓=1,彳廣,是公差為§的等差數(shù)列.

(1)求｛為｝的通項(xiàng)公式；

111c

(2)證明：1---1---1<2.

4a2an

【答案】(1)&“=△——~

"2

(2)見解析

【解析】

【分析】(1)利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得=L=l+4(〃-1)=:一，得到

s("+2)州,利用和與項(xiàng)的關(guān)系得到當(dāng)〃22時(shí)，

"3

a-一=(〃+2)q_(〃+1)加,進(jìn)而得:2=生［,利用累乘法求得

""334T〃一］

a“=」(?),檢驗(yàn)對(duì)于〃=1也成立，得到｛4｝的通項(xiàng)公式%=四；

11111

(2)由(1)的結(jié)論，利用裂項(xiàng)求和法得到一+—+…+—=21-----,進(jìn)而證得.

a

44nI?+V

【小問(wèn)I詳解】

5

*.*q=1,S［=q=1,?，?—1=1,

a\

S］1

又??,1是公差為一的等差數(shù)列，

l^J3

?4=1+%一］)=山?s_(〃+2”“

a,3()3…S,-3，

當(dāng)〃22時(shí)，Sni=(“叫」1,

"T3

?a=S-S=(〃+2”“(”+1)%

"n~"n-'~33

整理得：=("+l)a“_i，

a.a,%a

n口

.?.an=a}x-x^-x.^x—^x—

a\a2%-2%

,34nn+\+

=lx—X—X...X----X----=-----

23n-2n-\2

顯然對(duì)于〃=1也成立,

{??}的通項(xiàng)公式凡=；

【小問(wèn)2詳解】

12/11）

an"（幾+1）n+1J

cosAsin28

18.記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為mb,c,已知

1+sinAl-f-cos2B

977"

(1)若C=——，求B；

3

2,2

（2）求"的最小值.

c

【答案】（1）~

6

⑵472-5.

【解析】

ccq/AcinQR

【分析】（1）根據(jù)二倍角公式以及兩角差的余弦公式可將丁一T=-_化成

1+sinAl+cos2B

cos（A+B）=sinB,再結(jié)合0<3<曰，即可求出;

(2)由(1)知，C=-+B,A=--2B,再利用正弦定理以及二倍角公式將“一”

22c2

2

化成4cos26+---—5,然后利用基本不等式即可解出.

cos2/?

【小問(wèn)1詳解】

cosAsin282sinBcosBsinB.

因?yàn)?------=----------=-------——=-----，即

1+sinA1+cos252cos~Bcos8

sinB=cosAcos3-sinAsinB=cos

而0<B（/，所以8=三；

26

【小問(wèn)2詳解】

兀71

由(1)知，sinB=-cosC>0,所以一<C<兀,0<8<一,

22

而sin3=-cosC=sinC--,

I2

兀71

所以C=—+B,即有A=——2B.

22

/+人2sin2A+sin2Bcos228+1—cos2B

c2sin-Ccos-B

(2cos2B-l)2+1-COS2Bc2r-r-

------------------------------------=4COS2B+—；——5>2V8-5=W-5.

cos-B-----------cos-B

當(dāng)且僅當(dāng)cos25時(shí)取等號(hào)，所以a-:b-的最小值為4近一5.

2c

19.如圖，直三棱柱ABC—AAG的體積為4,△ABC的面積為2五.

(1)求A到平面4BC的距離；

(2)設(shè)。為4C的中點(diǎn)，AAl=AB,平面A/C_L平面A8耳A，求二面角

A—8。一C的正弦值.

【答案】(1)五

(2)—

2

【解析】

【分析】(1)由等體積法運(yùn)算即可得解；

(2)由面面垂直的性質(zhì)及判定可得平面ABgA,建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間

向量法即可得解.

【小問(wèn)1詳解】

在直三棱柱ABC-4B|G中，設(shè)點(diǎn)A到平面AtBC的距離為h,

I2J2114

v

則V_-.h-hH-VV~-S-AA--V--

A-AtBC~0AA|BC3-At-ABC~G八一31G.3

解得h=亞,

所以點(diǎn)A到平面ABC的距離為血；

【小問(wèn)2詳解】

取48的中點(diǎn)及連接AE,如圖，因?yàn)槔?46,所以

又平面ABCJ_平面AB耳4,平面4BCD平面ABB/=AB,

且AEu平面A844,所以AEJ_平面48C,

在直三棱柱ABC—A中，8g"L平面ABC,

由BCu平面ABC,BB,1BC,

又AE,BB]u平面ABBtAt且相交，所以BCL平面ABB.A,,

所以8。,氏4,84兩兩垂直，以8為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

由(1)得AE=g，所以441=AB=2,AB=24,所以BC=2,

則A(0,2,0),4(0,2,2),3(0,0,0),C(2,0,0)，所以4c的中點(diǎn)

則麗=(1,1,1),麗=(0,2,0)應(yīng)=(2,0,0),

m-BD=x+y+z=O

設(shè)平面4?的一個(gè)法向量而=(x,y,z),則，

m-BA=2y=0

可取而=(1,0,-1),

一,、m-BD=a-^-b+c=0

設(shè)平面3DC的一個(gè)法向量〃=(a,伍c),則，

m-BC=2。=0

可取二=(O,l,-1),

m?n_1_1

則cosRw,〃

ml-Ini>/2x-s/22

所以二面角A-BD-C的正弦值為』1—二二上.

V⑶2

20.一醫(yī)療團(tuán)隊(duì)為研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣(衛(wèi)生習(xí)慣分為良好

和不夠良好兩類)的關(guān)系，在已患該疾病的病例中隨機(jī)調(diào)查了100例(稱為病例組)，同時(shí)

在未患該疾病的人群中隨機(jī)調(diào)查了100人(稱為對(duì)照組)，得到如下數(shù)據(jù)：

不夠良好良好

病例組4060

對(duì)照組1090

(1)能否有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異？

(2)從該地的人群中任選一人，A表示事件“選到的人衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好”，8表示事件“選

P(8|A)P(B|X)

到的人患有該疾病"二二與二方，的比值是衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好對(duì)患該疾病風(fēng)險(xiǎn)程

P(B|A)P(BIA)

度的一項(xiàng)度量指標(biāo)，記該指標(biāo)為R.

……明P(A\B)

(1)n■明：A=—=-----------—；

P(AIB)P(A|B)

(ii)利用該調(diào)查數(shù)據(jù)，給出。(川8),2川耳)的估計(jì)值，并利用(i)的結(jié)果給出R的

估計(jì)值.

附心n(ad-be)?

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

【答案】(1)答案見解析

(2)(i)證明見解析；(ii)R=6；

【解析】

【分析】(1)由所給數(shù)據(jù)結(jié)合公式求出K?的值，將其與臨界值比較大小，由此確定是否有

99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未黃該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異；(2)(i)根據(jù)定義結(jié)合

條件概率公式即可完成證明；(ii)根據(jù)(i)結(jié)合已知數(shù)據(jù)求R.

【小問(wèn)1詳解】

……2n(ad-bc)2200(40x90-60xlO)2?

由已知K[=----------------------=——--------------—=24,

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)50x150x100x100

又「(片26.635)=0.01,24>6.635,

所以有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異.

【小問(wèn)2詳解】

P(B|A)P(B\A)_P(AB)P(A)P(AB)P(A)

⑴因?yàn)锳=--=----------=-------------=-----=-----=--，

P{B|A)P(B\A)P(A)P(AB)P(A)P(AB)

g、“P(A8)P(B)P(AB)P⑻

jyr以?=----------==-

P(B)P(AB)P(B)P(AB)

所以R=

P(A|B)P(A\B)

(ii)

由己知P(A|B)=&，P(A\B)=—,

100100

-60--90

又P(A|8)=W,P(A\B)=—

100100

所以R=.談=6

P(A|B)P(A\B)

22

21.已知點(diǎn)A(2,l)在雙曲線C：=一一占一=l(a>l)上，直線/交C于P,。兩點(diǎn)，直線

ci~u~_1

AP,AQ的斜率之和為0.

(1)求/的斜率；

(2)若tanNPAQ=20,求△PAQ的面積.

【答案】(1)-1；

⑵四

9

【解析】

【分析】（1）由點(diǎn)42,1）在雙曲線上可求出“，易知直線/的斜率存在，設(shè)/：丁=依+小，

。（司,,）,。（々,%），再根據(jù)人”+凝0=0,即可解出/的斜率；

（2）根據(jù)直線AP,AQ的斜率之和為?？芍本€ARAQ的傾斜角互補(bǔ)，再根據(jù)

tanZPAQ=2夜即可求出直線AP,AQ的斜率，再分別聯(lián)立直線AP,AQ與雙曲線方程

求出點(diǎn)RQ的坐標(biāo)，即可得到直線PQ的方程以及尸。的長(zhǎng)，由點(diǎn)到直線的距離公式求出

點(diǎn)A到直線FQ的距離，即可得出的面積.

【小問(wèn)1詳解】

Y2V241

因?yàn)辄c(diǎn)42,1）在雙曲線C：二一一\=上，所以一一--=1,解得。2=2，

a2a2-\a2a2

即雙曲線C:工—y2=i

2

易知直線/的斜率存在，設(shè)/:丁=乙+〃2,尸（不必）,。（孫必），

y=kx+m

聯(lián)立<f2可得，（1—2女2b2一4機(jī)日—2蘇—2=0,

、萬(wàn)

4mk2加2+2

所以,

玉+"一定二？—=2k-I

A=16m2k2+4（2m2+2）（2A:2-l）>0=>m2-l+2Z:2>0.

所以由4AP+&BP=0可得，三1+三|=°，

X""）NX]/

即（%]_2）（仇+m_1）+（9-2）（丘]+m-l）=0,

即2kxia+（加一1一2攵）（％-Fx2）-4（m-l）=0,

~2m2+2/34mk、，/八八

所以2人〉相+（助一1一2攵）一^~^一4（機(jī)-1）=0,

乙K—1y乙K—17

化簡(jiǎn)得，8F+4Z—4+4加（攵+1）=0,即（攵+1）（2左一1+/〃）=0,

所以左=-1或〃?=1一2攵，

當(dāng)加=1-2%時(shí)，直線/:>="+加=攵（》一2）+1過(guò)點(diǎn)A（2,l）,與題意不符，舍去,

故k=T.

【小問(wèn)2詳解】

不妨設(shè)直線PAPB的傾斜角為a,/（1<4），因?yàn)樾膽?金戶=0,所以。+力=兀,

因?yàn)閠anNPAQ=20,所以tan（4一a）=2及，即tan2a=-2夜，

即V2tan2cr-tancr-V2=0，解得tana=V2，

于是，直線B4:y=0(x-2)+l,直線P8:y=-e(x—2)+l,

y=V2(x-2)+l

聯(lián)立"j可得,尹+2(1-2碼尤+10-4a=0,

因?yàn)榉匠逃幸粋€(gè)根為2,所以？=10一；及,%=,

同理可得，X。=)+；&,為=Yf—5.

所以PQ:x+y—1=0,|PQ|=日，

點(diǎn)A到直線PQ的距離/2+1"32夜，

d=；=—=---

V23

故△PAQ的面積為_Lx3乂述=3亞.

2339

22.已知函數(shù)/(x)=e*—ax和g(x)=ax-lnx有相同最小值.

(1)求。；

(2)證明：存在直線>其與兩條曲線y=/(x)和y=g(x)共有三個(gè)不同的交點(diǎn)，并

且從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.

【答案】(1)。=1

(2)見解析

【解析】

【分析】(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)的單調(diào)性，從而可得相應(yīng)的最小值，根據(jù)最小值相等可求

。.注意分類討論.

(2)根據(jù)(1)可得當(dāng)。>1時(shí)，e*-x=O的解的個(gè)數(shù)、x-lnx=Z?的解的個(gè)數(shù)均為2,

構(gòu)建新函數(shù)〃(x)=e'+lnx—2x,利用導(dǎo)數(shù)可得該函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)且可得/(x),g(x)

的大小關(guān)系，根據(jù)存在直線y=h與曲線y=/(x)、y=g(x)有三個(gè)不同的交點(diǎn)可得b

的取值，再根據(jù)兩類方程的根的關(guān)系可證明三根成等差數(shù)列.

【小問(wèn)1詳解】

/O)=e*-融的定義域?yàn)锳,而f'(x)-ex-a,

若aMO,則/‘3>0,此時(shí)/(x)無(wú)最小值，故。>0.

8(%)=以一111%的定義域?yàn)?0,+8),而g'(x)="一,=竺~

當(dāng)x<lna時(shí)，/。)<0,故/")在(y),lna)上為減函數(shù)，

當(dāng)x>lna時(shí)，f'(x)>0,故/(x)在(Ina,+0。)上為增函數(shù)，

故/(x)1nin=/(Ina)=a-aIna.

當(dāng)o<x<_!?時(shí)，g'(x)<o,故g(x)在上為減函數(shù)，

aka)

當(dāng)x〉,時(shí)，g'(x)>0,故g(x)在[—,+oc)上為增函數(shù)，

a\a)

故g(X)min=8(：)=1_始_.

因?yàn)?(x)=e'-ax和g(x)=ax-Inx有相同的最小值，

1a—]

故l-ln—=。一alna,整理得到----=lna,其中〃>0，

a1+a

設(shè)g(a)=^^-lna,a>0,則g'(a)=7J~<0,

1+Q(1+Q)aQ(1+Q)

故g(a)為(O,+8)上的減函數(shù)，而g(l)=0,

故g(a)=0的唯一解為a=l,故害=111。的解為a=l.

綜上，a=1.

【小問(wèn)2詳解】

由(1)可得f(x)=e'-x和g(x)=x-lnx的最小值為l-lnl=l—ln；=l.

當(dāng)力>1時(shí)，考慮e'—x=。的解的個(gè)數(shù)、x—lnx=Z?的解的個(gè)數(shù).

設(shè)S(x)=e*-x-/?,S'(x)=e*_l,

當(dāng)x<0時(shí)，S'(x)<0,當(dāng)x>0時(shí)，S'(x)>0,

故S(x)在(YQ,0)上為減函數(shù)，在(0,+o。)上為增函數(shù)，

所以s(x)mm=s(o)=l—8<0,

而s(—3=e-&>0,S9)=e”—如，

設(shè)“(/?)=e"-2Z?,其中匕>1,則〃'?=e"—2>0,

故〃(。)在(1,+00)上為增函數(shù)，故〃?>Ml)=e—2>0,

故5(。)>0,故S(x)=e1x—力有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，即e'—x=8的解的個(gè)數(shù)為2.

設(shè)T(x)=x-lnx-dT\x)=---,

當(dāng)0<x<l時(shí)，T?x)<0,當(dāng)x>l時(shí)，r(x)>o,

故T(x)在(0,1)上為減函數(shù)，在(1,鐘)上為增函數(shù)，

所以丁(力.=7(1)=1一。<。，

而T(e")=e">0,T(eh)=eb-2b>0,

T(x)=x-lnx—力有兩個(gè)不同的零點(diǎn)即x—lnx=b的解的個(gè)數(shù)為2.

當(dāng)匕=1,由(1)討論可得x-lnx=/?、e"-x=Z?僅有一個(gè)零點(diǎn)，

當(dāng)力<1時(shí)，由(1)討論可得x-lnx=Z?、e*-x=〃均無(wú)零點(diǎn)，

故若存在直線>=匕與曲線y=/(x)、y=g(x)有三個(gè)不同的交點(diǎn)，

則6>1.

設(shè)Zz(x)=eX+lnx—2x,其中x>0,故〃'(x)=e'+,—2,

X

設(shè)s(x)=e*-x—1,尤>0,則s'(x)=e'—1>(),

故s(x)在(0,+?)上為增函數(shù)，故s(x)>s(O)=O即e*>x+l，

所以〃'(x)>x+J—122—l>0,所以〃(x)在(0,+8)上為增函數(shù)，

1—7?

而以l)=e-2>0,〃()=?/-3-—<e-3—--<0,

eee

故h(x)在(0,+w)上有且只有一個(gè)零點(diǎn)七,4</<1且：