2022年全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（理科）高考真題文檔版（含答案）

2022年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（全國(guó)乙卷）

數(shù)學(xué)（理科）

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名和座位號(hào)填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)

涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，

將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無(wú)效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選

項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.設(shè)全集U={1,2,3,4,5},集合M滿足=M={1,3},則()

A.2GMB.C.4走M(jìn)D.5^M

2.已知z=l—2i,且z+應(yīng)+Z;=0,其中a,b為實(shí)數(shù)，貝ij()

A.a-\,b——2B.a——\,b—2C.a-l,b-2D.a——l,b=—2

3.已知向量滿足|a|=l,|b|=百,|a-2bl=3,則()

A.-2B.-1C.1D.2

4.嫦娥二號(hào)衛(wèi)星在完成探月任務(wù)后，繼續(xù)進(jìn)行深空探測(cè)，成為我國(guó)第一顆環(huán)繞太陽(yáng)飛行的

人造行星，為研究嫦娥二號(hào)繞日周期與地球繞日周期的比值，用到數(shù)列{"}:4=1+'~,

a\

仇=1+—、一,4=1+-------Lj—，…，依此類推，其中4wN*(Z=l,2,…).則

%4—aH----------1—

%

()

A.b]<h5B.b3<bnC.h6<b2D,Z?4<b7

5.設(shè)F為拋物線C：V=4x的焦點(diǎn)，點(diǎn)A在C上，點(diǎn)5(3,0),若|AE|=|8可，貝

()

A.2B.2V2C.3D.3V2

6.執(zhí)行下邊的程序框圖，輸出的〃=（)

A.3B.4C.5D.6

7.在正方體ABCD—ABCQI中，E,F分別為AB,BC的中點(diǎn)，則()

A.平面g平面B.平面與平面48。

C.平面4所〃平面A|ACD.平面片所〃平面4G。

8.已知等比數(shù)列｛4｝的前3項(xiàng)和為168,4一%=42,則a=（）

A.14B.12C.6D.3

9.已知球。的半徑為1,四棱錐的頂點(diǎn)為。，底面的四個(gè)頂點(diǎn)均在球。的球面上，則當(dāng)該

四棱錐的體積最大時(shí)，其高為（）

11V372

A.-B.-C.-----D.-----

3232

10.某棋手與甲、乙、丙三位棋手各比賽一盤，各盤比賽結(jié)果相互獨(dú)立.已知該棋手與甲、

乙、丙比賽獲勝的概率分別為P1,P2，P3,且23＞〃2＞月＞0?記該棋手連勝兩盤的概率為

P,則（）

A.p與該棋手和甲、乙、丙的此賽次序無(wú)關(guān)B.該棋手在第二盤與甲比賽，p最大

C.該棋手在第二盤與乙比賽，p最大D.該棋手在第二盤與丙比賽，p最大

11.雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)為石，鳥，以C的實(shí)軸為直徑的圓記為D,過(guò)耳作。的切線與C

3

交于M,N兩點(diǎn)，且cosN6Ng=1,則C的離心率為（）

A旦3V13D.叵

B.一C.------

-2222

12.已知函數(shù)/(x),g(x)的定義域均為R,且/(x)+g(2-x)=5,g(x)—/(x-4)=7.若

22

y=g（x）的圖像關(guān)于直線尤=2對(duì)稱，g（2）=4,則工/伏）=（）

k=\

A.-21B.—22c.-23D.-24

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.從甲、乙等5名同學(xué)中隨機(jī)選3名參加社區(qū)服務(wù)工作，則甲、乙都入選的概率為

14.過(guò)四點(diǎn)(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三點(diǎn)的一個(gè)圓的方程為.

15.記函數(shù)f(X)=8SC)(…,°“＜兀)的最小正周期為匚若/(T)邛'X弋

為f(x)的零點(diǎn)，則co的最小值為.

16.己知》=尤］和x=w分別是函數(shù)/(%)=24一ex?(。＞0且ah1)的極小值點(diǎn)和極大

值點(diǎn).若不＜馬，則a的取值范圍是.

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17~21

題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求

作答.

(-)必考題：共60分.

17.(12分)

記ZXABC的內(nèi)角A,8,C的對(duì)邊分別為a,4c,已知sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A).

(1)證明:2a2=b1+c1；

25

(2)若a=5,cosA=—,求ZVIBC的周長(zhǎng).

31

18.(2分)

如圖，四面體ABCD中，AD±CD,AD=CD,ZADB=ZBDC,E為AC的中點(diǎn).

(1)證明：平面平面AC。；

(2)設(shè)45=3。=2,/4。8=60°,點(diǎn)尸在3。上，當(dāng)△ART的面積最小時(shí)，求CF與

平面A8O所成的角的正弦值.

19.(12分)

某地經(jīng)過(guò)多年的環(huán)境治理，已將荒山改造成了綠水青山.為估計(jì)一林區(qū)某種樹木的總材積量,

隨機(jī)選取了10棵這種樹木,測(cè)量每棵樹的根部橫截面積(單位：n?)和材積量(單位：m3),

得到如下數(shù)據(jù)：

樣本號(hào)/12345678910總和

0.00.00.00.00.00.00.00.00.00.0

根部橫截面積N0.6

4648855776

0.20.40.20.50.50.30.30.40.40.4

材枳量力3.9

5024146620

101010

并計(jì)算得=0038,2資=1.6158,Z飛X=02474.

i=li=li=l

（1）估計(jì)該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量；

（2）求該林區(qū)這種樹木的根部橫截面積與材積量的樣本相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）；

（3）現(xiàn)測(cè)量了該林區(qū)所有這種樹木的根部橫截面積，并得到所有這種樹木的根部橫截面積

總和為186m2.已知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比.利用以上數(shù)據(jù)給出該林

區(qū)這種樹木的總材積量的估計(jì)值.

附：相關(guān)系數(shù)r=-r=--------------=,J1.896?1.377.

-a-元愛(ài)8-一刃2

V/=1：=1

20.（12分）

已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為x軸、y軸，且過(guò)A（0,-兩點(diǎn).

（1）求E的方程；

（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)P（l,—2）的直線交E于M,N兩點(diǎn)，過(guò)M且平行于x軸的直線與線段AB交于

點(diǎn)7■，點(diǎn)H滿足而=而.證明：直線"N過(guò)定點(diǎn).

21.（12分）

已知函數(shù)/（x）=In（1+x）+axe~x.

（1）當(dāng)a=M,求曲線y=/（x）在點(diǎn)（OJ（O））處的切線方程；

（2）若/（力在區(qū)間（—1,0）,（0,長(zhǎng)。）各恰有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.

（二）選考題，共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，

則按所做的第一題計(jì)分.

22.［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］（10分）

在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為|"=Gcos2f'"為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極

y=2sinr

點(diǎn)，X軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知直線/的極坐標(biāo)方程為0sin［e+Wj+/M=O.

（1）寫出/的直角坐標(biāo)方程；

（2）若/與C有公共點(diǎn)，求m的取值范圍.

23.［選修4-5：不等式選講］（10分）

333

已知o,b,c都是正數(shù)，且。7+〃5+西=1,證明：

(1)abc<—；

9

,八abc,1

(2)+----+----<—〒

b+ca+ca+h2”

2022年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試

數(shù)學(xué)（理科）

參考答案

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名和座位號(hào)填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)

涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答

案寫在答題卡上.寫在本試卷上無(wú)效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選

項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.A2.A3.C.4.D5.B6.B7.A8.D9.C10.D11.C12.D

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

3

13.—

10

2

14.(x-2)2+(y_3)2=]3或(x_2/+(y_l)2=5或4jq或

x——

319

i+g『=墨

15.3

16.

三、解答題：共0分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17~21

題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求

作答.

(-)必考題：共60分.

17.

(1)

證明：因?yàn)閟inCsin(A—B)=sinBsin(C-A),

所以sinCsinAcos3—sinCsin5cosA=sinBsinCcosA-sin3sinAcosC，

所以ac?/+c、2_2反〃+/一片

lac2bc2ab

a2+c2-b1/,\a2+b2-c1

即0---------------(Zr+<?2-a，2)=----------

所以2a*—b2+c2i

(2)

解：因?yàn)椤?5,(：054=',

31

由(1)得力2+02=50，

由余弦定理可得/-b2+c2-2bccosA<

則50-史歷=25,

31

31

所以。c=二，

2

故(人+0)2=〃+02+2/^=5()+31=81,

所以。+c=9,

所以AABC的周長(zhǎng)為a+b+c=14.

18.

(1)

因?yàn)锳D=CP,E為AC的中點(diǎn)，所以ACLDE；

在△ABO和ACBD中，因?yàn)锳。=CD,/ADB=ZCDB,DB=DB,

所以△A3。白△CB。，所以AB=C3,又因?yàn)镋為AC的中點(diǎn)，所以ACL8E；

又因?yàn)镈E,6Eu平面BED，DEcBE=E,所以AC，平面跳Z),

因?yàn)锳Cu平面ACD,所以平面BED，平面ACO.

(2)

連接所，由(1)知，AC,平面BED，因?yàn)镋Fu平面BED，

所以AC_LEE,所以S”Fc=gAC￡F，

當(dāng)所_LBD時(shí)，七戶最小，即的面積最小.

因?yàn)椤鰽B慮△C3D,所以C3=AB=2,

又因?yàn)镹ACB=60。，所以AABC是等邊三角形，

因?yàn)镋為AC的中點(diǎn)，所以A￡=EC=1,BE=6，

因?yàn)锳OLC。，所以。E=，AC=1,

2

在△￡)￡?中，DE2+BE2=BD2>所以BE上DE.

以E為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系E-xyz,

則A(l,(),0)，網(wǎng)0,g,0),0((),0,l),所以4方=(-1,(),1),礪=11,月,()卜

設(shè)平面反￡)的一個(gè)法向量為〃=(x,y,z),

n-AD=-x-^-z=0

則《取〉=6,則3=(3,6,3),

n-AB=-x+Gy=0

又因?yàn)閏(一1,0,0),尸0耳，；，所以而=1,半,

\r)\r)

設(shè)CF與平面曲所成的角的正弦值為6?10<^<|

所以sin。=上伍引=孚,

所以CF與平面曲所成的角的正弦值為逋.

7

19.

(1)

樣本中10棵這種樹木的根部橫截面積的平均值元==0.06

樣本中10棵這種樹木的材積量的平均值y=藝39=0.39

據(jù)此可估計(jì)該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積為0.060?，

平均一棵的材積量為0.39m3

(2)

1010

可(x-了)。戲

博-喈fl2_回序,2一回

_________0.2474-10x0.06x0.39_0.0134?0.0134

?0.97

7(0.038-10x0.062)(1.6158-10x0.392)70.0001896?0.01377

則”0.97

(3)

設(shè)該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計(jì)值為Km3，

又已知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比，

可得(39--p-'解之得丫=1209m.

則該林區(qū)這種樹木的總材積量估計(jì)為1209m3

20.

(1)

解：設(shè)橢圓E的方程為如2+〃y2=i,過(guò)A（0,-2）,3仁,一1

4〃=1

則《9「解得相=?，n=~

—m+n=134

14

22

所以橢圓E的方程為：匕+土=1.

43

(2)

32

4(0,-2),B(-,-1),所以A8:y+2=1X,

22

①若過(guò)點(diǎn)「（1,-2）的直線斜率不存在，直線x=1.代入《+31,

可得知（1,半），N（l,—半），代入A8方程y=1x-2,可得

T（V6+3,39），由訪=而得至UH（2屈+5,9）.求得HN方程:

y=(2-手?_2,過(guò)點(diǎn)(0,-2).

②若過(guò)點(diǎn)尸（1,-2）的直線斜率存在，設(shè)丘一y-（4+2）=0,M（內(nèi),y）,NO2,必）?

kx-y-(k+2)=0

聯(lián)立《x2y2，得(3父+4)x?-6攵(2+人)*+3々(龍+4)=0,

—+—=1

34

6k(2+k)—8(2+Q

*+%=卡"

%1+工2=---3---4--72---+--4-----

可得《

34(4+2)4(4+4%—2左2)

%無(wú)2=——A---------

123^+4y2y233+4

-24k,*、

且=不二7（）

DK十今

y=*3

聯(lián)立《2…可得T(T+3,y)H(3y+6—玉，弘).

"廣22

可求得此時(shí)"N:y-%qj%-----(x-x2),

3M+6—玉一x2

將(0,-2),代入整理得2(演+4)—6(%+%)+芭%+-3%%—12=0,

將(*)代入，得24%+12/+96+48左一24k-48-48%+24Y-36k2-48=0,

顯然成立，

綜上，可得直線HN過(guò)定點(diǎn)(0,-2).

21.

(1)

/(X)的定義域?yàn)?-1,+00)

當(dāng)a=1時(shí),f(x)=ln(l+x)+彳XJ(0)=0,所以切點(diǎn)為(0,0)

e

11_

/(x)=--+Yr，f(0)=2,所以切線斜率為2

1+xe

所以曲線y=/(x)在點(diǎn)(0,/(0))處的切線方程為y=2x

(2)

/(x)=ln(l+x)+—

ex+a(\-x2

r八1一(Ir)

/-+——

\+xe(1+x)e"

設(shè)g(x)=e*+a(l-x2)

「若a>0,當(dāng)xe(-1,0),g(x)=ev+?(l-x2)>0,即f'(x)>0

所以在(-1,0)上單調(diào)遞增,f(x)</(0)=0

故/(x)在(-1,0)上沒(méi)有零點(diǎn)，不合題意

2°若一掇上0,當(dāng)xe(0,十功,則g'(x)=ex-2ax>0

所以g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增所以g(x)>g(0)=1+a.0卸/'(x)>0

所以/(x)在(0,+?))上單調(diào)遞墻/(%)>/(0)=0

故/*)在(0,+8)上沒(méi)有零點(diǎn)，不合題意

3°若"-1

⑴當(dāng)xe(0,+8),則g'(x)=e*-2以>0,所以g(x)在(0,+oo)上單調(diào)遞增

g(0)=l+a<0,g(l)=e>0

所以存在me(0,1)，使得g(/n)=。,即f'(m)=0

當(dāng)xe(0,/〃),/'(x)<0,/(x)單調(diào)遞減

當(dāng)XW(m,+00),f'(x)>0,/(X)單調(diào)遞增

所以

當(dāng)xw(0,m),f(x)<f(0)=0

當(dāng)X—>+oo,/(x)—>4-00

所以/(X)在?！?+8)上有唯一零點(diǎn)

又(0,m)沒(méi)有零點(diǎn)，即."X)在(0,+oo)上有唯一零點(diǎn)

⑵當(dāng)xe(-1,0),g(x)=er+a(l-x2)

設(shè)h(x)=g'(x)=e'-lax

(x)=e*-2a>0

所以g'(x)在(-1,0)單調(diào)遞增

g'(-l)」+2"0,g'(0)=l>0

e

所以存在nG(-1,0),使得g'(〃)=0

當(dāng)xe(-1,n),g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減

當(dāng)xw(〃,0),g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增,g(x)<g(0)=1+a<0

又g(_l)=，>0

e

所以存在Ze(-1,〃)，使得g?)=0,即/'(，)=0

當(dāng)xe(-1,/)"(x)單調(diào)遞增，當(dāng)xG(Z,0),/(x)單調(diào)遞減

有xf-co

而/(O)=0,所以當(dāng)xe(r,O),/(x)>0

所以fa)在(-1,0上有唯一零點(diǎn),(?,0)上無(wú)零點(diǎn)

即/a)在(-1,0)上有唯一零點(diǎn)

所以符合題意

所以若一(X)在區(qū)間(一1,0),(0,+8)各恰有一個(gè)零點(diǎn)，求。的取值范圍為(<0,-1)

（二）選考題，共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做,

則按所做的第一題計(jì)分.

［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］

22.

(1)

因/：Ps