第三章效用函數(shù)

第三章成效函數(shù)廣西大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院運籌管理系§3.1理性行為公理問題： 某公司擬推出一種新產(chǎn)品，經(jīng)預(yù)測該產(chǎn)品在市場看好的情況下，可以獲利10萬；在市場前景較差時，將虧損1萬元。市場看好和較差的概率分別為0.6和0.4，能否推出該新產(chǎn)品？ 假設(shè)另有一產(chǎn)品可穩(wěn)獲利2萬元，推出哪種產(chǎn)品更好？ 這是一個隨機決策問題?！?.1理性行為公理 在隨機決策中，決策系統(tǒng)〔Ω，A，F(xiàn)〕中的決策方案均是在形狀空間背景中加以比較，并按照某種規(guī)那么，選出決策者最稱心的行動方案。 在本章中，我們用事態(tài)體表示在隨機性形狀空間中的行動方案，方案的比較表示為事態(tài)體的比較，并引入成效的概念，用以衡量事態(tài)體〔行動方案〕的優(yōu)劣。§3.1理性行為公理3.1.1事態(tài)體及其關(guān)系1．事態(tài)體的概念定義3.1 具有兩種或兩種以上有限個能夠結(jié)果的方案〔或事情〕，稱為事態(tài)體。 事態(tài)體中各能夠結(jié)果出現(xiàn)的概率是知的。 事態(tài)體即隨機性形狀空間中的行動方案。1．事態(tài)體的概念 設(shè)某事態(tài)體的n個能夠結(jié)果為： o1,o2,…,on 各結(jié)果出現(xiàn)的概率是相應(yīng)為： p1,p2,…,pn 那么該事態(tài)體記為： T＝〔p1,o1；p2,o2；…；pn,on〕特別當(dāng)n＝2時，稱T為簡單事態(tài)體，此時 T＝〔p,o1；1－p,o2〕1．事態(tài)體的概念 事態(tài)體可以用樹形圖表示如下：Tp1p2︰︰︰pno1o2︰︰︰on當(dāng)n＝2時：pT1-po1o2事態(tài)體集合?的性質(zhì)①在凸線性組合下，?是閉集。即： 假設(shè)T1∈?，T2∈?，那么當(dāng)0≤λ≤1時，有 λT1＋(1－λ)T2∈? 兩個事態(tài)體的凸線性組合仍是一個事態(tài)體。②T＝(0,o1；0,o2；…；1,oj；…；0,on)∈? 稱T為退化事態(tài)體。 退化事態(tài)體仍屬于事態(tài)體集合。2．事態(tài)體的比較定義3.2 設(shè)o1，o2是事態(tài)體T的恣意兩個結(jié)果值，根據(jù)決策目的和決策者偏好，o1和o2有如下關(guān)系：①假設(shè)偏好結(jié)果值o1，那么稱o1優(yōu)于o2，記作o1o2；反之，稱o1劣于o2，記作o1o2。②假設(shè)對結(jié)果值o1,o2無所偏好，那么稱o1無差別于o2，記作o1～o2。③假設(shè)不偏好結(jié)果值o1，那么稱o1不優(yōu)于o2，記作o1?o2；反之，稱o1不劣于o2，記作o1?o2。2．事態(tài)體的比較定義3.3 設(shè)兩個簡單事態(tài)體T1，T2具有一樣的結(jié)果值o1，o2，即：T1＝〔p1,o1；1－p1,o2〕 T2＝〔p2,o1；1－p2,o2〕 并假定o1o2，那么：①假設(shè)p1＝p2，稱事態(tài)體T1無差別于T2，記作T1～T2。②假設(shè)p1＞p2，稱事態(tài)體T1優(yōu)于T2，記作T1T2；反之，稱事態(tài)體T1劣于T2，記作T1T2。2．事態(tài)體的比較定義3.4 設(shè)兩個簡單事態(tài)體T1，T2僅具有一個一樣結(jié)果值，另一個結(jié)果值不一樣，即： T1＝〔p1,o1；1－p1,o0〕 T2＝〔p2,o2；1－p2,o0〕 且o2o1o0，①假設(shè)p1≤p2，那么事態(tài)體T2優(yōu)于T1，記作T2T1。②假設(shè)T1～T2，那么必有p1＞p2?！?.1理性行為公理3.1.2理性行為公理公理3.l〔連通性，可比性〕 事態(tài)體集合?上事態(tài)體的優(yōu)劣關(guān)系是連通的。即假設(shè) T1，T2∈? 那么或者T1T2，或者T2T1，或者T1～T2，三者必居其一。表示恣意兩個事態(tài)體都是可以比較其優(yōu)劣的！§3.1理性行為公理3.1.2理性行為公理公理3.2〔傳送性〕 事態(tài)體集合?上事態(tài)體的優(yōu)劣關(guān)系是傳送的。即假設(shè) T1、T2、T3∈?，且T1T2，T2T3，那么必有 T1T3。 表示恣意多個事態(tài)體的優(yōu)劣是可以排序的〔假設(shè)有些事態(tài)體無差別，可排在同一位置。〕 滿足公理3.1和公理3.2的事態(tài)體集合稱為全序集?！?.1理性行為公理3.1.2理性行為公理公理3.3〔復(fù)合保序性，替代性〕 假設(shè) T1，T2，Q∈?，且0＜p＜1，那么T1T2當(dāng)且僅當(dāng) pT1＋(1－p)QpT2＋(1－p)Q。 表示恣意事態(tài)體的優(yōu)劣關(guān)系是可以復(fù)合的，復(fù)合后的事態(tài)體堅持原有的優(yōu)劣關(guān)系不變?！?.1理性行為公理3.1.2理性行為公理公理3.4〔相對有序性，延續(xù)性，偏好的有界性〕 假設(shè) T1，T2，T3∈?，且T1T2T3那么存在數(shù)p，q，0＜p＜l，0＜q＜1，使得： pT1＋(1－p)T3T2qT1＋(1－q)T3 表示恣意事態(tài)體都不是無限優(yōu)，也不是無限劣?！?.1理性行為公理3.1.3事態(tài)體的根本性質(zhì)性質(zhì)3.1 設(shè)事態(tài)體 T1＝〔p,o1；1－p,o0〕 T2＝〔x,o2；1－x,o0〕 且 o1o0，o2o0，假設(shè)o2o1 那么存在 x=p’＜p 使得 T1～T2 稱x為可調(diào)概率值?！?.1理性行為公理3.1.3事態(tài)體的根本性質(zhì)性質(zhì)3.2〔確定當(dāng)量和無差別概率〕 設(shè)事態(tài)體T＝〔x,o1；1－x,o2〕且o1o2。那么對于滿足優(yōu)劣關(guān)系o1oξo2的恣意結(jié)果值oξ，必存在x＝p〔0＜p＜l〕，使得 T＝〔p,o1；1－p,o2〕～oξ 稱結(jié)果值oξ為事態(tài)體T確實定當(dāng)量，稱p為oξ關(guān)于o1與o2的無差別概率。3.1.3事態(tài)體的根本性質(zhì)性質(zhì)3.3 任一事態(tài)體無差別于一個簡單事態(tài)體。 設(shè)有事態(tài)體T＝〔p1,o1；p2,o2；…；pn,on〕那么必存在一個簡單事態(tài)體 T’＝〔p’,o*；1－p’,o0〕～T其中： o*?max{o1,o2,…,on} o0?min{o1,o2,…,on}且：這里，qj(j=1,2,…,n)為oj關(guān)于o*與o0的無差別概率。3.1.3事態(tài)體的根本性質(zhì)根據(jù)性質(zhì)3.3 比較普通事態(tài)體之間的優(yōu)劣關(guān)系，可以轉(zhuǎn)化為比較簡單事態(tài)體之間的優(yōu)劣關(guān)系〔將問題簡化〕 得到事態(tài)體之間兩兩的優(yōu)劣或無差別關(guān)系后，再根據(jù)公理3.2〔傳送性〕即可得到所討論事態(tài)體的排序?！?.2成效函數(shù)的定義和構(gòu)造 設(shè)有決策系統(tǒng)〔Ω，A，F(xiàn)〕，在離散情況下，結(jié)果值可以表示為決策矩陣：§3.2成效函數(shù)的定義和構(gòu)造 矩陣O的第i行表示第i個可行方案的n個能夠結(jié)果值，即事態(tài)體 Ti＝〔p1,oi1；p2,oi2；…；pn,oin〕 (i=1,2,…,m) 決策就是要對這m個事態(tài)體進展排序。 由第一節(jié)中的性質(zhì)3.3知，存在簡單事態(tài)體T’，使得 Ti’＝〔pi’,o*；1－pi’,o0〕～Ti 問題又化為對這m個簡單事態(tài)體Ti’進展排序?！?.2成效函數(shù)的定義和構(gòu)造 Ti’＝〔pi’,o*；1－pi’,o0〕～Ti 留意到這m個簡單事態(tài)體Ti’具有一樣的結(jié)果值o*、o0，根據(jù)定義3.3，其優(yōu)劣關(guān)系可以由比較pi’的大小決議。 根據(jù)性質(zhì)3.3qjj是結(jié)果值oij關(guān)于o*與o0的無差別概率。其中： 問題：如何測定無差別概率？o*?o0?§3.2成效函數(shù)的定義和構(gòu)造3.2.1成效和成效函數(shù)的概念成效的概念定義3.5 設(shè)決策問題的各可行方案有多種能夠的結(jié)果值o，根據(jù)決策者的客觀愿望和價值傾向，每個結(jié)果值對決策者均有不同的價值和作用。反映結(jié)果值o對決策者的價值和作用大小的量值稱為成效?！?.2成效函數(shù)的定義和構(gòu)造3.2.1成效和成效函數(shù)的概念成效函數(shù)的概念定義3.6 假設(shè)在事態(tài)體集合?上存在實值函數(shù)u，有：(1)對恣意的T1、T2∈?，T1T2當(dāng)且僅當(dāng)u(T1)>u(T2)(2)對恣意的T1、T2∈?，且0≤λ≤1，有u[λT1＋(1－λ)T2]=λu(T1)＋(1－λ)u(T2) 那么稱u(T)為定義在?上的成效函數(shù)。3.2.1成效和成效函數(shù)的概念估計成效函數(shù)的方法〔1〕規(guī)范成效測定法(概率當(dāng)量法，V－M法)思緒：對于給定的結(jié)果值，測定其成效值。 設(shè)有決策系統(tǒng)〔Ω，A，F(xiàn)〕，其結(jié)果值集合為： O＝〔o1,o2,…,on〕記： o*?max{o1,o2,…,on} o0?min{o1,o2,…,on} 對于每一個結(jié)果值oj都存在一個概率值pj，使得 oj～〔pj,o*；1－pj,o0〕 pj就可以作為結(jié)果值oj的成效值。3.2.1成效和成效函數(shù)的概念〔1〕規(guī)范成效測定法(概率當(dāng)量法，V－M法)步驟①設(shè)u(o*)=1，u(o0)=0；②建立簡單事態(tài)體〔x,o*；1-x,o0〕，其中x稱為可調(diào)概率；③經(jīng)過反復(fù)提問，不斷改動可調(diào)概率值x，讓決策者權(quán)衡比較，直至當(dāng)x=pj時 oj～〔pj,o*；1－pj,o0〕④測得結(jié)果值oj的成效 u(oj)=pj=pju(o*)＋(1－pj)u(o0)3.2.1成效和成效函數(shù)的概念估計成效函數(shù)的方法〔2〕確定當(dāng)量法(修正的V－M法)思緒：對于給定的成效值，測定其結(jié)果值。步驟①設(shè)u(o*)=1，u(o0)=0；②對于給定的成效值pj，構(gòu)造簡單事態(tài)體 〔pj,o*；1－pj,o0〕③經(jīng)過反復(fù)提問，不斷改動結(jié)果值oξ，讓決策者權(quán)衡比較，直至當(dāng)oξ=oj時 oj～〔pj,o*；1－pj,o0〕④得成效值pj對應(yīng)的結(jié)果值為oj，即u(oj)=pj。3.2.2成效函數(shù)的構(gòu)造 引見一種適用的成效函數(shù)的構(gòu)造方法。根本思緒 對于決策問題的結(jié)果值集合，先用確定當(dāng)量法找出一個基準成效值，即成效值等于0.5的結(jié)果值，稱為確定當(dāng)量oξ。其他成效值不再測定，而是按比例用線性內(nèi)插的方法，用同一個規(guī)范計算得到。3.2.2成效函數(shù)的構(gòu)造方法 設(shè)決策問題結(jié)果值集合為： O＝〔o1,o2,…,on〕①取 o*?max{o1,o2,…,on} o0?min{o1,o2,…,on} 并令u(o*)=1，u(o0)=0；②構(gòu)造簡單事態(tài)體〔0.5,o*；0.5,o0〕，用確定當(dāng)量法找到該事態(tài)體確實定當(dāng)量oξ，使得： oξ～〔0.5,o*；0.5,o0〕3.2.2成效函數(shù)的構(gòu)造方法③對結(jié)果值進展歸一化處置，記歸一化的結(jié)果值為x(oj)那么：x*=x(o*)=1，x0=x(o0)=0，0≤x(oj)≤1④記確定當(dāng)量oξ的歸一化值為ε，也記為x0.5得到經(jīng)歸一化變換后的成效曲線上的三個點： 〔0,0〕,〔ε,0.5〕,〔1,1〕ux011ε0.53.2.2成效函數(shù)的構(gòu)造方法⑤在新區(qū)間[0,ε]和[ε,1]按同樣方法插入點〔x0.25,0.25〕和〔x0.75,0.75〕，堅持比例關(guān)系計算得：成效曲線上新增兩個點： 〔ε2,0.25〕,〔2ε－ε2,0.75〕ux011ε0.50.25ε20.752ε－ε2⑥假設(shè)以為點數(shù)太少，成效曲線不夠準確，可繼續(xù)按同樣方法在新產(chǎn)生的區(qū)間內(nèi)插入成效中點，直到產(chǎn)生足夠的點為止。假設(shè)在成效區(qū)間[0,1]中插入2n個分點：記相應(yīng)的歸一化的結(jié)果值為△k，有：3.2.3成效與風(fēng)險的關(guān)系在風(fēng)險型或不確定型決策問題中，決策者選擇方案幾乎都要承當(dāng)一定的風(fēng)險，不同的決策者對風(fēng)險的態(tài)度是有區(qū)別的。成效表示了決策者對決策方案各結(jié)果值的偏好程度，也反映了不同類型的決策者對風(fēng)險的不同態(tài)度。因此從不同類型的成效函數(shù)可以看出決策者對風(fēng)險的不同態(tài)度。3.2.3成效與風(fēng)險的關(guān)系中立型成效函數(shù) 設(shè)有成效函數(shù)u=u(x)，假設(shè)對xl＜x2，有那么稱該成效函數(shù)為中立型。其成效曲線是一條直線。中立型成效函數(shù)的成效值和結(jié)果值成正比例，因此可以用結(jié)果值直接評選方案。3.2.3成效與風(fēng)險的關(guān)系保守型成效函數(shù) 設(shè)有成效函數(shù)u=u(x)，假設(shè)對xl＜x2，有那么稱該成效函數(shù)為保守型。其成效曲線是一條上凸曲線，表示成效值隨結(jié)果值的添加而添加，但添加的速度逐漸由快至慢。反映了決策者隨結(jié)果值添加越來越謹慎，對風(fēng)險持厭惡態(tài)度。3.2.3成效與風(fēng)險的關(guān)系冒進型成效函數(shù) 設(shè)有成效函數(shù)u=u(x)，假設(shè)對xl＜x2，有那么稱該成效函數(shù)為冒進型。其成效曲線是一條下凸曲線，表示成效值隨結(jié)果值的添加而添加，且添加的速度越來越快。反映了決策者隨結(jié)果值添加越來越敢于冒險追求高額報答的態(tài)度。3.2.3成效與風(fēng)險的關(guān)系ux110中立型成效函數(shù)保守型成效函數(shù)冒進型成效函數(shù)3.2.3成效與風(fēng)險的關(guān)系混合型成效函數(shù) 三種根本成效函數(shù)的混合，如：ux110混合型成效函數(shù)表示當(dāng)x＜x0時，即結(jié)果值不大時，決策者具有一定冒險精神；當(dāng)x＞x0時，即結(jié)果值較大時，決策者對風(fēng)險轉(zhuǎn)而持謹慎態(tài)度。x03.3成效函數(shù)表一、成效函數(shù)表的構(gòu)造 實踐構(gòu)造成效函數(shù)時，取n=6定出成效曲線上的26〔64〕個點，成效函數(shù)的精度曾經(jīng)足夠。 書后附表6給出了n=6對于不同的權(quán)衡目的值ε(ε<0.5)的成效函數(shù)值。ε<0.5時，對應(yīng)的是保守〔上凸〕型成效函數(shù)，成效函數(shù)值可直接查表。ε>0.5時，對應(yīng)的是冒進〔下凸〕型成效函數(shù)，成效函數(shù)值無法直接查表。3.3成效函數(shù)表一、成效函數(shù)表的構(gòu)造可以證明： ε>0.5的成效曲線u(x)與ε’=1－ε的成效曲線u’(x)是關(guān)于直線u=x對稱的。因此，ε>0.5的成效函數(shù)值可以按下面的方法求得：u(x)＝1－u’(1－x)詳細步驟見教材P62。注：查表時在給定的ε列假設(shè)沒有對應(yīng)的x值，那么找出與之相鄰的兩個值x1、x2，查出對應(yīng)的成效值后用線性內(nèi)插的方法確定u(x)。3.3成效函數(shù)表二、成效函數(shù)表的運用例3.1某企業(yè)欲投產(chǎn)一種新產(chǎn)品，有三種方案可供選擇。知市場存在三種形狀：暢銷、普通、滯銷，三種方案在不同的市場形狀下所獲利潤額構(gòu)成以下的決策矩陣：決策者以為：oξ＝4.5～〔0.5,20；0.5,－5〕例3.1試求該企業(yè)決策者的成效矩陣。解：o*?max{oij}＝20， o0?min{oij}＝－5 u(o*)=1， u(o0)=0將決策矩陣的結(jié)果值歸一化：得歸一化后的決策矩陣為：例3.1試求該企業(yè)決策者的成效矩陣。由 oξ＝4.5～〔0.5,20；0.5,－5〕得：查P369附表6，ε＝0.38所在列，以x22＝0.5為例：0.490621＜x22＝0.5＜0.503698而 u(0.490621)＝0.65625，u(0.503698)＝0.671875用線性內(nèi)插法：解得u(x22)＝0.6675。例3.1試求該企業(yè)決策者的成效矩陣。同理得：u(x11)＝0.7300，u(x12)＝0.6091， u(x13)＝0.4306，u(x31)＝0.8742 u(x32)＝0.5596，u(x33)＝0.2068且 u(x21)＝u(o*)=1，u(x23)＝u(o0)=0得決策者的成效矩陣為：例3.2在上例中，假設(shè)決策者以為：

oξ＝11.25～〔0.5,20；0.5,－5〕

試求該企業(yè)決策者的成效矩陣。解：同上例方法得歸一化后的決策矩陣為：例3.2由 oξ＝11.25～〔0.5,20；0.5,－5〕得：查P369附表6，ε’＝1-0.65=0.35所在列，以x32＝0.44為例， u(x32)＝1－u’(1－x32)＝1－u’(0.56)： 0.53689＜0.56＜0.5775而 u(0.53689)＝0.734375，u(0.5775)＝0.75用線性內(nèi)插法解得u’(0.56)＝0.7433，因此： u(x32)＝1－u’(0.56)＝0.2567例3.2同理得：u(x11)＝0.3819，u(x12)＝0.2598， u(x13)＝0.1271，u(x22)＝0.2920 u(x31)＝0.5725，u(x33)＝0.0251且 u(x21)＝u(o*)=1，u(x23)＝u(o0)=0得決策者的成效矩陣為：§3.4成效函數(shù)的曲線擬合 前面討論了針對特定的結(jié)果值，如何測定其成效，我們得到的只是一些離散的成效值，要得到延續(xù)的成效函數(shù)，那么需求用曲線擬合的方法。常見的擬合曲線方式線性函數(shù)型 u(x)＝c1＋a1〔x－c2〕 其中c1、a1、c2為待定參數(shù)。 前面查表時用內(nèi)插法確定某些成效值，實踐上就相當(dāng)于成效函數(shù)為分段線性函數(shù)?！?.4成效函數(shù)的曲線擬合常見的擬合曲線方式指數(shù)函數(shù)型其中ci、ai〔i＝1，2，3〕均為待定參數(shù)。雙指數(shù)函數(shù)型指數(shù)加線性函數(shù)型§3.4成效函數(shù)的曲線擬合常見的擬合曲線方式冪函數(shù)型其中c1、a1、c2為待定參數(shù)。不論采用哪種方式的函數(shù)