2023版高三一輪總復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)新教材老高考人教版課時(shí)分層作業(yè)62　事件的相互獨(dú)立性、條件概率與全概率公式

課時(shí)分層作業(yè)(六十二)事件的相互獨(dú)

立性、條件概率與全概率公式

[4組在基礎(chǔ)中考查學(xué)科功底]

一'選擇題

1.已知P(B4)=0.4,尸但了)=0.2,則P(B)的值為()

A.0.08B.0.8C.0.6D.0.5

C[因?yàn)镻(BA)=P(A)P(B\A),P(i?T)=P(T)P(B\~A),所以P(B)=

P(A)P(B|A)+P(7)P(B|T)=P(BA)+P(B~A)=0.4+0.2=0.6.]

2.已知某產(chǎn)品的次品率為4%,其合格品中75%為一級(jí)品，則任選一件產(chǎn)

品為一級(jí)品的概率為()

A.0.75B.0.96C.0.72D.0.78

C[記''任選一件產(chǎn)品為合格品”為事件A,

記“任選一件產(chǎn)品為一級(jí)品”為事件8.

由于一級(jí)品必是合格品，故事件A包含事件3,

因此P(AB)=P(B).

由合格品中75%為一級(jí)品知P(B|A)=0.75.

故P(3)=P(A8)=P(A)P(3H)=0.96X0.75=0.72.]

3.(2021.武昌區(qū)模擬)甲、乙兩人參加“社會(huì)主義核心價(jià)值觀”知識(shí)競(jìng)賽，

甲、乙兩人能榮獲一等獎(jiǎng)的概率分別為2尹啟3，甲、乙兩人是否獲得一等獎(jiǎng)相互獨(dú)

立，則這兩個(gè)人中恰有一人獲得一等獎(jiǎng)的概率為()

32八55

A.B.]C.D.~^2

D[根據(jù)題意，恰有一人獲得一等獎(jiǎng)就是甲獲獎(jiǎng)乙沒(méi)獲獎(jiǎng)或甲沒(méi)獲獎(jiǎng)乙獲

獎(jiǎng)，則所求概率是1X(l—春+(*[1—1)=卷，故選D.]

4.(2021?寶雞三模)托馬斯?貝葉斯(111011^82丫65)在研究“逆向概率”的問(wèn)題

中得到了一個(gè)公式：

P（W）=月麗俞說(shuō)旃W這個(gè)公式被稱為貝葉斯公式（貝葉

斯定理），其中P（B|A）?P（A）+P（B\AC）?P（A。）稱為B的全概率.這個(gè)定理在實(shí)

際生活中有著重要的應(yīng)用價(jià)值.假設(shè)某種疾病在所有人群中的感染率是0.1%,

醫(yī)院現(xiàn)有的技術(shù)對(duì)于該疾病檢測(cè)準(zhǔn)確率為99%,即已知患病情況下，99%的可能

性可以檢查出陽(yáng)性，正常人99%的可能性檢查為正常.如果從人群中隨機(jī)抽一個(gè)

人去檢測(cè)，經(jīng)計(jì)算檢測(cè)結(jié)果為陽(yáng)性的全概率為0.01098,請(qǐng)你用貝葉斯公式估計(jì)

在醫(yī)院給出的檢測(cè)結(jié)果為陽(yáng)性的條件下這個(gè)人得病的概率為（）

A.0.1%B.8%C.9%D.99%

C[記一個(gè)人得病為事件A,檢測(cè)結(jié)果為陽(yáng)性為事件8,則P（A）=01％,

P?4）=99%,

P（8|A）P（A）+P（B\AC）-P（Ac）=0.01098,

...P（3|A）/（A）

所以P（AB）一尸（始）p（Q+p（aq）.p（A＜）

99%X0.1%

=---------=9%,

0.01098

所以在醫(yī)院給出的檢測(cè)結(jié)果為陽(yáng)性的條件下這個(gè)人得病的概率為9%,故選

C.]

5.為慶祝建黨100周年，謳歌中華民族實(shí)現(xiàn)偉大復(fù)興的奮斗歷程，增進(jìn)全

體黨員干部職工對(duì)黨史知識(shí)的了解，某單位組織開(kāi)展黨史知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)，以支部

為單位參加比賽，某支部在5道黨史題中（有3道選擇題和2道填空題），不放回

地依次隨機(jī)抽取2道題作答，設(shè)事件A為“第1次抽到選擇題”，事件B為“第

2次抽到選擇題”，則下列結(jié)論：

33

①P（A）=g；②尸缶8）=而；

③P?A）=；；J）=1.

其中正確的是（）

A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④

C；3

AfP（A）=^j=-,故①正確；

2

故②正確;

3

P?A)=3祟=￥=；，故③正確；

5

P(1)=P(18)=需=看?i1)=^^=孝4故④錯(cuò)

誤.故選A.]

6.已知一種元件的使用壽命超過(guò)1年的概率為0.8,超過(guò)2年的概率為0.6,

若一個(gè)這種元件使用到1年時(shí)仍然完好，則這個(gè)元件使用壽命超過(guò)2年的概率為

()

A.0.75B.0.46C.0.6D.0.48

A[設(shè)事件A表示“一個(gè)這種元件使用壽命超過(guò)2年”，事件8表示“一

個(gè)這種元件使用壽命超過(guò)1年”，由題知P(A8)=0.6,P(3)=0.8,P(A|B)=

PCAB)_0.6_

P(B)—0.8—0-75^

二'填空題

7.(2021.淄博模擬)為促進(jìn)小區(qū)人員對(duì)垃圾分類進(jìn)行深入了解，某小區(qū)舉行

了“垃圾分類你提問(wèn)我知道”對(duì)抗競(jìng)賽活動(dòng).活動(dòng)規(guī)則：對(duì)抗雙方輪換提問(wèn)，答

對(duì)得1分，答錯(cuò)對(duì)手得1分，先多得2分者獲勝.若甲、乙兩人進(jìn)行對(duì)抗，且甲

提問(wèn)并獲勝的概率為0.5,甲答題并獲勝的概率為0.4,則在甲先提問(wèn)的情況下,

甲以3：1獲勝的概率為.

0.1[若甲以3：1獲勝，則甲在前兩場(chǎng)中輸一場(chǎng)，第三場(chǎng)和第四場(chǎng)甲獲勝.又

甲先提問(wèn),二P=0.5X(1-0.4)X0.5X04+(1-0.5)X0.450.5X0.4=04.]

8.三個(gè)元件刀，72,。正常工作的概率分別1為3初3本將元件乃，乃并

聯(lián)后再和元件Ti串聯(lián)接入電路，如圖所示，則此電路不發(fā)生故障的概率為

3

r：

15

［記''三個(gè)元件Ti，，A正常工作”分別為事件4,A2,A3，則P(4)

32Ti

133

=P(A)=4?P(A)=4.

r23

?.?電路不發(fā)生故障的事件為(A2UA3M1，

...電路不發(fā)生故障的概率為

1,11

P=P[(AUA)A1]=P(AUA)P(A1)=[1—P(A2)?尸(A3)]P(A1)=lXX

2323-442

=￡]

9.(2021衡水模擬)世衛(wèi)組織就新冠肺炎疫情稱新型冠狀病毒可能造成“持

續(xù)人傳人”.通俗點(diǎn)說(shuō)就是A傳8,3傳GC又傳。等,這就是“持續(xù)人傳人”，

而A,B,C被稱為第一代、第二代、第三代傳播者.假設(shè)一個(gè)身體健康的人被

第一代、第二代、第三代傳播者感染的概率分別為0.95,0.9,0.85,健康的小明

參加了一次多人宴會(huì)，事后知道，參加宴會(huì)的人有5名第一代傳播者，3名第二

代傳播者，2名第三代傳播者.若小明參加宴會(huì)，僅和感染的10人中的一人接

觸，則感染的概率為

0.915［設(shè)事件A,B,C分別表示和第一代、第二代、第三代傳播者接觸,

事件。表示小明被感染，則由題意得尸(4)=0.5,P(B)=0.3,P(O=0.2,P(DIA)

=0.95,P(D\B)=0.9,P(D|C)=0.85,

則P(D)=P(O|A)P(A)+P(D\B)P(B)+P(D|C)P(C)=0.95X0.5+0.9X0.3+

0.85X0.2=0.915.]

三'解答題

10.某商店收進(jìn)甲廠生產(chǎn)的產(chǎn)品30箱，乙廠生產(chǎn)的同種產(chǎn)品20箱，甲廠每

箱裝100個(gè)，廢品率為0.06,乙廠每箱裝120個(gè)，廢品率為0.05,求:

(1)任取一箱，從中任取一個(gè)為廢品的概率;

(2)若將所有產(chǎn)品開(kāi)箱混放，求任取一個(gè)為廢品的概率.

［解］記事件A,8分別為甲、乙兩廠的產(chǎn)品，事件C為廢品，則。=AUB,

且A,B互斥,

4

…上?303202

(1)由題意,仔P(A)=^=5，P(B)=京

P(CH)=0.06,P(C|B)=0.05,

7

由全概率公式，得P(O=P(A)P(CH)+P(B)P(C|3)=市.

30X1005

⑵P(A)=30X100+20X120=9'

20X1204

P(B)=30義100+20X120=5

P(C|A)=0.06,P(qB)=0.05,

x?-?_56,451

由全概率公式，得P(O=P(A)P(CH)+P(8)P(C|B)=§Xm^+§X而=同.

11.(2021.廣州模擬)在某校運(yùn)動(dòng)會(huì)中，甲、乙、丙三支足球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)賽

(即每?jī)申?duì)比賽一場(chǎng))，共賽三場(chǎng)，每場(chǎng)比賽勝者得3分，負(fù)者得0分,沒(méi)有平局.在

每一場(chǎng)比賽中，甲勝乙的概率為上甲勝丙的概率為去乙勝丙的概率為

(1)求甲隊(duì)獲第一名且丙隊(duì)獲第二名的概率；

(2)求在該次比賽中甲隊(duì)至少得3分的概率.

［解I(1)設(shè)甲隊(duì)獲第一名且丙隊(duì)獲第二名為事件4則P(A)=；x1x(l-J

=后

(2)甲隊(duì)至少得3分有兩種情況：兩場(chǎng)只勝一場(chǎng)；兩場(chǎng)都勝.設(shè)事件B為“甲

兩場(chǎng)只勝一場(chǎng)”，設(shè)事件C為“甲兩場(chǎng)都勝”，則事件“甲隊(duì)至少得3分”為B

UC,

則尸(3UC)=P(B)+P(C)=gx(1_g+(X(T)+(X；=g.

［B組在綜合中考查關(guān)鍵能力］

1.某大學(xué)選拔新生補(bǔ)充進(jìn)“籃球”“電子競(jìng)技”“國(guó)學(xué)”三個(gè)社團(tuán).據(jù)資

料統(tǒng)計(jì)，新生通過(guò)考核選拔進(jìn)入這三個(gè)社團(tuán)成功與否相互獨(dú)立.某新生入學(xué)，假

設(shè)他通過(guò)考核選拔進(jìn)入該校的“籃球”“電子競(jìng)技”“國(guó)學(xué)”三個(gè)社團(tuán)的概率

依次為m,〃.已知這三個(gè)社團(tuán)他都能進(jìn)入的概率為吉，至少進(jìn)入一個(gè)社團(tuán)的

5

3

概率為幣則機(jī)+〃=()

A.gB.|C(D.1

C「由于新生通過(guò)考核選拔進(jìn)入這三個(gè)社團(tuán)成功與否相互獨(dú)立，所以該新生

三個(gè)社團(tuán)都能進(jìn)入的概率為吉①，至少進(jìn)入一個(gè)社團(tuán)的概率為1—(1—

33

H(1-〃)=滔，由①②求得〃?+〃=疝故選C.］

2.某種電子玩具按下按鈕后，會(huì)出現(xiàn)紅球或綠球.已知按鈕第一次按下后,

出現(xiàn)紅球與綠球的概率都是看從按鈕第二次按下起，若前一次出現(xiàn)紅球，則下

一次出現(xiàn)紅球、綠球的概率分別為1京?東若前一次出現(xiàn)綠球，則下一次出現(xiàn)紅球、

綠球的概率分別為3專52-記第〃(〃GN,〃21)次按下按鈕后出現(xiàn)紅球的概率為P”.

(1)P2的值為;

(2)若〃WN,〃22,用表示尸"的表達(dá)式為.

74,311,137

⑴正⑵P產(chǎn)-印一+耳［(1)尸2=二5+二歹F

1,34,3

(2)P,產(chǎn)P”-1X§+(1—尸〃_1)X§=—FXP,i+?。?/p>

3.已知某種高炮在它控制的區(qū)域內(nèi)擊中敵機(jī)的概率為0.2.

(1)假定有5門這種高炮控制某個(gè)區(qū)域，求敵機(jī)進(jìn)入這個(gè)區(qū)域后未被擊中的

概率；

(2)要使敵機(jī)一旦進(jìn)入這個(gè)區(qū)域后有0.9以上的概率被擊中，需至少布置幾門

高炮？

［解］(1)設(shè)敵機(jī)被第2門高炮擊中的事件為44=1,2,3,4,5),那么5

門高炮都未擊中敵機(jī)的事件為AiA,ArArAi.

二,事件4,A29A3，4,A5相互獨(dú)立，

，敵機(jī)未被擊中的概率為

P(A1/2?A3-A4-A5)=P(4)/(A2>P(A3>P(A4>P(A5)=(1—0.2)5=停).

.,.敵機(jī)未被擊中的概率為.

6

(2)設(shè)至少需要布置〃門高炮才能有0.9以上的概率被擊中，由(1)可得：

敵機(jī)被擊中的概率為1-(野，

...令1—加0.9,...?鼎,

兩邊取常用對(duì)數(shù)，得〃匕「41°3

l-31g2

?.?“GN+,.,.n=ll.

...至少需栗布置11門高炮才能有0.9以上的概率擊中敵機(jī).

［C組在創(chuàng)新中考查理性思維］

1.(2021.煙臺(tái)模擬)某次知識(shí)競(jìng)賽規(guī)則如下：在主辦方預(yù)設(shè)的5個(gè)問(wèn)題中，

選手若能連續(xù)正確回答出兩個(gè)問(wèn)題，即停止答題，晉級(jí)下一輪.假設(shè)某選手正確

回答每個(gè)問(wèn)題的概率都是0.8,且每個(gè)問(wèn)題的回答結(jié)果相互獨(dú)立，則該選手恰好

回答了4個(gè)問(wèn)題就晉級(jí)下一輪的概率等于.金別)

0.128［法一：根據(jù)題意，記該選手恰好回答了4個(gè)問(wèn)題就晉級(jí)下一輪為

事件A,若該選手恰好回答了4個(gè)問(wèn)題就晉級(jí)下一輪，必有第二個(gè)問(wèn)題回答錯(cuò)誤，

第三、四個(gè)問(wèn)題回答正確，第一個(gè)問(wèn)題可對(duì)可錯(cuò)；

由相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，

可得P(A)=1X0.2X0.8X0.8=0.128.

法二：根據(jù)題意，記該選手恰好回答了4個(gè)問(wèn)題就晉級(jí)下一輪為事件A,若

該選手恰好回答了4個(gè)問(wèn)題就晉級(jí)下一輪，必有第二個(gè)問(wèn)題回答錯(cuò)誤，第三、四

個(gè)問(wèn)題回答正確，第一個(gè)問(wèn)題可對(duì)可錯(cuò)，由此分兩類，第一個(gè)答錯(cuò)與第一個(gè)答對(duì)，

由相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，可得P(/l)=0.8X0.2X0.8X0.84-

0.2X0.2X0.8X