線性代數(shù)總復(fù)習(xí)及典型例題

線性代數(shù)總復(fù)習(xí)

1整理ppt第一章行列式2整理ppt二階行列式的計算方法第一節(jié)n階行列式的定義三階行列式的計算方法——沙路法3整理ppt一些常用的行列式結(jié)果：1.2.3.4整理ppt4.kkkkmmmmbbbb**aaaaDLMMLLMMLLMML111111110=**1111mmmmaaaaLMML=.1111kkkkbbbbLMML5整理ppt行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等.

性質(zhì)1.1行列式的某一行〔列〕中所有元素的公因子可以提到行列式符號的外面．

性質(zhì)1.2式為零。推論1行列式的某一行〔列〕中的所有元素都乘以同一數(shù)k，等于用數(shù)k乘此行列式.推論2如果行列式中有一行(列)為零，那么行列第二節(jié)行列式的性質(zhì)6整理ppt對換行列式的兩行〔列〕,行列式變號.

性質(zhì)1.3那么此行列式為零.推論如果行列式有兩行〔列〕完全相同，比例，那么行列式為零．

性質(zhì)1.4如果行列式中有兩行〔列〕對應(yīng)成7整理ppt如果行列式的某一行〔列〕的元素都是那么D等于以下兩個行列式之和：例如第i行的元素都是兩數(shù)之和

性質(zhì)1.5兩數(shù)之和，8整理ppt

同一數(shù)然后加到另一行(列)對應(yīng)的元素上去，行列把行列式的某一行〔列〕的各元素乘以

性質(zhì)1.6式不變．(倍加運(yùn)算)計算行列式常用方法：(1)利用定義;(2)利用性質(zhì)把行列式化為上三角形行列式，從而算得行列式的值．9整理ppt第三節(jié)行列式按行(列)展開數(shù)余子式的乘積，即引理一個n階行列式，如果第i行所有元素除外都為零，與它的代那么這個行列式等于定理1.3式某行(列)元素與另一行(列)對應(yīng)元素的代數(shù)余子行列式的某行(列)的所有元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和等于該行列式的值。式乘積之和等于零。行列10整理ppt行列式按行〔列〕展開法那么是把高階行列式的計算化為低階行列式計算的重要工具.11整理ppt第二章矩陣及其運(yùn)算12整理ppt一、矩陣的概念

由個數(shù)稱為m行n列矩陣,簡稱矩陣.定義2.1排成的m行n列的數(shù)表其中個數(shù)稱為矩陣A的元素，數(shù)稱為矩陣A的第i行第j列的元素.1.矩陣的根本概念13整理ppt

加法數(shù)與矩陣相乘矩陣與矩陣相乘方陣的冪轉(zhuǎn)置矩陣對稱及反對陳矩陣方陣的行列式1.矩陣的根本運(yùn)算：

二、矩陣的運(yùn)算14整理ppt2.矩陣的運(yùn)算規(guī)律：加法：數(shù)乘：15整理ppt（其中為數(shù)）;乘法：方陣的冪運(yùn)算：（2）（1）

注意：16整理ppt轉(zhuǎn)置運(yùn)算：17整理ppt由n階方陣A的元素按原相對位置所構(gòu)成定義2.1稱為方陣A的行列式，記作的行列式，3.方陣的行列式及其性質(zhì)方陣的行列式滿足以下規(guī)律：〔2〕〔3〕（設(shè)A、B為n階方陣，為數(shù)）〔1〕18整理ppt.列標(biāo)三、逆矩陣1.根本概念定義2.8對于n階方陣A，如果存在一個n階方陣B使得那么稱B是A的逆矩陣，并稱矩陣A是可逆矩陣或滿秩矩陣，或非奇異矩陣,記為說明假設(shè)A是可逆矩陣，那么A的逆矩陣是唯一的.注意19整理ppt各元素aij的代數(shù)余子式Aij

構(gòu)成如下n階方陣稱為矩陣A的伴隨矩陣.定義2.9設(shè)有n階方陣由行列式中

注意:伴隨陣與原矩陣A元素位置的對應(yīng)關(guān)系.20整理ppt定理2.1設(shè)A為n階方陣，A*為其伴隨矩陣，那么2.根本定理定理2.2設(shè)A為n階方陣，那么A可逆推論設(shè)A、B都是n階方陣，21整理ppt3.可逆矩陣的性質(zhì)22整理ppt利用定義〔一般適用于證明題〕(3)待定系數(shù)法(4)初等變換法:步驟如下4.逆矩陣的計算方法23整理ppt設(shè)方陣分塊對角矩陣的性質(zhì)那么1.2.

四、分塊矩陣24整理ppt特殊地，如果是對角矩陣當(dāng)且僅當(dāng)都不為零時，是可逆矩陣，且25整理ppt矩陣的初等變換包括3種：對換變換、數(shù)乘變換和倍加變換。這三種初等變換的過程都是可逆的，且其逆變換是同一類型的初等變換.

.列標(biāo)五、矩陣的初等變換與初等矩陣1.初等變換與初等矩陣定理2.3

設(shè)A是一個非零矩陣，那么A一定可以通過有限次初等行變換化為行階梯形及行最簡形，再進(jìn)行初等列變換化為如下標(biāo)準(zhǔn)形：其中r就是行階梯形矩陣中非零行的行數(shù).26整理ppt注意：初等變換不改變矩陣的可逆性。

對于任何一個非零矩陣,都可以先進(jìn)行初等行變換化為行階梯形及行最簡形,再進(jìn)行初等列變換化為標(biāo)準(zhǔn)形.27整理pptA的右邊乘以相應(yīng)的n階初等矩陣.定理2.4設(shè)A是一個矩陣，對A施行一次初等行變換，相當(dāng)于在A的左邊乘以相應(yīng)的m階初等矩陣；對A施行一次初等列變換，相當(dāng)于在n階方陣A可逆的充要條件是存在有限定理2.5個初等矩陣28整理ppt六、矩陣的秩求矩陣秩的方法(1)利用定義：尋找矩陣中非零子式的最高階數(shù)(2)初等變換法：把矩陣用初等行變換變成為行階梯形矩陣，行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)就是矩陣的秩29整理ppt對于n階方陣A，如果A的秩等于n，那么稱A為滿秩矩陣，否那么稱為降秩矩陣.A為可逆矩陣.對于n階方陣A，以下命題等價：(1)A為滿秩矩陣；(2)(3)(4)30整理ppt第三章線性方程組

31整理ppt()nAR=()nAR<有無窮多解.bAx=非齊次線性方程組(1)無解(2)并且通解中有n-r個自由未知量.其中()()BRAR=有解:32整理ppt非齊次線性方程組的具體解法：(1)對增廣矩陣施行初等行變換化為行階梯形矩陣，比較以及n之間的大小關(guān)系，從而判斷方程組解的情況：無解，唯一解，無窮解。(2)在判斷有解的情況下，繼續(xù)對行階梯形矩陣施行初等行變換，將其化為行最簡形，并寫出最簡形對應(yīng)的線性方程組進(jìn)行求解。如果方程組有無窮多個解，需寫出通解形式。33整理ppt當(dāng)m=n時，n元非齊次線性方程組有惟一解的充分必要條件是系數(shù)矩陣A的行列式推論34整理ppt()nAR=()nAR<齊次線性方程組一定有解：(1)(2)并且通解中有n-r個自由未知量.只有零解有非零解35整理ppt齊次線性方程組的具體解法：(1)對系數(shù)矩陣施行初等行變換化為行階梯形矩陣，比較與n之間的大小關(guān)系，從而判斷方程組解的情況：唯一解〔零解〕，無窮解〔非零解〕。(2)繼續(xù)對行階梯形矩陣施行初等行變換，將其化為行最簡形，并寫出最簡形對應(yīng)的線性方程組進(jìn)行求解。如果方程組有無窮多個解，需寫出通解形式。36整理ppt推論1當(dāng)m=n時，(1)齊次線性方程組(3.2)只有零解(2)齊次線性方程組(3.2)有非零解推論2當(dāng)m<n時，即方程個數(shù)小于未知量個數(shù)時，齊次線性方程組(3.2)必有非零解.37整理ppt第四章向量組的線性

相關(guān)性38整理ppt定義4.5設(shè)n維向量如果存在一組數(shù)使得那么稱向量是向量組的線性組合或稱向可由向量組線性表示.量第二節(jié)向量組的線性相關(guān)性一、線性表示39整理ppt定理4.1向量可由向量組線性表示的充分必要條件是矩陣的秩等于矩陣的秩，即

說明：判斷某個向量是否可由某向量組線性表示，可歸結(jié)為非齊次線性方程組是否有解，從而取決于該方程組系數(shù)矩陣和增廣矩陣的秩是否相等，所以該問題最終可利用初等行變換化增廣矩陣為階梯形矩陣來解決.40整理ppt定義4.7對于n維向量組如果存在一組不全為零的數(shù)則稱向量組線性相關(guān).如果上式只有當(dāng)時才成立,那么稱向量組線性無關(guān).二、線性相關(guān)與線性無關(guān)41整理ppt定理4.2

于是判斷某向量組的線性相關(guān)性，可歸結(jié)為齊次線性方程組是否有非零解，從而取決于方程組系數(shù)矩陣的秩，所以該問題最終可利用初等行變換化系數(shù)矩陣為階梯形矩陣來解決.42整理ppt的充分必要條件是它所構(gòu)成的矩陣的行列式等于零，即向量組線性無關(guān)的充分必推論1若則n個n維向量線性相關(guān)要條件是推論2即向量組中向量個數(shù)大于向量維數(shù)時，若向量組必線性相關(guān).43整理ppt(1)向量組線性相關(guān)(A)中至少有一個向量能由其余線性相關(guān)，那么向量定理4.3的充分必要條件是：線性無關(guān)，而向量組(2)設(shè)向量組向量線性表示.一定可由向量組(A)線性表示，且表示式是惟一的.三、相關(guān)定理44整理ppt定義4.8設(shè)有向量組是(A)的局部向量組,如果(1)線性無關(guān)；(2)對于向量組(A)中的任何一個向量都有線性相關(guān)，則稱為向量組(A)的一個極大線性無關(guān)組，簡稱極大無關(guān)組.注意：在條件(1)下，(2)和下述條件等價：對于向量組(A)中的任何一個向量都可由線性表出.第三節(jié)極大線性無關(guān)組45整理ppt定義4.9向量組的極大性無關(guān)組所含向量的個數(shù)，稱為向量組的秩，記為推論n階方陣A可逆的充分必要條件是A的行(列)向量組線性無關(guān).向量組秩的求法：通過求向量組構(gòu)成的矩陣的秩來求該向量組的秩及其極大線性無關(guān)組.46整理ppt第四節(jié)線性方程組解的結(jié)構(gòu)一、齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)(4.1)定理4.7如果n元齊次線性方程組〔4.1〕的系數(shù)矩陣A的秩那么方程組〔4.1〕的根底(證明略)解系一定存在，且根底解系含的解向量的個數(shù)為47整理ppt齊次線性方程組根底解系的求法（1）對系數(shù)矩陣進(jìn)行初等變換，將其化為最簡形48整理ppt由于令（2）得出，同時也可知方程組的一個基礎(chǔ)解系含有個線性無關(guān)的解向量．49整理ppt故為齊次線性方程組的一個根底解系.齊次線性方程組的通解為50整理ppt二、非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)〔4.5〕

性質(zhì)4.4導(dǎo)出組(4.1)的解.為(4.5)的解，則是其

性質(zhì)4.5的解，那么設(shè)為(4.5)的解，是其導(dǎo)出組(4.1)也是(4.5)的解.51整理ppt定理4.8設(shè)是非齊次方程組(4.5)的一個取定的解(稱為特解)，是其導(dǎo)出組（4.1）的通解，則方程組(4.5)的通解為說明：此定理說明非齊次方程組的通解=齊次方程組的通解

+非齊次方程組的特解52整理ppt第五章

特征值、特征向量

及矩陣的對角化

53整理ppt一、向量的內(nèi)積定義5.1設(shè)有n維向量內(nèi)積令長度范數(shù)定義5.2正交54整理ppt定義5.4定理5.2向量都是單位向量且兩兩正交．矩陣A為正交矩陣的充要條件是A的列(行)55整理ppt求矩陣特征值與特征向量的步驟：二、特征值與特征向量56整理ppt定理5.3注意：屬于不同特征值的特征向量是線性無關(guān)的．矩陣特征值與特征向量的性質(zhì)：特征