十三章推理與證明

第十三章推理與證明高考文數(shù)

(課標(biāo)Ⅱ?qū)Ｓ?1.(2019課標(biāo)全國(guó)Ⅱ,5,5分)在“一帶一路”知識(shí)測(cè)驗(yàn)后,甲、乙、丙三人對(duì)成績(jī)進(jìn)行預(yù)測(cè).甲:我的成績(jī)比乙高.乙:丙的成績(jī)比我和甲的都高.丙:我的成績(jī)比乙高.成績(jī)公布后,三人成績(jī)互不相同且只有一個(gè)人預(yù)測(cè)正確,那么三人按成績(jī)由高到低的次序?yàn)?/p>

()A.甲、乙、丙

B.乙、甲、丙

C.丙、乙、甲

D.甲、丙、乙五年高考A組

統(tǒng)一命題·課標(biāo)卷題組答案

A本題主要考查邏輯推理,通過(guò)對(duì)“一帶一路”知識(shí)測(cè)驗(yàn)成績(jī)的預(yù)測(cè),考查了學(xué)生的

推理論證能力;通過(guò)實(shí)際問(wèn)題滲透了邏輯推理的核心素養(yǎng).三人成績(jī)互不相同且只有一個(gè)人預(yù)測(cè)正確,有以下三種情況:(1)若乙預(yù)測(cè)正確,則丙預(yù)測(cè)也正

確,不合題意;(2)若丙預(yù)測(cè)正確,甲、乙預(yù)測(cè)錯(cuò)誤,即丙成績(jī)比乙高,甲的成績(jī)比乙低,則丙的成績(jī)

比乙和甲都高,此時(shí)乙預(yù)測(cè)又正確,與假設(shè)矛盾;(3)若甲預(yù)測(cè)正確,乙、丙預(yù)測(cè)錯(cuò)誤,可得甲成績(jī)

高于乙,乙成績(jī)高于丙,符合題意,故選A.審題指導(dǎo)題目中只有一個(gè)人預(yù)測(cè)正確,即另外兩人預(yù)測(cè)錯(cuò)誤,按照邏輯關(guān)系推理即可.2.(2017課標(biāo)全國(guó)Ⅱ,9,5分)甲、乙、丙、丁四位同學(xué)一起去向老師詢問(wèn)成語(yǔ)競(jìng)賽的成績(jī).老師

說(shuō):你們四人中有2位優(yōu)秀,2位良好,我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績(jī),給乙看丙的成績(jī),給丁看甲的

成績(jī).看后甲對(duì)大家說(shuō):我還是不知道我的成績(jī).根據(jù)以上信息,則

()A.乙可以知道四人的成績(jī)B.丁可以知道四人的成績(jī)C.乙、丁可以知道對(duì)方的成績(jī)D.乙、丁可以知道自己的成績(jī)答案

D由題意可知,“甲看乙、丙的成績(jī),不知道自己的成績(jī)”說(shuō)明乙、丙兩人是一個(gè)優(yōu)

秀一個(gè)良好,則乙看了丙的成績(jī),可以知道自己的成績(jī),丁看了甲的成績(jī),也可以知道自己的成

績(jī).故選D.3.(2016課標(biāo)全國(guó)Ⅱ,16,5分)有三張卡片,分別寫有1和2,1和3,2和3.甲,乙,丙三人各取走一張卡

片,甲看了乙的卡片后說(shuō):“我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2”,乙看了丙的卡片后說(shuō):“我與

丙的卡片上相同的數(shù)字不是1”,丙說(shuō):“我的卡片上的數(shù)字之和不是5”,則甲的卡片上的數(shù)字

是

.答案1和3解析丙的卡片上的數(shù)字之和不是5,則丙有兩種情況:①丙的卡片上的數(shù)字為1和2,此時(shí)乙的

卡片上的數(shù)字為2和3,甲的卡片上的數(shù)字為1和3,滿足題意;②丙的卡片上的數(shù)字為1和3,此時(shí)

乙的卡片上的數(shù)字為2和3,甲的卡片上的數(shù)字為1和2,這時(shí)甲與乙的卡片上有相同的數(shù)字2,與

已知矛盾,故情況②不符合,所以甲的卡片上的數(shù)字為1和3.疑難突破先對(duì)丙分類討論,確定出丙卡片上的數(shù)字情況再確定乙、甲是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.評(píng)析本題主要考查推理,考查學(xué)生分析、解決問(wèn)題的能力,先確定丙卡片上的數(shù)字情況再確

定乙、甲是問(wèn)題的突破口,注意對(duì)丙的分類討論.1.(2016北京,8,5分)某學(xué)校運(yùn)動(dòng)會(huì)的立定跳遠(yuǎn)和30秒跳繩兩個(gè)單項(xiàng)比賽分成預(yù)賽和決賽兩個(gè)

階段.下表為10名學(xué)生的預(yù)賽成績(jī),其中有三個(gè)數(shù)據(jù)模糊.在這10名學(xué)生中,進(jìn)入立定跳遠(yuǎn)決賽的有8人,同時(shí)進(jìn)入立定跳遠(yuǎn)決賽和30秒跳繩決賽的有6人,

則

()A.2號(hào)學(xué)生進(jìn)入30秒跳繩決賽B.5號(hào)學(xué)生進(jìn)入30秒跳繩決賽C.8號(hào)學(xué)生進(jìn)入30秒跳繩決賽D.9號(hào)學(xué)生進(jìn)入30秒跳繩決賽學(xué)生序號(hào)12345678910立定跳遠(yuǎn)

(單位:米)1.961.921.821.801.781.761.741.721.681.6030秒跳繩

(單位:次)63a7560637270a-1b65考點(diǎn)一合情推理與演繹推理B組

自主命題·省(區(qū)、市)卷題組答案

B因?yàn)檫@10名學(xué)生中進(jìn)入立定跳遠(yuǎn)決賽的有8人,故立定跳遠(yuǎn)成績(jī)排名最后的9號(hào)和10號(hào)學(xué)生就被淘汰了.又因?yàn)橥瑫r(shí)進(jìn)入立定跳遠(yuǎn)決賽和30秒跳繩決賽的有6人,則1~8號(hào)學(xué)生中

必有2人被淘汰,因?yàn)閍-1<a,其余數(shù)字最小的為60,故有以下幾種情況:①若a-1≥63,此時(shí)淘汰的不止2人,故此種情況不可能;②若a-1<a<60,此時(shí)被淘汰的為2號(hào)和8號(hào);③若60≤a-1<a≤63,此時(shí)被淘汰的為4號(hào)和8號(hào).綜上,8,9,10號(hào)學(xué)生一定會(huì)被淘汰,2號(hào)有可能會(huì)被淘汰,故選B.疑點(diǎn)突破本題較易得出9號(hào)和10號(hào)學(xué)生首先會(huì)被淘汰,難點(diǎn)在于在1~8號(hào)學(xué)生中淘汰2名學(xué)

生.可將1~8號(hào)學(xué)生中已知的30秒跳繩成績(jī)由大到小排列:75,72,70,63,63,60.接下來(lái)將兩個(gè)連續(xù)數(shù)字a,a-1捆綁起來(lái)整體插空即可.若要只有6人同時(shí)進(jìn)入立定跳遠(yuǎn)決賽和30秒跳繩決賽,則插空的情況只有2種:75,72,70,63,63,a,a-1,60或75,72,70,63,63,60,a,a-1.評(píng)析本題考查推理能力及分類討論思想的應(yīng)用,屬難題.2.(2015陜西,16,5分)觀察下列等式1-

=

1-

+

-

=

+

1-

+

-

+

-

=

+

+

……據(jù)此規(guī)律,第n個(gè)等式可為

.答案1-

+

-

+…+

-

=

+

+…+

解析規(guī)律為等式左邊共有2n項(xiàng)且等式左邊分母分別為1,2,…,2n,分子為1,奇數(shù)項(xiàng)為正、偶數(shù)

項(xiàng)為負(fù),即為1-

+

-

+…+

-

;等式右邊共有n項(xiàng)且分母分別為n+1,n+2,…,2n,分子為1,即為

+

+…+

.所以第n個(gè)等式可為1-

+

-

+…+

-

=

+

+…+

.3.(2016山東,12,5分)觀察下列等式:

+

=

×1×2;

+

+

+

=

×2×3;

+

+

+…+

=

×3×4;

+

+

+…+

=

×4×5;……照此規(guī)律,

+

+

+…+

=

.答案

解析觀察前4個(gè)等式,由歸納推理可知

+

+…+

=

×n×(n+1)=

.評(píng)析本題主要考查了歸納推理,認(rèn)真觀察題中給出的4個(gè)等式即可得出結(jié)論.4.(2017北京,14,5分)某學(xué)習(xí)小組由學(xué)生和教師組成,人員構(gòu)成同時(shí)滿足以下三個(gè)條件:(i)男學(xué)生人數(shù)多于女學(xué)生人數(shù);(ii)女學(xué)生人數(shù)多于教師人數(shù);(iii)教師人數(shù)的兩倍多于男學(xué)生人數(shù).①若教師人數(shù)為4,則女學(xué)生人數(shù)的最大值為

;②該小組人數(shù)的最小值為

.答案①6②12解析設(shè)男學(xué)生人數(shù)為x,女學(xué)生人數(shù)為y,教師人數(shù)為z,由已知得

且x,y,z均為正整數(shù).①當(dāng)z=4時(shí),8>x>y>4,∴x的最大值為7,y的最大值為6,故女學(xué)生人數(shù)的最大值為6.②x>y>z>

,當(dāng)x=3時(shí),條件不成立,當(dāng)x=4時(shí),條件不成立,當(dāng)x=5時(shí),5>y>z>

,此時(shí)z=3,y=4.∴該小組人數(shù)的最小值為12.考點(diǎn)二直接證明與間接證明(2016江蘇,20,16分)記U={1,2,…,100}.對(duì)數(shù)列{an}(n∈N*)和U的子集T,若T=?,定義ST=0;若T=

{t1,t2,…,tk},定義ST=

+

+…+

.例如:T={1,3,66}時(shí),ST=a1+a3+a66.現(xiàn)設(shè){an}(n∈N*)是公比為3的等比數(shù)列,且當(dāng)T={2,4}時(shí),ST=30.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(2)對(duì)任意正整數(shù)k(1≤k≤100),若T?{1,2,…,k},求證:ST<ak+1;(3)設(shè)C?U,D?U,SC≥SD,求證:SC+SC∩D≥2SD.解析(1)由已知得an=a1·3n-1,n∈N*.于是當(dāng)T={2,4}時(shí),ST=a2+a4=3a1+27a1=30a1.又ST=30,故30a1=30,即a1=1.所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=3n-1,n∈N*.(2)因?yàn)門?{1,2,…,k},an=3n-1>0,n∈N*,所以ST≤a1+a2+…+ak=1+3+…+3k-1=

(3k-1)<3k.因此,ST<ak+1.(3)下面分三種情況證明.①若D是C的子集,則SC+SC∩D=SC+SD≥SD+SD=2SD.②若C是D的子集,則SC+SC∩D=SC+SC=2SC≥2SD.③若D不是C的子集,且C不是D的子集.令E=C∩?UD,F=D∩?UC,則E≠?,F≠?,E∩F=?.于是SC=SE+SC∩D,SD=SF+SC∩D,進(jìn)而由SC≥SD得SE≥SF.設(shè)k為E中的最大數(shù),l為F中的最大數(shù),則k≥1,l≥1,k≠l.由(2)知,SE<ak+1.于是3l-1=al≤SF≤SE<ak+1=3k,所以l-1<k,即l≤k.又k≠l,故l≤k-1.從而SF≤a1+a2+…+al=1+3+…+3l-1=

≤

=

≤

,故SE≥2SF+1,所以SC-SC∩D≥2(SD-SC∩D)+1,即SC+SC∩D≥2SD+1.綜合①②③得,SC+SC∩D≥2SD.C組

教師專用題組考點(diǎn)一合情推理與演繹推理1.(2014課標(biāo)Ⅰ,14,5分,0.924)甲、乙、丙三位同學(xué)被問(wèn)到是否去過(guò)A,B,C三個(gè)城市時(shí),甲說(shuō):我去過(guò)的城市比乙多,但沒去過(guò)B城市;乙說(shuō):我沒去過(guò)C城市;丙說(shuō):我們?nèi)巳ミ^(guò)同一城市.由此可判斷乙去過(guò)的城市為

.答案

A解析由三人去過(guò)同一城市,且甲沒去過(guò)B城市、乙沒去過(guò)C城市知,三人去過(guò)的同一城市為A,

因此可判斷乙去過(guò)的城市為A.2.(2014福建,16,4分)已知集合{a,b,c}={0,1,2},且下列三個(gè)關(guān)系:①a≠2;②b=2;③c≠0有且只有

一個(gè)正確,則100a+10b+c等于

.答案201解析當(dāng)a≠2正確時(shí),c=0,b≠2,{a,b,c}中沒有元素2,與集合相等矛盾,①不正確;當(dāng)b=2正確時(shí),c=0,a=2,這與集合元素的互異性矛盾,②不正確;當(dāng)c≠0正確時(shí),a=2,b≠2,此時(shí)b=0,c=1,符合題意,這時(shí)100a+10b+c=201.評(píng)析本題主要考查集合的特征,考查學(xué)生分析、解決問(wèn)題的能力,正確理解集合的三大特性:

確定性、互異性、無(wú)序性是解題關(guān)鍵.3.(2013陜西,13,5分)觀察下列等式(1+1)=2×1(2+1)(2+2)=22×1×3(3+1)(3+2)(3+3)=23×1×3×5……照此規(guī)律,第n個(gè)等式可為

.答案(n+1)(n+2)…(n+n)=2n×1×3×…×(2n-1)解析由前三個(gè)式子觀察歸納可得結(jié)論.4.(2013湖北,14,5分)古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家研究過(guò)各種多邊形數(shù).如三角形數(shù)1,3,6,10,…,第n個(gè)三角形數(shù)為

=

n2+

n.記第n個(gè)k邊形數(shù)為N(n,k)(k≥3),以下列出了部分k邊形數(shù)中第n個(gè)數(shù)的表達(dá)式:三角形數(shù)

N(n,3)=

n2+

n,正方形數(shù)

N(n,4)=n2,五邊形數(shù)

N(n,5)=

n2-

n,六邊形數(shù)

N(n,6)=2n2-n,……可以推測(cè)N(n,k)的表達(dá)式,由此計(jì)算N(10,24)=

.答案1000解析由N(n,3)=

n2+

n,N(n,4)=

n2+

n,N(n,5)=

+

n,N(n,6)=

n2+

n,推測(cè)N(n,k)=

n2-

n,k≥3.從而N(n,24)=11n2-10n,N(10,24)=1000.5.(2014江西,21,14分)將連續(xù)正整數(shù)1,2,…,n(n∈N*)從小到大排列構(gòu)成一個(gè)數(shù)

,F(n)為這個(gè)數(shù)的位數(shù)(如n=12時(shí),此數(shù)為123456789101112,共有15個(gè)數(shù)字,F(12)=15),現(xiàn)從這個(gè)數(shù)中隨

機(jī)取一個(gè)數(shù)字,p(n)為恰好取到0的概率.(1)求p(100);(2)當(dāng)n≤2014時(shí),求F(n)的表達(dá)式;(3)令g(n)為這個(gè)數(shù)中數(shù)字0的個(gè)數(shù),f(n)為這個(gè)數(shù)中數(shù)字9的個(gè)數(shù),h(n)=f(n)-g(n),S={n|h(n)=1,n≤

100,n∈N*},求當(dāng)n∈S時(shí)p(n)的最大值.解析(1)當(dāng)n=100時(shí),這個(gè)數(shù)中總共有192個(gè)數(shù)字,其中數(shù)字0的個(gè)數(shù)為11,所以恰好取到0的概

率為p(100)=

.(2)F(n)=

(3)當(dāng)n=b(1≤b≤9,b∈N*)時(shí),g(n)=0;當(dāng)n=10k+b(1≤k≤9,0≤b≤9,k∈N*,b∈N)時(shí),g(n)=k;當(dāng)n=100時(shí),g(n)=11,即g(n)=

同理有f(n)=

1≤k≤8,0≤b≤9,k∈N*,b∈N,由h(n)=f(n)-g(n)=1,可知n=9,19,29,39,49,59,69,79,89,90.所以當(dāng)n≤100時(shí),S={9,19,29,39,49,59,69,79,89,90}.當(dāng)n=9時(shí),p(9)=0;當(dāng)n=90時(shí),p(90)=

=

=

;當(dāng)n=10k+9(1≤k≤8,k∈N*)時(shí),p(n)=

=

=

,由于y=

關(guān)于k單調(diào)遞增,故當(dāng)n=10k+9(1≤k≤8,k∈N*)時(shí),p(n)的最大值為p(89)=

.又

<

,所以當(dāng)n∈S時(shí),p(n)的最大值為

.評(píng)析本題為概率、函數(shù)及數(shù)列的綜合問(wèn)題,難度較大,是道壓軸題,同時(shí)考查學(xué)生的抽象概括

能力及推理能力和創(chuàng)新意識(shí).1.(2014山東,4,5分)用反證法證明命題“設(shè)a,b為實(shí)數(shù),則方程x3+ax+b=0至少有一個(gè)實(shí)根”時(shí),

要做的假設(shè)是

()A.方程x3+ax+b=0沒有實(shí)根B.方程x3+ax+b=0至多有一個(gè)實(shí)根C.方程x3+ax+b=0至多有兩個(gè)實(shí)根D.方程x3+ax+b=0恰好有兩個(gè)實(shí)根考點(diǎn)二直接證明與間接證明答案

A因?yàn)椤胺匠蘹3+ax+b=0至少有一個(gè)實(shí)根”等價(jià)于“方程x3+ax+b=0的實(shí)根的個(gè)數(shù)大

于或等于1”,所以要做的假設(shè)是“方程x3+ax+b=0沒有實(shí)根”.2.(2013四川,10,5分)設(shè)函數(shù)f(x)=

(a∈R,e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).若存在b∈[0,1]使f(f(b))=b成立,則a的取值范圍是

()A.[1,e]

B.[1,1+e]C.[e,1+e]

D.[0,1]答案

A易知f(x)=

在定義域內(nèi)是增函數(shù),由f(f(b))=b,猜想f(b)=b.反證法:若f(b)>b,則f(f(b))>f(b)>b,與題意不符,若f(b)<b,則f(f(b))<f(b)<b,與題意也不符,故f(b)=b,即f(x)=x在[0,1]上有解.∴

=x,a=ex-x2+x,令g(x)=ex-x2+x,g'(x)=ex-2x+1=(ex+1)-2x,當(dāng)x∈[0,1]時(shí),ex+1≥2,2x≤2,∴g'(x)≥0,∴g(x)在[0,1]上是增函數(shù),∴g(0)≤g(x)≤g(1)?1≤g(x)≤e,即1≤a≤e,故選A.評(píng)析綜合考查函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用、反證法、函數(shù)的最值等知識(shí),考查轉(zhuǎn)化思想

及綜合運(yùn)用知識(shí)解題的能力.其中猜想“f(b)=b”是解題關(guān)鍵.3.(2014天津,20,14分)已知q和n均為給定的大于1的自然數(shù).設(shè)集合M={0,1,2,…,q-1},集合A={x|

x=x1+x2q+…+xnqn-1,xi∈M,i=1,2,…,n}.(1)當(dāng)q=2,n=3時(shí),用列舉法表示集合A;(2)設(shè)s,t∈A,s=a1+a2q+…+anqn-1,t=b1+b2q+…+bnqn-1,其中ai,bi∈M,i=1,2,…,n.證明:若an<bn,則s<t.解析(1)當(dāng)q=2,n=3時(shí),M={0,1},A={x|x=x1+x2·2+x3·22,xi∈M,i=1,2,3}.可得,A={0,1,2,3,4,5,6,7}.(2)證明:由s,t∈A,s=a1+a2q+…+anqn-1,t=b1+b2q+…+bnqn-1,ai,bi∈M,i=1,2,…,n及an<bn,可得s-t=(a1-b1)+(a2-b2)q+…+(an-1-bn-1)qn-2+(an-bn)qn-1≤(q-1)+(q-1)q+…+(q-1)qn-2-qn-1=

-qn-1=-1<0.所以,s<t.評(píng)析本題主要考查集合的含義與表示,等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式,不等式的證明等基礎(chǔ)知識(shí).

考查運(yùn)算能力、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.4.(2013陜西,17,12分)設(shè){an}是公比為q的等比數(shù)列.(1)推導(dǎo){an}的前n項(xiàng)和公式;(2)設(shè)q≠1,證明數(shù)列{an+1}不是等比數(shù)列.解析(1)設(shè){an}的前n項(xiàng)和為Sn,當(dāng)q=1時(shí),Sn=a1+a1+…+a1=na1;當(dāng)q≠1時(shí),Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1,

①qSn=a1q+a1q2+…+a1qn,

②①-②得,(1-q)Sn=a1-a1qn,∴Sn=

,∴Sn=

(2)假設(shè){an+1}是等比數(shù)列,則對(duì)任意的k∈N+,(ak+1+1)2=(ak+1)(ak+2+1),

+2ak+1+1=akak+2+ak+ak+2+1,

q2k+2a1qk=a1qk-1·a1qk+1+a1qk-1+a1qk+1,∵a1≠0,∴2qk=qk-1+qk+1.∵q≠0,∴q2-2q+1=0,∴q=1,這與已知矛盾.∴假設(shè)不成立,故{an+1}不是等比數(shù)列.考點(diǎn)一合情推理與演繹推理三年模擬A組2017—2019年高考模擬·考點(diǎn)基礎(chǔ)題組1.(2019陜西漢中略陽(yáng)天津高級(jí)中學(xué)等12校校際聯(lián)考,3)甲、乙、丙、丁四名同學(xué)參加某次過(guò)

關(guān)考試,甲、乙、丙三個(gè)人分別去老師處詢問(wèn)成績(jī),老師給每個(gè)人只提供了其他三人的成績(jī).然

后,甲說(shuō):我們四人中至少兩人不過(guò)關(guān);乙說(shuō):我們四人中至多兩人不過(guò)關(guān);丙說(shuō):甲、乙、丁恰好

有一人過(guò)關(guān).假設(shè)他們說(shuō)的都是真的,則下列結(jié)論正確的是

()A.甲沒過(guò)關(guān)

B.乙過(guò)關(guān)

C.丙過(guò)關(guān)

D.丁過(guò)關(guān)答案

C根據(jù)甲、乙說(shuō)的話可以推出,它們四人中一定有且只有兩人過(guò)關(guān),又丙說(shuō):甲、乙、

丁恰好有一人過(guò)關(guān),所以得到丙一定過(guò)關(guān),故選C.2.(2017遼寧葫蘆島聯(lián)考二)下面四個(gè)推理,不屬于演繹推理的是()A.因?yàn)楹瘮?shù)y=sinx(x∈R)的值域?yàn)閇-1,1],2x-1∈R,所以y=sin(2x-1)(x∈R)的值域也為[-1,1]B.昆蟲都有6條腿,竹節(jié)蟲是昆蟲,所以竹節(jié)蟲有6條腿C.在平面中,對(duì)于三條不同的直線a,b,c,若a∥b,b∥c,則a∥c,將此結(jié)論放到空間中也是如此D.如果一個(gè)人在墻上寫字的位置與他的視線平行,那么,墻上字跡離地面的高度大約是他的身

高,兇手在墻上寫字的位置與他的視線平行,福爾摩斯量得墻壁上的字跡距地面六尺多,于是,

他得出了兇手身高六尺多的結(jié)論答案

C

C中的推理屬于合情推理中的類比推理,A,B,D中的推理都是演繹推理.3.(2019內(nèi)蒙古呼和浩特第一次質(zhì)量普查,4)在一次學(xué)校組織的中華傳統(tǒng)文化知識(shí)競(jìng)賽中,甲、

乙、丙三個(gè)小組參加比賽,比賽共分兩個(gè)階段,每一題答對(duì)得5分,不答得0分,答錯(cuò)扣3分.已知甲

組在第一階段得分是80分,進(jìn)入第二階段甲組只答對(duì)了20道題,則下列哪一個(gè)分?jǐn)?shù)可能是甲組

的最終得分

()A.195

B.177

C.179

D.178答案

B設(shè)進(jìn)入第二階段甲組答錯(cuò)了n道題,則甲組的最終得分為180-3n(n∈N),當(dāng)n=1時(shí),甲組的最終得分為177,故選B.4.(2019東北三省三校(哈爾濱師大附中、東北師大附中、遼寧省實(shí)驗(yàn)中學(xué))一模,14)甲、乙、

丙三人中,只有一人會(huì)彈鋼琴,甲說(shuō):“我會(huì)”,乙說(shuō):“我不會(huì)”,丙說(shuō):“甲不會(huì)”,如果這三句

話,只有一句是真的,那么會(huì)彈鋼琴的是

.答案乙解析假設(shè)甲會(huì),那么甲、乙說(shuō)的都是真話,與題意矛盾,所以甲不會(huì);假設(shè)乙會(huì),那么甲、乙說(shuō)的都是假話,丙說(shuō)的是真話,符合題意,假設(shè)丙會(huì),那么乙、丙說(shuō)的都是真話,與題意矛盾.故答案是乙.5.(2019吉林第三次調(diào)研測(cè)試,14)某煤氣站對(duì)外輸送煤氣時(shí),用1至5號(hào)五個(gè)閥門控制,且必須遵

守以下操作規(guī)則:(1)若開啟3號(hào),則必須同時(shí)開啟4號(hào)并且關(guān)閉2號(hào);(2)若開啟2號(hào)或4號(hào),則關(guān)閉1號(hào);(3)禁止同時(shí)關(guān)閉5號(hào)和1號(hào).現(xiàn)要開啟3號(hào),則同時(shí)開啟的另兩個(gè)閥門是

.答案4號(hào)5號(hào)解析開啟3號(hào),則必須開啟4號(hào),同時(shí)關(guān)閉2號(hào).因?yàn)?號(hào)開啟,所以1號(hào)必須關(guān)閉.因?yàn)榻雇瑫r(shí)關(guān)閉1號(hào)和5號(hào),此時(shí)1號(hào)關(guān)閉,則5號(hào)必然開啟,所以另外開啟的兩個(gè)閥門是4號(hào)和5

號(hào).6.(2017陜西咸陽(yáng)二模)觀察下列式子:

<2,

+

<

,

+

+

<8,

+

+

+

<

,……根據(jù)以上規(guī)律,第n個(gè)不等式是

.答案

+

+…+

<

解析不等式左邊共有n項(xiàng)相加,第n項(xiàng)是

,不等式右邊的數(shù)依次是

,

,

,

,…,

.7.(2019遼寧鞍山一中一模,14)如下分組的正整數(shù)對(duì):第1組為{(1,2),(2,1)},第2組為{(1,3),(3,1)},

第3組為{(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)},第4組為{(1,5),(2,4),(4,2),(5,1)},……,則第40組的第21個(gè)數(shù)對(duì)為

.答案(22,20)解析由題意可得第1組的各數(shù)對(duì)的和為3,第2組各數(shù)對(duì)的和為4,第3組各數(shù)對(duì)的和為5,第4組

各數(shù)對(duì)的和為6,……第n組各數(shù)對(duì)的和為n+2,且各個(gè)數(shù)對(duì)無(wú)重復(fù)數(shù)字,可得第40組各數(shù)對(duì)的和為42,則第40組的第21個(gè)數(shù)對(duì)為(22,20).8.(2017黑龍江哈師大附中三模)如圖1,平面上,點(diǎn)A,C為射線PM上的兩點(diǎn),點(diǎn)B,D為射線PN上的

兩點(diǎn),則有

=

(其中S△PAB,S△PCD分別為△PAB,△PCD的面積).如圖2,空間中,點(diǎn)A,C為射線PM上的兩點(diǎn),點(diǎn)B,D為射線PN上的兩點(diǎn),點(diǎn)E,F為射線PL上的兩點(diǎn),則有

=

(其中VP-ABE,VP-CDF分別為四面體P-ABE,P-CDF的體積).

圖1圖2答案

解析根據(jù)題意,結(jié)合類比推理的性質(zhì)可知,

=

.1.(2018吉林乾安七中三模,5)①已知p3+q3=2,求證p+q≤2,用反證法證明時(shí),可假設(shè)p+q>2;②設(shè)a

為實(shí)數(shù),f(x)=x2+ax+a,求證|f(1)|與|f(2)|中至少有一個(gè)不大于

,由反證法證明時(shí)可假設(shè)|f(1)|≥

,且|f(2)|≥

,以下說(shuō)法正確的是

()A.①與②的假設(shè)都錯(cuò)誤B.①與②的假設(shè)都正確C.①的假設(shè)正確,②的假設(shè)錯(cuò)誤D.①的假設(shè)錯(cuò)誤,②的假設(shè)正確考點(diǎn)二直接證明與間接證明答案

C用反證法證明時(shí),應(yīng)假設(shè)結(jié)論不成立,所以①正確;設(shè)a為實(shí)數(shù),f(x)=x2+ax+a,求證|f(1)|與|f(2)|中至少有一個(gè)不大于

,用反證法證明時(shí)假設(shè)應(yīng)為|f(1)|>

且|f(2)|>

,所以②錯(cuò)誤.故選C.2.(2017遼寧沈陽(yáng)質(zhì)量監(jiān)測(cè)(三)節(jié)選)已知正實(shí)數(shù)a,b,c,函數(shù)f(x)=|x+a|·|x+b|.求證:f(1)f(c)≥16abc.證明∵a,b,c為正數(shù),∴有

∴f(1)f(c)=(a+1)(b+1)(a+c)(b+c)≥2

·2

·2

·2

=16abc.3.(2018遼寧鞍山一中高三上學(xué)期第二次模擬考試,19)證明:

不是有理數(shù).解析假設(shè)

為有理數(shù),那么存在兩個(gè)互質(zhì)的正整數(shù)p,q,使得

=

,于是p=

q,兩邊平方得p2=2q2,由2q2是偶數(shù),可得p2是偶數(shù).而只有偶數(shù)的平方才是偶數(shù),所以p也是偶數(shù).因此可設(shè)p=2s,s是正整數(shù),代入上式,得4s2=2q2,即q2=2s2.所以q也是偶數(shù),這樣p,q都是偶數(shù),不互質(zhì),這與假設(shè)p,q互質(zhì)矛盾.因此

不是有理數(shù).B組

2017—2019年高考模擬·專題綜合題組(時(shí)間:40分鐘分值:60分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.(2019寧夏石嘴山三中一模,5)在偵破某一起案件時(shí),警方要從甲、乙、丙、丁四名可疑人員

中查出真正的嫌疑人,現(xiàn)有四條明確信息:(1)此案是兩人共同作案;(2)若甲參與此案,則丙一定

沒參與;(3)若乙參與此案,則丁一定參與;(4)若丙沒參與此案,則丁也一定沒參與.據(jù)此可以判斷

參與此案的兩名嫌疑人是

()A.甲、乙

B.乙、丙

C.甲、丁

D.丙、丁答案

D若甲、乙參與此案,則不符合(3);若乙、丙參與此案,則不符合(3);若甲、丁參與此

案,則不符合(4);若丙、丁參與此案,則全部符合.故選D.2.(2019陜西第二次質(zhì)檢,11)一布袋中裝有n個(gè)小球,甲,乙兩個(gè)同學(xué)輪流且不放回地抓球,每次

最少抓一個(gè)球,最多抓三個(gè)球,規(guī)定:由乙先抓,且誰(shuí)抓到最后一個(gè)球誰(shuí)贏,那么以下推斷中正確

的是

()A.若n=9,則乙有必贏的策略B.若n=7,則甲有必贏的策略C.若n=6,則甲有必贏的策略D.若n=4,則乙有必贏的策略答案

A若n=9,則乙有必贏的策略.(1)若乙抓1球,甲抓1球時(shí),乙再抓3球,此時(shí)剩余4個(gè)球,無(wú)論甲抓1~3的哪種情況,乙都能保證抓

最后一球.(2)若乙抓1球,甲抓2球時(shí),乙再抓2球,此時(shí)剩余4個(gè)球,無(wú)論甲抓1~3的哪種情況,乙都能保證抓

最后一球.(3)若乙抓1球,甲抓3球時(shí),乙再抓1球,此時(shí)剩余4個(gè)球,無(wú)論甲抓1~3的哪種情況,乙都能保證抓

最后一球.所以若n=9,則乙有必贏的策略.所以選A.3.(2019新疆第一次畢業(yè)診斷及模擬測(cè)試,6)對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,y,把代數(shù)運(yùn)算ax+by+cxy的值叫做x

與y的“加乘和諧數(shù)”,記作“x*y”,其中a,b,c是常數(shù),已知1*2=3,2*3=4,若x*m=x恒成立,則非

零實(shí)數(shù)m的值為

()A.2

B.4

C.6

D.8答案

B已知1*2=3,2*3=4,則有

故b=2+2c,a=-1-6c.由x*m=ax+bm+cmx=x對(duì)于任意實(shí)數(shù)x恒成立,則有

又m為非零實(shí)數(shù),所以b=0,又b=2+2c,所以c=-1.所以a+cm=(-1-6c)+cm=5-m=1,解得m=4.故選B.4.(2018青海西寧一模)某學(xué)校計(jì)劃在周一至周四的藝術(shù)節(jié)上展演《雷雨》《茶館》《天籟》

《馬蹄聲碎》四部話劇,每天一部,受多種因素影響,話劇《雷雨》不能在周一和周四上演,

《茶館》不能在周一和周三上演,《天籟》不能在周三和周四上演,《馬蹄聲碎》不能在周一

和周四上演,那么下列說(shuō)法正確的是

()A.《雷雨》只能在周二上演B.《茶館》可能在周二或周四上演C.周三可能上演《雷雨》或《馬蹄聲碎》D.四部話劇都有可能在周二上演答案

C由題目可知,周一上演《天籟》,周四上演《茶館》,周三可能上演《雷雨》或《馬

蹄聲碎》,故選C.5.(2018寧夏銀川4月質(zhì)量檢測(cè))周末,某高校一學(xué)生宿舍甲、乙、丙、丁四位同學(xué)正在做四件

事情,看書、寫信、聽音樂(lè)、玩游戲,下面是關(guān)于他們各自所做事情的一些判斷:①甲不在看書,也不在寫信;②乙不在寫信,也不在聽音樂(lè);③如果甲不在聽音樂(lè),那么丁也不在看書;④丙不在看書,也不在寫信.已知這些判斷都是正確的,那么請(qǐng)問(wèn)乙同學(xué)正在做的事情是

()A.玩游戲

B.寫信

C.聽音樂(lè)

D.看書答案

D由①④知乙在看書或?qū)懶?結(jié)合②可知乙在看書,故選D.二、填空題(每小題5分,共25分)6.(2019黑龍江齊齊哈爾一模,14)甲、乙、丙三個(gè)同學(xué)同時(shí)做標(biāo)號(hào)為A、B、C的三個(gè)題,甲做

對(duì)了兩個(gè)題,乙做對(duì)了兩個(gè)題,丙做對(duì)了兩個(gè)題,則下列說(shuō)法正確的是

(填所有正確說(shuō)

法的編號(hào)).①三個(gè)題都有人做對(duì);②至少有一個(gè)題三個(gè)人都做對(duì);③至少有兩個(gè)題有兩個(gè)人都做對(duì).答案③解析若甲做對(duì)A、B,乙做對(duì)A、B,丙做對(duì)A、B,則C題無(wú)人做對(duì),①錯(cuò)誤.若甲做對(duì)A、B,乙做對(duì)A、C,丙做對(duì)B、C,則沒有一個(gè)題被三個(gè)人都做對(duì),②錯(cuò)誤.做對(duì)的情況可分為下面三種:三個(gè)人做對(duì)的都相同;三個(gè)人中有兩個(gè)人做對(duì)的相同;三個(gè)人每

個(gè)人做對(duì)的都不完全相同,可知三種情況都滿足③的說(shuō)法.故答案是③.7.(2018黑龍江仿真模擬(四),15)已知命題:在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓

+

=1(a1>b1>0),△ABC的頂點(diǎn)B在橢圓上,頂點(diǎn)A,C分別為橢圓的左、右焦點(diǎn),橢圓的離心率為e1,則

=

,現(xiàn)將該命題類比到雙曲線中,△ABC的頂點(diǎn)B在雙曲線上,頂點(diǎn)A、C分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn),設(shè)雙曲線的方程為

-

=1(a2>0,b2>0),雙曲線的離心率為e2,則有

.a答案

=

解析因?yàn)椤鰽BC的頂點(diǎn)B在雙曲線

-

=1(a>0,b>0)上,頂點(diǎn)A、C分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn),所以有|BC-BA|=2a,所以

=

=

,由正弦定理可得

=

=

,所以

=

.8.(2018吉林第三次調(diào)研)《聊齋志異》中有這樣一首詩(shī):“挑水砍柴不堪苦,請(qǐng)歸但求穿墻術(shù).

得訣自詡無(wú)所阻,額上墳起終不悟.”在這里,我們稱形如以下形式的等式具有“穿墻術(shù)”:2

=

,3

=

,4

=

,5

=

,……,則按照以上規(guī)律,若8

=

具有“穿墻術(shù)”,則n=

.答案63解析∵2

=2

=

,3

=3

=

,4

=4

=

,5

=5

=

,……,∴按照以上規(guī)律,若8

=

,則n=82-1=63.9.(2019遼寧葫蘆島調(diào)研考試,14)廟會(huì)是我國(guó)古老的傳統(tǒng)民俗文化活動(dòng),又稱“廟市”或“節(jié)

場(chǎng)”.廟會(huì)大多在春節(jié)、元宵節(jié)等節(jié)日舉行.廟會(huì)上有豐富多彩的文化娛樂(lè)活動(dòng),如“砸金蛋”

(游玩者每次砸碎一顆金蛋,如果有獎(jiǎng)品,則“中獎(jiǎng)”).今年春節(jié)期間,某校甲、乙、丙、丁