陜西省漢中市2024屆高三上學期第三次校際聯(lián)考數(shù)學試題（理）（解析版）

PAGEPAGE1陜西省漢中市2024屆高三上學期第三次校際聯(lián)考數(shù)學試題（理）第Ⅰ卷（選擇題）一、選擇題1.已知復數(shù)z滿足，則z的虛部為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，所以，故z的虛部為故選：2.命題“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】A【解析】命題“，”的否定是：.故選：.3.已知全集，集合，，則（）A B. C. D.【答案】D【解析】因為，，所以，故錯誤；，故錯誤；或，故錯誤；，故正確，故選：.4.若，則函數(shù)的圖象可能是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因為，函數(shù)滿足，解答或，即函數(shù)的定義域為，排除A、B，又由，所以函數(shù)為偶函數(shù)，所以函數(shù)的圖象關于對稱的偶函數(shù)，當時，函數(shù)是函數(shù)的圖像向右平移一個單位得到的，可排除C.故選：D.5.已知等差數(shù)列，其前n項和滿足，則（）A.4 B. C. D.3【答案】A【解析】是等差數(shù)列，其前n項為，，，.故選：A.6.若圓與圓有且僅有3條公切線，則m=（）A.14 B.28 C.9 D.【答案】A【解析】圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，因為圓與圓有且僅有3條公切線，所以兩圓外切，則，即，解得.故選：A7.等比數(shù)列為遞減數(shù)列，若，，則（）A. B. C. D.6【答案】A【解析】由為等比數(shù)列，得，又，∴為方程的兩個根，解得，或，，由為遞減數(shù)列得，∴，，∴，則，故選：A.8.酒駕是嚴重危害交通安全的違法行為.為了保障交通安全，根據(jù)國家有關規(guī)定：100mL血液中酒精含量達到20～79mg的駕駛員即為酒后駕車，80mg及以上認定為醉酒駕車.假設某駕駛員喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1mg/mL.如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量會以每小時30%的速度減少，那么他至少經(jīng)過幾個小時才能駕駛?（）（參考數(shù)據(jù)：，，）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C【解析】設經(jīng)過個小時才能駕駛，則，即，由于在定義域上單調(diào)遞減，∴，∴他至少經(jīng)過小時才能駕駛.故選：C.9.在某校高中籃球聯(lián)賽中，某班甲、乙兩名籃球運動員在8場比賽中的單場得分用莖葉圖表示（如圖一），莖葉圖中甲的得分有部分數(shù)據(jù)丟失，但甲得分的折線圖（如圖二）完好，則下列結論正確的是（）A.甲得分的極差是18 B.乙得分的中位數(shù)是16.5C.甲得分更穩(wěn)定 D.甲的單場平均得分比乙低【答案】B【解析】對于甲，其得分的極差大于或等于，故A錯誤；從折線圖看，甲的得分中最低分小于10，最高分大于或等于28，且大于或等于20的分數(shù)有3個，故其得分不穩(wěn)定，故C錯誤；乙的數(shù)據(jù)由小到大依次為：乙得分的中位數(shù)為，故B正確.乙得分的平均數(shù)為，從折線圖上，莖葉圖中甲的得分中丟失的數(shù)據(jù)為一個為，另一個可設為，其中，故其平均數(shù)為，故D錯誤.故選：B.10.如下圖所示，在正方體中，如果點E是的中點，那么過點、B、E的截面圖形為（）A.三角形 B.矩形 C.正方形 D.菱形【答案】D【解析】分別取的中點，連接，如圖即為過點、B、E截正方體所得的截面圖形，由題意可知：且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又因為且，且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以,所以，同理，所以四邊形為平行四邊形，又因為，所以平行四邊形為菱形，故選：.11.設是雙曲線與圓在第一象限的交點，，分別是雙曲線的左，右焦點，若，則雙曲線的離心率為（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】根據(jù)雙曲線定義：，，∴，∴，，，∴是圓的直徑，∴，在中，，得．故選．12.已知實數(shù)a，b，c滿足，則a，b，c的大小關系為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意知，由，得，設，則，當時，單調(diào)遞增，因，當且僅當時取等號，故，又，所以，故，∴，則，即有，故.故選:C．第Ⅱ卷（非選擇題）二、填空題13.已知拋物線的焦點為F，點P在該拋物線上，且P的橫坐標為4，則____________．【答案】5【解析】根據(jù)題意可知，焦點，準線方程為，作垂直于準線，垂足為，連接，如下圖所示：由拋物線定義可得.故答案為：14.在中，，，則____________.【答案】【解析】根據(jù)題意易得為等腰直角三角形，,則，故答案為：15.根據(jù)歷史記載，早在春秋戰(zhàn)國時期，我國勞動人民就普遍使用算籌進行計數(shù)．算籌計數(shù)法就是用一根根同樣長短和粗細的小棍子以不同的排列方式來表示數(shù)字，如圖所示．如果用算籌隨機擺出一個不含數(shù)字0的兩位數(shù)，個位用縱式，十位用橫式，則個位和十位上的算籌不一樣多的概率為____________．縱式：橫式：【答案】【解析】用算籌隨機擺出一個不含數(shù)字的兩位數(shù)，個位用縱式，十位用橫式，共可以擺出個兩位數(shù)，其中個位和十位上的算籌都為的有種；個位和十位上的算籌都為的有種；個位和十位上的算籌都為的有種；個位和十位上的算籌都為的有種；個位和十位上的算籌都為的有種；共有種；所以，個位和十位上算籌不一樣多的概率為種；故答案為：16.兩個圓錐的底面是一個球的同一截面，頂點均在球面上，若球的體積為，兩個圓錐的高之比為，則這兩個圓錐的側面積之和為____________．【答案】【解析】設球的半徑，圓錐的底面半徑，兩個圓錐的高分別為，如下圖：因為球的體積為，所以，即，得.因為兩個圓錐的高之比為，所以，，，結合球的性質(zhì)，利用勾股定理得，又，同理，，由圓錐的側面積公式得，兩個圓錐的側面積之和等于.故答案為：.三、解答題（一）必考題：共60分．17.已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.（1）求角B；（2）若，，求的面積.解：（1）在中，由正弦定理及，得，而，則，即，又，所以.（2）由（1）知，，，由余弦定理得，即，解得，，所以的面積.18.某企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品按質(zhì)量分為一等品和二等品，該企業(yè)計劃對現(xiàn)有生產(chǎn)設備進行改造，為了分析設備改造前后的效果，現(xiàn)從設備改造前后生產(chǎn)的大量產(chǎn)品中各抽取200件產(chǎn)品作為樣本，產(chǎn)品的質(zhì)量情況統(tǒng)計如表：一等品二等品合計設備改造前12080200設備改造后15050200合計270130400（1）判斷是否有99%的把握，認為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的質(zhì)量與設備改造有關；（2）按照分層抽樣的方法，從設備改造前的產(chǎn)品中取得了5件產(chǎn)品，其中有3件一等品和2件二等品．現(xiàn)從這5件產(chǎn)品中任選3件，記所選的一等品件數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學期望．附：，其中．0.0500.0100.0013.8416.63510.828解：（1）∵，∴有99%的把握認為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的質(zhì)量與設備改造有關．（2）由題意得X的可能值是1，2，3，，，，∴X的分布列為：X123P∴．19.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為梯形，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AB⊥BC，，，E為PC的中點．（1）證明：平面PBC．（2）求直線AE與平面PBC所成角的正弦值．（1）證明：在梯形ABCD中，因為，，所以．又平面PBC，平面PBC，即可得平面PBC．（2）解：易知AB，AD，AP兩兩垂直，如圖，以A為坐標原點，AB，AD，AP分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，則，，，．∴，，，設平面PBC的法向量，則，取，則，．∴平面PBC的一個法向量為．設直線AE與平面PBC所成角為，則，即可知直線AE與平面PBC所成角的正弦值為.20.已知函數(shù).（1）若在處的切線與x軸平行，求實數(shù)a的值；（2）是否存在極值點，若存在，求出極值點；若不存在，請說明理由.解：（1）由，得，∵在處的切線與x軸平行，∴，解得.（2）函數(shù)的定義域為，.當時，對任意的，都，此時函數(shù)在上單調(diào)遞增，無極值點；當時，令，可得，由，可得，由，可得.此時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴函數(shù)在處取得極小值，無極大值.綜上所述，當時，函數(shù)無極值點；當時，函數(shù)的極小值點為，無極大值點.21.已知拋物線與橢圓有公共的焦點，的左?右焦點分別為，，該橢圓的離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）如圖，若直線與軸，橢圓順次交于，，（點在橢圓左頂點的左側），若與互補，試問直線是否經(jīng)過一個定點？若直線經(jīng)過一個定點，試求此定點坐標；若不經(jīng)過，請說明理由.（1）解：由題意可得，拋物線的焦點為，橢圓的半焦距，又橢圓的離心率為，，即，，，即，橢圓的方程為；（2）解：，設，，，，與互補，，，化簡整理，可得①，設直線為，聯(lián)立直線與橢圓方程，化簡整理，可得，，可得②，由韋達定理，可得③，將，代入①，可得④，再將③代入④，可得，解得，的方程為，所以直線經(jīng)過定點.（二）選考題【選修4-4：坐標系與參數(shù)方程】22.在平面直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.在以原點為極點，軸正半軸為極軸的極坐標系中，圓的方程為.（1）寫出直線的普通方程和圓的直角坐標方程；（2）若點坐標為，圓與直線交于、兩點，求的值.解：（1）在直線的參數(shù)方程中消去參數(shù)，可得直線的普通方程為，在圓的極坐標方程兩邊同時乘以，可得，由可得圓的直角坐標方程為，即；（2）設點、對應的參數(shù)分別為、，將直