北京市通州區(qū)2024屆高三上學(xué)期期中質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（解析版）

PAGEPAGE1北京市通州區(qū)2024屆高三上學(xué)期期中質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題第一部分（選擇題）一、選擇題1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)榧希?，則.故選：B.2.已知復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】,故對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，在第三象限，故選：C3.已知向量，，，則下列結(jié)論中正確的是（）A. B.C. D.與的夾角為120°【答案】D【解析】A選項(xiàng)，因，則與平行，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，因，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，，又，則，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，，又，則，即與的夾角為120°，故D正確.故選：D.4.已知函數(shù)，則（）A.當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，有最小值B.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最小值2C.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最小值D.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最小值.2【答案】B【解析】因?yàn)?，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最小值2.故選：B5.下列命題中的假命題是（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】對(duì)于A，因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)的值域?yàn)?，所以，，A對(duì)；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，B對(duì)；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，C錯(cuò)；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，D對(duì).故選：C.6.已知，，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，即，因?yàn)椋?，即，而，所?故選：B.7.在平面直角坐標(biāo)系中，角以為始邊，則“角的終邊過(guò)點(diǎn)”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】當(dāng)角的終邊過(guò)點(diǎn)時(shí)，根據(jù)三角函數(shù)的定義，可得，充分性成立；當(dāng)時(shí)，為第二象限角或第四象限角，若為第四象限角，則角的終邊不過(guò)點(diǎn)，必要性不成立.所以“角的終邊過(guò)點(diǎn)”是“”的充分不必要條件.故選：A.8.下列函數(shù)中，在區(qū)間上單調(diào)遞減的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】對(duì)于A,,所以在上單調(diào)遞增，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B，由于，所以在上單調(diào)遞增，B錯(cuò)誤，對(duì)于C，，故在上單調(diào)遞減，C正確，對(duì)于D，的圖象如下所示：故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故D錯(cuò)誤，故選：C9.已知函數(shù)是奇函數(shù)，且，將的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為，則（）A. B.C. D.【答案】A由題意可知，，所以或，由因?yàn)椋?，即，?故選：A.10.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則下列四個(gè)結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是（）①；②若，則；③若，則；④若數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，則的取值范圍是.A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】因?yàn)?，?dāng)，，兩式相減得，所以，兩式相減得，故①錯(cuò)誤，當(dāng)時(shí)，令，則，，得，所以，令，則，，得，所以，則，所以，故奇數(shù)項(xiàng)是以為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)是以為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，則，所以②正確；當(dāng)時(shí)，令，則，，得，所以，令，則，，得，故偶數(shù)項(xiàng)是以為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，奇數(shù)項(xiàng)從第二項(xiàng)開(kāi)始以為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，則，所以③正確；由于，，，則，又?jǐn)?shù)列單調(diào)遞增，則必有，且，所以，且，解得，所以的取值范圍是，所以④正確．故選：C．第二部分（非選擇題）二、填空題11.已知函數(shù)，則的定義域?yàn)開(kāi)___________.【答案】【解析】依題意可得，，解得且，所以的定義域?yàn)?故答案為：.12.已知數(shù)列是等比數(shù)列，，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式________；數(shù)列的前9項(xiàng)和的值為_(kāi)_________.【答案】171【解析】由，可得，，所以，，故答案為：，171.13.已知實(shí)數(shù)a，b滿足關(guān)于x的不等式的解集為，且滿足關(guān)于的不等式的解集為，則滿足條件的一組a，b的值依次為_(kāi)_____.【答案】故答案為：（答案不唯一，只要滿足就行）【解析】因?yàn)殛P(guān)于x的不等式的解集為，所以，又關(guān)于的不等式的解集為，所以，解得，所以滿足條件的一組a，b的值依次為，（答案不唯一，只要滿足就行）故答案為：（答案不唯一，只要滿足就行）14.在等腰中，，，則____________；若點(diǎn)滿足，則的值為_(kāi)__________.【答案】【解析】如圖，由題意等腰中，，則，∵，，∴，∴，即，∵由余弦定理得，∴，即，又因邊長(zhǎng)，∴.∴是等邊三角形，則，，∵，∴，，∴.故答案為：；.15.已知函數(shù)，，給出下列四個(gè)結(jié)論：①函數(shù)區(qū)間上單調(diào)遞減；②函數(shù)的最大值是；③若關(guān)于的方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，則的最小值為；④若對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，b，不等式都成立，則的取值范圍是.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是_______.【答案】①②③【解析】對(duì)于①，當(dāng)時(shí)，，二次函數(shù)開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為，故在區(qū)間上單調(diào)遞減，①正確；對(duì)于②，定義域?yàn)镽，且，故為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，且，時(shí),時(shí),畫(huà)出的圖象如下：由圖象可得的最大值是，②正確；對(duì)于③，關(guān)于的方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，即有且只有一個(gè)交點(diǎn)，在同一坐標(biāo)系畫(huà)出與的圖象，要想有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則，故的最小值為，③正確；對(duì)于④，由題意得，，即，當(dāng)時(shí)，，，，，此時(shí)在處的切線方程為，而，故在處的切線方程為，畫(huà)出兩函數(shù)圖象如下：此時(shí)滿足對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，b，不等式都成立，故的取值范圍不是，D錯(cuò)誤.故答案為：①②③三、解答題16.已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時(shí)，若，求的值域（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，分別為，，且，求的取值范圍.解：（1）當(dāng)時(shí)，的對(duì)稱軸為，且開(kāi)口向上，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，又，所以，所以當(dāng)，的值為；（2）的兩個(gè)零點(diǎn)分別為，且，，即，解得或，故取值范圍為.17.已知函數(shù).（1）求的值；（2）求的最小正周期及單調(diào)區(qū)間；（3）比較與的大小，并說(shuō)明理由.解：（1），所以；（2）的最小正周期,令，解得；令，解得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（3），理由如下：由（2）可知的最小正周期,所以，由（2）可知，在上單調(diào)遞增，又，所以，即.18.已知的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，其中，，再?gòu)南旅娼o出的條件①，條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使存在且唯一.（1）求的值；（2）求的面積.條件①：；條件②：；條件③：.注：如果選擇的條件不符合要求，得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.解：（1）若選①，又因?yàn)?所以，所以，由正弦定理得，所以；若選條件②，由余弦定理得，整理得，此時(shí)方程無(wú)解，即這樣的三角形不存在，所以條件②不能選；若選條件③，由余弦定理得，整理得，解得或（舍去），所以.（2）由（1）可知，所以.19.已知函數(shù).（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）求的極值；（3）若對(duì)于任意，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）由得，又，所以在切線為（2）令，則，故在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取極小值，無(wú)極大值，（3）由得，故，構(gòu)造函數(shù)則，令，則，故當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，時(shí)，單調(diào)遞減，故當(dāng)取極小值也是最小值，，所以，即.20.已知函數(shù)，，.（1）求的值；（2）求在區(qū)間上的最大值；（3）當(dāng)時(shí)，求證：對(duì)任意，恒有成立.（1）解：由得，所以，（2）解：由得，當(dāng)時(shí)，，故在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時(shí)，令，則，令，則，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，綜上可得：時(shí)，，時(shí)，時(shí)，，（3）證明：要證，即證，即證明，當(dāng)時(shí)，，而，所以，當(dāng)時(shí)，記，則，記，由于，所以當(dāng)單調(diào)遞增，所以，故在單調(diào)遞增，故，故，綜上，對(duì)任意，恒有21.已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且滿足（，且）.（1）