高考數(shù)學(xué)三角函數(shù)典型例題

樊戰(zhàn)勝資料（）答疑電話(huà)4頁(yè)共15頁(yè)三角函數(shù)典型例題1．設(shè)銳角的內(nèi)角的對(duì)邊分別為,.(Ⅰ)求的大小;(Ⅱ)求的取值范圍.【解析】:(Ⅰ)由,根據(jù)正弦定理得,所以,由為銳角三角形得.(Ⅱ).2．在中,角A．B．C的對(duì)邊分別為a、b、c,且滿(mǎn)足(2a-c)cosB=bcosC．(Ⅰ)求角B的大小;(Ⅱ)設(shè)且的最大值是5,求k的值. 【解析】:(I)∵(2a-c)cosB=bcosC∴(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC．即2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C)∵A+B+C=π,∴2sinAcosB=sinA．∵0<A<π,∴sinA≠0.∴cosB=.∵0<B<π,∴B=.(II)=4ksinA+cos2A．=-2sin2A+4ksinA+1,A∈(0,)設(shè)sinA=t,則t∈.則=-2t2+4kt+1=-2(t-k)2+1+2k2,t∈.∵k>1,∴t=1時(shí),取最大值.依題意得,-2+4k+1=5,∴k=.3．在中,角所對(duì)的邊分別為,.I.試判斷△的形狀;II.若△的周長(zhǎng)為16,求面積的最大值.【解析】:I.,所以此三角形為直角三角形.II.,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),此時(shí)面積的最大值為.4．在中,a、b、c分別是角A．B．C的對(duì)邊,C=2A,,(1)求的值;(2)若,求邊AC的長(zhǎng)?【解析】:(1)(2)①又②由①②解得a=4,c=6,即AC邊的長(zhǎng)為5.5．已知在中,,且與是方程的兩個(gè)根.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)若AB,求BC的長(zhǎng).【解析】:(Ⅰ)由所給條件,方程的兩根.∴(Ⅱ)∵,∴.的最小正周期由題意得 即的單調(diào)增區(qū)間為(2)先把圖象上所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,得到的圖象,再把所得圖象上所有的點(diǎn)向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度,就得到的圖象?11．已知,,?(1)求的單調(diào)遞減區(qū)間?(2)若函數(shù)與關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng),求當(dāng)時(shí),的最大值?【解析】:(1)∴當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減解得:時(shí),單調(diào)遞減?(2)∵函數(shù)與關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)∴∵∴∴∴時(shí),12．已知,求下列各式的值;(1);(2)【解析】:(1)(2)13．設(shè)向量,函數(shù)(I)求函數(shù)的最大值與最小正周期;(II)求使不等式成立的的取值集合?【解析】14．已知向量,,與為共線(xiàn)向量,且(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)求的值.?【解析】:(Ⅰ)與為共線(xiàn)向量,,即(Ⅱ),,又,,因此,15．如圖,A,B,C,D都在同一個(gè)與水平面垂直的平面內(nèi),B,D為兩島上的兩座燈塔的塔頂?測(cè)量船于水面A處測(cè)得B點(diǎn)和D點(diǎn)的仰角分別為,,于水面C處測(cè)得B點(diǎn)和D點(diǎn)的仰角均為,AC=0.1km?試探究圖中B,D間距離與另外哪兩點(diǎn)距離相等,然后求B,D的距離(計(jì)算結(jié)果精確到0.01km,1.414,2.449)【解析】:在中,=30°,=60°-=30°,所以CD=AC=0.1又=180°-60°-60°=60°,故CB是底邊AD的中垂線(xiàn),所以BD=BA在中,,即AB=因此,故B．D的距離約為0.33km?16．已知函數(shù)(其中)的圖象與x軸的交點(diǎn)中,相鄰兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為,且圖象上一個(gè)最低點(diǎn)為.(Ⅰ)求的解析式;(Ⅱ)當(dāng),求的值域.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m【解析】：(1)由最低點(diǎn)為得A=2.由x軸上相鄰的兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為得=,即,由點(diǎn)在圖像上的故又(2)當(dāng)=,即時(shí),取得最大值2;當(dāng)即時(shí),取得最小值-1,故的值域?yàn)閇-1,2]17．如圖,為了解某海域海底構(gòu)造,在海平面內(nèi)一條直線(xiàn)上的A,B,C三點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量,已知,,于A(yíng)處測(cè)得水深,于B處測(cè)得水深,于C處測(cè)得水深,求∠DEF的余弦值?【解析】:作交BE于N,交CF于M.,,在中,由余弦定理,18．已知，，求（1）（2）（3）【解析】：（1）19．已知函數(shù)（，，）的一段圖象如圖所示，（1）求函數(shù)的解析式；（2）求這個(gè)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間?！窘馕觥浚海?）由圖象可知：；∴，又∵為“五點(diǎn)畫(huà)法”中的第二點(diǎn)∴∴所求函數(shù)解析式為：（2）∵當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增∴20．已知的內(nèi)角A．B．C所對(duì)邊分別為a、b、c，設(shè)向量，，且.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的最大值.【解析】（Ⅰ）由，得即也即∴∴∴21．已知函數(shù)，求：（1）函數(shù)的定義域和值域；（2）寫(xiě)出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間?！窘馕觥?（Ⅰ）函數(shù)的定義域函數(shù)的值域?yàn)椋á颍┝畹谩嗪瘮?shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是22．如圖為一個(gè)觀(guān)覽車(chē)示意圖．該觀(guān)覽車(chē)圓半徑為4.8m，圓上最低點(diǎn)與地面距離為0.8m，60秒轉(zhuǎn)動(dòng)一圈．途中與地面垂直．以為始邊，逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)角到．設(shè)點(diǎn)與地面距離為．（1）求與的函數(shù)解析式；（2）設(shè)從開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)80秒到達(dá)，求.【解析】：（1）∵，∴（2）∵，，∴，(m)23．設(shè)函數(shù)（1）求函數(shù)上的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）當(dāng)?shù)娜≈捣秶??！窘馕觥浚海?），（2）當(dāng)，24．已知函數(shù)，．（1）求的最大值和最小值；（2）在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】（Ⅰ）．又，，即，．（Ⅱ），，且，，即的取值范圍是．25．在銳角△ABC中,角A．B．C的對(duì)邊分別為a、b、c,已知(I)求角A;(II)若a=2,求△ABC面積S的最大值?【解析】:(I)由已知得又在銳角△ABC中,所以A=60°,[不說(shuō)明是銳角△ABC中,扣1分](II)因?yàn)閍=2,A=60°所以而又所以△ABC面積S的最大值等于26．甲船由A島出發(fā)向北偏東45°的方向作勻速直線(xiàn)航行,速度為15浬/小時(shí),在甲船從A島出發(fā)的同時(shí),乙船從A島正南40浬處的B島出發(fā),朝北偏東θ(的方向作勻速直線(xiàn)航行,速度為10浬/小時(shí).(如圖所示)(Ⅰ)求出發(fā)后3小時(shí)兩船相距多少?zèng)?(Ⅱ)求兩船出發(fā)后多長(zhǎng)時(shí)間相距最近?最近距離為多少?zèng)?【解析】:以A為原點(diǎn),BA所在直線(xiàn)為y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.設(shè)在t時(shí)刻甲、乙兩船分別在P(x1,y1)Q(x2,y2).(I)令,P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(45,45),(30,20).即兩船出發(fā)后3小時(shí)時(shí),相距鋰(II)由(I)的解法過(guò)程易知:∴當(dāng)且僅當(dāng)t=4時(shí),|PQ|的最小值為20即兩船出發(fā)4小時(shí)時(shí),相距20海里27．在銳角中，已知內(nèi)角A．B．C所對(duì)的邊分別為a、b、c，且(tanA－tanB)＝1＋tanA·tanB．(1)若a2－ab＝c2－b2，求A．B．C的大小；(2)已知向量＝(sinA，cosA)，＝(cosB，sinB)，求｜3－2｜的取值范圍．【解析】D28．如圖，某住宅小區(qū)的平面圖呈扇形AOC．小區(qū)的兩個(gè)出入口設(shè)置在點(diǎn)A及點(diǎn)C處，小區(qū)里有兩條筆直的小路，且拐彎處的轉(zhuǎn)角為．已知某人從沿走到用了10分鐘，從沿走到用了6分鐘．若此人步行的速度為每分鐘50米，求該扇形的半徑的長(zhǎng)（精確到1米）．D【解析】解法一：設(shè)該扇形的半徑為r米.由題意，得CD=500（米），DA=300（米），∠CDO=在中，即Ｄ解得（米）Ｄ解法二：連接AC，作OH⊥AC，交AC于H由題意，得CD=500（米），AD=300（米），∴

AC=700（米）在直角∴（米）29．已知角的頂點(diǎn)在原點(diǎn),始邊與軸的正半軸重合,終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn).(1)求的值;(2)定義行列式運(yùn)算,求行列式的值;(3)若函數(shù)(),求函數(shù)的最大值,并指出取到最大值時(shí)x的值【解析】:(1)∵角終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn),∴.(2),..(3)(),∴函數(shù)