人工智能第五章模糊邏輯系統(tǒng)

第五章模糊邏輯與模糊推理12/25/20231主要內(nèi)容5.1概述5.2模糊集合及其運(yùn)算5.3模糊關(guān)系5.4模糊邏輯與近似推理5.5基于控制規(guī)那么庫的模糊推理5.6模糊控制的根本原理12/25/202325.1概述12/25/20233模糊的概念“fuzzy〞不同的類別之間不存在準(zhǔn)確的分類規(guī)范，從而對(duì)一事物能否屬于某一類很難做出明確一定的斷言。例：高低、冷熱、快慢、年輕人、中年人、老年人…12/25/20234準(zhǔn)確方法的邏輯根底是傳統(tǒng)的二值邏輯，即非此即彼。把經(jīng)典的二值邏輯用于處置Fuzzy概念和Fuzzy命題時(shí)，將會(huì)在實(shí)際上導(dǎo)致邏輯悖論。模糊概念是亦此亦彼：從0和1－－－→從0至1。公設(shè)〔1〕存在禿頭的人和非禿頭的人?！?〕假設(shè)有n根頭發(fā)的人禿，那么有n+1根頭發(fā)的人亦禿。由此會(huì)導(dǎo)致：禿頭悖論：一切人都禿。人腦具有Fuzzy思想功能。模糊描畫是必要、必然的12/25/20235J.A.Goguen1974說： “描畫不確切性并非壞事，相反倒是一件好事，它能用較少的代價(jià)傳輸足夠的信息，并能對(duì)復(fù)雜事物做出高效率的判別和處置。也就是說，不確定性有助于提高效率。〞愛因斯坦：“Sofarasthelawsofmathematicsrefertoreality,theyarenotcertain,Andsofarastheyareceitain,theydonotrefertoreality.〞關(guān)于現(xiàn)實(shí)的數(shù)學(xué)定理是不確定的，而確定的數(shù)學(xué)定理并不能描畫現(xiàn)實(shí)。不相容原理：(L.A.Zadeh1975提出) “當(dāng)一個(gè)系統(tǒng)復(fù)雜性增大時(shí)，我們使它準(zhǔn)確化的才干將減低，在到達(dá)一定的閾值時(shí)，復(fù)雜性和準(zhǔn)確性將相互排斥。〞12/25/20236模糊性也是一種不確定性，但不同于隨機(jī)性，模糊實(shí)際不同于概率論。模糊性指對(duì)概念的定義以及言語意義的了解上的不確定性，主要是人為的客觀了解上的不確定性。隨機(jī)性反映的是客觀上的自然的不確定性，或者是事件發(fā)生的偶爾性。模糊性與隨機(jī)性12/25/20237模糊集合與模糊數(shù)學(xué)的概念模糊集合：一種特別定義的集合，它可用來描畫模糊景象模糊數(shù)學(xué)：有關(guān)模糊集合、模糊邏輯等的數(shù)學(xué)實(shí)際12/25/202385.2模糊集合及其運(yùn)算12/25/20239表示方法：1)

定義法 ：A={x|x為偶數(shù)，x<10}2)

列舉法 ：A={2,4,6,8}3)

特征函數(shù)法：一、普通集合論域：討論的范圍，U、V、W集合：U上的一部分叫U上的集合，A、B、C元素：A、B、C中的元x、y、z、u、v、w冪集：U的一切子集構(gòu)成的集合，P(U)12/25/202310二、模糊集合的定義及表示方法、名詞術(shù)語定義：設(shè)論域?yàn)閁，稱映射確定U的一個(gè)模糊集合。稱為的隸屬函數(shù)。，表示u隸屬于的程度，簡(jiǎn)稱隸屬度。論域U指的是所討論的事物的全體。模糊冪集：論域U上的全體模糊子集構(gòu)成的集合，記為F(U)，12/25/202311設(shè)U={x1,x2,x3,x4,x5}，xi表示同窗。對(duì)于每個(gè)同窗的“性格開朗〞的程度在[0,1]中打分，便得到從U到[0,1]的一個(gè)映射=“性格開朗〞(x1)=0.85，(x2)=0.75，(x3)=0.98，(x4)=0.30，(x5)=0.60舉例：12/25/2023121、論域U為離散有限集{x1,x2,,xn}(xi)=ai扎德表示法：向量表示法：表示方法：12/25/2023132、論域是離散無限域可數(shù)：不可數(shù)：扎德表示法：3、論域是延續(xù)域當(dāng)U是一個(gè)實(shí)數(shù)區(qū)間時(shí)，可以用普通的實(shí)函數(shù)表示扎德表示法：12/25/202314以年齡為論域，取U=[0,200]，扎德給出了“年老〞與“年輕〞兩個(gè)模糊集的隸屬函數(shù)為：舉例：12/25/202315“核〞：Ker={5，6}Ker ≠ 稱為正那么模糊集Ker ＝ 稱為非正那么模糊集“單點(diǎn)模糊集合〞：假設(shè)臺(tái)集僅為一個(gè)點(diǎn)，且該點(diǎn)隸屬度為1“臺(tái)〞：隸屬度大于0的元素的全體，支撐集“〞截集：Supp={3,4,5,6,7,8}名詞術(shù)語：12/25/2023161、相等：三、模糊集合的根本運(yùn)算2、包含：各元素的隸屬度分別相等12/25/2023173、并∨：取大運(yùn)算12/25/2023184、交∧取小運(yùn)算12/25/2023195、余12/25/202320和的直積為定義在積空間UV上的模糊集合兩個(gè)模糊集合直積的概念可以很容易推行到多個(gè)集合6、笛卡爾直積(Cartesianproduct)12/25/202321交換律結(jié)合律分配律吸收律復(fù)原律兩極律〔同一概〕對(duì)偶律〔D．摩根律〕冪等律12/25/202322五、模糊集合的其它類型運(yùn)算作為Fuzzy集合根本運(yùn)算的并、交運(yùn)算，采用Zadeh算子按點(diǎn)“取大取小〞，不僅很好符合人腦通常的Fuzzy思想方式，而且在研討和處置模糊性問題時(shí)帶來了很多方便，因此在有關(guān)Fuzzy集合論與邏輯的文獻(xiàn)中，大多采用了Zadeh的取大取小運(yùn)算進(jìn)展分析。有些學(xué)者以為，只取兩個(gè)隸屬度中的最大或最小值，忽略了另一個(gè)隸屬度的值，是呵斥信息失落的根源。因此人們提出了不少與∨、∧相對(duì)應(yīng)的算子。改善后的Fuzzy算子雖然在某種意義上更加接近人類思想，然而由于其變化復(fù)雜且失去了許多好的運(yùn)算性質(zhì)而很少運(yùn)用。12/25/2023231、代數(shù)和2、代數(shù)積3、有界和4、有界差12/25/2023245、有界積6、強(qiáng)迫和7、強(qiáng)迫積12/25/2023255.3模糊關(guān)系與模糊矩陣12/25/202326n元模糊關(guān)系R是定義在直積U1U2Un上的模糊集合模糊關(guān)系不是“有〞“無〞關(guān)系，而是多少有點(diǎn)關(guān)系。 模糊關(guān)系是模糊集合直積集的一個(gè)子集一、模糊關(guān)系的定義及表示12/25/202327求U到V滿足b“大約是〞a的平方關(guān)系：舉例12/25/202328U={1,5,7,9,20}序偶中前元比后元“小得多〞的關(guān)系隸屬度運(yùn)算用公式舉例12/25/202329模糊關(guān)系也是模糊集合，可用表示模糊集合的方法來表示。模糊矩陣：將ui，vj作為節(jié)點(diǎn)，在連線上標(biāo)上值當(dāng)論域?yàn)橛邢藜蠒r(shí)，用矩陣和圖的方式更籠統(tǒng)地加以描畫模糊圖：12/25/202330設(shè)U為家庭中的兒子和女兒，V為家庭成員中的父親和母親，對(duì)于“子女與父母長(zhǎng)得類似〞的模糊關(guān)系R表示為：父母子女0.80.30.30.6舉例12/25/202331二、模糊關(guān)系的合成定義：R∈F(UV),S∈F(VW)(R是U到V的一個(gè)模糊關(guān)系，S是V到W的一個(gè)模糊關(guān)系，稱U到W的模糊關(guān)系T為模糊關(guān)系R與模糊關(guān)系S的合成。記為T=R?S其中是并的符號(hào)，表示對(duì)一切v取極大值或上界值，“〞是二項(xiàng)積的符號(hào)其隸屬函數(shù)該合成稱為最大－星合成(max-starcomposition)其中“?〞為模糊矩陣的合成運(yùn)算。12/25/202332二項(xiàng)積算子“〞可以定義為以下幾種運(yùn)算：交最大－最小合成(max-mincomposition)最常用代數(shù)積有界積強(qiáng)迫積12/25/202333當(dāng)論域U、V、W為有限時(shí)，模糊關(guān)系的合成可用模糊矩陣的合成表示。12/25/202334知子女與父母長(zhǎng)相相像的關(guān)系為：父母與祖父母長(zhǎng)相相像的關(guān)系：舉例12/25/202335求：子女與祖父母類似關(guān)系模糊矩陣按最大－最小合成規(guī)那么：12/25/202336舉例用U={x1,x2,x3}表示病人集合，V={y1,y2,y3,y4,y5}表示病癥集合，W={z1,z2,z3}表示病名集合。從U到V的模糊關(guān)系為：12/25/202337R與S的復(fù)合關(guān)系為：從V到W的模糊關(guān)系為：從病癥V到病名集合W的模糊關(guān)系S是一個(gè)醫(yī)學(xué)診斷知識(shí)庫，它闡明了病癥與病名之間的關(guān)系程度。12/25/2023385.4模糊邏輯與近似推理12/25/202339一、模糊命題、言語變量、模糊算子模糊命題：含有模糊謂詞的句子例:“今天很冷〞“張三年輕〞不能簡(jiǎn)單地用“F〞、“T〞區(qū)別模糊算子：用于加強(qiáng)或減弱語氣的詞“極〞，“非常〞，“相當(dāng)〞：集中化算子“比較〞，“略〞，“略微〞：散漫化算子12/25/202340言語變量：言語變量由一個(gè)五元體(x,T(x),U,G,M)來表征，其中：x：言語變量稱號(hào)，如年齡，速度等U：x的論域T(x)：言語變量值的集合，其中每個(gè)言語變量值都是論域U上的模糊集合T(x)=T(速度)={慢，適中，快，很慢，稍快，…}G：語法規(guī)那么，用以產(chǎn)生言語變量x的值的稱號(hào)M：語義規(guī)那么，用以產(chǎn)生模糊集合的隸屬度函數(shù)Zadeh于1975年給出了如下的言語變量的定義：12/25/202341二、模糊蘊(yùn)含關(guān)系2、模糊蘊(yùn)含積運(yùn)算(Larsen)3、模糊蘊(yùn)含算術(shù)運(yùn)算(Zadeh)“假設(shè)x是A，那么y是B〞(AB)表示了A與B之間的模糊蘊(yùn)含關(guān)系1、模糊蘊(yùn)含最小運(yùn)算(Mamdani)12/25/2023424、模糊蘊(yùn)含的最大－最小運(yùn)算(Zadeh)5、模糊蘊(yùn)含的布爾運(yùn)算6、模糊蘊(yùn)含的規(guī)范運(yùn)算(1)12/25/2023437、模糊蘊(yùn)含的規(guī)范運(yùn)算(2)12/25/202344假設(shè)論域U和V是離散的，那么模糊蘊(yùn)含關(guān)系R可用模糊矩陣來表示。對(duì)于離散的模糊集合A和B，可用相應(yīng)的模糊向量來表示。那么模糊蘊(yùn)含關(guān)系矩陣R可以采用如下的方法計(jì)算：12/25/202345三、模糊推理簡(jiǎn)言之,從巳知條件求未知結(jié)果的思想過程就是推理。用傳統(tǒng)的二值邏輯迸行演繹推理和歸納推理時(shí),只需大前提或推理規(guī)那么是正確的，小前提是一定的，那么就一定會(huì)得到確定的結(jié)論然而,在現(xiàn)實(shí)生活中我們獲得的信息往往是不準(zhǔn)確的、不完全的;或者現(xiàn)實(shí)本身就是模糊而不完全確切的,但又必需利用且只能利用這些信息進(jìn)展判別和決策。此時(shí),傳統(tǒng)的方式邏輯和近代的數(shù)理邏輯均無法處理這類問題12/25/202346處理模糊性問題就需求用模糊推理。這種結(jié)論不是從前提中嚴(yán)厲推出來而是近似邏輯地推出結(jié)論的方法,通常就稱為假言推理或似然推理。模糊推理是一種以模糊判別為前提,運(yùn)用模糊言語規(guī)那么,推出一個(gè)新的近似的模糊判別結(jié)論的方法。模糊邏輯推理是一種不確定性的推理方法。模糊推理是一種近似推理,提法有兩種方式。12/25/202347第一種提法(廣義的一定式推理方式)：給定一個(gè)模糊蘊(yùn)含關(guān)系：“假設(shè)A那么B〞,A∈V,B∈V〞巳知某個(gè)A’，A’∈V，求從蘊(yùn)含關(guān)系能推斷出什么樣的結(jié)論B’?例如：知模糊推理語句：假設(shè)“A大〞,那么“B小〞,利用似然推理進(jìn)展推理:假設(shè)巳知“A偏大〞,問B將如何?模糊取式推理：巳知：模糊蘊(yùn)含關(guān)系A(chǔ)→B的關(guān)系矩陣R對(duì)于給定的A’，A’∈U，那么可推得結(jié)論B’，B’∈V，B’=A’?R其中“?〞表示合成運(yùn)算，即模糊關(guān)系的sup-*運(yùn)算。12/25/202348第二種提法(廣義的否認(rèn)式推理方式)：給定一個(gè)模糊蘊(yùn)含關(guān)系：“假設(shè)A那么B〞,A∈V,B∈V〞知某一個(gè)B’∈V，求從蘊(yùn)含關(guān)系能推出什么樣的結(jié)論A’?例如：知模糊推理語句假設(shè)“A大〞,那么“B小〞,利用似然推理進(jìn)展推理:巳知"B不很小"問A又如何?模糊拒式推理：巳知：模糊蘊(yùn)含關(guān)系A(chǔ)→B的關(guān)系矩陣R對(duì)于給定的B’，B’∈V，那么可推得結(jié)論A’∈UA’=R?B12/25/202349例：知 假設(shè)A小那么B大,當(dāng)A=A’=[較小]，問B如何?解：采用(Zadeh)的模糊蘊(yùn)含關(guān)系Rm12/25/20235012/25/20235112/25/202352采用最大－最小合成它與[大]相比,顯然是比較大。因此不難發(fā)現(xiàn),由模糊推理所得到的結(jié)論是與人們的思想相吻合的。這樣的模糊性推理采用傳統(tǒng)的方式邏輯推理不能夠?qū)崿F(xiàn)的,而采用建立在模糊集合論根底上的模糊邏輯卻能實(shí)現(xiàn)上述推理。12/25/202353四、句子銜接關(guān)系的邏輯運(yùn)算1、句子銜接詞“and〞或者：模糊蘊(yùn)含關(guān)系記為：規(guī)那么為：假設(shè)x是Aandy是B那么z是C前提條件“假設(shè)x是Aandy是B〞可以看成是直積空間X×Y上的模糊集合，記為A×B，其隸屬度函數(shù)為：其詳細(xì)運(yùn)算方法也如前面簡(jiǎn)單模糊蘊(yùn)含關(guān)系那樣有6種，如：12/25/202354假設(shè)x是A’andy是B’那么z是C’其中R是模糊蘊(yùn)含關(guān)系，“〞為合成運(yùn)算符。12/25/2023552、句子銜接詞also多條控制規(guī)那么，之間無先后次序。銜接這些子句的銜接詞用“also〞表示。普通采用求“并〞運(yùn)算。12/25/2023567.5基于控制規(guī)那么庫的模糊推理一、模糊推理的Mamdani法Mamdani推理法是一種在模糊控制中普遍運(yùn)用的方法,它本質(zhì)上依然是一種合成推理方法,只不過對(duì)模糊蘊(yùn)含關(guān)系取不同的方式而已。ifAthenB ifAithenBiifAthenBelseC R(u,v)=A(u)∧B(v)ifAandBthenC12/25/202357例：知一個(gè)雙輸入單輸出的模糊系統(tǒng)，其輸入量為x和y，輸出量為z，其輸入輸出關(guān)系可用如下兩條模糊規(guī)那么描畫：R1：假設(shè)x是A1andy是B1那么z是C1R2：假設(shè)x是A2andy是B2那么z是C2現(xiàn)知輸入為x是A’andy是B’，試求輸出量z。這里x，y，z均為模糊言語變量，且知：12/25/202358解：一切模糊集合的元素均為離散量，所以模糊集合可用模糊向量來描畫，模糊關(guān)系可用模糊矩陣來描畫。為進(jìn)一步的計(jì)算，可將模糊矩陣表示成如下的向量：1、求每條規(guī)那么的蘊(yùn)含關(guān)系12/25/20235912/25/2023602、求總的模糊蘊(yùn)含關(guān)系R12/25/2023613、計(jì)算4、計(jì)算輸出量的模糊集合12/25/202362輸出量z的模糊集合為：12/25/202363二、模糊推理的性質(zhì)1、假設(shè)合成運(yùn)算“〞采用最大－最小法或最大－積法，銜接詞“also〞采用求并法，那么“〞和“also〞的運(yùn)算次序可以交換，即：2、假設(shè)模糊蘊(yùn)含關(guān)系采用Rc和Rp時(shí)，那么有：12/25/2023643、對(duì)于`的推理結(jié)果可以采用如下簡(jiǎn)約的方式表示：推論：假設(shè)輸入量的模糊集合和模糊單點(diǎn)，即：那么：12/25/202365結(jié)合性質(zhì)1和性質(zhì)3，可以得到：這里i可以看成是相應(yīng)于第i條規(guī)那么的加權(quán)因子，它也看成是第i條規(guī)那么的適用程度，或者看成是第i條規(guī)那么對(duì)模糊控制造用所產(chǎn)生的奉獻(xiàn)的大小。12/25/2023667.6模糊控制的根本原理一、模糊控制器的根本構(gòu)造和組成模糊化模糊推理明晰化控制對(duì)象知識(shí)庫參考輸入輸出二、模糊化將輸入的準(zhǔn)確量轉(zhuǎn)換成模糊化量。12/25/2023671、輸入量變換：其中k稱為比例因子。例：假設(shè)實(shí)踐的輸入量為x0*，其變化范圍為[xmin*，xmax*]，假設(shè)要求的論域?yàn)閇xmin，xmax]，假設(shè)采用線性變換，那么：尺度變換，將實(shí)踐的輸入量變換到要求的論域范圍。變換可以是線性的，也可以是非線性的。假設(shè)要求離散的論域，那么需求將延續(xù)的論域離散化或量化。量化可以是均勻的，也可以是非均勻的。12/25/202368單點(diǎn)模糊集合：假設(shè)輸入數(shù)據(jù)x0是準(zhǔn)確的，那么通常將其模糊化為單點(diǎn)模糊集合。設(shè)該模糊集合用A表示，那么有：三角形模糊集合：假設(shè)輸入數(shù)據(jù)存在隨機(jī)丈量噪聲，這時(shí)模糊化運(yùn)算相當(dāng)于將隨機(jī)量變換成模糊量。取模糊量的隸屬度函數(shù)為等腰三角形，或鈴形函數(shù)，即正態(tài)分布函數(shù)：x0xx0-x0+2、將論域范圍內(nèi)的輸入量進(jìn)展模糊處置：用模糊集合表示。12/25/202369三、明晰化其中z0表示明晰值。假設(shè)輸出量的隸屬度函數(shù)有多個(gè)極值，那么取這些即值的平均值為明晰值。z0zab1、將模糊的控制量經(jīng)明晰化變換成論域范圍內(nèi)的明晰量最大隸屬度法：假設(shè)輸出量模糊集合C’的隸屬度函數(shù)只需一個(gè)峰值，那么取隸屬度函數(shù)的最大值為明晰值，即：中位數(shù)法：12/25/202370加權(quán)平均法：也稱重心法取的加權(quán)平均值為z的明晰值，即：12/25/202371變換的方法可以是線性的，也可以是非線性的。假設(shè)z的變化范圍為[zmin，zmax]，實(shí)踐控制量的變化范圍為[umin，umax]，采用線性變換，那么：其中k稱為比例因子。2、將表示在論域范圍內(nèi)的明晰量經(jīng)尺度變換成實(shí)踐的控制量12/25/202372四、輸入和輸出空間的模糊分割模糊分割是要確定對(duì)于每個(gè)言語變量取值的模糊言語稱號(hào)的個(gè)數(shù)，模糊分割的個(gè)數(shù)決議了模糊控制精細(xì)化的程度。也可以為非對(duì)稱和非均勻分布言語稱號(hào)通常均具有一定的含義。NB：負(fù)大(NegativeBig)；NM：負(fù)中(NegativeMedium)NS：負(fù)小(NegativeSmall)；ZE：零(Zero)PS：正小(PositiveSmall)；PM：正中(PositiveMediumPB：正大(PositiveBig)12/25/202373x

-101NZPx

-101ZEPSPMPBNSNMNB模糊分割的個(gè)數(shù)也決議了最大能夠的模糊規(guī)那么的個(gè)數(shù)。12/25/202374五、模糊集合的隸屬度函數(shù)1、數(shù)值描畫法x0是中心值2是方差對(duì)于論域?yàn)殡x散，且元素個(gè)數(shù)為有限時(shí)，模糊集合的隸屬度函數(shù)可以用向量或者表格的方式來表示。2、函數(shù)描畫法最常見的有鈴形函數(shù)、三角形函數(shù)、梯形函數(shù)。12/25/202375六、論域?yàn)殡x散時(shí)模糊控制的離線計(jì)算當(dāng)論域?yàn)殡x散時(shí)，經(jīng)過量化后的輸入量的個(gè)數(shù)是有限的，因此可以針對(duì)輸入情況的不同組合離線計(jì)算出相應(yīng)的控制量，從而組成一張控制表，實(shí)踐控制時(shí)只需直接查這張控制表即可，在線的運(yùn)算量是很少的。k1k2k3量化量化控制對(duì)象控制表－ryex0y0z0u論域?yàn)殡x散時(shí)的模糊控制系統(tǒng)構(gòu)造相當(dāng)于非線性的PD控制k1，k2，k3：尺度變換的比例因子。12/25/202376設(shè)e，和u的變換范圍分別為：并設(shè)x，y，z的論域分別為：那么：設(shè)：量化的功能是將比例變換后的延續(xù)值經(jīng)四舍五入變?yōu)檎麛?shù)值。12/25/202377言語變量x的隸屬度函數(shù)-6-5-4-3-2-10123456NB1.00.80.70.40.1NM0.20.71.00.70.3NS0.10.30.71.00.70.2NZ0.10.61.0PZ1.00.6