北京師大附中2023屆高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末監(jiān)測模擬試題含解析

2022-2023學(xué)年高一上數(shù)學(xué)期末模擬試卷

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再

選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題（本大題共12小題，共60分）

37r

1.若過A（4,y）,3（2,—3）兩點(diǎn)的直線的傾斜角為w，則y等于（）

A.—1B.-5

C.lD.5

2.設(shè)m,〃是兩條不同直線，a，A是兩個不同的平面，下列命題正確的是（）

A.m〃a,〃//6且a//￡,則〃

B.mua,nua,mlI（3,〃///?,則a///

C.m_La,〃u/?,ml.n9則a~L

D.m_La,且a_L尸，則〃

_LX+[r<()

3.已知函數(shù)/(x)=5'~,若存在不相等的實(shí)數(shù)以b,c,d滿足|/(a)|=|/⑻=|/(c)|=|/(4)|,則

1gx,x>0

a+b+c+d的取值范圍為（）

(081

A(0,+oo)B?一2,歷

f81

D-n

4.若a>b>c,則下列不等式成立的是().

1111

A.------->--------B.-------<-------

a-cb—ca-cb-c

C.ac>beD.ac<he

5.若sin(?+a)=g,

,則tan（3萬一a）等于（）

C.-V3D.—業(yè)

3

6.中國宋代的數(shù)學(xué)家秦九韶曾提出“三斜求積術(shù)”，即假設(shè)在平面內(nèi)有一個三角形，邊長分別為。，b,c,三角形的

面積S可由公式5=求得,其中〃為三角形周長的一半，這個公式也被稱為海倫秦九韶公

式，現(xiàn)有一個三角形的邊長滿足a+匕=14,c=6,則此三角形面積的最大值為（）

A.6B.6M

C.12D.12V10

7.如圖，一個直三棱柱形容器中盛有水，且側(cè)棱44t=8.若側(cè)面水平放置時，液面恰好過

AC,BC,4G，4G的中點(diǎn)，當(dāng)?shù)酌鍭BC水平放置時，液面高為（）

A.6B.7

C.2D.4

8.如圖正方體,棱長為1,P為8C中點(diǎn)，Q為線段CG上的動點(diǎn)，過A,P,Q的平面截該正方體

所得的截面記為S,則下列命題正確的是（）

①當(dāng)0<CQ<g時，S為四邊形；

②當(dāng)CQ=；時，S為等腰梯形；

31

③當(dāng)CQ=W時，s與交點(diǎn)A滿足G4=§；

④當(dāng)時，s為六邊形；

4

⑤當(dāng)CQ=1時，S的面積為Y5

2

A.①③④B.②④⑤

C.①②④D.①②③⑤

9.若偶函數(shù)/（x）在區(qū)間（-8,0］上單調(diào)遞減，且/（3）=0,則不等式>0的解集是

A.(-℃,—[)<J(],+oo)B.(—3,1)U(3,+oo)

C(-oo,-3)<J(3,+oo)D.(-3,1]U(3,+<?)

10.設(shè)卜7t5sin(/?-qn)=-|,則cos(a-0=(

cosa+—)

I6133

6363

B.——

6565

3333

D.——

6565

11.命題“VxeR,x>sinx”的否定是O

AVxeR,xWsinxB.VxeR,xNsinx

C.HreR,x>sinxD.玉wR,x<sinx

12.下列四個函數(shù)中,在其定義域上既是奇函數(shù)又是單調(diào)遞增函數(shù)的是

A.y=x-1B.y=tanx

2

C.y=x3D.y=——

x

二、填空題（本大題共4小題，共20分）

13.如圖，在空間四邊形ABCZ）中，平面平面BCD,ZBAD=9Q，ZBCD=90，且AB=4），則AC

與平面BCD所成角的度數(shù)為

14.要在半徑。4=60cm的圓形金屬板上截取一塊扇形板，使弧A8的長為5（）乃cm,那么圓心角

NAQB=.（用弧度表示）

15.已知函數(shù)/（x）={110g24*0:,關(guān)于x方程/'（X）=加（加€R）有四個不同的實(shí)數(shù)解玉，方，&，%則

-x-2x,x<0

X/2X3X4的取值范圍為

2l~xx<0

16.設(shè)函數(shù)/(x)=〈；一'八即/(/(T))=_____

1-log2x,x>0,

三、解答題(本大題共6小題，共70分)

43

17.已知角a的終邊經(jīng)過點(diǎn)尸(不一’.

(1)求sina的值；

sin---a\tan(a-7r)

(2)求(2J''的值.

sin(a+TT)cos(3?—a)

18.已知a、b>°且都不為1，函數(shù)/(?)=相：+

⑴若a=2,，_］解關(guān)于*的方程f(x)=/(x+l)；

0=:

(2)若3=2相是否存在實(shí)數(shù)。使得函數(shù)，為R上的偶函數(shù)？若存在，求出f的值，若不存在，說

p(x)=tx+log：管

明理由

19.如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD為矩形，PA^PC,PB=PD.

(2)若AB=26，PD=2。BC=2,求點(diǎn)B到平面PCD的距離.

20.已知向量3，B滿足同=1,|同=4,且坂的夾角為60。.

(1)求(2%—萬)?伍+5)；

(2)若(&+6)?(而-26),求4的值.

7C4

21.已知一<a<兀，sina=—.

25

(1)求sin|］；

（2）若角尸的終邊上有一點(diǎn)尸（7』），求tan（a+2分）.

2'-a

22.已知〃尤）=（aeR）的圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱.

2V+1

4V-5

（1）求"的值，并求出函數(shù)/（x）=/（》）+會、的零點(diǎn);

b

（2）若存在xe[0,1],使不等式/（同+2'-工下＜0成立，求實(shí)數(shù)b取值范圍.

參考答案

一、選擇題（本大題共12小題，共60分）

1,B

【解析】根據(jù)斜率的定義和坐標(biāo)表達(dá)式即可求得結(jié)果.

i2*=tan"

【詳解】?；％=—1,y——5.

4-224

【點(diǎn)睛】本題考查斜率的定義和坐標(biāo)表達(dá)式，注意認(rèn)真計(jì)算，屬基礎(chǔ)題.

2、D

【解析】對每一個命題逐一判斷得解.

【詳解】對于A,若m〃a,11〃0且￡1〃0,說明m、n是分別在平行平面內(nèi)的直線，它們的位置關(guān)

系應(yīng)該是平行或異面或相交，故A不正確；

對于B,若“mua,nua,m〃仇n〃0”，則“a〃夕也可能支即=1,所以B不成立

對于C,根據(jù)面面垂直的性質(zhì)，可知m_La,nep,m_Ln,.,.naa,也可能（10。=1,

也可能aJL°,故C不正確；

對于D,由mJ_a,n_L0且a_L|3,則m與n一定不平行，否則有a〃B，與已知a_L0矛盾，

通過平移使得m與n相交，且設(shè)m與n確定的平面為丫，則丫與a和。的交線所成的角即

為a與0所成的角，因?yàn)閍_L0,所以m與n所成的角為90°,故命題D正確

故答案為D

【點(diǎn)睛】本題考查直線與平面平行與垂直，面面垂直的性質(zhì)和判斷的應(yīng)用，考查邏輯推理能力和空間

想象能力.

3、C

【解析】將問題轉(zhuǎn)化為y=加與I/（x）I圖象的四個交點(diǎn)橫坐標(biāo)之和的范圍，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)

求目標(biāo)式的范圍.

【詳解】由題設(shè)，將問題轉(zhuǎn)化為）'=加與|/（乃|的圖象有四個交點(diǎn)，

----1,x4—2

2

X

"⑼=,-+l,-2<x<0,則在（-8,-2］上遞減且值域?yàn)椋?,+8）；在（-2,0］上遞增且值域?yàn)椋?,1］；在（0,1］上遞減

-lgx,0<Jc<l

lgx,x〉l

且值域?yàn)椋?,+8）,在（1,內(nèi)）上遞增且值域?yàn)椋ā?+8）；

"（X）I的圖象如下:

所以0〈機(jī)W1時，y=加與|/（%）|的圖象有四個交點(diǎn)，不妨假設(shè)"6<c<4,

由圖及函數(shù)性質(zhì)知：—4Wa<—2<。<0<木<，<1<〃<10,易知：a+h=-4,，+1€（2,手］,

所以a+/?+c+d6（—2,-j-^］.

故選：c

4、B

【解析】Va>b>c,.,.a-c>b-c>0,------

a-ch-c

故選B

5、D

【解析】根據(jù)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式即可化簡求值.

【詳解】；sin（萬+a）=g,

**?—sinex,——sinex,———>cosa——Jl—sin~a=----，tan。=—，

2223

tan(3?-a)=tan(-a)=-tana=一等.

故選：D.

6、B

【解析】根據(jù)海倫秦九韶公式和基本不等式直接計(jì)算即可.

【詳解】由題意得：〃=10,

s=(〃-a)(〃_〃)(〃_c)=jio(io_a)(io_〃)(10_c)

=^40(10-?)(10-/?)<V40-10—^10-/?=3X2A/10=6M,

當(dāng)且僅當(dāng)10—。=10—即a=b=7時取等號，

故選：B

7、A

【解析】根據(jù)題意，當(dāng)側(cè)面AABB水平放置時，水的形狀為四棱柱形，由已知條件求出水的體積；當(dāng)?shù)酌鍭BC水平放

置時，水的形狀為三棱柱形，設(shè)水面高為h,故水的體積可以用三角形的面積直接表示出，計(jì)算即可得答案

【詳解】根據(jù)題意，當(dāng)側(cè)面AABB水平放置時，水的形狀為四棱柱形，底面是梯形，

33

設(shè)△ABC的面積為S,則S樣彩=—S,水的體積丫水=—SXAAI=6S,

44

當(dāng)?shù)酌鍭BC水平放置時，水的形狀為三棱柱形，設(shè)水面高為h,

則有V；K=Sh=6S,故h=6

故選A

【點(diǎn)睛】本題考點(diǎn)是棱柱的體積計(jì)算，考查用體積公式來求高，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題

8、D

【解析】由已知根據(jù)的不同取值，分別作出不同情況下的截面圖形，利用數(shù)形結(jié)合思想能求出結(jié)果

1>1

當(dāng)0<CQ<g時，如圖，是四邊形，故①正確

當(dāng)CQ=；時，如圖，S為等腰梯形，②正確;

21

由三角形CQP與三角形AAH相似可得A"=§,9"=記

21

由三角形尸與三角形相似可得，RR=qCR=w，③正確

當(dāng)CQ=1時，如圖S是菱形，面積為血.且=，5,⑤正確,

22

正確的命題為①②③⑤，故選D

【點(diǎn)睛】本題主要考查正方體的截面，意在考查空間想象能力，解題時要認(rèn)真審題，注意數(shù)形結(jié)合思想的合理運(yùn)用,

是中檔題

9、B

【解析】由偶函數(shù)/（“在區(qū)間（-8,0]上單調(diào)遞減，且/（3）=0,所以/（X）在區(qū)間。+8）上單調(diào)遞增，且

<X>[X<1

/（—3）=/⑶=（）,即函數(shù)/（X）對應(yīng)的圖象如圖所示，則不等式（x-l）/（x）>0等價為｛/⑴>（）或｛,八）<0,

考點(diǎn)：不等關(guān)系式的求解

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查了與函數(shù)有關(guān)的不等式的求解，其中解答中涉及到函數(shù)的奇偶性、函數(shù)的單調(diào)性，以及函

數(shù)的圖象與性質(zhì)、不等式的求解等知識點(diǎn)的綜合考查，著重考查了學(xué)生分析問題和解答問題的能，以及推理與運(yùn)算能

力，試題比較基礎(chǔ)，屬于基礎(chǔ)題，本題的解得中利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，正確作出函數(shù)的圖象是解答的關(guān)鍵

10、A

【解析】先計(jì)算得到sinja+j]=^1,—再利用cos(a-￡)=

Vo715\5)5

詳解】0,|

cos(a-/7)=cos

=sin(a+4c°s?一斗cja+4in>一公=%32。63

I6)V3J(6)V3J13513565

故選：A

(TT\TTTT

【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)值的計(jì)算，變換cos(a—p)=cosLz+--p----是解題的關(guān)鍵.

6y3)2_

11、D

【解析】利用全稱量詞命題的否定變換形式即可求解.

【詳解】V的否定是三，x>sinx的否定是xWsinx,

故"X/xwR,x>sinx"的否定是"HreR,xWsinx",

故選：D

12、C

【解析】易知y=x—1為非奇非偶函數(shù)，故排除選項(xiàng)A,因?yàn)閠ang=Ji>tan3=1,—々=!>一］，故排除選項(xiàng)

34-222

B、D,而.丫=/在定義域R上既是奇函數(shù)又是單調(diào)遞增函數(shù).故選c.

二、填空題(本大題共4小題，共20分)

13>45°

【解析】首先利用面面垂直轉(zhuǎn)化出線面垂直，進(jìn)一步求出線面的夾角，最后通過解直角三角形求出結(jié)果.

【詳解】取BD中點(diǎn)O,連接AO,CO.

因?yàn)锳B=AD,所以AO_LBD,又平面ABD_L平面BCD,所以AO，平面8co

因此，NACO即為AC與平面BCD所成的角，

由于NBAZ)=90'，NBCO=9(y，所以AO=OC=16。，

2

又AO_LOC,所以/ACO=45°

【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與平面所成的角，屬于基礎(chǔ)題型.

-,5乃

14、一

6

【解析】由弧長公式變形可得：a=,，代入計(jì)算即可.

r

507r5乃

【詳解】解：由題意可知：NA0B=—=L(弧度).

606

故答案為：.

6

15、(0,1)

【解析】作出/(x)={"0g2x|，x°:的圖象如下：

—X-2x,x<0

結(jié)合圖像可知，-lOgzX,=log2%，故七,X4=1

令一爐一2%=0得：%=0或x=—2,令一d-2x=l得：x=-l,且石+々=-2

一%等號取不到，

+(-x2)=222>/(-XI)-(-X2)

故可修e(0J),早/溫?0,1)，故填(0,1).

點(diǎn)睛：一般討論函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)問題，都要轉(zhuǎn)化為方程根的個數(shù)問題或兩個函數(shù)圖像交點(diǎn)的個數(shù)問題，本題由于涉及函

數(shù)為初等函數(shù)，可以考慮函數(shù)圖像來解決，轉(zhuǎn)化為過定點(diǎn)的直線與拋物線變形圖形的交點(diǎn)問題，對函數(shù)圖像處理能力

要求較高.

16、-1

【解析】結(jié)合函數(shù)的解析式求解函數(shù)值即可.

【詳解】由題意可得：/(-1)=2'-(-|)=4,

則〃〃―l))=f(4)=l一log24=—l.

【點(diǎn)睛】求分段函數(shù)的函數(shù)值，要先確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間，然后代入該段的解析式求值，當(dāng)出現(xiàn)A/S))

的形式時，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值

三、解答題(本大題共6小題，共70分)

一35

17、(1)--；(2)--

54

【解析】(1)由正弦函數(shù)定義計(jì)算；

(2)由誘導(dǎo)公式，商數(shù)關(guān)系變形化簡，由余弦函數(shù)定義計(jì)算代入可得.

【詳解】(1)因?yàn)辄c(diǎn)尸(土-|),

3

所以|。尸|=1,sina=--.

sin——atan(a一)).1

(2)<2)_cosax(—tana)_sina=------

------------------=--------------=------------cosCC

sin(a+〃)cos(3萬一a)-sina(-cosa)sina(-cosa)

45

由三角函數(shù)定義知cosa=二，故所求式子的值為一二

54

18、(1)

X=-7

(2)存,

t=-7

【解析】(1)根據(jù)題意可得”+2-A=7^+1+)7-二，解方程即可；

Xx,

⑵由題意可得g(x)=log:(l+2)?結(jié)合偶函數(shù)的概念可得g(-x)=-(t+l)x+log2(l+2)進(jìn)而得到

tx=-(t+l)x,解方程即可?

【小問1詳解】

因?yàn)閍=2，,?所以/Xx)=2*+2一，

b=-

方程/■5）=f（X+1）即為2*+2-x=2X+1+2-X-"

化簡得2*=2-*-工，所以\=_犬_1，解得..;

X=

【小問2詳解】

因?yàn)閎=2出故/'(X)=a*+(2a尸=ax(l+2XY

g(.x)=tx+log：管=tx+log；(l+2*)

因?yàn)?：、：：是偶函數(shù)，故g(_x)=g：x)對任意的實(shí)數(shù)X成立，

而rcX，

X

g(-x)=-tx+Iog2(l+2-x)=-tx+log；號=-(t+l)x+log2(l+2)

于是_?+14對任意的實(shí)數(shù)X成立，解得

t=一二

19、(1)證明見解析；

⑵逑.

5

【解析】(1)連接8D,交AC于點(diǎn)0,連接P。，證明PO_L平面ABC。，即可證明出平面R4c，平面ABC。.

(2)用等體積法VB_PCD=VP_BCD,即gxS/cox力=gxS.BCDxPO,即可求出答案.

【小問1詳解】

連接8。，交AC于點(diǎn)。，連接PO,如圖所示，

???底面ABC。為矩形，為AC,3。的中點(diǎn),

又?：PA=PC,PB=PD,

:.POA.AC,PO±BD,

又?.?ACfW=0,

.?.PO,平面ABC。，

??,POu平面PAC,

平面Q4C_L平面ABCD

【小問2詳解】

、AB=2+,BC=2,

AC=BD=yjAB2+BC2=4?:.OD=OC=2,

在吊△POD中，/POD=90°,

：.PO=y/PD2-OD2=2?

22

..在/^△POC中，PC=yjpo+oc=2V2>

在△PCD中，PD=PC=2五,CD=2百，

22

：.Sprn=-xCDxJpC~(-CD)=-x2>/3xV8^3=V15,

212V22

???BC_LCD>SBo='xBCxCD=—x2x2-^3=2-73,

22

設(shè)點(diǎn)B到平面PCD的距離為h,

由等體積法可知VR-PCD=P-BCD9

又,：PO，平面ABCD,尸。為點(diǎn)P到平面BCD的距離,

§XS&PCDX/?=§XS#CDXP。，

，九=S"XP。26x24布,

S*PCD5

即點(diǎn)3到平面PCD的距離為撞

5

20、(1)-12；(2)12.

【解析】(1)按照向量的點(diǎn)積公式得到無石=2,再由向量運(yùn)算的分配律得到結(jié)果；(2)根據(jù)向量垂直得到

(a+b)(Aa-2b)=0,按照運(yùn)算公式展開得到結(jié)果即可.

【詳解】(1)由題意得a?b=|如同cos60'=lx4x；=2,

:.(2&-6}(&+6)=202+4—52=2+2—16=—12

(2):伍+5)_L(XG-25),.?.伍+孫(斯-25)=0,.,.而+(%-2)無5-圻=0,

.,.4