2023年高考考前數(shù)學(xué)押題密卷（新高考Ⅱ卷）含答案

2023年高考考前押題密卷

高三數(shù)學(xué)

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項(xiàng)：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考

證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。

2.回答第I卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。

3.回答第II卷時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。

4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第I卷

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符

合題目要求的.

1.【改編】設(shè)集合。={1，2,3,4,5,6"={1,3,6},8={2,3,4},則3&A）=（）

A.{5}B.{2,4}C.{4,5}D.{3,5}

2.己知￡y=i,i為虛數(shù)單位，則Z=（）

1-21

A.-2+iB.2-iC.2+iD.-2-i

3.將向量OP=（1,6）繞坐標(biāo)原點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30。得到OR,則OP.OR=（）

A.0B.GC.2D.2G

4.黃地綠彩云龍紋盤(pán)是收藏于中國(guó)國(guó)家博物館的一件明代國(guó)寶級(jí)瓷器.該龍紋盤(pán)敞口，弧壁，廣底，圈足.

器內(nèi)施白釉，外壁以黃釉為地，刻云龍紋并填綠彩，美不勝收.黃地綠彩云龍紋盤(pán)可近似看作是圓臺(tái)和圓柱

的組合體，其口徑22.5cm,足徑14.4cm,高3.8cm,其中底部圓柱高0.8cm,則黃地綠彩云龍紋盤(pán)的側(cè)面積

約為（）（附：圓臺(tái)的側(cè)面積S=7t（R+r）/,R,r為兩底面半徑，/為母線長(zhǎng)，其中兀的值取3,

J25.4025a5.04）

C.327.24cm2D.344.52cm2

5.某病毒暴發(fā)，全省支援，需要從我市某醫(yī)院某科室的4名男醫(yī)生（含一名主任醫(yī)師）、5名女醫(yī)生（含一

名主任醫(yī)師）中分別選派3名男醫(yī)生和2名女醫(yī)生，則在有一名主任醫(yī)師被選派的條件下，兩名主任醫(yī)師

都被選派的概率為（）

,兀/、——22-=cos6-sing(兀、CnA

6.已知9二加+]化€2),且85[3烏_9],貝Ijtan[e-wj-tan21'-6j=()

138

A.-----B.-c.--D.

3333

7.己知a=e°1—l,/?=0.1,c=In1.1，則()

A.c<a<bB.b<c<a

C.c<b<aD.a<h<c

8.已知函數(shù)〃x)及其導(dǎo)函數(shù)/'(x)定義域均為R,滿足/@+犬)-/《一金=2》，記g(x)=/'(x),其導(dǎo)

函數(shù)為g'(x)且g'(3-”的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則g'(9)+g(|)=()

A.0B.1C.4D.3

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，

全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得。分.

9.大年除夕吃年夜飯是中國(guó)古老的民俗傳統(tǒng)，唐朝詩(shī)人孟浩然曾寫(xiě)下“續(xù)明催畫(huà)燭，守歲接長(zhǎng)筵''這樣的詩(shī)

句.為了解某地區(qū)居民的年夜飯消費(fèi)金額，研究人員隨機(jī)調(diào)查了該地區(qū)100個(gè)家庭，所得金額統(tǒng)計(jì)如圖所

示，則下列說(shuō)法正確的是()

八頻數(shù)

40-35

第20n

10?88

「nIIIIII丁丁，

0(0,8001(800,16001(1600,24001(2400,32001(3200,4000)(4000,48001金額/元

A.可以估計(jì)，該地區(qū)年夜飯消費(fèi)金額在(2400,3200］家庭數(shù)量超過(guò)總數(shù)的三分之一

B.若該地區(qū)有2000個(gè)家庭，可以估計(jì)年夜飯消費(fèi)金額超過(guò)2400元的有940個(gè)

C.可以估計(jì)，該地區(qū)家庭年夜飯消費(fèi)金額的平均數(shù)不足2100元

D.可以估計(jì)，該地區(qū)家庭年夜飯消費(fèi)金額的中位數(shù)超過(guò)2200元

22

10.己知雙曲線C:4-匕=13>0)的左、右焦點(diǎn)分別為居，拋物線丁=8》的焦點(diǎn)與雙曲線C的焦點(diǎn)

a3

重合，點(diǎn)尸是這兩條曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是()

A.雙曲線C的漸近線方程為y=±AB.耳|=7

C.△EPR的面積為D.cos/FFK4

11.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCO-ABCQI中，E為邊AZ)的中點(diǎn)，點(diǎn)尸為線段RB上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)

D、P=gB,則()

A.當(dāng)彳=；時(shí)，"〃平面AB,CB.當(dāng)4時(shí)，儼且取得最小值，其值為近

C.|P4|+|PC|的最小值為半D.當(dāng)Ge平面C"時(shí)，2=1

12.記/(x)、g'(x)分別為函數(shù)f⑺、g(x)的導(dǎo)函數(shù)，若存在/wR,滿足"/)=g(%)且廣優(yōu))=g，伉),

則稱(chēng)/為函數(shù)〃x)與g(x)的一個(gè)“S點(diǎn)”，則下列說(shuō)法正確的為()

A.函數(shù)f(x)=e'與g(x)=x+l存在唯一“S點(diǎn)”

B.函數(shù)/(x)=lnx與g(x)=x-2存在兩個(gè)“S點(diǎn)”

C.函數(shù)/(3)=*與8(力=》2+2工一2不存在"5點(diǎn)”

D.若函數(shù)/(力=加-1與g(x)=lnx存在“S點(diǎn)”，貝iJaV

第II卷

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.【改編】在(3d+l)(x—的展開(kāi)式中x的系數(shù)為.

14.曲線y=g在點(diǎn)］；,4)處的切線方程為.

15.已知圓O:/+y2=8及圓A:(x-a)2+(y+l)2=1,若圓A上任意一點(diǎn)Q,圓。上均存在一點(diǎn)。使得

NOPQ=45。,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

16.已知橢圓G:￡+￡=l(a>b>0)的右焦點(diǎn)為凡左右頂點(diǎn)分別為A,B,點(diǎn)尸是橢圓G上異于A,3的動(dòng)

點(diǎn)，過(guò)F作直線AP的垂線交直線3P于點(diǎn)M(，",〃)，若機(jī)+a=O,則橢圓G的離心率為.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.(10分)

已知｛q｝為等差數(shù)列，且％=2%-2〃+3.

(1)求｛4｝的首項(xiàng)和公差;

--,17=3k-260

⑵數(shù)列出｝滿足"=~,磯，其中心new,求

1

(-1)'an,3k-l<n<3k

18.（12分）

如圖，在_718。中，D,E在BC上，BD=2,DE=EC=l,ZBAD=ZCAE.

(2)求面積的取值范圍.

19.（12分）

2023年，全國(guó)政協(xié)十四屆一次會(huì)議于3月4日下午3時(shí)在人民大會(huì)堂開(kāi)幕，3月11日下午閉幕，會(huì)期7天

半；十四屆全國(guó)人大一次會(huì)議于3月5日上午開(kāi)幕，13日上午閉幕，會(huì)期8天半.為調(diào)查學(xué)生對(duì)兩會(huì)相關(guān)知

識(shí)的了解情況，某高中學(xué)校開(kāi)展了兩會(huì)知識(shí)問(wèn)答活動(dòng)，現(xiàn)從全校參與該活動(dòng)的學(xué)生中隨機(jī)抽取320名學(xué)生,

他們的得分(滿分100分)的頻率分布折線圖如下.

用樣本來(lái)估計(jì)總體，設(shè)〃，分別為被抽取的320名學(xué)生得分

的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差，求尸(50.5<XW94)的值；

(2)學(xué)校對(duì)這些被抽取的320名學(xué)生進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，獎(jiǎng)勵(lì)方案如下：用頻率估計(jì)概率，得分小于或等于55的

學(xué)生獲得1次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，得分高于55的學(xué)生獲得2次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì).假定每次抽獎(jiǎng)抽到價(jià)值10元的學(xué)習(xí)用品的

概率為抽到價(jià)值20元的學(xué)習(xí)用品的概率為:從這320名學(xué)生中任取一位，記該同學(xué)在抽獎(jiǎng)活動(dòng)中獲得

44

學(xué)習(xí)用品的價(jià)值總額為4元，求4的分布列和數(shù)學(xué)期望(用分?jǐn)?shù)表示)，并估算此次抽獎(jiǎng)要準(zhǔn)備的學(xué)習(xí)用品

的價(jià)值總額.

參考數(shù)據(jù)：P(〃-b<X4〃+cr)n0.6827,P(//-2cr<X<//+2<r)?0.9545,

___3

-3cr<X<//+3cr)?0.9973,7210=14,5,0.375=-.

8

20.(12分)

如圖所示，在三棱柱ABC-A8G中，點(diǎn)O,E,F,G分別為棱4與，AA,,CC,,B片上的點(diǎn)，且A。=用力，

AE=2\E,QF=2CF,BG=2B,G.

(i)證明：所〃平面G〃G；

(2)若例=6,8C=2AC=4,四邊形BCC、旦為矩形，平面BCG瑪，平面ACC,4,AC，QG,求平面GOG

與平面”戶(hù)所成銳二面角的余弦值.

21.(12分)

。?)

已知點(diǎn)M為雙曲線C:=1(。＞0)右支上除右頂點(diǎn)外的任意點(diǎn)，C的一條漸近線與直線

a2a2+2

x+6y-2=0互相垂直.

(1)證明：點(diǎn)M到C的兩條漸近線的距離之積為定值；

(2)已知C的左頂點(diǎn)A和右焦點(diǎn)尸，直線AM與直線/：x=g相交于點(diǎn)M試問(wèn)是否存在常數(shù)2,使得

ZAFM=AZAFN?若存在，請(qǐng)求出2的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

22.(12分)

已知I函數(shù)/(x)=ln(l+x),g(x)=ar2+x.

(1)當(dāng)x>-l時(shí)，/(x)<g(x),求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

(2)已知〃eN",證明：sin-^—+sin—^―++sin—<ln2.

〃+1〃+22n

2023年高考考前押題密卷

數(shù)學(xué)?全解全析

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符

合題目要求的.

1.【改編】設(shè)集合U={1,2,3,4,5,6},A={1,3,6},B={2,3,4},則8(4A)=()

A.{5}B.{2,4}C.{4,5}D.{3,5}

【答案】B

【解析】由題設(shè)可得6A={2,4,5},故8@A)={2,4},故選：B.

2.已知f=i,i為虛數(shù)單位，則2=()

1-21

A.-2+iB.2-iC.2+iD.-2-i

【答案】C

【解析】因?yàn)檠?i,則z=i(l-2i)=2+i.故選：C.

3.將向量OP=(1,G)繞坐標(biāo)原點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30。得到OP-則OP-。耳=()

A.0B.6C.2D.2石

【答案】D

【解析】根據(jù)題意可知OR=(6,l),OPO4=lxg+Gxl=2#.故選：D

4.黃地綠彩云龍紋盤(pán)是收藏于中國(guó)國(guó)家博物館的一件明代國(guó)寶級(jí)瓷器.該龍紋盤(pán)敞口，弧壁，廣底，圈足.

器內(nèi)施白釉，外壁以黃釉為地，刻云龍紋并填綠彩，美不勝收.黃地綠彩云龍紋盤(pán)可近似看作是圓臺(tái)和圓柱

的組合體，其口徑22.5cm,足徑14.4cm,高3.8cm,其中底部圓柱高0.8cm,則黃地綠彩云龍紋盤(pán)的側(cè)面積

約為()(附：圓臺(tái)的側(cè)面積S=7r(R+r)/,R,一為兩底面半徑，/為母線長(zhǎng)，其中兀的值取3,

V25.4025?5.04)

A.313.52cm2B.300.88cm2C.327.24cm2D.344.52cm2

【答案】A

【解析】設(shè)該圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為/，兩底面圓半徑分別為R，/(其中R>r),

則2R=22.5,2r=14.4,/?=3.8-0.8=3,

所以/二++廣三］="+4.052=&5.4025-5.04,

故圓臺(tái)部分的側(cè)面積為E=MR+r)/n3x(11.25+7.2)x5.04=278.964cm2,

2

圓柱部分的側(cè)面積為S2=27T/--0.8=6x7.2x0.8=34.56cm,

故該黃地綠彩云龍紋盤(pán)的側(cè)面積約為E+5=278.964+34.56=313.524cm2.故選：A.

5.某病毒暴發(fā)，全省支援，需要從我市某醫(yī)院某科室的4名男醫(yī)生(含一名主任醫(yī)師)、5名女醫(yī)生(含一

名主任醫(yī)師)中分別選派3名男醫(yī)生和2名女醫(yī)生，則在有一名主任醫(yī)師被選派的條件下，兩名主任醫(yī)師

都被選派的概率為()

【答案】D

【解析】記”選派3名男醫(yī)生和2名女醫(yī)生，有一名主任醫(yī)生被選派”為事件4,

貝"產(chǎn)+Cm+C；C：J

v'C：C；20

記''選派3名男醫(yī)生和2名女醫(yī)生，兩名主任醫(yī)師都被選派”為事件B,

=—,故選：D

cos20

/c兀、

6.已知兀+：僅￡Z),且出產(chǎn)cos0-sin,則tan[e-wj-tan2(匕Tt()

人13口5

A.-----B.-

33

【答案】A

cos20八.八

---；-----7=cos”一sin夕cos20

【解析】因?yàn)樨，所以2鳥(niǎo)=cose—sin6,

cos[5一"J-sin?

cos20=-cossin0+sin23，所以cos?sin20=—cos^sin^+sin20，

所以l-tan2e=—tane+tan?。，解得tan8=或tan6=1,

2

因?yàn)?。wA7t+：(%€Z),所以tan，=-,，

I"12JI4j]+tan，tan7t>tan一，

4

A.c<a<bB.b<c<a

C.c<b<aD.a<b<c

【答案】C

【解析】設(shè)〃x)=e'—l—x,求導(dǎo)r(x)=e'—l,所以當(dāng)X2O13寸，_f(x)>0,/(x)單調(diào)遞增,

故"01)>/(0)，BPe01-1-0.1>0,所以。>6；

設(shè)g(x)=x-ln(x+l),求導(dǎo)/(力=1-+>=*■

所以當(dāng)xNO時(shí)，g'(x)20,g(x)單調(diào)遞增,

g(0.1)=0.1—lnl.l>g(0)=0,所以人〉c,故0>6>c.故選：C

8.已知函數(shù)“X)及其導(dǎo)函數(shù):(x)定義域均為R,滿足巾++m=2x，記g(x)=f'(x)，其導(dǎo)

函數(shù)為g'(x)且g'(3-x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則g'(9)+g《)=()

A.0B.1C.4D.3

【答案】B

【解析】由g'(3—x)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則g(3—x)關(guān)于了軸對(duì)稱(chēng)，且g'(3-x)=-g'(3+x),

所以g(x)關(guān)于x=3對(duì)稱(chēng)，g'(x)關(guān)于(3,0)對(duì)稱(chēng)，且g(3)=0,

又/(|+x)+f'(m-x)=2,即g(T+x)+g(|-x)=2,則g(x)關(guān)于g，D對(duì)稱(chēng)，

綜上，g(6-x)=g(x),g(3-x)+g(x)=2,貝ljg(6-x)+g(3-x)=2,

^fy.g(6-1)+g(3-1)=^(^)+^(1)=2,而g(|)=l,故g(g)=l,

又g'(x)-g'(3—x)=0,則g'(x)關(guān)于x對(duì)稱(chēng)，即g'(3—x)=g'(x),

所以g'(x)=-g'(x+3),則g，(9)=-g'(6)=g，(3)=。,

所以g'(9)+g弓)=1?故選:B

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，

全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得。分.

9.大年除夕吃年夜飯是中國(guó)古老的民俗傳統(tǒng)，唐朝詩(shī)人孟浩然曾寫(xiě)下“續(xù)明催畫(huà)燭，守歲接長(zhǎng)筵''這樣的詩(shī)

句.為了解某地區(qū)居民的年夜飯消費(fèi)金額，研究人員隨機(jī)調(diào)查了該地區(qū)100個(gè)家庭，所得金額統(tǒng)計(jì)如圖所

示，則下列說(shuō)法正確的是()

八頻數(shù)

40-35

第20普

10丁.丁8IIIIIIn8」4，

0(0,8001(800,1600|(1600,2400)(2400,32001(3200,4000)(4000,4800］金額/元

A.可以估計(jì)，該地區(qū)年夜飯消費(fèi)金額在(2400,3200］家庭數(shù)量超過(guò)總數(shù)的三分之一

B.若該地區(qū)有2000個(gè)家庭，可以估計(jì)年夜飯消費(fèi)金額超過(guò)2400元的有940個(gè)

C.可以估計(jì)，該地區(qū)家庭年夜飯消費(fèi)金額的平均數(shù)不足2100元

D.可以估計(jì)，該地區(qū)家庭年夜飯消費(fèi)金額的中位數(shù)超過(guò)2200元

【答案】ABD

35

【解析】由題意得，年夜飯消費(fèi)金額在(2400,3200］的頻率為而=0.35,故A正確；

47

若該地區(qū)有2000個(gè)家庭，可以估計(jì)年夜飯超過(guò)2400兀的家庭個(gè)數(shù)為2000x訴=940,故B正確;

100

平均數(shù)為400x0.08+1200x0.2+2000x0.25+2800x0.35+3600x0.08+4400x0.04=2216(元)，

故C錯(cuò)誤；

22

中位數(shù)為1600+^x800=2304(元)，故D正確.故選：ABD.

10.已知雙曲線3=15>0)的左、右焦點(diǎn)分別為尼，拋物線yz=8x的焦點(diǎn)與雙曲線C的焦點(diǎn)

a~3

重合，點(diǎn)戶(hù)是這兩條曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是()

A.雙曲線C的漸近線方程為y=±3B.|P4|=7

C.aKP心的面積為2mD.cos4%=號(hào)

【答案】AB

【解析】由已知，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0),所以雙曲線右焦點(diǎn)6(2,0),即c=2.

又〃=3,所以a?j?一從=i,所以，雙曲線的方程為￡=1.

3

對(duì)于A項(xiàng)，雙曲線的C的漸近線方程為丫=±2》=±6》，故A項(xiàng)正確;

a

對(duì)于B項(xiàng)，聯(lián)立雙曲線與拋物線的方程13Z3一-1，

y2=8x

整理可得，3X2-8X-3=0,解得X=3或x=-g（舍去負(fù)值），

所以x=3,代入V=8x可得，y=±2而.

設(shè)尸（3,2碼，又6（一2,0）,所以仍用="-2—3）2+（0-2"『=7,故B項(xiàng)正確；

對(duì)于C項(xiàng)，易知Sq%=gx優(yōu)巴k2太=gx4x2?=4#,故C項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于D項(xiàng)，因?yàn)閨P用=J（2-3y+（0-2/『=5,

所以，由余弦定理可得，cosNf；叫」叫:?。?1產(chǎn)=72+52-42=紋g,故D項(xiàng)錯(cuò)誤.

■2\PF}\X\PF2\2X7X5357

故選：AB.

11.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABC。-ABIGR中，E為邊A。的中點(diǎn)，點(diǎn)尸為線段R8上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)

DF=gB,則()

A.當(dāng)力=；時(shí)，EP〃平面4BCB.當(dāng)4=白寸，歸國(guó)取得最小值，其值為近

C.|PA|+|PC|的最小值為竽

D.當(dāng)Ge平面C"時(shí)，2=-

【答案】BC

【解析】在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCO-ABIGR中，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

A(2,0,0),8(2,2,0),C(0,2,0),D,(0,0,2),B,(2,2,2),￡(1,0,0),

D]B=(2,2,-2),DtP=AD}B=(22,22,-22),則點(diǎn)p(2422,2-2/1),

1224124

對(duì)于A,A=-,P(—,—,EP=,nijAC=(-2,2,0),ABt=(0,2,2),

顯然〃B?AC=2x(_2)+2x2)=0,〃&44=2x2-2x2=0,即是平面AB。的一個(gè)法向量,

174

而ERRB=(—3乂2+§*2+3*(-2)=0,因此"不平行于平面A8,C,

即直線EP與平面A4C不平行，A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,EP=(22-1,22,2-22),

則|EP|=7(2Z-l)2+(2Z)2+(2-2Z)2=V12Z2-122+5=Jl2(Z-+2,

因此當(dāng)2=；時(shí)，忸目取得最小值正，B正確；

對(duì)于C,AP=(22-2,22,2-2/1),CP=(22,22-2,2-22),

于是IAPI+1CP|=27(22-2)2+(2^)2+(2-2/1)2=4^3(^-|)2+|>竽,

2

當(dāng)且僅當(dāng)義=§時(shí)取號(hào)，C正確；

對(duì)于D,取AA的中點(diǎn)F，連接E￡G￡CE,如圖，

因?yàn)镋為邊的中點(diǎn)，則EF//OR//CC，當(dāng)Gw平面CEP時(shí)，尸e平面CEFC-

連接與。ClF=Q,連接比>CE=M,連接MQ,顯然平面CEFG平面8。。田=MQ,

因此M0RB=P,BBJ/CG，Cqu平面CEFC-8用仁平面CEFC一則84〃平面CE/匕，

-D.QD.F1,D.PD.Q1

即有MQ//B耳，而若二蕓二夕，所以2=六=需=1,D錯(cuò)誤.故選：BC

12.記/'(X)、g'(x)分別為函數(shù)“X)、g(x)的導(dǎo)函數(shù)，若存在x°eR,滿足/(與)=g(%)且,(&)=g，(』),

則稱(chēng)X。為函數(shù)“X)與g(x)的一個(gè)“S點(diǎn)”，則下列說(shuō)法正確的為()

A.函數(shù)f(x)=e*與g(x)=x+1存在唯一“S點(diǎn)”

B.函數(shù)f(x)=lnx與g(x)=x-2存在兩個(gè)“S點(diǎn)”

C.函數(shù)/(x)=萬(wàn)與g(x)=d+2犬-2不存在“S點(diǎn)”

D.若函數(shù)/(犬)=加一1與g(x)=lnx存在“S點(diǎn)”，貝lja=]

【答案】ACD

【解析】令力(x)=/(x)-g(x).

對(duì)于A選項(xiàng)，/?(%)=ex-x-l,貝i]//(x)=e*-1,

由〃(力<0可得x<0,由"(x)>0可得x>0,

所以，函數(shù)〃(x)在(-8,0)上單調(diào)遞減，在(0,+8)上單調(diào)遞增，

所以，A(x)>/?(o)=e°-o-l=o,所以，〃'(0)=/?(0)=0,

此時(shí)，函數(shù)〃x)=e*與g(x)=x+l存在唯一“S點(diǎn)”,A對(duì);

對(duì)于B選項(xiàng)，h(x)=\nx-x+2,則=~,

XX

函數(shù)的定義域?yàn)?0,+8),令〃'(x)=o可得x=l,且〃⑴=lnl-l+2=lwo,

所以，函數(shù)/(x)=lnx與g(x)=x-2不存在“S點(diǎn),,，B錯(cuò)；

對(duì)于C選項(xiàng)，h^x)=x-(^x2+2x-2^=-x2-x+2,則〃(x)=-2x-l,

令〃(x)=0可得/+一=0,解得x=l或-2,但/⑴=-3/0,/-2)=3/。,

此時(shí)，函數(shù)/(工)=》與8(力=幺+2犬-2不存在“S點(diǎn)”，C對(duì)；

對(duì)于D選項(xiàng)，h(x)=ax2-lnx-1,其中x>0,則〃'(x)=2or-L

若函數(shù)/(了)=加-1與g(尤)=lnx存在“S點(diǎn)”，記為與，

I

h(x0)=ax^-lnx0-l=0

則L”、°1?，解得，&,D對(duì).故選：ACD.

/?(%()1=2ar0---=0e

1,/a=-

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.【改編】在(3/+1)［二)|的展開(kāi)式中x的系數(shù)為

【答案】-200

的展開(kāi)式中x的項(xiàng)為

=-200x,

所以展開(kāi)式中x的系數(shù)為-200.

故答案為：-200.

2x-l在點(diǎn)(；，4)處的切線方程為.

14.曲線y=—

【答案】8x+y-8=0

2e2x-'x2-2xe2x-'2e2x-'x-2e2x-'2e2t''(x-l)

【解析】因?yàn)椋?

所以Z=i=

x=-

2

8

所以切線方程為：y-4=-8(x-g),即：8x+y-8=0.

故答案為：8x+y-8=0.

15.己知圓O:/+y2=8及圓A：(x—a)2+(y+i)2=i,若圓A上任意一點(diǎn)P,圓。上均存在一點(diǎn)。使得

NOPQ=45。，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

【答案】-25/2<a<2y/2

【解析】由A（a,-1）,即A在y=-l上運(yùn)動(dòng)，而P為圓A上任意一點(diǎn)，

要使圓0上存在一點(diǎn)。使4OPQ=45°,

即過(guò)P點(diǎn)相互垂直的兩直線與圓A有交點(diǎn)且。尸與兩條垂線的夾角均為45。即可,

所以，只需P為射線Q4與圓A交點(diǎn)時(shí)，

使過(guò)戶(hù)點(diǎn)相互垂直的兩直線與圓A有交點(diǎn)且OP與兩條垂線的夾角均為45。，

如上圖，上述兩條垂線剛好與圓。相切為滿足要求的臨界情況，

所以，只需|?！?&廠，『為圓。半徑，即10H44,

乂|0P|=|。川+1=+1+1,故Ja2+1+144，可得-2拒4a42夜.

故答案沏-272<a<2y/2

16.已知橢圓G:^+/l（a>6>0）的右焦點(diǎn)為凡左右頂點(diǎn)分別為A,8,點(diǎn)P是橢圓G上異于4,B的動(dòng)

點(diǎn)，過(guò)尸作直線AP的垂線交直線8P于點(diǎn)M（見(jiàn)〃），若m+4=0,則橢圓G的離心率為.

【答案】1/0.5

【解析】不妨設(shè)直線AP的斜率大于0,設(shè)為k,

則直線AP的方程為y=?x+a),直線FM的方程為y=-：(x-c),

K

b”a+cya+c

所以M-a,——,M則il7k=，

kkJBM-2ak

=

由kpA--，kpB——~,則kPAkP[}=2，

Xp+〃xp-a年年Xp-a~

又毛+4=1,即#=〃-粵，

a~b~a~

所以I^M“生=口b2=a2-c2,解得e=：（負(fù)值舍去）.

-2aa2

故答案為：y

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.（10分）

已知｛為｝為等差數(shù)列，且〃向=2%-2〃+3.

（1）求｛《,｝的首項(xiàng)和公差；

----,n=3k—260

(2)數(shù)列也｝滿足a=4?心,其中k、〃eN*,求Z4.

n/=1

(-l)atl,3k-l<n<3k

6020

【答案】（1）a?=2n-l；(2)￡^,=—

?=141

【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d,則4=4+(〃-1”，

由an+l=2%—2〃+3可得q=2[q+(〃-l)d]-2〃+3,即("一2)〃+4+3—2。=0,

ft/—2=0fa=1/、/、

所以，(__,解得a“=4+("-l)d=l+2(〃—l)=2w-l.

⑼+3—24=U[4=2

---!---,n=3k-27-----J-----r,n=3k-2

(2)因?yàn)?=設(shè)「外向,則dT(2I)(2k+l),

(一1)”?4，3左一43A[(—1)"-(2〃-1),3攵一1?〃《3攵

“2+々+々+"11++”56+49=(%一〃5)+(@—)++(々56-々59)=_3x2x20=_12O；

b3+h6-｛-bg+b[2++%+砥=(—%+紇)+(一旬+@)++(—々57+々60)=3x2x20=120.

60

因此，Z4=(b|+&+&++3)+(&+4+4++%)+(4+d+d++%)

i=l

="-120+120=型.

4141

18.(12分)

如圖，在.A8C中，D,E在BC上，爾)=2,DE=EC=1,ZBAD=ZCAE.

（2）求一ABC面積的取值范圍.

【答案】⑴煞篝3⑵…」?

【解析】(1)因?yàn)榘?gt;=2,DE=EC=\,NBAD=NCAE,

0-AB-AD-sinzfBAD.DAr.、

所以—=2__________=迎：絲=2

ACAE1

S.AECAC-AE-sinZEAC-

2

0-AB-AE-sinBAEAD.ra

S-ABE—_―2----------_--A-B-A-E_—3—,

ACAD2

SADC-ACAD^nZDAC

2

故票=3,嗜3

則在樹(shù)中，根據(jù)正弦定理可得，普*=煞=叔

（2）設(shè)AC=x,則=由解得2（石+,

-x<4,

+?、…°AB2+BC--AC2X2+8

在■^ABC11>cos/ABC=---———---=—7=—,

2ABBC4國(guó)

則sin2ZABC=1-cos2ZABC=一±+必：二64

48x2

422

0,f1or,...oy-X+32X-64-（x-16y+192

S〈BC=1-^-BCsinZABC\=-------------=——------，

由2（6-l）<x<2（后+1）,得16-8百</<16+8力，則0<S%C448,

故面積的取值范圍為（0,4的.

19.（12分）

2023年，全國(guó)政協(xié)十四屆一次會(huì)議于3月4日下午3時(shí)在人民大會(huì)堂開(kāi)幕，3月11日下午閉幕，會(huì)期7天

半；十四屆全國(guó)人大一次會(huì)議于3月5日上午開(kāi)幕，13日上午閉幕，會(huì)期8天半.為調(diào)查學(xué)生對(duì)兩會(huì)相關(guān)知

識(shí)的了解情況，某高中學(xué)校開(kāi)展了兩會(huì)知識(shí)問(wèn)答活動(dòng)，現(xiàn)從全校參與該活動(dòng)的學(xué)生中隨機(jī)抽取320名學(xué)生,

他們的得分(滿分100分)的頻率分布折線圖如下.

(1)若此次知識(shí)問(wèn)答的得分X用樣本來(lái)估計(jì)總體，設(shè)〃，分別為被抽取的320名學(xué)生得分

的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差，求P(50.5<X494)的值；

(2)學(xué)校對(duì)這些被抽取的320名學(xué)生進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，獎(jiǎng)勵(lì)方案如下：用頻率估計(jì)概率，得分小于或等于55的

學(xué)生獲得1次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，得分高于55的學(xué)生獲得2次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì).假定每次抽獎(jiǎng)抽到價(jià)值10元的學(xué)習(xí)用品的

概率為抽到價(jià)值20元的學(xué)習(xí)用品的概率為7.從這320名學(xué)生中任取一位，記該同學(xué)在抽獎(jiǎng)活動(dòng)中獲得

44

學(xué)習(xí)用品的價(jià)值總額為4元，求4的分布列和數(shù)學(xué)期望(用分?jǐn)?shù)表示)，并估算此次抽獎(jiǎng)要準(zhǔn)備的學(xué)習(xí)用品

的價(jià)值總額.

參考數(shù)據(jù)：P(〃-cr<X<〃+cr卜().6827,P(〃-2b<X<M+2O■卜0.9545,

___3

P(〃-3b<X4〃+3o■卜0.9973,7210?14.5,0.375=-.

8

325

【答案】(1)0.8186；(2)分布列見(jiàn)解析，—,6500元

16

【解析】(1)由折線圖可知：//=35x0.025+45x0.15+55x0.2+65x0.25+75x0.225+85x0.1+95x0.05=65,

cr2=（35-65）2X0.025+（45-65）2x0.15+（55-65）2x0.2+0

+（75-65）2x0.225+（85-65）2x0.1+（95-65）2x0.05=210,

所以bal4.5,X~N（65,14.52）,

所以P（50.5<X494）=P（〃-cr<X4〃+2cr）=^^+^^=0.8186.

（2）由題意可知J的可能取值為10,20,30,40,

35

貝|JP（X<55）=-，P（X>55）=-,

88

339口/片3153357

P\=10）=—x—=—,P（c=20）=—x—F—x—x—=---,

'784321784844128

P（/=30）=-xlx-x2=—,=40）=-xlxl=—,

1784464'7844128

所以g的分布列為

410203040

957155

p

3212864128

匕、957”15...5325

E（^）=lOx—+20x---+30x——+40x——=---,

'/321286412816

故此次抽獎(jiǎng)要準(zhǔn)備的學(xué)習(xí)用品的價(jià)值總額約為320xe=6500兀.

16

20.（12分）

如圖所示，在三棱柱ABC-ABC中，點(diǎn)。，E,F,G分別為棱A旦，AA,,CC,,B6上的點(diǎn)，且入。=旦。,

AE=2A,E,CtF=2CF,BG=2BtG.

（1）證明：EF〃平面GOG；

（2）若AA=6,BC=2AC=4,四邊形BCC4為矩形，平面8CCQJ平面ACGA,ACLCQ,求平面CQG

與平面短EF所成銳二面角的余弦值.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）亞

51

【解析】⑴如圖，連接取G8的中點(diǎn)H.連接

因?yàn)镃CJ/BBi,CCt=BB「CF=2CF,BG=2B,G,

所以G尸〃BG,且C/=BG.

所以四邊形GF8G是平行四邊形.所以BF〃CQ.

因?yàn)锽尸《平面GQG,GGu面GQG,所以8尸〃平面GOG.

易得點(diǎn)G為旦”的中點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)D為的中點(diǎn)，所以。G〃A”.

因?yàn)锳E=2AE.所以AA=3A￡

又AA,HBBX,A4|=8月,,所以AE//HB且AE=H8,

所以四邊形AEBH為平行四邊形.所以BE//A.H，所以BE//DG.

因?yàn)?平面C,DG,OGu平面0OG.所以BE//平面CQG.

因?yàn)锽E\BF=8,所以平面BEFH面CQG.

因?yàn)椤晔瑄平面BEF,所以EFH平面G￡>G,

(2)因?yàn)樗倪呅蜝CCM為矩形，所以BC_LCG.

因?yàn)槠矫鍮CCRJ平面AC￡A，平面BCC/in平面47GA=CG，所以3c/平面ACGA,

因?yàn)锳Cu平面4CGA,所以8C±AC,

因?yàn)锳CJ.GG.所以ACJ_3F.

因?yàn)?尸c8C=8,8Fu平面8CC百，BCu平面BCG4,所以AC,平面BCGq.

又