2023年湖南省長(zhǎng)沙市岳麓區(qū)、湘江新區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷

2023年湖南省長(zhǎng)沙市岳麓區(qū)、湘江新區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷

一、選擇題（本大題共計(jì)10個(gè)小題，每小題3分，滿分30分）

1.（3分）下列各組數(shù)中互為相反數(shù)的是（）

A.，與-2B.-1與-（+1）C.-（-3）與-3D.2與|-2|

2

2.（3分）2023年湖南湘江新區(qū)以高質(zhì)量項(xiàng)目有效支撐經(jīng)濟(jì)高質(zhì)量發(fā)展，共鋪排項(xiàng)目1956

個(gè)，計(jì)劃總投資超過(guò)10100億元.將數(shù)據(jù)10100用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.1.01X105B.1.01X104C.10.1X103D.0.101X105

3.（3分）下列運(yùn)算正確的是（）

A.（-2a）3=-St?B.（a-b）2=（^-b2

C.3■+y=4/D.3。3?2。2=6/

4.（3分）將“非志無(wú)以成學(xué)”六個(gè)字分別寫在一個(gè)正方體的六個(gè)面上，這個(gè)正方體的平面

展開(kāi)圖如圖所示，那么在這個(gè)正方體中，和“志”相對(duì)的字是（）

5.（3分）如圖，過(guò)三角形A8C頂點(diǎn)C作NACE=65°,ZB=30°,則乙4c8

6.（3分）下列說(shuō)法正確的是（）

A.若甲、乙兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相同，s,=2.3，s5=1.8,則甲組數(shù)據(jù)較穩(wěn)定

B.如果明天降水的概率是50%,那么明天有半天都在降雨

C.為了解全國(guó)中學(xué)生視力和用眼衛(wèi)生情況，適宜采用全面調(diào)查

D.數(shù)據(jù)4,3,5,5,2的中位數(shù)是4,眾數(shù)是5

7.（3分）數(shù)學(xué)家斐波那契編寫的《算經(jīng)》中有如下問(wèn)題：一組人平分100元錢，每人分得

若干，若再加上5人，平分150元錢，則第二次每人所得與第一次相同，求第二次分錢

的人數(shù).設(shè)第二次分錢的人數(shù)為x人，則可列方程為（）

A.100x=150（x+5）B.100（x-5）=150x

C.100=150D100=150

xx+5x-5x

8.（3分）如圖是一個(gè)古代車輪的碎片，小明為求其外圓半徑，連接外圓上的A,8兩點(diǎn)，

并使A8與車輪內(nèi)圓相切于點(diǎn)。，已知。為車輪外圓和內(nèi)圓的圓心，連接。。并延長(zhǎng)交

外圓于點(diǎn)C.測(cè)得CQ=10cm,AB=60cm,則車輪的外圓半徑是（）

A.1OcmB.30cmC.50cmD.60cm

9.（3分）如圖，已知AB是。。的直徑，D4與。。相切于點(diǎn)A,。。與相交于點(diǎn)E,C

是弧8E的中點(diǎn)，現(xiàn)有如下幾個(gè)結(jié)論：?BALDA,?OC//AE,③NCOE=2NCAE,④

NB=NBAC,其中正確的個(gè)數(shù)為（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

10.（3分）甲、乙、丙三人進(jìn)行羽毛球比賽賽前訓(xùn)練，每局兩人進(jìn)行比賽，第三個(gè)人做裁

判，每一局都要分出勝負(fù)，勝方和原來(lái)的裁判進(jìn)行新一局的比賽，輸方轉(zhuǎn)做裁判，依次

進(jìn)行.半天訓(xùn)練結(jié)束時(shí)，發(fā)現(xiàn)甲共當(dāng)裁判9局，乙、丙分別進(jìn)行了14局、12局比賽，在

這半天的訓(xùn)練中，甲、乙、丙三人共進(jìn)行的比賽局?jǐn)?shù)為（）

A.15B.16C.17D.18

二、填空題（本大題共6個(gè)小題，每小題3分，滿分18分）

11.（3分）方程/-3x=0的解是.

12.（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)（-1,3）向右平移3個(gè)單位得到的點(diǎn)的坐標(biāo)

為.

13.（3分）已知扇形的半徑是3a”，圓心角是60°,則該扇形的弧長(zhǎng)為cm（結(jié)果

保留TT）.

14.（3分）某商場(chǎng)舉行有獎(jiǎng)競(jìng)猜活動(dòng)，有A,B,C,。四個(gè)問(wèn)題，其中A,8為體育類問(wèn)

題，C,。為文化類問(wèn)題，小華從四個(gè)問(wèn)題中不重復(fù)地選擇兩個(gè)，則兩個(gè)問(wèn)題類型相同的

概率為_(kāi)____________________.

15.（3分）如圖，矩形A8CZ）中，點(diǎn)E在邊AB上，將矩形ABCQ沿直線OE折疊，點(diǎn)A

恰好落在邊3c的點(diǎn)F處.若AE=3,BF=2,則CD的長(zhǎng)是___________________.

BFc

=4,

16.（3分）如圖，在△ABC中，ZC=90",ACtanZBAC^,以點(diǎn)B為圓心，BC

4

長(zhǎng)為半徑畫弧，與AB交于點(diǎn)。，再分別以B,。為圓心，大于/BD長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧

交于點(diǎn)M,N,作直線MN,分別交AB,BC于點(diǎn)E,F,則4BE尸的面積

為_(kāi)___________________.

k

三、解答題（本大題共9個(gè)小題第17、18、19題,每小題6分，第20、21題每小題6分，

第22、

17.（6分）計(jì)算：6cos30°-V12+(^：-i)0-1-VsI,

18.（6分）先化簡(jiǎn)，再求值::(3+1).即+2,其中m八歷+1.

m-lm-2m+l

19.（6分）如圖，點(diǎn)A,C,D,七在同一條直線上，BC±AE,FD1AE,ZF=ZB,且AB

=EF.

(1)求證：AABC@AEFD；

(2)若AE=13,CD=3,求OE的長(zhǎng).

20.（8分）“交通安全，人人有責(zé)”，為喚起人們關(guān)注交通事故正在奪去大量生命這一事實(shí),

我國(guó)把每年的4月30日定為全國(guó)交通安全反思日.希望有更多的市民來(lái)關(guān)注交通安全，

認(rèn)真審視并改正不文明的交通習(xí)慣.某校開(kāi)展了“交通安全”知識(shí)競(jìng)賽，根據(jù)競(jìng)賽活動(dòng)

的成績(jī)劃分了四個(gè)等級(jí)：A.合格，B.良好，C.優(yōu)秀，D.非常優(yōu)秀.現(xiàn)隨機(jī)抽查部分

競(jìng)賽成績(jī)的數(shù)據(jù)進(jìn)行了整理、繪制成不完整的統(tǒng)計(jì)圖，請(qǐng)根據(jù)圖中信息，解答下列問(wèn)題:

（1）填空：“=%,b=%，“優(yōu)秀”對(duì)應(yīng)扇形的圓心角度數(shù)

為;

（2）請(qǐng)你補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；

（3）若全校有2000名學(xué)生參加活動(dòng)，請(qǐng)你估計(jì)其中競(jìng)賽成績(jī)等級(jí)為“優(yōu)秀”和“非常

優(yōu)秀”的學(xué)生共有多少人？

人痂

各等級(jí)人數(shù)扇形圖

21.（8分）甲、乙兩旅游愛(ài)好者從點(diǎn)8出發(fā)到點(diǎn)D,甲沿8-C-O的路線，乙沿

的路線.經(jīng)測(cè)量，點(diǎn)C在點(diǎn)B的正北方向，點(diǎn)。在點(diǎn)C的北偏西60°,點(diǎn)A在點(diǎn)B的

正西方向，點(diǎn)。在點(diǎn)A的北偏東45°,AB=7000米，CD=2000?米.

（1）求點(diǎn)。到直線3c的距離；

（2）為方便聯(lián)系，甲、乙兩人各攜帶一部對(duì)講機(jī)，對(duì)講機(jī)信號(hào)覆蓋半徑是6000米，當(dāng)

甲在點(diǎn)D,乙在點(diǎn)A時(shí)，乙能否收到甲的呼叫信號(hào)？請(qǐng)說(shuō)明理由.（參考數(shù)據(jù)：

414,V3^1.732)

北

22.（9分）某中學(xué)為豐富學(xué)生的校園生活，準(zhǔn)備從體育用品商店一次性購(gòu)買若干個(gè)足球和

籃球（每個(gè)足球的價(jià)格相同，每個(gè)籃球的價(jià)格相同），若購(gòu)買30個(gè)足球和20個(gè)籃球共需

4800元，購(gòu)買10個(gè)足球和30個(gè)籃球共需4400元.

（1）求購(gòu)買一個(gè)足球、一個(gè)籃球各需多少元.

（2）學(xué)校準(zhǔn)備購(gòu)買足球和籃球共50個(gè)，且籃球數(shù)量不少于足球數(shù)量的工.請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)出最

3

省錢的購(gòu)買方案，并說(shuō)明理由.

23.（9分）如圖，點(diǎn)P是菱形A8C3的對(duì)角線8。上一點(diǎn)，連接CP并延長(zhǎng)，交AO于E,

交BA的延長(zhǎng)線于F.

（1）求證：AP=CP；

(2)若AB=2,DP：PB=1：2,且雨_L3F,求P2的長(zhǎng).

24.（10分）在平面直角坐標(biāo)系中，給出如下定義：已知兩個(gè)函數(shù)，如果對(duì)于任意的自變量

x,這兩個(gè)函數(shù)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值記為yi，”，恒有點(diǎn)（x,加）和點(diǎn)（x,”）關(guān)于點(diǎn)（x,1x）

成中心對(duì)稱（此三個(gè)點(diǎn)可以重合），則稱這兩個(gè)函數(shù)互為“友好函數(shù)”.例如：y-|x和

y十X互為“友好函數(shù)二

（1）判斷：①丫=-彳和y=2x；②y得*+3和y=/x-3；③y蔣x’MDyn/x1，

其中互為“友好函數(shù)”的是（填序號(hào)）.

(2)若函數(shù)y^2x-4的“友好函數(shù)”與反比例函數(shù)m(m#0)的圖象在第一象限內(nèi)

有兩個(gè)交點(diǎn)點(diǎn)C和點(diǎn)D.

①求〃7的取值范圍；

②若△C。。的面積為5d5，求加的值.

(3)若M(1,機(jī))，N(3,”)，P(6m)三個(gè)不同的點(diǎn)均在二次函數(shù)y=-4/+(1-6)

x-c(a,b,c為常數(shù)，且“>0)的''友好函數(shù)”的圖象上，且滿足相<〃<c,若存在常

數(shù)w，使得肝2〉」t2-t+2恒成立，求叩的取值范圍.

54

25.(10分)如圖，ZVIBC中，/BAC為直角，點(diǎn)尸為AC邊上一動(dòng)點(diǎn)(不與A,C重合)，

以PB為直徑作0。，QO與BC交于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)D作DELAD交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.AD

與PB交于點(diǎn)F.

(1)求證：NPBA=NBDE；

(2)如果NPBD=2NPBA,求證：BD=BF；

(3)如果AB=6,AC=8,

①令4P=x,BD—y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;

②若PB〃DE,求理的值.

FB

2023年湖南省長(zhǎng)沙市岳麓區(qū)、湘江新區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（本大題共計(jì)10個(gè)小題，每小題3分，滿分30分）

1.（3分）下列各組數(shù)中互為相反數(shù)的是（）

A.」與-2B.-1與-（+1）C.-（-3）與-3D.2與|-2|

2

【解答】解：A、二與-2互為倒數(shù)，不符合題意；

2

B、-（+1）=-1與-1相同，不符合題意；

C、-（-3）=3與-3是相反數(shù)，符合題意；

。、|-2|=2與2相同，不符合題意；

故選：C.

2.（3分）2023年湖南湘江新區(qū)以高質(zhì)量項(xiàng)目有效支撐經(jīng)濟(jì)高質(zhì)量發(fā)展，共鋪排項(xiàng)目1956

個(gè)，計(jì)劃總投資超過(guò)10100億元.將數(shù)據(jù)10100用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.1.01X105B.1.01X104C.10.1X103D.0.101X105

【解答】解：10100=1.01X1（）4,

故選:B.

3.（3分）下列運(yùn)算正確的是（）

A.（-2a）3=-St?B.（a-b）2—cr-b1

C.3b2+b1=4b4D.3a3?2/=646

【解答】解：A、（-2”）3=-8?3,故4符合題意；

B、Ca-b）2—a2-2ab+b2,故B不符合題意；

C、3/+房=4必，故C不符合題意；

D>3/?2o2=6a5,故。不符合題意；

故選：A.

4.（3分）將“非志無(wú)以成學(xué)”六個(gè)字分別寫在一個(gè)正方體的六個(gè)面上，這個(gè)正方體的平面

展開(kāi)圖如圖所示，那么在這個(gè)正方體中，和“志”相對(duì)的字是（）

A.無(wú)B.以C.成D.學(xué)

【解答】解：在這個(gè)正方體中，和“志”相對(duì)的字是成，

故選：C.

5.（3分）如圖，過(guò)三角形A8C頂點(diǎn)C作E/〃48,/ACE=65°,ZB=30°,則/ACB

A.105°B.85°C.80°D.75°

【解答】解：ZACE=65Q,

.?./A=/ACE=65°,

VZB=30°,

AZACB=180°-ZA-ZB=180°-65°-30°=85°.

故選:B.

6.（3分）下列說(shuō)法正確的是（）

A.若甲、乙兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相同，5番=23s好1.8,則甲組數(shù)據(jù)較穩(wěn)定

B.如果明天降水的概率是50%,那么明天有半天都在降雨

C.為了解全國(guó)中學(xué)生視力和用眼衛(wèi)生情況，適宜采用全面調(diào)查

D.數(shù)據(jù)4,3,5,5,2的中位數(shù)是4,眾數(shù)是5

【解答】解：A、若甲、乙兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相同，s,=2.3，s5=1.8,則乙組數(shù)據(jù)

較穩(wěn)定，故A不符合題意；

B、如果明天降水的概率是50%,那么明天降雨的可能性是50%,故B不符合題意；

C、為了解全國(guó)中學(xué)生視力和用眼衛(wèi)生情況，適宜采用抽樣調(diào)查，故C不符合題意；

D、數(shù)據(jù)4,3,5,5,2的中位數(shù)是4,眾數(shù)是5,故。符合題意；

故選：D.

7.（3分）數(shù)學(xué)家斐波那契編寫的《算經(jīng)》中有如下問(wèn)題：一組人平分100元錢，每人分得

若干，若再加上5人，平分150元錢，則第二次每人所得與第一次相同，求第二次分錢

的人數(shù).設(shè)第二次分錢的人數(shù)為x人，則可列方程為（）

A.100x=150(x+5)B.100(x-5)=150x

c100150D.100_150

xx+5x_5x

【解答】解：設(shè)第二次分錢的人數(shù)為x人，則第一次分錢的人數(shù)為（x-5）人，

依題意得：%=15°

x-5x

故選：D.

8.（3分）如圖是一個(gè)古代車輪的碎片，小明為求其外圓半徑，連接外圓上的4,8兩點(diǎn)，

并使A3與車輪內(nèi)圓相切于點(diǎn)D,已知。為車輪外圓和內(nèi)圓的圓心，連接。。并延長(zhǎng)交

外圓于點(diǎn)C測(cè)得CD=10cm,AB=60cm,則車輪的外圓半徑是（）

A.\QctnB.30cmC.50cmD.60cm

【解答】解：如圖，連接04,

■:CD—10cmfAB=60c/n,

VCD1AB,

:.OC±AB,

：.AD=lAB^30cm,

2

二設(shè)半徑為r,則OC=r-10,

根據(jù)題意得：尸=(r-10)2+302,

解得：r=50.

???這個(gè)車輪的外圓半徑長(zhǎng)為50a%.

故選：C

9.（3分）如圖，已知A3是OO的直徑，D4與。0相切于點(diǎn)A,。。與。0相交于點(diǎn)2C

是弧BE的中點(diǎn)，現(xiàn)有如下幾個(gè)結(jié)論：①84J_D4,?OC//AE,③NCOE=2NCAE,④

/B=NBAC,其中正確的個(gè)數(shù)為（)

D.4個(gè)

【解答】解：??,A8是。。的直徑，OA與。。相切于點(diǎn)A,

??.直徑A8_LOA,

故①正確；

是弧BE的中點(diǎn)，

；?NCOE=NCOB,

?：OE=OB,

：.OCLBE,

TAB是圓的直徑，

：.AE1.BE,

：.OC//AE,

故②正確；

???。是弧8E的中點(diǎn)，

:.ZEAC=ZCAO9

?：OC〃AE,

：.ZCOB=ZEAO,

：.ZCOE=ZEAO=2ZCAEf

故③正確；

若NB=NBAC,

'：ZCAE=ZBAC,ZAEB=90°,

AZCAE+ZBAC+B=90°,

ZB=30°,

但N3不一定等于30°,

???N8不一定等于N3AG

故④錯(cuò)誤.

...正確的結(jié)論是①②③，共有3個(gè).

故選：C.

10.（3分）甲、乙、丙三人進(jìn)行羽毛球比賽賽前訓(xùn)練，每局兩人進(jìn)行比賽，第三個(gè)人做裁

判，每一局都要分出勝負(fù)，勝方和原來(lái)的裁判進(jìn)行新一局的比賽，輸方轉(zhuǎn)做裁判，依次

進(jìn)行.半天訓(xùn)練結(jié)束時(shí)，發(fā)現(xiàn)甲共當(dāng)裁判9局，乙、丙分別進(jìn)行了14局、12局比賽，在

這半天的訓(xùn)練中，甲、乙、丙三人共進(jìn)行的比賽局?jǐn)?shù)為（）

A.15B.16C.17D.18

【解答】解：???甲共當(dāng)裁判9局，

二乙、丙之間打了9局，

又；乙、丙分別進(jìn)行了14局、12局比賽，

，乙與甲打了：14-9=5（局），丙與甲打了：12-9=3（局），

甲、乙、丙三人共打了：5+3+9=17（局），

故選：C.

二、填空題（本大題共6個(gè)小題，每小題3分，滿分18分）

11.（3分）方程x2-3x=0的解是xi=0,X2=3.

【解答】解：原式為--3x=0,x（x-3）=0,x=0或x-3=0,xi=0,也=3.

...方程/-3x=0的解是xi=0,X2=3.

12.（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)（-1,3）向右平移3個(gè)單位得到的點(diǎn)的坐標(biāo)為（2,

3）.

【解答】解：將點(diǎn)（-1,3）向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，

得到坐標(biāo)是（-1+3,3）,即（2.3）.

故答案為：（2,3）.

13.（3分）已知扇形的半徑是3c/n,圓心角是60°,則該扇形的弧長(zhǎng)為ITcm（結(jié)果保

留TT）.

【解答】解：..?扇形的半徑是3cm圓心角是60°,

???該扇形的弧長(zhǎng)是：60XKX3=n（C%）.

180

故答案為：n.

14.（3分）某商場(chǎng)舉行有獎(jiǎng)競(jìng)猜活動(dòng)，有A,B,C,。四個(gè)問(wèn)題，其中A,8為體育類問(wèn)

題，C,。為文化類問(wèn)題，小華從四個(gè)問(wèn)題中不重復(fù)地選擇兩個(gè)，則兩個(gè)問(wèn)題類型相同的

概率為1.

一3一

【解答】解：畫樹(shù)狀圖如下：

開(kāi)始

ABCD

小小小小

BCDACDABDABC

共有12種等可能的結(jié)果，其中兩個(gè)問(wèn)題類型相同的結(jié)果有：AB,BA,CD,DC,共4

種，

???兩個(gè)問(wèn)題類型相同的概率為

123

故答案為：1.

3

15.（3分）如圖，矩形ABCC中，點(diǎn)E在邊AB上，將矩形A8CQ沿直線OE折疊，點(diǎn)A

恰好落在邊的點(diǎn)F處.若AE=3,BF=2,則8的長(zhǎng)是3+.

【解答】解：???△OEF由翻折而成,

：.EF=AE=3,

在RtZiBE尸中,

V￡F=3,BF=2,

BE=ylEp2_Bp2=yl32_22=^,

.?.A8=AE+8E=3+&,

?；四邊形A8CD是矩形,

:.CD=AB=3+疾.

故答案為：3+^/5?

16.（3分）如圖，在△ABC中，ZC=90°,AC=4,tanZBAC^以點(diǎn)B為圓心，BC

4

長(zhǎng)為半徑畫弧，與AB交于點(diǎn)￡）,再分別以B,。為圓心，大于/BD長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧

交于點(diǎn)M,N,作直線MN,分別交AB,BC于點(diǎn)E,F,則△BEF的面積為3.

—2-

k【解答】解：?.?NC=90°,AC=4,tanNB4C=3,

4

二tanNBAC=^=2，

AC4

:.BC=3,

由作圖可知：

k?.?直線MN為線段BD的垂直平分線，

:.BD=BC=3,

BE=LBD=3,

22

:NB=NB,NBEF=NBCA=90°,

3.

?BEEF用5EF

BCAC34

解得：EF=2.

11oo

???S3EF=與XBEXEF=與XyX2=1"

三、解答題（本大題共9個(gè)小題第17、18、19題，每小題6分，第20、21題每小題6分,

第22、

17.(6分)計(jì)算：6cos30。W12+(7l-l)0-|-V3|-

【解答】解：6cos30。-V12+(7l-l)°-I-V3|

=6X與-2V5+1-V3

=3A/3-2V3+1-V3

-V3+1-V3

=V3-V3+1

=1.

18.(6分)先化簡(jiǎn)，再求值：(N-+i)+孕生一,其中m=&+L

m-1m-2m+l

【解答】解：(N-+1)+件+2

m-1m-2m+l

—2+m~1：(m-1)2

m-12(m+1)

=m+l,(m-1)2

m-l2(m+1)

2_

當(dāng)m=V2+l時(shí)，原式=&+1-1=亞.

22

19.(6分)如圖，點(diǎn)A,C,D,E在同一條直線上，BC±AE,FDLAE,NF=NB,且AB

=EF.

(1)求證：△ABgAEFD；

：.ZACB=ZEDF=90°,

在△ABC和△EF￡>中,

ZACB=ZEDF

,NB=NF，

AB=EF

A^XABC^/XEFD(AAS)；

⑵解：V/\ABC^/\EFD,

：.AC=DE,

VAE=13,CD=3,

：.AC+DE=13-3=10,

：.DE=5.

20.(8分)“交通安全，人人有責(zé)”，為喚起人們關(guān)注交通事故正在奪去大量生命這一事實(shí),

我國(guó)把每年的4月30日定為全國(guó)交通安全反思日.希望有更多的市民來(lái)關(guān)注交通安全，

認(rèn)真審視并改正不文明的交通習(xí)慣.某校開(kāi)展了“交通安全”知識(shí)競(jìng)賽，根據(jù)競(jìng)賽活動(dòng)

的成績(jī)劃分了四個(gè)等級(jí)：A.合格，B.良好，C.優(yōu)秀，D.非常優(yōu)秀.現(xiàn)隨機(jī)抽查部分

競(jìng)賽成績(jī)的數(shù)據(jù)進(jìn)行了整理、繪制成不完整的統(tǒng)計(jì)圖，請(qǐng)根據(jù)圖中信息，解答下列問(wèn)題:

(1)填空：a=12%,b=36%,“優(yōu)秀”對(duì)應(yīng)扇形的圓心角度數(shù)為108°；

(2)請(qǐng)你補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；

(3)若全校有2000名學(xué)生參加活動(dòng)，請(qǐng)你估計(jì)其中競(jìng)賽成績(jī)等級(jí)為“優(yōu)秀”和“非常

優(yōu)秀”的學(xué)生共有多少人？

A人數(shù)

80-----------------------------------

72

_____60---------------------------\I—

24

等級(jí)

___I_I_______>

合格良好優(yōu)秀非常優(yōu)秀

各等級(jí)人數(shù)扇形圖各等級(jí)人數(shù)條形圖

【解答】解：(I總?cè)藬?shù)為：44+22%=200(人),

100%=12%，

b-^X100%=36%-

“優(yōu)秀”對(duì)應(yīng)扇形的圓心角度數(shù)為30%X360°=108°,

故答案為:12；36；108°；

（2）“優(yōu)秀”的人數(shù)為30%X200=60（人）；

補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖如下：

各等級(jí)人數(shù)條形圖

（3）2000X（30%+36%）=1320（人）.

答：估計(jì)其中競(jìng)賽成績(jī)等級(jí)為“優(yōu)秀”和“非常優(yōu)秀”的學(xué)生共有大約1320人.

21.（8分）甲、乙兩旅游愛(ài)好者從點(diǎn)3出發(fā)到點(diǎn)甲沿2-C-。的路線，乙沿B-A-D

的路線.經(jīng)測(cè)量，點(diǎn)C在點(diǎn)8的正北方向，點(diǎn)。在點(diǎn)C的北偏西60°,點(diǎn)A在點(diǎn)8的

正西方向，點(diǎn)。在點(diǎn)A的北偏東45°,48=7000米，CD=2000?米.

（1）求點(diǎn)O到直線BC的距離；

（2）為方便聯(lián)系，甲、乙兩人各攜帶一部對(duì)講機(jī)，對(duì)講機(jī)信號(hào)覆蓋半徑是6000米，當(dāng)

甲在點(diǎn)D,乙在點(diǎn)A時(shí)，乙能否收到甲的呼叫信號(hào)？請(qǐng)說(shuō)明理由.（參考數(shù)據(jù)：

72^1.414,73^1.732）

北

【解答】（1）如圖，過(guò)點(diǎn)。作DE，8c的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,

則NC￡）F=90°-60°=30°,

DE=CD'sin60°=200/X亨=3000（米），

答：點(diǎn)D到直線BC的距離為3000米；

（2）乙能收到甲的呼叫信號(hào)，理由如下：

過(guò)點(diǎn)D作DF1.AB于點(diǎn)F.

，四邊形BEQF是矩形，

.?.BF=Z）E=3000米，

VZDAF=9O°-45°=45°,

：.AF=DF=AB-BF=7000-3000=4000（米），

AD=V2AF=4000V2^5656（米），

???對(duì)講機(jī)信號(hào)覆蓋半徑是6000米，

6000>5656,

二能收到.

22.(9分)某中學(xué)為豐富學(xué)生的校園生活，準(zhǔn)備從體育用品商店一次性購(gòu)買若干個(gè)足球和

籃球(每個(gè)足球的價(jià)格相同，每個(gè)籃球的價(jià)格相同)，若購(gòu)買30個(gè)足球和20個(gè)籃球共需

4800元，購(gòu)買10個(gè)足球和30個(gè)籃球共需4400元.

(1)求購(gòu)買一個(gè)足球、一個(gè)籃球各需多少元.

(2)學(xué)校準(zhǔn)備購(gòu)買足球和籃球共50個(gè)，且籃球數(shù)量不少于足球數(shù)量的2?請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)出最

3

省錢的購(gòu)買方案，并說(shuō)明理由.

【解答】解：(1)設(shè)購(gòu)買一個(gè)足球需要x元，一個(gè)籃球需要y元，

根據(jù)題意得：(3°x+20y=4800,

\10x+30y=4400

解得」乂詼，

|y=120

，購(gòu)買一個(gè)足球需要80元，一個(gè)籃球需要120元；

(2)設(shè)購(gòu)買籃球，"個(gè)，則購(gòu)買足球(50-利)個(gè)，

V籃球數(shù)量不少于足球數(shù)量的2，

3

(50-m),

3

解得：力,義_,

2

設(shè)所需總費(fèi)用為W元，

根據(jù)題意得：停=120加+80(50-/n)=40〃?+4000,

V40>0,

隨機(jī)的增大而增大，

?.?加為正整數(shù)，

當(dāng)〃?=13時(shí)，卬取得最小值，此時(shí)50-，"=50-13=37,

...最省錢的購(gòu)買方案為：購(gòu)買籃球13個(gè)，足球37個(gè).

23.(9分)如圖，點(diǎn)P是菱形ABCD的對(duì)角線BO上一點(diǎn)，連接CP并延長(zhǎng)，交AO于E,

交BA的延長(zhǎng)線于F.

(1)求證：AP=CP；

(2)若AB=2,DP：PB=1：2,且必_LBF,求PB的長(zhǎng).

【解答】(1)證明：???四功形ABCQ為菱形，

：.CD=AD,ZCDP=ZADP,

：./\CDP^/\ADP(SAS),

：.AP=CP；

(2)解：???四邊形ABC。為菱形，

：.CD//BA,CD=BA,

：.NCDP=NFBP,NBFP=NDCP,

:.ACPI's△FPB,

???D-P::--C-D=—1?

PBBF2

.1

??CD^-BF-

；.A為BF的中點(diǎn)，

'：PALBF,

：.PB=PF,

由(1)可知，PA=CP,

PA-|PB)

?'-PB2=22+(yPB)2>

解得：PB等/§?

24.(10分)在平面直角坐標(biāo)系中，給出如下定義：已知兩個(gè)函數(shù)，如果對(duì)于任意的自變量

x,這兩個(gè)函數(shù)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值記為yi，”，恒有點(diǎn)（x，w）和點(diǎn)（方”）關(guān)于點(diǎn)（x,-^x）

成中心對(duì)稱（此三個(gè)點(diǎn)可以重合），則稱這兩個(gè)函數(shù)互為“友好函數(shù)”.例如：和

y勺X互為“友好函數(shù)二

;

（1）判斷：Qy=-x和y=2x；?y=yx+3^y=^-x-3③y蔣x2+l和y=/x1，

其中互為“友好函數(shù)”的是①②（填序號(hào)）.

（2）若函數(shù)y=2r-4的“友好函數(shù)”與反比例函數(shù)y*（m戶0）的圖象在第一象限內(nèi)

x

有兩個(gè)交點(diǎn)點(diǎn)C和點(diǎn)。.

①求〃?的取值范圍；

②若△CO。的面積為5加，求根的值.

（3）若M（1,M,N（3,n）,P（t,m）三個(gè)不同的點(diǎn)均在二次函數(shù)y=-ax1+（1-8）

x-c（a,b,c為常數(shù)，且a>0）的“友好函數(shù)”的圖象上，且滿足若存在常

數(shù)w,使得w2〉」t2-t+2恒成立，求卬的取值范圍.

54

【解答】解：（1）y=-x圖象上的點(diǎn)（x,-x）和y=2x圖象上的點(diǎn)（x,2x）關(guān)于（x,

Ax）成中心對(duì)稱，

2

.?.y=-x和y=2x是“友好函數(shù)”；

y=L+3圖象上的點(diǎn)（x,-kx+3）和y=L-3圖象上的點(diǎn)（x,」二4-3）關(guān)于（x,-kr）

22222

成中心對(duì)稱，

二產(chǎn)1+3和尸工-3是“友好函數(shù)”；

22

產(chǎn)工，+1圖象上的點(diǎn)（x,-k^+l）和y=L?-1圖象上的點(diǎn)（x,Xx2-1）不關(guān)于（X,

2222

工）成中心對(duì)稱，

2

丫得*2+1和y=/x2-l不是“友好函數(shù)”；

互為“友好函數(shù)”的是①②，

故答案為：①②；

7

（2）①根據(jù)“友好函數(shù)”的定義得：d三

22

.2x-4+y*

??---------2二—，

22

??.”=-尤+4,即函數(shù)y=2x-4的“友好函數(shù)”解析式為y=-x+4,

??,反比例函數(shù)y*(m六0)的圖象與直線y=-x+4在第一象限內(nèi)有兩個(gè)交點(diǎn),

x

???方程-x+4二四有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且兩根均為正數(shù)，

x

整理得：/-4X+〃2=0,

???△=(-4)2-4/n>0且m>0,

解得：0VmV4；

②記直線y=-x+4與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為A,B,如圖，

在y=-x+4中，令％=0得y=4,令y=0得x=4,

???4(0,4),B(4,0),

設(shè)C,。的橫坐標(biāo)分別為XI，X2，

Axi，X2是方程/-4元+機(jī)=0的兩根，

=

?*.xi+x2—4,Xi*X2mf

**S/sCOD=5y[2，

S^AOB-S^AOC-S^BOD=

???JLX4X4-AX4*XI-JLX4?旦=5企，

222x2

將x\X2=fn代入上式得：

8-2xi-2x1111=542,

x2

解得：xi=2-見(jiàn)

4

Vxi+x2—4,

...2-jV2+%2=4)

4_

解得：X2=2+且巨，

2_

.,.m=x\*X2=(2-殳反)X(2+必應(yīng))=—,