數(shù)學(xué)選擇性必修一冊版

3.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程成套的課件成套的教案成套的試題盡在高中數(shù)學(xué)同步資源大全QQ群483122854聯(lián)系QQ309000116加入百度網(wǎng)盤群2500G一線老師必備資料一鍵轉(zhuǎn)存，自動更新，一勞永逸新知初探·課前預(yù)習(xí)題型探究·課堂解透新知初探·課前預(yù)習(xí)[教材要點]要點一拋物線的定義平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l(l不經(jīng)過點F)的距離相等的點的集合(或軌跡)叫作__________．點F叫作拋物線的________，直線l叫作拋物線的______．拋物線焦點準(zhǔn)線狀元隨筆(1)拋物線定義的實質(zhì)可歸結(jié)為“一動三定”：一個動點，設(shè)為M；一個定點F叫做拋物線的焦點；一條定直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線；一個定值，即點M到點F的距離和它到直線l的距離之比等于1.(2)注意定點F不在定直線l上，否則動點M的軌跡不是拋物線，而是過點F垂直于直線l的一條直線．例如，到點F(0，1)與到直線l：x＋y－1＝0的距離相等的點的軌跡方程為x－y＋1＝0，軌跡是一條直線．要點二拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程圖形標(biāo)準(zhǔn)方程焦點坐標(biāo)準(zhǔn)線方程________________________________________________y2＝2px(p>0)

y2＝－2px(p>0)

________________________________________________x2＝2py(p>0)

x2＝－2py(p>0)

狀元隨筆1.只有拋物線的頂點在坐標(biāo)原點，焦點在坐標(biāo)軸上時，拋物線才具有標(biāo)準(zhǔn)形式．2．標(biāo)準(zhǔn)方程的特征：等號的一邊是某個變量的平方，等號的另一邊是另一個變量的一次單項式．3．焦點在y軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程x2＝±2py(p>0)，通常又可以寫成y＝ax2，這與以前所學(xué)習(xí)的二次函數(shù)的解析式一致，但需要注意由方程y＝ax2求焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程時，必須先將拋物線的方程化成標(biāo)準(zhǔn)形式．

[基礎(chǔ)自測]1．思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝2px(p>0)中的p的幾何意義是焦點到準(zhǔn)線的距離．(

)(2)平面內(nèi)到一定點距離與到一定直線距離相等的點的軌跡是拋物線．(

)(3)只有拋物線的頂點在坐標(biāo)原點，焦點在坐標(biāo)軸上時，拋物線才具有標(biāo)準(zhǔn)形式．(

)(4)焦點在y軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程x2＝±2py(p>0)，也可以寫成y＝ax2，這與以前學(xué)習(xí)的二次函數(shù)的解析式是一致的．(

)√×√√2．拋物線y2＝8x的焦點到準(zhǔn)線的距離是(

)A．1B．2C．4D．8解析：由y2＝8x得p＝4，即焦點到準(zhǔn)線的距離為4.故選C.答案：C

答案：C4．已知拋物線頂點為坐標(biāo)原點，焦點在y軸上，拋物線上的點M(m，－2)到焦點的距離為4，則m＝________．

答案：±4題型探究·課堂解透題型一求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程角度1直接法求拋物線方程例1

(1)頂點在原點，對稱軸是y軸，并且頂點與焦點的距離等于3的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是(

)A．x2＝±3yB．y2＝±6xC．x2＝±12yD．x2＝±6y

答案：C

方法歸納在拋物線方程的類型已確定的前提下，由于標(biāo)準(zhǔn)方程中只有一個參數(shù)p，所以只需一個條件就可以確定拋物線的方程．角度2待定系數(shù)法求拋物線方程例2

(1)頂點在原點，且過點(－4，4)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是(

)A．y2＝－4xB．x2＝4yC．y2＝－4x或x2＝4yD．y2＝4x或x2＝－4y解析：(1)設(shè)拋物線方程為y2＝－2p1x(p1>0)或x2＝2p2y(p2>0)，把(－4，4)代入得16＝8p1或16＝8p2，即p1＝2或p2＝2.故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝－4x或x2＝4y.故選C.答案：C

(2)焦點在y軸上，焦點到準(zhǔn)線的距離為5的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為________．答案：

x2＝10y或x2＝－10y解析：已知拋物線的焦點在y軸上，可設(shè)方程為x2＝2my(m≠0)，由焦點到準(zhǔn)線的距離為5，知|m|＝5，m＝±5，所以滿足條件的拋物線有兩條，它們的標(biāo)準(zhǔn)方程分別為x2＝10y和x2＝－10y.方法歸納根據(jù)焦點所在的坐標(biāo)軸，拋物線方程可統(tǒng)一為兩類：(1)焦點在x軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可以設(shè)為y2＝mx(m≠0)，m>0時焦點在x軸的正半軸上，m<0時焦點在x軸的負(fù)半軸上；(2)焦點在y軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可以設(shè)為x2＝my(m≠0)，m>0時焦點在y軸的正半軸上，m<0時焦點在y軸的負(fù)半軸上．跟蹤訓(xùn)練1

(1)已知拋物線的焦點坐標(biāo)是(－1，0)，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是(

)A．x2＝4yB．x2＝－4yC．y2＝4xD．y2＝－4x

答案：D

(2)準(zhǔn)線與直線x＝1的距離為3的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是________．答案：y2＝8x或y2＝－16x

題型二拋物線的定義及其應(yīng)用例3

已知圓C的方程為x2＋y2－10x＝0，求與y軸相切且與圓C外切的動圓圓心P的軌跡方程．

解析：設(shè)點P的坐標(biāo)為(x，y)，動圓的半徑為R，∵動圓P與y軸相切，∴R＝|x|.∵動圓與定圓C：(x－5)2＋y2＝25外切，∴|PC|＝R＋5，∴|PC|＝|x|＋5，當(dāng)點P在y軸右側(cè)時，x>0，則|PC|＝x＋5，∴點P的軌跡是以(5，0)為焦點的拋物線，則圓心P的軌跡方程為y2＝20x(x>0)；當(dāng)點P在y軸左側(cè)時，x<0，則|PC|＝－x＋5，此時點P的軌跡是x軸的負(fù)半軸，即方程為y＝0(x<0)．∴點P的軌跡方程為y2＝20x(x>0)或y＝0(x<0)．方法歸納若動圓P與定圓C外切且與定直線l相切，則：(1)當(dāng)定圓與定直線相切時，軌跡為拋物線和一條射線(除去切點)；(2)當(dāng)定圓與定直線相離時，軌跡是一條拋物線．跟蹤訓(xùn)練2

已知拋物線C：y2＝2px(p＞0)上的點M(1，m)到其焦點F的距離為2，求C的方程并求其準(zhǔn)線方程．

題型三與拋物線有關(guān)的最值問題例4

(1)已知點P是拋物線y2＝2x上的一個動點，則點P到點A(0，2)的距離與P到該拋物線準(zhǔn)線的距離之和的最小值為________．

(2)已知定點M(a，0)，試在拋物線y2＝2px(p>0)上求一點N，使得|MN|最?。?/p>

方法歸納解決與拋物線有關(guān)的最值問題時，一方面注意從幾何方面觀察、分析，并利用拋物線的定義解決問題；另一方面，還要注意從代數(shù)角度入手，建立函數(shù)關(guān)系，利用函數(shù)知識求解．總之，與拋物線有關(guān)的最值問題主要有兩種方法：①定義法；②函數(shù)法．跟蹤訓(xùn)練3

(1)已知拋物線y2＝4x，F(xiàn)為其焦點，拋物線上兩點A、B滿足|AF|＋|BF|＝8，則線段AB的中點到y(tǒng)軸的距離等于(

)A．2B．3C．4D．6解析：拋物線y2＝4x的焦點為F(1，0)，準(zhǔn)線方程x＝－1，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴|AF|＋|BF|＝x1＋1＋x2＋1＝8，解得x1＋x2＝6，∴線段AB的中點橫坐標(biāo)為3，∴線段AB的中點到y(tǒng)軸的距離為3，故選B.答案：B

(2)已知點P是拋物線y2＝4x上的動點，F(xiàn)(1，0)，A(4，3)，則|PA|－|PF|的最大值為________；最小值為________．

易錯辨析忽略拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的特征致誤例5

若拋物線y＝ax2的準(zhǔn)線方程是y＝2，則a的值是________.

【易錯警示】易錯原因糾錯心得根據(jù)拋物線方程求準(zhǔn)線方程時，應(yīng)先把拋物線的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，即等式左端是二次項且系數(shù)是1，等式右端是一次項，這樣才能準(zhǔn)確寫出拋物線的準(zhǔn)線方程．

答案：A2．焦點在x軸，且焦點到準(zhǔn)線的距離為2的拋物線方程為(

)A．y2＝2xB．y2＝4xC．y2＝±2xD．y2＝±4x解析：根據(jù)焦點到準(zhǔn)線的距離為2，可得p＝2，2p＝4，結(jié)合拋物線焦點所在軸以及開口方向，即可求得拋物線的方程為y2＝±4x，選D.答案：D

答案：AD4．已知拋物線的頂點在原點，焦點在x軸的正半軸上，拋物線上的點M(3，m)到焦點的距離等于5，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和m的值分別為________和________．

5．已知點P在拋物線y2＝4x上，求點P