安徽省阜陽(yáng)市臨泉縣2022年中考二模數(shù)學(xué)試題（含答案與解析）

安徽省阜陽(yáng)市臨泉縣2022年中考二模試題

數(shù)學(xué)

（本試題卷共4頁(yè)，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘）

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考試號(hào)填寫在試題卷和答題卡上，并將考試號(hào)條形碼粘

貼在答題卡上指定位置。

2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用

橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)，答在試題卷上無(wú)效。

3.非選擇題（主觀題）用0.5毫米的黑色簽字筆直接答在答題卡上每題對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi),

答在試題卷上無(wú)效。作圖一律用2B鉛筆或0.5毫米的黑色簽字筆。

4.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試題卷和答題卡一并上交。

一、選擇題（本大題共6題，每題4分，滿分24分）

1.拋物線9=_（X+2）2-3的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）

A.(2,-3)13.(-2,3)C.(2,3)P.(-2,*3)

2.如圖，點(diǎn)D、E分別在AABC的邊AB、AC上,下列條件中能夠判定DE〃BC的是（)

ADDEADAEBDCEADAB

BD—AC~AB~~AE~AE~~AC

3.在R3ABC中，ZC=90°,如果cosB=；,BC=a,那么AC長(zhǎng)是（）

A.2aa8.3aC.Ma

4

4.如果1）1=2,b=-^a＞那么下列說(shuō)法正確的是（）

A.歷|=2|￡|B.B是與3方向相同的單位向量

C.2g-a=dD.

5在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，點(diǎn)。是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（3,2）,點(diǎn)B的坐標(biāo)是（3,-4）.如果以點(diǎn)0

為圓心，I?為半徑的圓0與直線AB相交，且點(diǎn)A、B中有一點(diǎn)在圓0內(nèi)，另一點(diǎn)在圓O外，那么r的值

可以?。ǎ?/p>

A.5B.4C,3D.2

6.在AABC中，點(diǎn)。在邊BC上，聯(lián)結(jié)AO,下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

A.如果Zfi4C=90°,AB2=BDBC>那么

B如果ADJ.BC,AD2=BDCD,那么NB4c=90°；

C.如果ADL3C,AB2=BDBC，那么N84C=90°；

D如果ZBAC=9（）°,AD2=BDCD，那么4）_L3c.

二、填空題（本大題共12題，每題4分，滿分48分）

cic4〃+「

7.若線段a、b、c、d滿足丁=一=一，則;一的值等于—.

bd5b+d

8.如果拋物線y=（3-機(jī)）x2-3有最高點(diǎn)，那么機(jī)的取值范圍是.

q.如果兩個(gè)相似三角形的周長(zhǎng)比是1：4,那么它們的面積比是.

ro.邊長(zhǎng)為6的正六邊形的邊心距為.

11.如圖，已知AD〃BE〃CF,若AB=3,AC=7,EF=6,貝ijDE長(zhǎng)為.

12.已知點(diǎn)P在線段AB上，滿足AP：BP=BP：AB,若BP=2,則AB的長(zhǎng)為.

13.若點(diǎn)A（-1,7）、B（5,7）、C（-2,-3）、D（k,-3）在同一條拋物線上，則k值等于

14.如圖，在一條東西方向筆直的沿湖道路/上有A、B兩個(gè)游船碼頭，觀光島嶼C在碼頭A的北偏東

60。方向、在碼頭B的北偏西45。方向，AC=4千米.那么碼頭4、B之間的距離等于____千米.（結(jié)果保

留根號(hào)）

工5在矩形A8Q9中，A3=2，AD=4,若圓A的半徑長(zhǎng)為5,圓。的半徑長(zhǎng)為/?,且圓A與圓。內(nèi)

切，則R的值等于.

16.如圖，在等腰AASC中，AB=AC,A￡＞、3E分別是邊BC、AC上的中線，AZZ與班;交于點(diǎn)

F，若BE=6,FD=3,則ZVWC的面積等于.

17.已知點(diǎn)P在AABC內(nèi)，聯(lián)結(jié)24、PB、PC,在△%8、APBC和中，如果存在一個(gè)三角形

與AABC相似，那么就稱點(diǎn)。為43。的自相似點(diǎn).如圖，在&AABC中，NACB=90°,AC=12,

BC=5,如果點(diǎn)P為RtAABC的自相似點(diǎn)，那么ZACP的余切值等于.

18.如圖，點(diǎn)P在平行四邊形ABCD的邊BC上，將AABP沿直線AP翻折，點(diǎn)B恰好落在邊AD的垂直

4

平分線上，如果AB=5,AD=8,tanB=-,那么BP的長(zhǎng)為.

3

三、解答題（本大題共7題，滿分78分）

計(jì)算：V3cot260+——--------.

cos45n-cos30

2.0.如圖，AB與CD相交于點(diǎn)E,AC〃BD,點(diǎn)F在DB的延長(zhǎng)線上，聯(lián)結(jié)BC,若BC平分NABF,AE

=2,BE=3.

（1）求BD的長(zhǎng)；

（2）設(shè)方=[,ED=b＞用含1、B的式子表示反.

3

21.如圖，AB是圓O的一條弦，點(diǎn)O在線段AC上，AC=AB,OC=3,sinA=-.求：⑴圓O的半徑

長(zhǎng)；（2）BC的長(zhǎng).

22.如圖，小明站在江邊某瞭望臺(tái)DE的頂端D處，測(cè)得江面上的漁船A的俯角為40。.若瞭望臺(tái)DE垂

直于江面，它的高度為3米，CE=2米，CE平行于江面AB,迎水坡BC的坡度i=l：0.75,坡長(zhǎng)BC=10

米.

（參考數(shù)據(jù)：sin40°~0.64,cos40°~0.77,tan40M）.84,cot40°~1.19）

（1）求瞭望臺(tái)DE的頂端D到江面AB的距離；

（2）求漁船A到迎水坡BC的底端B的距離.（結(jié)果保留一位小數(shù)）

23.如圖，點(diǎn)D、E分別在AABC的邊AC、AB±,延長(zhǎng)DE、CB交于點(diǎn)F,且AE?AB=AD?AC.

(1)求證：ZFEB-ZC；

FBCD

(2)連接AF,若J=—,求證：EF?AB=AOFB.

ABFD

24.如圖，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)。、點(diǎn)B(1,3),又與x軸正半軸相交于點(diǎn)A,

/區(qū)4。=45°，點(diǎn)P是線段AB上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作。時(shí)〃QB，與拋物線交于點(diǎn)M，且點(diǎn)M在第一象限

內(nèi).

(1)求拋物線的表達(dá)式;

(2)若NBMP=NAOB,求點(diǎn)尸的坐標(biāo);

(3)過(guò)點(diǎn)M作軸，分別交直線A&x軸于點(diǎn)N、C,若AANC的面積等于△PMN的面積的2倍,

求磔乂的值.

NC

3

25已知銳角NMBN的余弦值為《，點(diǎn)C在射線BN上，3C=25,點(diǎn)A在NMfiN的內(nèi)部，且

NR4c=90°,NBCA=NMBN.過(guò)點(diǎn)A的直線DE分別交射線8M、射線8N于點(diǎn)。、E.點(diǎn)、F在

線段8E上（點(diǎn)尸不與點(diǎn)8重合），且NEAF=NMBN.

圖1圖2備用圖

（1）如圖1,當(dāng)AE_L3N時(shí)，求七戶的長(zhǎng)；

（2）如圖2,當(dāng)點(diǎn)￡在線段上時(shí)，設(shè)3b=x,BD=y,求V關(guān)于x的函數(shù)解析式并寫出函數(shù)定義

域；

（3）聯(lián)結(jié)QE，當(dāng)AADE與AACE相似時(shí)，請(qǐng)直接寫出8。的長(zhǎng).

參考答案

一、選擇題（本大題共6題，每題4分，滿分24分）

1.拋物線g=-（x+2）2-3的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）

A.(2,-3)8.(-2,3)C.(2,3)D.(-2,-3)

【工題答案】

【答案】D

【解析】

【詳解】試題分析：口拋物線g=-（X+2）2-3為拋物線解析式的頂點(diǎn)式，口拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)是（-2,

3).故選D.

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì).

2.如圖，點(diǎn)D、E分別在AABC的邊AB、AC上，下列條件中能夠判定DE〃BC的是（)

DE

BC

ADDEADAE八BDCEADAB

------------3-----=------c-----=----------=------

ABBC-BDACABAE'AEAC

【2題答案】

【答案】D

【解析】

【分析】如果一條直線截三角形的兩邊所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊.根據(jù)

平行線分線段成比例定理對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.

AnDE

【詳解】A.由一=—，不能得到。后〃BC,故本選項(xiàng)不合題意；

ABBC

ADAE

B.由不能得到DE//BC,故本選項(xiàng)不合題意;

~BD~

BDCE

C.由不能得到DE//BC,故本選項(xiàng)不合題意;

~AB~~AE,

ADAB

D.由能得到DE//BC,故本選項(xiàng)符合題意；

~AE~AC,

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例定理的應(yīng)用，如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）

所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊.

3.在RtAABC中，ZC=90°,如果cosB=g,BC=a,那么AC的長(zhǎng)是（）

A.2億B.3aC.MaD.^—a

4

【3題答案】

【答案】A

【解析】

【分析】依據(jù)COS8=LBC=a,即可得到AB=3a,再根據(jù)勾股定理，即可得到AC的長(zhǎng).

3

【詳解】如圖,

VcosB=-,BC=a,

3

AB=3a,

VZC=90°,

???RtAAfiC中，AC=ylAB2-BC2=7（3a）2-a2=2血a，

故選A.

【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義以及勾股定理.在直角三角形中，銳角A的鄰邊人與斜邊c的比

叫做NA的余弦，記作cosA.

4.如果|）|=2,那么下列說(shuō)法正確的是（）

A.\b\^2\a\B.B是與［方向相同的單位向量

C.^b-a—OD.b//a

【4題答案】

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)平面向量的模和向量平行的定義解答.

【詳解】A、由5=一!〃得到區(qū)|=工團(tuán)|=1,故本選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤.

22

B、由5=-上不得到5是與白的方向相反，故本選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤.

2

C、由萬(wàn)=一!。得到25+G=G,故本選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤.

2

。、由方=-」互得到5〃反，故本選項(xiàng)說(shuō)法正確.

2

故選O.

【點(diǎn)睛】考查了平面向量，需要掌握平面向量的模的定義，向量的方向與大小以及向量平行的定義等知識(shí)

點(diǎn)，難度不大.

S.在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，點(diǎn)。是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（3,2）,點(diǎn)B的坐標(biāo)是（3,-4）.如果以點(diǎn)O

為圓心，r為半徑的圓0與直線AB相交，且點(diǎn)A、B中有一點(diǎn)在圓O內(nèi)，另一點(diǎn)在圓O外，那么r的值

可以?。ǎ?/p>

A.5B.4C.3D.2

【5?題答案】

【答案】B

【解析】

【分析】先根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式分別計(jì)算出040B的長(zhǎng)，再由點(diǎn)A、B中有一點(diǎn)在圓。內(nèi)，另一點(diǎn)在圓

0外求出，的范圍，進(jìn)而求解即可.

【詳解】?.?點(diǎn)A的坐標(biāo)是（3,2）,點(diǎn)B的坐標(biāo)是（3,-4）,

：.0A=dW+*=/，

08=132+42=5,

???以點(diǎn)0為圓心，/?為半徑的圓。與直線AB相交，且點(diǎn)A、B中有一點(diǎn)在圓。內(nèi)，另一點(diǎn)在圓。外，

：.y/l3<r<5,

，r=4符合要求.

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判斷.關(guān)鍵要記住若半徑為「，點(diǎn)到圓心的距離為乩則有：當(dāng)

d>/?時(shí)，點(diǎn)在圓外；當(dāng)?=/?時(shí)，點(diǎn)在圓上，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在圓內(nèi).也考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì).

6.在AABC中，點(diǎn)。在邊BC上，聯(lián)結(jié)AO,下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

A.如果N84C=90°,AB?=BDBC，那么

B.如果AD_L3C,AD2=BDCD，那么NB4c=90°;

C.如果ADJ_3C,AB2=BDBC>那么NB4c=90°；

D.如果NB4c=90°,AD2=BDCD，那么AD_L8C.

【6題答案】

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理證明相應(yīng)的三角形相似，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)判斷即可.

詳解】A、?.?AB2=8DBC，

.,.△BAD^ABCA,

???NBDA=NBAC=90。，B|JAD±BC,故A選項(xiàng)說(shuō)法正確，不符合題意；

B、VADr=BDCDy

又NADC=NBDA=90。，

BDAD

.,.△ADC^ABDA,

ZBAD=ZC,

VZDAC+ZC=90°,

.\ZDAC+ZBAD=90°,

???NBAC=90。，故B選項(xiàng)說(shuō)法正確，不符合題意；

2

c.AB=BDBC9

ABBC「

---=---，又/B=NB

BDAB

.".△BAD^ABCA,

.?./BAC=/BDA=90。，故C選項(xiàng)說(shuō)法正確，不符合題意：

D、如果/BAC=90。，AD2=BDCD,那么AD與BC不一定垂直，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意;

故選D.

【點(diǎn)睛】此題考查相似三角形，解題關(guān)鍵在于掌握相似三角形的判定定理證明.

二、填空題（本大題共12題，每題4分，滿分48分）

cic4/7+r

7.若線段a、b、c、d滿足/=二=一，則的值等于.

bd5b+d

【7題答案】

4

【答案】y

【解析】

【分析】根據(jù)等比的性質(zhì)即可求出JCI+C的值.

b+d

/7c4

【詳解】??,線段a、b、c、d滿足===二一，

bd5

a+c4

b+d5

4

故答案為—.

【點(diǎn)睛】考查了比例線段，關(guān)鍵是熟練掌握等比的性質(zhì).

8.如果拋物線)，=(3-m)N-3有最高點(diǎn)，那么m的取值范圍是.

【8題答案】

【答案】，*>3

【解析】

【分析】根據(jù)二次函數(shù)尸(3-W-3的頂點(diǎn)是此拋物線的最高點(diǎn)，得出拋物線開(kāi)口向下，即3-m<0,

即可得出答案.

【詳解】???拋物線、=(3-m)V-3的頂點(diǎn)是此拋物線的最高點(diǎn)，

拋物線開(kāi)口向下，

.,.3-m<0,

故答案為，">3.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了利用二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)位置確定圖象開(kāi)口方向，此題型是中考中考查重點(diǎn)，同學(xué)

們應(yīng)熟練掌握.

9.如果兩個(gè)相似三角形的周長(zhǎng)比是1：4,那么它們的面積比是.

【9題答案】

【答案】1:16

【解析】

【分析】根據(jù)相似三角形的相似比等于周長(zhǎng)比，可得兩個(gè)相似三角形的相似比是1：4,再由相似三角形的

面積比等于相似比的平方，即可求解.

【詳解】解：???兩個(gè)相似三角形周長(zhǎng)比是1:4,

兩個(gè)相似三角形的相似比是1：4,

...它們的面積比是1:16.

故答案為：1:16

【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的相似比等于周長(zhǎng)比，相似三角形的面

積比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵.

邊長(zhǎng)為6的正六邊形的邊心距為

【1。題答案】

【答案】彖在

【解析】

【詳解】試題分析：連接。A、OB、OC、OD、OE、OF,

口正六邊形A13CDEF,

OOAOB=Ol30C=OCOD=ODOE=OEOF=OAOF,

□□A<9B=36<90-6=6OO,OA=OB,

□口AOB是等邊三角形，

口。A=OB=AB=2,

OOMOA13,

0AM=13M=l,

在口。AM中，由勾股定理得：OM=d（）A2_〃2M

考點(diǎn):正多邊形和圓

11.如圖，已知AD〃BE〃CF,若AB=3,AC=7,EF=6,則DE的長(zhǎng)為

【11題答案】

9

【答案】-

2

【解析】

r)pARr)p3

【分析】根據(jù)AB=3,4c=7,可得8c=4,再根據(jù)AO〃BE〃C/，即可得出一=—,即一=-,進(jìn)

EFBC64

而得到QE的長(zhǎng).

【詳解】VAfi=3,AC=7,

BC=4,

?：AD//BE//CF,

.DEAB

??一，

EFBC

DE3

即nn——=-,

64

9

解得DE=-,

2

9

故答案為一.

2

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例；熟練掌握平

行線分線段成比例定理是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

22.已知點(diǎn)P在線段AB上，滿足AP：BP=BP：AB,若BP=2,則AB的長(zhǎng)為.

【12題答案】

【答案】A/5+I

【解析】

【分析】根據(jù)黃金分割點(diǎn)的定義，知AP是較長(zhǎng)線段，得出BP=避二1AB,代入數(shù)據(jù)即可得出A8的長(zhǎng).

2

【詳解】?..點(diǎn)P在線段AB上，滿足AP：BP=BP：AB,

為線段A8的黃金分割點(diǎn)，且BP是較長(zhǎng)線段，

：.BP=^~[AB,

2

.,.石TA8=2,

2

解得48=后+1.

故答案為括+1.

【點(diǎn)睛】本題考查了比例線段、黃金分割的概念：如果一個(gè)點(diǎn)把一條線段分成兩條線段，并且較長(zhǎng)線段是

較短線段和整個(gè)線段的比例中項(xiàng)，那么就說(shuō)這個(gè)點(diǎn)把這條線段黃金分割，這個(gè)點(diǎn)叫這條線段的黃金分割

點(diǎn)；較長(zhǎng)線段是整個(gè)線段的叵4倍.

2

23.若點(diǎn)A(-1,7)、B(5,7)、C(-2,-3)、D(k,-3)在同一條拋物線上，則k的值等于

【25題答案】

【答案】6

【解析】

【分析】由拋物線的對(duì)稱性解答即可.

【詳解】???拋物線經(jīng)過(guò)4(-1,7)、8(5,7),

.?.點(diǎn)4、8為拋物線上的對(duì)稱點(diǎn)，

-1+5

???拋物線對(duì)稱軸為直線4--------=2.

2

VC(-2,-3)、D(k,-3)為拋物線上的對(duì)稱點(diǎn)，即C(-2,-3)與。(丸-3)關(guān)于直線42對(duì)

稱，

解得：h=6.

故答案為6.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì).熟練掌握二次函數(shù)的對(duì)稱性是解題的關(guān)鍵.

14.如圖，在一條東西方向筆直的沿湖道路/上有A、8兩個(gè)游船碼頭，觀光島嶼C在碼頭A的北偏東

60。方向、在碼頭B的北偏西45。方向，AC=4千米.那么碼頭4、8之間的距離等于千米.(結(jié)果保

留根號(hào))

【14題答案】

【答案】(2后+2)

【解析】

［分析】作CD±AB于點(diǎn)D,在RtAACD中利用三角函數(shù)求得CD、AD的長(zhǎng)，然后在RtABCD中求得BD

的長(zhǎng)，即可得到碼頭A、8之間的距離.

【詳解】解：如圖，作于點(diǎn)。.

北

C

：.CD=AC'sinZCAD=4X-=2(km),AZ)=4C?cos30°=4X也=28(km),

22

?.,RtZXBCO中，ZCDB=90°,NCBD=45°,

：.BD=CD=2(km),

AB=AD+BD=273+2(km),

故答案是：(2^/3+2).

【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，作出輔助線，轉(zhuǎn)化為直角三角形的計(jì)算，求得8的長(zhǎng)是關(guān)

鍵.

15在矩形ABC。中，AB=2,42=4,若圓A的半徑長(zhǎng)為5,圓。的半徑長(zhǎng)為A,且圓A與圓C內(nèi)

切，則R的值等于.

【25"題答案】

【答案】5-2行或5+26

【解析】

【分析】先利用勾股定理計(jì)算出AC=2石，討論：當(dāng)點(diǎn)C在。A內(nèi)時(shí)，5-R=2石；當(dāng)點(diǎn)A在。C內(nèi)時(shí)，R-5=2

后,然后分別解關(guān)于R的方程即可.

【詳解】：在矩形ABCD中，AB=2,AD=4,

；?AC=A/22+42=2V5

當(dāng)點(diǎn)C在。A內(nèi)時(shí)，

?.,圓A與圓C內(nèi)切，

5-R=26,R=5-25；

當(dāng)點(diǎn)A在。C內(nèi)時(shí)，

V?A與圓C內(nèi)切，

，R-5=2"H=5+2石；

綜上所述,R的值為5-2石或5+26.

故答案為5-2逐或5+2石

【點(diǎn)睛】此題考查圓與圓的位置關(guān)系，解題關(guān)鍵在于分多種情況討論即可.

如圖，在等腰AABC中，AB=AC,A。、3E分別是邊BC、AC上的中線，AD與BE交于點(diǎn)

F，若BE=6,FD=3,則A4BC的面積等于.

[16題答案】

【答案】9s

【解析】

【分析】過(guò)E作EG±BC于G,根據(jù)已知條件得到點(diǎn)F是4ABC的重心，求得AD=3DF=9,根據(jù)等腰三角形的

19'CD,根據(jù)勾股定理

性質(zhì)得到AD，BC,BD=CD,根據(jù)平行線分線段成比例定理得到EG=-AD=-,CG

222

得到BG=JBE?-EG?=—，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論.

2

【詳解】過(guò)E作EGJ_BC于G,

?.,AD、BE分別是邊BC、AC上的中線，

...點(diǎn)F是△ABC的重心，

AAD=3DF=9,

VAB=AC,AD是邊BC上的中線，

AAD±BC,BD=CD,

〈BE是邊AC上的中線，

AAE=CE,

VAD1BC,EG±BC,

???EG〃AD,

191

：.EG=-AD=-,CG=-CD

222

VBE=6,

???BC=y/BE2-EG2=

2

：.BG=—BG=25,

3

/.AABC的面積=-x9x2V7=977，

2

故答案為：977?

【點(diǎn)睛】此題考查勾股定理、三角形中位線定理，解題關(guān)鍵在于作輔助線.

i7.已知點(diǎn)P在A4BC內(nèi)，聯(lián)結(jié)B4、PB、PC,在△%8、APBC和AE4C中,如果存在一個(gè)三角形

與△ABC相似，那么就稱點(diǎn)P為AA8C的自相似點(diǎn).如圖，在用AABC中，ZACB=90°,AC=12,

BC=5,如果點(diǎn)P為Rt\ABC的自相似點(diǎn)，那么ZACP的余切值等于

【27題答案】

【答案】y

【解析】

【分析】先找到Rt^ABC的內(nèi)相似點(diǎn)，再根據(jù)三角函數(shù)的定義計(jì)算/ACP的余切即可.

【詳解】VAC=12,BC=5,

.\ZCAB<ZCBA,

故可在NCAB內(nèi)作NCBP=NCAB,

又?:點(diǎn)P為4ABC的自相似點(diǎn)，

過(guò)點(diǎn)C作CPLPB,并延長(zhǎng)CP交AB于點(diǎn)D,

則△BPCS/\ACB,

...點(diǎn)P為△ABC的自相似點(diǎn)，

ZBCP=ZCBA,

.\ZACP=ZBAC,

,八人行AC12

?.NACP的余切---=—,

BC5

故答案為：—.

【點(diǎn)睛】此題考查相似三角形，解題關(guān)鍵在于兩個(gè)三角形相似則余切值相等.

18.如圖，點(diǎn)P在平行四邊形ABCD的邊BC上，將AABP沿直線AP翻折，點(diǎn)B恰好落在邊AD的垂直

4

平分線上，如果AB=5,AD=8,tanB=—，那么BP的長(zhǎng)為

3

【18題答案】

【答案】寧或7

【解析】

【分析】①如圖1,過(guò)A作AHLBC于H,連接DB',設(shè)AH=4x,BH=3x,根據(jù)勾股定理得到AB=

yjAH2+BH2=5x=5,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到AB'=AB=5,AM=DM=-AD=4,NAMN=NHNM=

90°,根據(jù)勾股定理得到MB'=^AB'2+AM2=3-求得HN=MN=4,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到

結(jié)論；

②如圖2,由①知，MN=4,MB'=3,BN=7,求得NB=NB',推出點(diǎn)P與N重合，得到BP=BN=

7.

【詳解】①如圖1，過(guò)A作AHLBC于H,連接DB',

圖1

設(shè)88'與AP交于E,

AD的垂直平分線交AD于M,BC于N,

AH4

VtanB=——=-

BH3

???設(shè)AH=4x,BH=3x,

yjAH2+BH2=5X=5,

,\x=1,

：.AH=4fBH=3,

?.?將△ABP沿直線AP翻折，點(diǎn)8恰好落在邊AD的垂直平分線MN上,

：.AB'=AB=5,AM=DM=—AD=4,NAMN=NHNM=90°,

2

，四邊形AHNM是正方形，MB'=yjAB'2+AM2=3'

：.HN=MN=4,

；.BN=7,B'N=l,

?W=dBN，+RN”=5五,

：.BE=—BB'=^2L,

22

?：ZBEP=ZBNB'=90°,ZPBE=ZB'BN,

:.△BPESABB，N,

.PBBE

,?而一嬴'

5夜

；?PB,

5727

25

：.BP=——

7

②如圖2,由①知，MN=4,MB'=3,BN=1,

:.NB=NB',

...點(diǎn)N在B夕的垂直平分線上，

?.?將△A8P沿直線AP翻折，點(diǎn)B恰好落在邊AD的垂直平分線上,

.?.點(diǎn)尸也在8夕的垂直平分線上，

點(diǎn)尸與N重合，

：.BP=BN=1,

綜上所述，8P的長(zhǎng)為一或7.

7

故答案為—或7.

7

【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換（折疊問(wèn)題），線段垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理，正確的作出圖形是解題

的關(guān)鍵.

三、解答題（本大題共7題，滿分78分）

“計(jì)算：限小6。+舄囁亞

【27題答案】

【答案】一3—空

3

【解析】

【分析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值把相關(guān)數(shù)據(jù)代入進(jìn)而得出答案.

1

jo-

【詳解】原式=6x（號(hào)）2+后六萬(wàn)

22

=百x彳+~f=-----『

3V2-V3

—(V2+￡)

3

=-五-當(dāng)

【點(diǎn)睛】此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，正確記憶相關(guān)數(shù)據(jù)是解題關(guān)鍵.

2。如圖，AB與CD相交于點(diǎn)E,AC〃BD,點(diǎn)F在DB的延長(zhǎng)線上，聯(lián)結(jié)BC,若BC平分/ABF,AE

=2,BE=3.

（1）求BD的長(zhǎng)；

（2）設(shè)EB=a，ED=b?用含〃、/?的式子表不。c.

DB

【2。題答案】

15-2-

【答案】(1)—(2)—ci—b

23

【解析】

【分析】(1)利用角平分線的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)得到AB=AC=5,然后結(jié)合平行線截線段成比例求得BD

的長(zhǎng)度.

(2)由平行線截線段成比例和平面向量的三角形法則解答.

【詳解】(1)〈Be平分NABF,

AZABC=ZCBF.

VAC/7BD,

???NCBF=NACB.

，NABC=NACB.

:.AC=AB.

VAE=2,BE=3,

，AB=AC=5.

VAC//BD,

.ACAE

,52

??---=一.

BD3

.15

??BD——；

2

(2)VAC//BD,

.ECAE_2

??而一百一屋

■:前=6，

一2一

??EC—~~b-

______2

BC^BE+EC^~a-q6.

【點(diǎn)睛】考查了平行線的性質(zhì)和平面向量，需要掌握平行線截線段成比例和平面向量的三角形法則，難

度不大.

3

21.如圖，AB是圓0的一條弦，點(diǎn)0在線段AC上，AC=AB,0C=3,sinA=-.求：⑴圓0的半徑

長(zhǎng)；(2)BC的長(zhǎng).

【22題答案】

【答案】（1）5（2）當(dāng)叵

5

【解析】

【分析】（1）過(guò)點(diǎn)。作OHJ_AB,垂足為點(diǎn)H,設(shè)0H=3k,A0=5k,則AH=不AO：-OH?，得至UAB

=2AH=8k,求得AC=AB=8k,列方程即可得到結(jié)論；

（2）過(guò)點(diǎn)C作CGLAB,垂足為點(diǎn)G,在RtZ\ACG中，/AGC=90°,解直角三角形即可得到結(jié)論.

【詳解】（1）過(guò)點(diǎn)0作OHLAB,垂足為點(diǎn)H,

設(shè)0H=3k,AO=5k,

則AH=yjACP-OH2，

VOH±AB,

???AB=2AH=8k,

???AC=AB=8k,

/.8k=5k+3,

???k=l,

A0=5,

即。O半徑長(zhǎng)為5；

（2）過(guò)點(diǎn)C作CG_LAB,垂足為點(diǎn)G,在RbACG中，ZAGC=90°,

3

AC5

AC=8,

22

.rc24JAC~cc-RG-8

555

在RtACGB中，NCGB=90°,

/.BC=y/CG2+BG2=J（|）2+母）2=.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，解直角三角形，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

22.如圖，小明站在江邊某瞭望臺(tái)DE的頂端D處，測(cè)得江面上的漁船A的俯角為40。.若瞭望臺(tái)DE垂

直于江面，它的高度為3米，CE=2米，CE平行于江面AB,迎水坡BC的坡度i=l：0.75,坡長(zhǎng)BC=10

米.

（參考數(shù)據(jù)：sin40°~0.64,cos40°~0.77,tan40°=^）.84,cot400~1.19）

（1）求瞭望臺(tái)DE的頂端D到江面AB的距離；

（2）求漁船A到迎水坡BC的底端B的距離.（結(jié)果保留一位小數(shù)）

【22題答案】

【答案】（1）瞭望臺(tái)DE的頂端D到江面AB的距離為11米（2）漁船A到迎水坡BC的底端B的距離為

5.1米

【解析】

【分析】（1）延長(zhǎng)DE交AB于點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)C作CG_LAB,垂足為點(diǎn)G,利用坡度表示出CG,BG的長(zhǎng)，進(jìn)

而求出答案；

（2）在RtZ\ADF中，利用cotA=——，得出AF的長(zhǎng)，進(jìn)而得出答案.

DF

【詳解】（1）延長(zhǎng)DE交AB于點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)C作CG_LAB,垂足為點(diǎn)G,

在RSBCG中，ZBGC=90°,

CG14

..1

BG0.753

設(shè)CG=4k,BG=3k,則BC=JcG?+BG?=5k=10,

.,.k=2,

???BG=6,.'.CG=EF=8,

：DE=3,；.DF=DE+EF=3+8=11(米),

答：瞭望臺(tái)DE的頂端D到江面AB的距離為11米;

(2)由題意得NA=40。,

在RtzsADF中，/DFA=9O°,

AF

；.cotA=------,

DF

.A尸…

?>-----~1.19)

11

.\AF-llxl.19=13.09(m),

.*.AB=AF-BG-GF=5.09=5.1(米),

答：漁船A到迎水坡BC的底端B的距離為5.1米.

點(diǎn)睛】此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，正確掌握銳角三角函數(shù)關(guān)系是解題關(guān)鍵.

2.3.如圖，點(diǎn)D、E分別在AABC邊AC、AB上，延長(zhǎng)DE、CB交于點(diǎn)F,且AE?ABAD?AC.

(1)求證：ZFEB-ZC；

BCD

若F，求證：??

(2)連接AF,J=——EFAB=ACFB.

ABFD

BC

【23題答案】

【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析

【解析】

【分析】(1)證明△AEDs^ACB即可解決問(wèn)題；

EFFB

(2)證明可得一=一，由AF=AC,可得結(jié)論.

AFAB

【詳解】(1)?；AE?AB=AD?AC.

.AEAD

??—,

ACAB

又???NA=NA,

.,.△AED^AACB,

???NAED=NC,

又,.,NAED=NFEB,

，NFEB=NC.

(2)VZFEB=ZC,ZEFB=ZCFD,

AAEFB^ACFD,

.\ZFBE=ZFDC,

?.FB_CD

'~AD~~FD1

.FB_AB

??而—訪‘

.".△FBA^ACDF,

???NFEB=NC

???AF=AC,

VZFEB=ZC,

.??NFEB=NAFB,

又,.,NFBE=NABF,

AAEFB^AFAB,

.EF_FB

??一,

AFAB

VAF=AC,

.?.EF?AB=AOFB.

【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)

解決問(wèn)題.

24.如圖，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)。、點(diǎn)B(1,3),又與x軸正半軸相交于點(diǎn)4

NBAO=45°，點(diǎn)P是線段上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作與拋物線交于點(diǎn)M,且點(diǎn)M在第一象限

內(nèi).

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)若NBMP=/AOB,求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)過(guò)點(diǎn)M作軸，分別交直線AB、x軸于點(diǎn)N、C,若AANC的面積等于APMN的面積的2倍,

MN

求的值.

NC

【24題答案】

【答案】⑴y=—f+4無(wú)；(2)P(-,-)；(3)V2.

22

【解析】

【分析】(1)過(guò)點(diǎn)B作軸，垂足為點(diǎn)“，由點(diǎn)B坐標(biāo)與/BAO=45°可得點(diǎn)A坐標(biāo)，再分別代入

拋物線方程即可求得；

(2)根據(jù)條件求得M坐標(biāo)，進(jìn)而得直線的表達(dá)式與直線A3的表達(dá)式，再求兩直線交點(diǎn)即可；

(3)延長(zhǎng)MP交工軸于點(diǎn)￡＞，作PG_LMN,垂足為點(diǎn)G，設(shè)PG=f,則MG=3f,求得與

S，ANC根據(jù)關(guān)系求得最后結(jié)果.

【詳解】解：(1)

y

過(guò)點(diǎn)3作軸，垂足為點(diǎn)”，

???8(1,3),

:.OH=l,BH=3,

?.?ZBHA=90°,ZBAO=45°,

：.AH=BH=3,OA=4,

.-.A(4,0),

???拋物線過(guò)原點(diǎn)。、點(diǎn)A、B,設(shè)拋物線的表達(dá)式為丁=辦2+樂(lè)(。。0),

。+/?=3

16。+46=0

a=-l

??.〈,

[b=4

則拋物的線表達(dá)式為y=-x2+4x；

(2)

\PMHOB,

ZOBA=ZBPM,

又?；/BMP=AOP,

':.ABPM?AABO,

：.ZMBP=ZOAB,

BM//OA,

設(shè)M(x,3),

M在拋物線y=-/+4x上，

.-.A/(3,3),

???直線OB經(jīng)過(guò)點(diǎn)。(0,0)、5(1,3),

二直線OB的表達(dá)式為y=3x,

PMHOB且直線R0過(guò)點(diǎn)M(3,3),

直線PM的表達(dá)式為y=3x-6,

???直線A3經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(4,0)、8(1,3),

二直線AB的表達(dá)式為＞=-x+4,

y=3x-6

y=-x+4

:.P

(3)延長(zhǎng)MP交x軸于點(diǎn)￡>,作尸G，"N,垂足為點(diǎn)G

,-.ZMPG=ZMDC,NGPN=NBAO=45°

-PM//BO,

:.ZMDC=ZBOA,

:.ZMPG=ZBOA,

.,.tanZMPG=tanZBOA=3>

-,-ZMPG=90°,

tanZMPG=^-=3,

PG

設(shè)PG=t,則MG=3r

?;NPGN=90°,NGPN=45。,

:.PG=GN=t,MN=4t

'''S&PMN=/''.4=2*,

S：c=2S/MN=4L=5NC~

NC=2"，

MNAtr-

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)與幾何綜合，掌握待定系數(shù)法與三角形有關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

3

25已知銳角NM6N的余弦值為《，點(diǎn)C在射線BN上，BC=25,點(diǎn)A在NMBN的內(nèi)部，且

ABAC=90°,NBCA=NMBN.過(guò)點(diǎn)A的直線。石分別交射線加、射線8N于點(diǎn)￡>、E.點(diǎn)尸在

線段3E上(點(diǎn)尸不與點(diǎn)8重合)，且NE4/=NMBN.

圖1圖2備用圖

(1)如圖1,當(dāng)AF_LBN時(shí)，求石戶的長(zhǎng);

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)E在線段8c上時(shí)，設(shè)=BD=y,求V關(guān)于x的函數(shù)解析式并寫出函數(shù)定義

域；

(3)聯(lián)結(jié)。/，當(dāng)AAQE與A4CE相似時(shí)，請(qǐng)直接寫出BD的長(zhǎng).

【25?題答案】

400-7x；(3).或2000

【答案】(1)砂=16；(2)y~

15117

【解析】

【分析】(1)由銳角三角函數(shù)可求AC=15,根據(jù)勾股定理和三角形面積公式可求AB,AF的長(zhǎng)，即可求EF

的長(zhǎng)；

(2)通過(guò)證△FAEs^FCA和△BDEs^CFA,可得y關(guān)于x的函數(shù)解析式；

(3)分△ADFs/SCEA,△ADFs/\CAE兩種情況討論，通過(guò)等腰三角形的性質(zhì)和相似三角形性質(zhì)可求

BD的長(zhǎng).

【詳解】解：(1)???在放ABAC中NBAC=90°

Ar3

cosNBCA=cosAMBN=—=-

BC