傳感器原理及工程應(yīng)用課件

第1章傳感與檢測技術(shù)的理論基礎(chǔ)1.1測量概論

1.2測量數(shù)據(jù)的估計和處理1.1測量概論1.1.1測量測量是以確定被測量的值或獲取測量結(jié)果為目的的一系列操作。所以,測量也就是將被測量與同種性質(zhì)的標(biāo)準(zhǔn)量進(jìn)行比較，確定被測量對標(biāo)準(zhǔn)量的倍數(shù)。它可由下式表示：(1-1)(1-2)式中：x——被測量值；

u——標(biāo)準(zhǔn)量，即測量單位；

n——比值（純數(shù)），含有測量誤差。由測量所獲得的被測量的量值叫測量結(jié)果，測量結(jié)果可用一定的數(shù)值表示，也可以用一條曲線或某種圖形表示，但無論其表現(xiàn)形式如何，測量結(jié)果應(yīng)包括比值和測量單位。測量結(jié)果僅僅是被測量的最佳估計值，並非真值，所以還應(yīng)給出測量結(jié)果的品質(zhì)，即測量結(jié)果的可信程度。這個可信程度用測量不確定度表示，測量不確定度表徵測量值的分散程度。因此測量結(jié)果的完整表述應(yīng)包括估計值、測量單位及測量不確定度。

被測量值和比值等都是測量過程的資訊，這些資訊依託於物質(zhì)才能在空間和時間上進(jìn)行傳遞。被測量作用到實際物體上，使其某些參數(shù)發(fā)生變化，參數(shù)承載了資訊而成為信號。選擇其中適當(dāng)?shù)膮?shù)作為測量信號，例如熱電偶溫度感測器的工作參數(shù)是熱電偶的電勢，差壓流量感測器中的孔板工作參數(shù)是差壓Δp。測量過程就是感測器從被測對象獲取被測量的資訊，建立起測量信號，經(jīng)過變換、傳輸、處理，從而獲得被測量量值的過程。1.1.2測量方法實現(xiàn)被測量與標(biāo)準(zhǔn)量比較得出比值的方法，稱為測量方法。針對不同測量任務(wù)，進(jìn)行具體分析，找出切實可行的測量方法，對測量工作是十分重要的。對於測量方法，從不同角度，有不同的分類方法。根據(jù)獲得測量值的方法可分為直接測量、間接測量和組合測量；根據(jù)測量方式可分為偏差式測量、零位式測量與微差式測量；根據(jù)測量條件不同可分為等精度測量與不等精度測量；根據(jù)被測量變化快慢可分為靜態(tài)測量與動態(tài)測量；根據(jù)測量敏感元件是否與被測介質(zhì)接觸可分為接觸式測量與非接觸式測量；根據(jù)測量系統(tǒng)是否向被測對象施加能量可分為主動式測量與被動式測量等。

1.直接測量、間接測量與組合測量在使用儀錶或感測器進(jìn)行測量時，測得值直接與標(biāo)準(zhǔn)量進(jìn)行比較，不需要經(jīng)過任何運(yùn)算，直接得到被測量的數(shù)值，這種測量方法稱為直接測量。被測量與測得值之間關(guān)係可用下式表示：y=x(1-3)式中：y——被測量的值；

x——直接測得值。

例如，用磁電式電流錶測量電路的某一支路電流，用彈簧管壓力錶測量壓力等，都屬於直接測量。直接測量的優(yōu)點是測量過程簡單而又迅速，缺點是測量精度不容易達(dá)到很高。在使用儀錶或感測器進(jìn)行測量時，首先對與被測量有確定函數(shù)關(guān)係的幾個量進(jìn)行直接測量，將直接測得值代入函數(shù)關(guān)係式，經(jīng)過計算得到所需要的結(jié)果，這種測量稱為間接測量。間接測量與直接測量不同，被測量y是一個測得值x或幾個測得值x1，x2，…，xn的函數(shù)，即y=f(x)或y=f(x1,x2,…,xn)(1-4)(1-5)

被測量y不能直接測量求得，必須有測得值x或xi（i=1，2，…，n）及與被測量y的函數(shù)關(guān)係確定。如直接測量電壓值U和電阻值R，根據(jù)式P=U2/R求電功率P即為間接測量的實例。間接測量手續(xù)較多，花費(fèi)時間較長，一般用在直接測量不方便，或者缺乏直接測量手段的場合。若被測量必須經(jīng)過求解聯(lián)立方程組求得，如有若干個被測量y1，y2，…，ym，直接測得值為x1,x2,…,xn,把被測量與測得值之間的函數(shù)關(guān)係列成方程組，即(1-6)方程組中方程的個數(shù)n要大於被測量y的個數(shù)m，用最小二乘法求出被測量的數(shù)值，這種測量方法稱為組合測量。組合測量是一種特殊的精密測量方法，操作手續(xù)複雜，花費(fèi)時間長，多適用於科學(xué)實驗或特殊場合。

2.偏差式測量、零位式測量與微差式測量用儀錶指針的位移（即偏差）決定被測量的量值，這種測量方法稱為偏差式測量。應(yīng)用這種方法測量時，儀錶刻度事先用標(biāo)準(zhǔn)器具分度。在測量時，輸入被測量按照儀錶指針在尺規(guī)上的示值，決定被測量的數(shù)值。偏差式測量,其測量過程簡單、迅速，但測量結(jié)果的精度較低。用指零儀錶的零位反映測量系統(tǒng)的平衡狀態(tài)，在測量系統(tǒng)平衡時，用已知的標(biāo)準(zhǔn)量決定被測量的量值，這種測量方法稱為零位式測量。在零位測量時，已知標(biāo)準(zhǔn)量直接與被測量相比較，已知標(biāo)準(zhǔn)量應(yīng)連續(xù)可調(diào)，指零儀錶指零時，被測量與已知標(biāo)準(zhǔn)量相等。例如天平測量物體的品質(zhì)、電位差計測量電壓等都屬於零位式測量。零位式測量的優(yōu)點是可以獲得比較高的測量精度，但測量過程比較複雜，費(fèi)時較長，不適用於測量變化迅速的信號。

微差式測量是綜合了偏差式測量與零位式測量的優(yōu)點而提出的一種測量方法。它將被測量與已知的標(biāo)準(zhǔn)量相比較，取得差值後，再用偏差法測得此差值。應(yīng)用這種方法測量時，不需要調(diào)整標(biāo)準(zhǔn)量，而只需測量兩者的差值。設(shè)：N為標(biāo)準(zhǔn)量，x為被測量，Δ為二者之差，則x=N+Δ。由於N是標(biāo)準(zhǔn)量，其誤差很小，且ΔN，因此可選用高靈敏度的偏差式儀錶測量Δ，即使測量Δ的精度不高，但因Δx，故總的測量精度仍很高。微差式測量的優(yōu)點是反應(yīng)快，而且測量精度高，特別適用於線上控制參數(shù)的測量。3.等精度測量與不等精度測量在整個測量過程中，若影響和決定誤差大小的全部因素（條件）始終保持不變，如由同一個測量者，用同一臺儀器，用同樣的方法，在同樣的環(huán)境條件下，對同一被測量進(jìn)行多次重複測量，稱為等精度測量。在實際中，極難做到影響和決定誤差大小的全部因素（條件）始終保持不變，所以一般情況下只是近似認(rèn)為是等精度測量。有時在科學(xué)研究或高精度測量中，往往在不同的測量條件下，用不同精度的儀錶，不同的測量方法，不同的測量次數(shù)以及不同的測量者進(jìn)行測量和對比，這種測量稱為不等精度測量。

4.靜態(tài)測量與動態(tài)測量

被測量在測量過程中認(rèn)為是固定不變的，對這種被測量進(jìn)行的測量稱為靜態(tài)測量。靜態(tài)測量不需要考慮時間因素對測量的影響。若被測量在測量過程中是隨時間不斷變化的，對這種被測量進(jìn)行的測量稱為動態(tài)測量。1.1.3測量系統(tǒng)

1.測量系統(tǒng)構(gòu)成

測量系統(tǒng)應(yīng)具有對被測對象的特徵量進(jìn)行檢測、傳輸、處理及顯示等功能，一個測量系統(tǒng)是感測器、變送器（變換器）和其他變換裝置等的有機(jī)組合。圖1-1表示測量系統(tǒng)組成結(jié)構(gòu)框圖。圖1-1測量系統(tǒng)組成框圖

感測器是感受被測量（物理量、化學(xué)量、生物量等）的大小，並輸出相對應(yīng)的可用輸出信號（一般多為電量）的器件或裝置。變送器將感測器輸出的信號變換成便於傳輸和處理的信號，大多數(shù)變送器的輸出信號是統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)信號（目前多為4～20mA直流電流），信號標(biāo)準(zhǔn)是系統(tǒng)各環(huán)節(jié)之間的通信協(xié)議。當(dāng)測量系統(tǒng)的幾個功能環(huán)節(jié)獨(dú)立地分隔開時，必須由一個地方向另一個地方傳輸信號，傳輸環(huán)節(jié)就是完成這種傳輸功能的。傳輸通道將測量系統(tǒng)各環(huán)節(jié)間的輸入、輸出信號連接起來，通常用電纜連接，或用光導(dǎo)纖維連接，以用來傳輸數(shù)據(jù)。

信號處理環(huán)節(jié)將感測器輸出信號進(jìn)行處理和變換。如對信號進(jìn)行放大、運(yùn)算、線性化、數(shù)—?；蚰！獢?shù)轉(zhuǎn)換，使其輸出信號便於顯示、記錄。這種信號處理環(huán)節(jié)可用於自動控制系統(tǒng)，也可與電腦系統(tǒng)連接，以便對測量信號進(jìn)行資訊處理。顯示裝置是將被測量資訊變成人的感官能接受的形式，以完成監(jiān)視、控制或分析的目的。測量結(jié)果可以採用模擬顯示，也可採用數(shù)字顯示或圖形顯示，也可以由記錄裝置進(jìn)行自動記錄或由印表機(jī)將數(shù)據(jù)列印出來。

2.開環(huán)測量系統(tǒng)與閉環(huán)測量系統(tǒng)（1）開環(huán)測量系統(tǒng)開環(huán)測量系統(tǒng)全部資訊變換只沿著一個方向進(jìn)行，如圖1-2所示。其中x為輸入量，y為輸出量，k1、k2、k3為各個環(huán)節(jié)的傳遞係數(shù)。輸入輸出關(guān)係表示如下：y=k1k2k3x

因為開環(huán)測量系統(tǒng)是由多個環(huán)節(jié)串聯(lián)而成的，因此系統(tǒng)的相對誤差等於各環(huán)節(jié)相對誤差之和。即(1-7)(1-8)式中，δ——系統(tǒng)的相對誤差；

δi——各環(huán)節(jié)的相對誤差。採用開環(huán)方式構(gòu)成的測量系統(tǒng)，結(jié)構(gòu)較簡單，但各環(huán)節(jié)特性的變化都會造成測量誤差。圖1-2開環(huán)測量系統(tǒng)框圖

（2）閉環(huán)測量系統(tǒng)閉環(huán)測量系統(tǒng)有兩個通道，一為正向通道，一為回饋通道，其結(jié)構(gòu)如圖1-3所示。其中Δx為正向通道的輸入量，β為回饋環(huán)節(jié)的傳遞係數(shù)，正向通道的總傳遞係數(shù)k=k1k2。由圖1-3可知：當(dāng)k>>1時，則(1-9)系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)係為(1-10)

顯然，這時整個系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)係由回饋環(huán)節(jié)的特性決定，放大器等環(huán)節(jié)特性的變化不會造成測量誤差，或者說造成的誤差很小。圖1-3閉環(huán)測量系統(tǒng)框圖1.1.4測量誤差

測量誤差是測得值減去被測量的真值。由於真值往往不知道，因此測量的目的是希望通過測量獲取被測量的真實值。但由於種種原因，例如，感測器本身性能不十分優(yōu)良，測量方法不十分完善，外界干擾的影響等，造成被測量的測得值與真實值不一致，因而測量中總是存在誤差。由於真值未知，所以在實際中，有時用約定真值代替真值，常用某量的多次測量結(jié)果來確定約定真值；或用精度高的儀器示值代替約定真值。

在工程技術(shù)及科學(xué)研究中，對被測量進(jìn)行測量時，測量的可靠性至關(guān)重要，不同場合對測量結(jié)果可靠性的要求也不同。例如，在量值傳遞、經(jīng)濟(jì)核算、產(chǎn)品檢驗場合應(yīng)保證測量結(jié)果有足夠的準(zhǔn)確度。當(dāng)測量值用作控制信號時，則要注意測量的穩(wěn)定性和可靠性。因此，測量結(jié)果的準(zhǔn)確程度，應(yīng)與測量的目的與要求相聯(lián)系，相適應(yīng)，那種不惜工本，不顧場合，一味追求越準(zhǔn)越好的作法是不可取的，要有技術(shù)與經(jīng)濟(jì)兼顧的意識。

1.測量誤差的表示方法

測量誤差的表示方法有多種，含義各異。（1）絕對誤差絕對誤差可用下式定義：Δ=x-L式中:Δ——絕對誤差；x——測量值；L——真值。絕對誤差是有正、負(fù)並有量綱的。(1-11)

在實際測量中，有時要用到修正值，修正值是與絕對誤差大小相等、符號相反的值，即c=-Δ(1-12)式中，c為修正值，通常用高一等級的測量標(biāo)準(zhǔn)或標(biāo)準(zhǔn)儀器獲得修正值。利用修正值可對測量值進(jìn)行修正，從而得到準(zhǔn)確的實際值,修正後的實際測量值x′為x′=x+c

(1-13)修正值給出的方式，可以是具體的數(shù)值，也可以是一條曲線或公式。

採用絕對誤差表示測量誤差，不能很好說明測量品質(zhì)的好壞。例如，在溫度測量時，絕對誤差Δ=1℃，對體溫測量來說是不允許的，而對鋼水溫度測量來說是極好的測量結(jié)果，所以用相對誤差可以比較客觀地反映測量的準(zhǔn)確性。（2）實際相對誤差實際相對誤差的定義由下式給出：(1-14)式中：δ——實際相對誤差，一般用百分?jǐn)?shù)給出；

Δ——絕對誤差；

L——真值。由於被測量的真值L無法知道，實際測量時用測量值x代替真值L進(jìn)行計算，這個相對誤差稱為標(biāo)稱相對誤差，即(1-15)

（3）引用誤差引用誤差是儀錶中通用的一種誤差表示方法。它是相對於儀錶滿量程的一種誤差，又稱滿量程相對誤差，一般也用百分?jǐn)?shù)表示。即式中：γ——引用誤差；

Δ——絕對誤差。儀錶精度等級是根據(jù)最大引用誤差來確定的。例如，0.5級表的引用誤差的最大值不超過±0.5%；1.0級表的引用誤差的最大值不超過±1%。在儀錶和感測器使用時，經(jīng)常會遇到基本誤差和附加誤差兩個概念。(1-16)

（4）基本誤差基本誤差是指感測器或儀錶在規(guī)定的標(biāo)準(zhǔn)條件下所具有的誤差。例如，某感測器是在電源電壓(220±5)V、電網(wǎng)頻率(50±2)Hz、環(huán)境溫度(20±5)℃、濕度65%±5%的條件下標(biāo)定的。如果感測器在這個條件下工作，則感測器所具有的誤差為基本誤差。儀錶的精度等級就是由基本誤差決定的。（5）附加誤差附加誤差是指感測器或儀錶的使用條件偏離額定條件下出現(xiàn)的誤差。例如，溫度附加誤差、頻率附加誤差、電源電壓波動附加誤差等。2.測量誤差的性質(zhì)根據(jù)測量數(shù)據(jù)中的誤差所呈現(xiàn)的規(guī)律及產(chǎn)生的原因可將其分為系統(tǒng)誤差、隨機(jī)誤差和粗大誤差。（1）隨機(jī)誤差在同一測量條件下，多次測量被測量時，其絕對值和符號以不可預(yù)定方式變化著的誤差稱為隨機(jī)誤差。在我國新制訂的國家計量技術(shù)規(guī)範(fàn)JJF1001-1998《通用計量術(shù)語及定義》中，對隨機(jī)誤差的定義是根據(jù)國際標(biāo)準(zhǔn)化組織（ISO）等七個國際組織制訂的《測量不確定度表示指南》定義的，即隨機(jī)誤差是將測量結(jié)果與在重複性條件下，對同一被測量進(jìn)行無限多次測量所得結(jié)果的平均值之差。重複性條件包括：相同的測量程式，相同的觀測者，在相同的條件下使用相同的測量儀器，相同的地點，在短時間內(nèi)重複測量。隨機(jī)誤差可用下式表示：(1-17)式中：xi——被測量的某一個測量值；

x∞——重複性條件下無限多次的測量值的平均值，即(n→∞)

由於重複測量實際上只能測量有限次，因此實用中的隨機(jī)誤差只是一個近似估計值。對於隨機(jī)誤差不能用簡單的修正值來修正，當(dāng)測量次數(shù)足夠多時，隨機(jī)誤差就整體而言，服從一定的統(tǒng)計規(guī)律，通過對測量數(shù)據(jù)的統(tǒng)計處理可以計算隨機(jī)誤差出現(xiàn)的可能性的大小。

（2）系統(tǒng)誤差在同一測量條件下，多次測量被測量時，絕對值和符號保持不變，或在條件改變時，按一定規(guī)律（如線性、多項式、週期性等函數(shù)規(guī)律）變化的誤差稱為系統(tǒng)誤差。前者為恒值系統(tǒng)誤差，後者為變值系統(tǒng)誤差。在我國新制訂的國家計量技術(shù)規(guī)範(fàn)JJF1001-1998《通用計量術(shù)語及定義》中，對系統(tǒng)誤差的定義是，在重複性條件下對同一被測量進(jìn)行無限多次測量所得結(jié)果的平均值與被測量的真值之差。它可用下式表示：系統(tǒng)誤差=x∞-L

式中,L為被測量的真值。

因為真值不能通過測量獲知，所以通過有限次測量的平均值x與L的約定真值近似地得出系統(tǒng)誤差，稱之為系統(tǒng)誤差的估計，得出的系統(tǒng)誤差可對測量結(jié)果進(jìn)行修正，但由於系統(tǒng)誤差不能完全獲知，因此通過修正值對系統(tǒng)誤差只能有限程度地補(bǔ)償。引起系統(tǒng)誤差的原因複雜，如測量方法不完善，零點未調(diào)整，採用近似的計算公式，測量者的經(jīng)驗不足等等。對於系統(tǒng)誤差，首先要查找誤差根源，並設(shè)法減小和消除，而對於無法消除的恒值系統(tǒng)誤差，可以在測量結(jié)果中加以修正。

（3）粗大誤差超出在規(guī)定條件下預(yù)期的誤差稱為粗大誤差，粗大誤差又稱疏忽誤差。這類誤差的發(fā)生是由於測量者疏忽大意，測錯、讀錯或環(huán)境條件的突然變化等引起的。含有粗大誤差的測量值明顯地歪曲了客觀現(xiàn)象，故含有粗大誤差的測量值稱為壞值或異常值。在數(shù)據(jù)處理時，要採用的測量值不應(yīng)該包含有粗大誤差，即所有的壞值都應(yīng)當(dāng)剔除。所以進(jìn)行誤差分析時，要估計的誤差只有系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差兩類。1.2測量數(shù)據(jù)的估計和處理1.2.1隨機(jī)誤差的統(tǒng)計處理

1.正態(tài)分佈多次等精度地重複測量同一量值時，得到一系列不同的測量值，即使剔除了壞值，並採取措施消除了系統(tǒng)誤差，然而每個測量值數(shù)據(jù)各異，可以肯定每個測量值還會含有誤差。這些誤差的出現(xiàn)沒有確定的規(guī)律，具有隨機(jī)性，所以稱為隨機(jī)誤差。隨機(jī)誤差的分佈規(guī)律，可以在大量測量數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上總結(jié)出來，就誤差的總體來說是服從統(tǒng)計規(guī)律的。由於大多數(shù)隨機(jī)誤差服從正態(tài)分佈，因而正態(tài)分佈理論就成為研究隨機(jī)誤差的基礎(chǔ)。

隨機(jī)誤差一般具有以下幾個性質(zhì)：①絕對值相等的正誤差與負(fù)誤差出現(xiàn)的次數(shù)大致相等，誤差所具有的這個特性稱為對稱性。②在一定測量條件下的有限測量值中，其隨機(jī)誤差的絕對值不會超過一定的界限，這一特性稱為有界性。③絕對值小的誤差出現(xiàn)的次數(shù)比絕對值大的誤差出現(xiàn)的次數(shù)多，這一特性稱為單峰性。④對同一量值進(jìn)行多次測量，其誤差的算術(shù)平均值隨著測量次數(shù)n的增加趨向於零，這一特性稱為誤差的抵償性。

抵償性是由第一個特性推導(dǎo)出來的,因為絕對值相等的正誤差與負(fù)誤差之和可以互相抵消。對於有限次測量，隨機(jī)誤差的平均值是一個有限小的量，而當(dāng)測量次數(shù)無限增多時，它趨向於零。抵償性是隨機(jī)誤差的一個重要特徵，凡是具有抵償性的，原則上都可以按隨機(jī)誤差來處理。設(shè)對某一被測量進(jìn)行多次重複測量，得到一系列的測量值為xi，設(shè)被測量的真值為L，則測量列中的隨機(jī)誤差δi為δi=xi-L

i=1,2,…,n(1-19)正態(tài)分佈的概率分佈密度f(δ)為(1-20)

正態(tài)分佈的分佈密度曲線如圖1-4所示，即為一條鐘形的曲線，稱為正態(tài)分佈曲線，其中L、σ（σ>0）是正態(tài)分佈的兩個參數(shù)。從圖中還可以看到，曲線在L±σ（或±σ）處有兩個拐點。圖1-4正態(tài)分佈曲線

2.隨機(jī)誤差的數(shù)字特徵

(1)算術(shù)平均值x

正態(tài)分佈是以x=L為對稱軸，它是正態(tài)總體的平均值。由於在測量過程中，不可避免地存在隨機(jī)誤差，因此我們無法求得測量的真值。但如隨機(jī)誤差服從正態(tài)分佈，算術(shù)平均值處隨機(jī)誤差的概率密度最大，即算術(shù)平均值與被測量的真值最為接近，隨著測量次數(shù)增加，算術(shù)平均值越趨近於真值。如果對某一量進(jìn)行無限多次測量，就可以得到不受隨機(jī)誤差影響的值，或其影響甚微，可以忽略。由於實際上是有限次測量，因而有限次直接測量中算術(shù)平均值是諸測量值中最可信賴的，把它作為等精度多次測量的結(jié)果，即被測量的最佳估計值。

對被測量進(jìn)行等精度的n次測量，得n個測量值x1,x2,…,xn，它們的算術(shù)平均值為(1-21)

由於被測量的真值為未知，不能按式（1-19）求得隨機(jī)誤差，這時可用算術(shù)平均值代替被測量的真值進(jìn)行計算，則有式中,vi為xi的殘餘誤差（簡稱殘差）。(1-22)

（2）標(biāo)準(zhǔn)偏差σ

標(biāo)準(zhǔn)偏差簡稱為標(biāo)準(zhǔn)差，又稱均方根誤差。標(biāo)準(zhǔn)差σ刻劃總體的分散程度，圖1-5給出了L相同，σ不同（σ=0.5，σ=1，σ=1.5）的正態(tài)分佈曲線，σ值愈大，曲線愈平坦，即隨機(jī)變數(shù)的分散性愈大；反之，愈小，曲線愈尖銳（集中），隨機(jī)變數(shù)的分散性愈小。標(biāo)準(zhǔn)差σ由下式算得:(1-23)圖1-5不同σ的正態(tài)分佈曲線σ是在當(dāng)測量次數(shù)趨於無窮時得到的，它是正態(tài)總體的平均值，稱為理論標(biāo)準(zhǔn)差或總體標(biāo)準(zhǔn)差。但在實際測量中不可能得到，因為被測量是在重複性條件下進(jìn)行有限次測量，用算術(shù)平均值代替真值，此時表徵測量值（隨機(jī)誤差）分散性的量用標(biāo)準(zhǔn)差的估計值σs表示，它是評定單次測量值不可靠性的指標(biāo)，由貝塞爾公式計算得到，即(1-24)

式中：xi——第i次測量值；

x——n次測量值的算術(shù)平均值；

vi——

殘餘誤差，即vi=xi-x。標(biāo)準(zhǔn)差的估計值σs也可用代號s表示。標(biāo)準(zhǔn)差的估計值又稱為樣本標(biāo)準(zhǔn)差，它是作為總體標(biāo)準(zhǔn)差σ的估計值，但並不是σ的無偏估計，而樣本方差σ2s才是總體方差σ2的無偏估計。標(biāo)準(zhǔn)差的估計值是方差的正平方根，具有與xi相同的量綱。

若對被測量進(jìn)行m組的“多次重複測量”，若這些測量值已消除了系統(tǒng)誤差，只存在隨機(jī)誤差，各組所得的算術(shù)平均值x1,x2,…,xm各不相同，也是隨機(jī)變數(shù)，它們分佈在期望值附近，但比測量值靠近於期望值，隨著測量次數(shù)的增多，平均值將收斂於期望值。算術(shù)平均值的可靠性指標(biāo)用算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差σx來評定，它與標(biāo)準(zhǔn)差的估計值σs的關(guān)係如下：(1-25)

由上式可見，在測量條件一定的情況下，算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差σx隨著測量次數(shù)n的增加而減小，算術(shù)平均值愈接近期望值。圖1-6所示為σx/σs比值與n的關(guān)係曲線。從圖中可見，當(dāng)n增加到一定次數(shù)（例如10次）以後，σx的減小就變得緩慢，所以不能單靠無限地增加測量次數(shù)來提高測量精度。實際上測量次數(shù)愈多，愈難保證測量條件的穩(wěn)定，從而帶來新的誤差。所以在一般精密測量中，重複性條件下測量的次數(shù)n大多少於10，此時如要進(jìn)一步提高測量精度，則應(yīng)採取其他措施（如提高儀器精度，改進(jìn)測量方法，改善環(huán)境條件等）來解決。圖1-6σx/σs

與n的關(guān)係曲線

3.正態(tài)分佈隨機(jī)誤差的概率計算如隨機(jī)變數(shù)符合正態(tài)分佈，它出現(xiàn)的概率就是正態(tài)分佈曲線下所包圍的面積。因為全部隨機(jī)變數(shù)出現(xiàn)的總的概率為1，所以曲線所包圍的面積應(yīng)等於1，即隨機(jī)變數(shù)落在任意區(qū)間（a，b）的概率為式中,Pa為置信概率。

σ是正態(tài)分佈的特徵參數(shù)，區(qū)間通常表示成σ的倍數(shù)，如kσ。由於隨機(jī)變數(shù)分佈對稱性的特點，常取對稱的區(qū)間，即在±kσ區(qū)間的概率為式中:k——置信係數(shù)；

±kσ——置信區(qū)間(誤差限)。表1-1正態(tài)分佈的k值及其相應(yīng)的概率

隨機(jī)變數(shù)落在±kσ範(fàn)圍內(nèi)出現(xiàn)的概率為Pa，則超出的概率稱為置信度，又稱為顯著性水準(zhǔn)，用α表示α=1-Pa

（1-27）圖1-7Pa與α關(guān)係

從表1-1可知，當(dāng)k=1時，Pa=0.6827，即測量結(jié)果中隨機(jī)誤差出現(xiàn)在-σ～+σ範(fàn)圍內(nèi)的概率為68.27%,而|v|>σ的概率為31.73%。出現(xiàn)在-3σ～+3σ範(fàn)圍內(nèi)的概率是99.73%,因此可以認(rèn)為絕對值大於3σ的誤差是不可能出現(xiàn)的，通常把這個誤差稱為極限誤差δlim，即極限誤差δlim=±3σ。【例1-1】對某一溫度進(jìn)行10次精密測量，測量數(shù)據(jù)如表1-2所示，設(shè)這些測得值已消除系統(tǒng)誤差和粗大誤差，求測量結(jié)果。表1-2測量數(shù)據(jù)解：算術(shù)平均值標(biāo)準(zhǔn)差的估計值算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差測量結(jié)果可表示為或

按照上面分析，測量結(jié)果可用算術(shù)平均值表示，因為算術(shù)平均值是被測量的最佳估計值，在測量結(jié)果中還應(yīng)包括測量不確定度。

4.不等精度直接測量的權(quán)與誤差前面講述的內(nèi)容是等精度測量的問題。嚴(yán)格地說，絕對的等精度測量是很難保證的，但對條件差別不大的測量，一般都當(dāng)作等精度測量對待，某些條件的變化，如測量時溫度的波動等，只作為誤差來考慮。但有時在科學(xué)研究或高精度測量中，為了獲得足夠的資訊，有意改變測量條件，比如不同的地點、用不同精度的儀錶，或是用不同的測量方法等進(jìn)行測量，這樣的測量屬於不等精度測量。對於不等精度的測量，測量數(shù)據(jù)的分析和綜合不能套用前面等精度測量的數(shù)據(jù)處理的計算公式，需推導(dǎo)出新的計算公式。

（1）“權(quán)”的概念在等精度測量中，即多次重複測量得到的各個測得值具有相同的精度，可用同一個標(biāo)準(zhǔn)偏差σ值來表徵，或者說各個測得值具有相同的可信程度，並取所有測量值的算術(shù)平均值作為測量結(jié)果。在不等精度測量時，對同一被測量進(jìn)行m組獨(dú)立無系統(tǒng)誤差及無粗大誤差的測量，得到m組測量列（進(jìn)行多次測量的一組數(shù)據(jù)稱為一測量列）的測量結(jié)果及其誤差，由於各組測量條件不同，各組的測量結(jié)果及誤差不能同等看待，即各組測量結(jié)果的可靠程度不一樣。測量精度高（即標(biāo)準(zhǔn)差?。┑臏y量列具有較高的可靠性。為了衡量這種可靠性和可信賴程度，引進(jìn)“權(quán)”的概念。

“權(quán)”可理解為各組測量結(jié)果相對的可信賴程度。測量次數(shù)多，測量方法完善，測量儀錶精度高，測量的環(huán)境條件好，測量人員的水準(zhǔn)高，則測量結(jié)果可靠，其權(quán)也大。權(quán)是相比較而存在的。權(quán)用符號p表示，有兩種計算方法：①用各組測量列的測量次數(shù)n的比值表示p1∶p2∶….∶pm=n1∶n2∶…..∶nm

(1-28)②用各組測量列的標(biāo)準(zhǔn)差平方的倒數(shù)的比值表示

從式（1-29）可看出：每組測量結(jié)果的權(quán)與其相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差平方成反比。如果已知各組算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差，即可確定回應(yīng)權(quán)的大小。測量結(jié)果權(quán)的數(shù)值只表示各組間的相對可靠程度，它是一個無量綱的數(shù)。通常在計算各組權(quán)時，令最小的權(quán)數(shù)為“1”，以便用簡單的數(shù)值來表示各組的權(quán)。(1-29)

（2）加權(quán)算術(shù)平均值xp

在等精度測量時，測量結(jié)果的最佳估計值用算術(shù)平均值表示;而在不等精度測量時，測量結(jié)果的最佳估計值用加權(quán)算術(shù)平均值表示。加權(quán)算術(shù)平均值不同於一般的算術(shù)平均值，它是各組測量列的全體平均值，不僅要考慮各測得值，而且還要考慮各組權(quán)。若對同一被測量進(jìn)行m組不等精度測量，得到m個測量列的算術(shù)平均值 ，相應(yīng)各組的權(quán)分別為p1,p2,….,pm，則加權(quán)平均值可用下式表示：（1-30）

（3）加權(quán)算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差用加權(quán)算術(shù)平均值作為不等精度測量結(jié)果的最佳估計值時，其精度由加權(quán)算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差來表示。對同一個被測量進(jìn)行m組不等精度測量，得到m個測量結(jié)果 ，則加權(quán)算術(shù)平均值xp的標(biāo)準(zhǔn)差可由下式計算:(1-31)【例1-2】用三種不同的方法測量某電感量，三種方法測得的各平均值與標(biāo)準(zhǔn)差為求電感的加權(quán)算術(shù)平均值及其加權(quán)算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差。解：令p3=1，則加權(quán)算術(shù)平均值為加權(quán)算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差為1.2.2系統(tǒng)誤差的通用處理方法

1.從誤差根源上消除系統(tǒng)誤差

由於系統(tǒng)誤差的特殊性，在處理方法上與隨機(jī)誤差完全不同。主要是如何有效地找出系統(tǒng)誤差的根源，並減小或消除。查找誤差根源的關(guān)鍵，就是要對測量設(shè)備、測量對象和測量系統(tǒng)作全面分析，明確其中有無產(chǎn)生明顯系統(tǒng)誤差的因素，並採取相應(yīng)措施予以修正或消除。由於具體條件不同，在分析查找誤差根源時，並沒有一成不變的方法，這與測量者的經(jīng)驗、水準(zhǔn)以及測量技術(shù)的發(fā)展密切相關(guān)。通常，我們可以從以下幾個方面進(jìn)行分析考慮。①所用感測器，測量儀錶或組成元件是否準(zhǔn)確可靠。比如感測器或儀錶靈敏度不足，儀錶刻度不準(zhǔn)確，變換器、放大器等性能不太優(yōu)良等都會引起誤差，而且是常見的誤差。②測量方法是否完善，如用電壓表測量電壓，電壓表的內(nèi)阻對測量結(jié)果有影響。③感測器儀錶安裝、調(diào)整或放置是否正確合理。例如，未調(diào)好儀錶水準(zhǔn)位置，安裝時儀錶指針偏心等都會引起誤差。④感測器或儀錶工作場所的環(huán)境條件是否符合規(guī)定條件。例如，環(huán)境、溫度、濕度、氣壓等的變化也會引起誤差。⑤測量者操作是否正確。例如，讀數(shù)時視差、視力疲勞等都會引起系統(tǒng)誤差。

2.系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)與判別

發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差一般比較困難，下麵只介紹幾種發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差的一般方法。（1）實驗對比法這種方法是通過改變產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的條件從而進(jìn)行不同條件的測量，來發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差的。這種方法適用於發(fā)現(xiàn)固定的系統(tǒng)誤差。例如，一臺測量儀錶本身存在固定的系統(tǒng)誤差，即使進(jìn)行多次測量也不能發(fā)現(xiàn)，只有用更高一級精度的測量儀錶測量時，才能發(fā)現(xiàn)這臺測量儀錶的系統(tǒng)誤差。

（2）殘餘誤差觀察法這種方法是根據(jù)測量值的殘餘誤差的大小和符號的變化規(guī)律，直接由誤差數(shù)據(jù)或誤差曲線圖形來判斷有無變化的系統(tǒng)誤差。把殘餘誤差按照測量值先後順序作圖，如圖1-8所示。圖(a)殘餘誤差有規(guī)律地遞增(或遞減)，表明存在線性變化的系統(tǒng)誤差；圖(b)中殘餘誤差大小和符號大體呈週期性，可以認(rèn)為有週期性系統(tǒng)誤差；圖(c)殘餘誤差變化規(guī)律較複雜，懷疑同時存在線性系統(tǒng)誤差和週期性系統(tǒng)誤差。圖1-8殘餘誤差變化規(guī)律

（3）準(zhǔn)則檢查法目前已有多種準(zhǔn)則供人們檢驗測量數(shù)據(jù)中是否含有系統(tǒng)誤差。不過這些準(zhǔn)則都有一定適用範(fàn)圍。如馬利科夫判據(jù)將殘餘誤差前後各半分為兩組，若“∑vi前”與“∑vi後”之差明顯不為零，則可能含有線性系統(tǒng)誤差。阿貝檢驗法是檢查殘餘誤差是否偏離正態(tài)分佈，若偏離，則可能存在變化的系統(tǒng)誤差。將測量值的殘餘誤差按測量順序排列,且設(shè) A=v21+v22+…+v2n

B=(v1-v2)2+(v2-v3)2+…+(vn-1-vn)2+(vn-v1)2若則可能含有變化的系統(tǒng)誤差，但類型不能判定。

3.系統(tǒng)誤差的消除（1）在測量結(jié)果中進(jìn)行修正對於已知的恒值系統(tǒng)誤差，可以用修正值對測量結(jié)果進(jìn)行修正；對於變值系統(tǒng)誤差，設(shè)法找出誤差的變化規(guī)律，用修正公式或修正曲線對測量結(jié)果進(jìn)行修正；對未知系統(tǒng)誤差，則按隨機(jī)誤差進(jìn)行處理。（2）消除系統(tǒng)誤差的根源在測量之前，仔細(xì)檢查儀表，正確調(diào)整和安裝；防止外界干擾影響；選好觀測位置消除視差；選擇環(huán)境條件比較穩(wěn)定時進(jìn)行讀數(shù)等。（3）在測量系統(tǒng)中採用補(bǔ)償措施找出系統(tǒng)誤差規(guī)律在測量過程中自動消除系統(tǒng)誤差。如用熱電偶測量溫度時，熱電偶參考端溫度變化會引起系統(tǒng)誤差，消除此誤差的辦法之一是在熱電偶回路中加一個冷端補(bǔ)償器，從而實現(xiàn)自動補(bǔ)償。

（4）即時回饋修正由於自動化測量技術(shù)及微機(jī)的應(yīng)用，可用即時回饋修正的辦法來消除複雜的變化系統(tǒng)誤差。當(dāng)查明某種誤差因素的變化對測量結(jié)果有明顯的複雜影響時，應(yīng)盡可能找出其影響測量結(jié)果的函數(shù)關(guān)係或近似的函數(shù)關(guān)係。在測量過程中，用感測器將這些誤差因素的變化，轉(zhuǎn)換成某種物理量形式（一般為電量），及時按照其函數(shù)關(guān)係，通過電腦算出影響測量結(jié)果的誤差值，並對測量結(jié)果作即時的自動修正。1.2.3粗大誤差

1.3σ準(zhǔn)則前面已講到，通常把等於3σ的誤差稱為極限誤差，對於正態(tài)分佈的隨機(jī)誤差，落在±3σ

以外的概率只有0.27%，它在有限次測量中發(fā)生的可能性很小。3σ準(zhǔn)則就是如果一組測量數(shù)據(jù)中某個測量值的殘餘誤差的絕對值|vi|>3σ時，則該測量值為可疑值（壞值），應(yīng)剔除。

3σ準(zhǔn)則又稱萊以達(dá)準(zhǔn)則。3σ準(zhǔn)則是最常用也是最簡單的判別粗大誤差的準(zhǔn)則，它應(yīng)用於測量次數(shù)充分多的情況。

2.肖維勒準(zhǔn)則

肖維勒準(zhǔn)則是以正態(tài)分佈為前提的，假設(shè)多次重複測量所得的n個測量值中，某個測量值的殘餘誤差|vi|>Zcσ,則剔除此數(shù)據(jù)。實用中Zc<3，所以在一定程度上彌補(bǔ)了3σ準(zhǔn)則的不足。肖維勒準(zhǔn)則中的Zc值見表1-3。表1-3肖維勒準(zhǔn)則中的Zc值3.格拉布斯準(zhǔn)則格拉布斯準(zhǔn)則也是以正態(tài)分佈為前提的，理論上較嚴(yán)謹(jǐn)，使用也較方便。某個測量值的殘餘誤差的絕對值|vi|＞Gσ，則判斷此值中含有粗大誤差，應(yīng)予剔除，此即格拉布斯準(zhǔn)則。G值與重複測量次數(shù)n和置信概率Pa有關(guān)，見表1-4。表1-4格拉布斯準(zhǔn)則中的G值

以上準(zhǔn)則是以數(shù)據(jù)按正態(tài)分佈為前提的，當(dāng)偏離正態(tài)分佈，特別是測量次數(shù)很少時，判斷的可靠性就差。因此，對待粗大誤差，除用剔除準(zhǔn)則外，更重要的是要提高工作人員的技術(shù)水準(zhǔn)和工作責(zé)任心。另外，要保證測量條件的穩(wěn)定，以防止因環(huán)境條件劇烈變化而產(chǎn)生的突變影響。

【例1-3】對某一電壓進(jìn)行12次等精度測量，測量值如表1-5所示，若這些測量值已消除系統(tǒng)誤差，試判斷有無粗大誤差，並寫出測量結(jié)果。解：①求算術(shù)平均值及標(biāo)準(zhǔn)差:表1–5測量值②判斷有無粗大誤差。由於本例中測量次數(shù)比較少，不採用3σ準(zhǔn)則判斷粗大誤差。這裏採用格拉布斯準(zhǔn)則,已知測量次數(shù)n=12，取置信概率Pa=0.95,查表1-4,得格拉布斯係數(shù)G=2.28。Gσs=2.28×0.032=0.073<|v6|故U6應(yīng)剔除,剔除後重新計算算術(shù)平均值和標(biāo)準(zhǔn)差。再次判斷粗大誤差，查表1-4得格拉布斯係數(shù)G=2.23。

Gσs2=2.23×0.0145=0.032所有vi2均小於Gσs2,故其他11個測量值中無壞值。③計算算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差④最後測量結(jié)果可表示為

Pa=99.73%1.2.4測量數(shù)據(jù)處理中的幾個問題

1.間接測量中的測量數(shù)據(jù)處理

前面主要是針對直接測量的誤差分析，在直接測量中，測量誤差就是直接測得值的誤差。而對於間接測量，是通過直接測得值與被測量之間的函數(shù)關(guān)係，經(jīng)過計算得到被測量的，所以間接測量的誤差則是各個直接測得值誤差的函數(shù)。

一個測量系統(tǒng)或一個感測器都是由若干部分組成的，設(shè)各環(huán)節(jié)分別為x1,x2,…,xn，系統(tǒng)總的輸入輸出之間的函數(shù)關(guān)係為y=f(x1,x2,…,xn)，而各部分又都存在誤差，也會影響測量系統(tǒng)或感測器總的誤差，這類誤差的分析也可歸納到間接測量的誤差分析。在間接測量中，已知各直接測得值的誤差（或局部誤差），求總的誤差，即誤差的合成（也稱誤差的綜合）；反之，確定了總的誤差後，各環(huán)節(jié)（或各部分）具有多大誤差才能保證總的誤差值不超過規(guī)定值，這叫做誤差的分配。在感測器和測量系統(tǒng)的設(shè)計時經(jīng)常用到誤差的分配。下麵介紹誤差的合成。

（1）絕對誤差和相對誤差的合成如被測量為y，設(shè)各直接測得值x1,x2,…,xn之間相互獨(dú)立，則與被測量y之間函數(shù)關(guān)係為y=f(x1,x2,…,xn)

各測得值的絕對誤差分別為Δx1,Δx2,….,Δxn,因為誤差一般均很小，其誤差可用微分來表示，則被測量y的誤差可表示為(1-32)

實際計算誤差時，以各環(huán)節(jié)的絕對誤差Δx1,Δx2,…,Δxn來代替上式中的dx1,dx2,…,dxn，即(1-33)式中，Δy為綜合後總的絕對誤差。如測得值與被測量的函數(shù)關(guān)係為y=x1+x2+…+xn，則綜合絕對誤差Δy=Δx1+Δx2+…+Δxn如被測量y的綜合誤差用相對誤差表示，則

但當(dāng)誤差項數(shù)較多時，相對誤差的合成一般情況下按方和根合成比較符合統(tǒng)計值，即式中，

（2）標(biāo)準(zhǔn)差的合成設(shè)被測量y與各直接測得值x1,x2,…,xn之間的函數(shù)關(guān)係為y=f(x1,x2,…,xn)，各測得值的標(biāo)準(zhǔn)差分別為σ１，σ２，…，σn，當(dāng)各測得值相互獨(dú)立時，被測量y的標(biāo)準(zhǔn)差為(1-34)【例1-4】

用手動平衡電橋測量電阻Rx（如圖1-9所示）。已知R1=100Ω，R2=1000Ω，RN=100Ω，各橋臂電阻的恒值系統(tǒng)誤差分別為ΔR1=0.1Ω，ΔR2=0.5Ω，ΔRN=0.1Ω。求消除恒值系統(tǒng)誤差後的Rx值。圖1-9測量電阻Rx的平衡電橋原理線路圖

解：被測電阻Rx變化時，調(diào)節(jié)可變電阻RN的大小，使檢流計指零，電橋平衡，此時有

R1·RN=R2·Rx

即不考慮R1、R2、RN的系統(tǒng)誤差時，有

由於R1、R2、RN存在誤差，因此測量電阻RN也將產(chǎn)生系統(tǒng)誤差，利用式（1-33）可得消除ΔR1、ΔR2、ΔRN的影響，即修正後的電阻Rx應(yīng)為Rx=Rx0-ΔRx=10-0.015=9.985Ω

2.最小二乘法的應(yīng)用最小二乘法原理是一數(shù)學(xué)原理，要獲得最可信賴的測量結(jié)果，應(yīng)使各測量值的殘餘誤差平方和為最小，這就是最小二乘法原理。可用算術(shù)平均值作為多次測量的結(jié)果，因為它們符合最小二乘法原理。最小二乘法作為一種數(shù)據(jù)處理手段，在組合測量的數(shù)據(jù)處理、實驗曲線的擬合及在其他多種學(xué)科方面，均獲得了廣泛的應(yīng)用。下麵以組合測量為例說明最小二乘法原理及基本運(yùn)算。設(shè)有線性函數(shù)方程組為(1-35)式中:X1,X2,…,Xm——被測量；

Y1,Y2,…,Yn——直接測得值。

由於在測量中不可避免會引入誤差，所求得的結(jié)果必然會帶有一定的誤差，為了減小隨機(jī)誤差的影響，測量次數(shù)n大於所求未知數(shù)個數(shù)m（n>m），顯然，用一般的代數(shù)方法無法求解，而只有採用最小二乘法來求解。根據(jù)最小二乘法原理，在直接測得值有誤差的情況下，欲求被測量最可信賴的值，應(yīng)使殘餘誤差的平方之和為最小，即

若x1,x2,…,xm是被測量X1,X2,…,Xm最可信賴的值，又稱最佳估計值，則相應(yīng)的估計值亦有下列函數(shù)關(guān)係:(1-36)

設(shè)l1，l2，…，ln為帶有誤差的實際直接測得值，它們與相應(yīng)的估計值y1,y2,…,yn之間的偏差即為殘餘誤差，殘餘誤差方程組為(1-37)

按最小二乘法原理，要得到可信賴的結(jié)果x1,x2,…,xm，上述方程組的殘餘誤差平方和為最小。根據(jù)求極值條件，應(yīng)使(1-38)將上述偏微分方程式整理，最後可寫成(1-39)式(1-39）即為重複性測量的線性函數(shù)最小二乘估計的正規(guī)方程。式中

正規(guī)方程是一個m元線性方程組，當(dāng)其係數(shù)行列式不為零時，有唯一確定的解，由此可解得欲求被測量的估計值x1,x2,…,xm,即為符合最小二乘原理的最佳解。線性函數(shù)的最小二乘法處理應(yīng)用矩陣這一工具進(jìn)行討論有許多便利之處。將誤差方程（式1-37）用下列的矩陣表示：(1-40)式中，係數(shù)矩陣為被測量估計值矩陣為直接測得值矩陣為殘餘誤差矩陣為殘餘誤差平方和最小這一條件的矩陣形式為即V′V=最小或?qū)⑸鲜鼍€性函數(shù)的正規(guī)方程式（1-39）用殘餘誤差表示，可改寫成(1-41)寫成矩陣形式為即A′V=0(1-42)由式（1-40）有（1-43）式（1-43）即為最小二乘估計的矩陣解。【例1-5】銅電阻的電阻值R與溫度t之間關(guān)係為Rt=R0(1+αt)，在不同溫度下，測得銅電阻的電阻值如下表所示。試估計0℃時的銅電阻的電阻值R0和銅電阻的電阻溫度係數(shù)α。解：列出誤差方程式中,rti為溫度ti下測得的銅電阻電阻值。令x=r0,y=αr0,則誤差方程可寫為76.3-(x+19.1y)=v177.8-(x+25.0y)=v2

79.75-(x+30.1y)=v3

80.80-(x+36.0y)=v4

82.35-(x+40.0y)=v583.9-(x+45.1y)=v6

85.10-(x+50.0y)=v7

按式（1-39），其正規(guī)方程為於是有將各值代入上式，得到7x+245.3y=566245.3x+9325.38y=20044.5解得x=70.8Ωy=0.288Ω/℃即r0=70.8Ω用矩陣求解，則有所以

3.用經(jīng)驗公式擬合實驗數(shù)據(jù)——回歸分析

在工程實踐和科學(xué)實驗中，經(jīng)常遇到對於一批實驗數(shù)據(jù)，需要把它們進(jìn)一步整理成曲線圖或經(jīng)驗公式。用經(jīng)驗公式擬合實驗數(shù)據(jù)，工程上把這種方法稱為回歸分析?；貧w分析就是應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計的方法，對實驗數(shù)據(jù)進(jìn)行分析和處理，從而得出反映變數(shù)間相互關(guān)係的經(jīng)驗公式，也稱回歸方程。當(dāng)經(jīng)驗公式為線性函數(shù)時，例如y=b0+b1x1+b2x2+…+bnxn

(1-44)稱這種回歸分析為線性回歸分析，它在工程中應(yīng)用價值較高。線上性回歸分析中，當(dāng)獨(dú)立變數(shù)只有一個時，即函數(shù)關(guān)係為y=b0+bx

這種回歸稱為一元線性回歸，這就是工程上和科研中常遇到的直線擬合問題。設(shè)有n對測量數(shù)據(jù)(xi,yi)，用一元線性回歸方程擬合，則根據(jù)測量數(shù)據(jù)值，實際上只要求出方程中係數(shù)b0、b的最佳估計值，一元線性回歸方程也就確定了。求取一元線性回歸方程中係數(shù)b0、b的值，最常用的方法是利用最小二乘法原理，即應(yīng)使各測量數(shù)據(jù)點與回歸直線的偏差平方和為最小，見圖1-10。圖1-10用最小二乘法求回歸直線誤差方程組為(1-46)式中： 分別為在x1,x2,…,xn點上y的估計值。

用最小二乘法求係數(shù)b0、b同上，這裏不再敘述。在求經(jīng)驗公式時，有時用圖解法分析顯得更方便、直觀，將測量數(shù)據(jù)值（xi,yi）繪製在座標(biāo)紙上(稱之為散點圖)，把這些測量點直接連接起來，根據(jù)曲線（包括直線）的形狀、特徵以及變化趨勢，可以設(shè)法給出它們的數(shù)學(xué)模型（即經(jīng)驗公式）。這不僅可把一條形象化的曲線與各種分析方法聯(lián)繫起來，而且還在相當(dāng)程度上擴(kuò)展了原有曲線的應(yīng)用範(fàn)圍。1.2.5測量不確定度測量的目的是確定被測量的值或獲取測量結(jié)果，測量結(jié)果的完整表述應(yīng)包括估計值、測量單位及測量不確定度。眾所周知，沒有測量單位的數(shù)據(jù)不能表徵被測量的大小，沒有測量不確定度的測量結(jié)果不能評定測量的品質(zhì)，從而失去或削弱了測量結(jié)果的可用性和可比性。不確定度這個術(shù)語雖然在測量領(lǐng)域已廣泛使用，但表示方法各不相同。為此，早在1978年國際計量大會(CIPM)責(zé)成國際計量局(BIPM)協(xié)同各國的國家計量標(biāo)準(zhǔn)局制定一個表述不確定度的指導(dǎo)檔。1993年，以國際標(biāo)準(zhǔn)化組織(ISO)等7個國際組織的名義制定了一個指導(dǎo)性的檔，即《測量不確定度表示指南》（GUM）。

為此，國際上有了一致的普遍承認(rèn)的表徵測量結(jié)果品質(zhì)的概念。我國於1999年頒佈了適合我國國情的《測量不確定度評定與表示》的技術(shù)規(guī)範(fàn)(JJF1059-1999)，其內(nèi)容原則上採用了《測量不確定度表示指南》的基本方法，以利於國際間的交流與合作，與國際接軌。測量不確定度定義為表徵合理賦予被測量之值的分散性，與測量結(jié)果相聯(lián)系的參數(shù)。從詞義上理解，測量不確定度意味著對測量結(jié)果的可靠性和有效性的懷疑程度或不能肯定的程度。

測量不確定度可用標(biāo)準(zhǔn)差u(即前面的σ)表示，用標(biāo)準(zhǔn)差表示的測量不確定度稱為標(biāo)準(zhǔn)不確定度。一般測量不確定度包括若干個分量，將這些分量合成後的不確定度稱為合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度，用uc表示。對正態(tài)分佈而言，合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度的置信概率只有68%。在一些重要的測量中，要求給出較高的置信概率，需採用擴(kuò)展不確定度U，它是合成不確定度的倍數(shù)，即U=kuc。測量不確定度是一個與測量結(jié)果聯(lián)繫在一起的參數(shù)。在測量結(jié)果的完整表示中，應(yīng)有測量值的估計值y和測量不確定度U，即y±U。

評定不確定度實際上是對測量結(jié)果的品質(zhì)進(jìn)行評定。不確定度按其評定方法可分為A類評定和B類評定。A類評定是用統(tǒng)計方法進(jìn)行評定。即對某被測量進(jìn)行等精度的獨(dú)立的多次重複測量，得到一系列的測得值。A類評定通常以算術(shù)平均值x作為被測量的估計值，以x的標(biāo)準(zhǔn)差σx作為測量結(jié)果的A類標(biāo)準(zhǔn)不確定度uA。B類評定用非統(tǒng)計分析方法，它不是由一系列的測得值確定，而是利用影響測得值分佈變化的有關(guān)資訊和資料進(jìn)行分析，並對測量值進(jìn)行概率分佈估計和分佈假設(shè)的科學(xué)評定，得到B類標(biāo)準(zhǔn)不確定度uB。B類評定在不確定度評定中佔有重要地位，因為有時不確定度無法用統(tǒng)計方法來評定，或者可用統(tǒng)計法，但不經(jīng)濟(jì)可行,所以B類評定在實際工作中應(yīng)用很多。2.1感測器的組成和分類

感測器是能感受規(guī)定的被測量並按照一定的規(guī)律轉(zhuǎn)換成可用輸出信號的器件或裝置。在有些學(xué)科領(lǐng)域，感測器又稱為敏感元件、檢測器、轉(zhuǎn)換器等。這些不同提法，反映了在不同的技術(shù)領(lǐng)域中，只是根據(jù)器件用途對同一類型的器件使用著不同的技術(shù)術(shù)語而已。如在電子技術(shù)領(lǐng)域，常把能感受信號的電子元件稱為敏感元件，如熱敏元件、磁敏元件、光敏元件及氣敏元件等，在超聲波技術(shù)中則強(qiáng)調(diào)的是能量的轉(zhuǎn)換，如壓電式換能器等。這些提法在含義上有些狹窄，因此感測器一詞是使用最為廣泛而概括的用語。

感測器輸出信號通常是電量，它便於傳輸、轉(zhuǎn)換、處理、顯示等。電量有很多形式，如電壓、電流、電容、電阻等，輸出信號的形式由感測器的原理確定。通常，感測器由敏感元件和轉(zhuǎn)換元件組成（如圖2-1所示）。其中，敏感元件是指感測器中能直接感受或回應(yīng)被測量的部分；轉(zhuǎn)換元件是指感測器中能將敏感元件感受或回應(yīng)的被測量轉(zhuǎn)換成適於傳輸或測量的電信號部分。由於感測器輸出信號一般都很微弱，需要有信號調(diào)理與轉(zhuǎn)換電路，進(jìn)行放大、運(yùn)算調(diào)製等，此外信號調(diào)理轉(zhuǎn)換電路以及感測器的工作必須有輔助的電源，因此信號調(diào)理轉(zhuǎn)換電路以及所需的電源都應(yīng)作為感測器組成的一部分。隨著半導(dǎo)體器件與集成技術(shù)在感測器中的應(yīng)用，感測器的信號調(diào)理轉(zhuǎn)換電路與敏感元件一起集成在同一晶片上，安裝在感測器的殼體裏。圖2-1感測器組成方框圖

感測器技術(shù)是一門知識密集型技術(shù)。感測器的原理有各種各樣，它與許多學(xué)科有關(guān)，其種類十分繁多，分類方法也很多，但目前一般採用兩種分類方法：一種是按被測參數(shù)分類，如溫度、壓力、位移、速度等；另一種是按感測器的工作原理分類，如應(yīng)變式、電容式、壓電式、磁電式等。本書是按後一種分類方法來介紹各種感測器的，而感測器的工程應(yīng)用則是根據(jù)工程參數(shù)進(jìn)行敘述的。對於初學(xué)者和應(yīng)用感測器的工程技術(shù)人員來說，先從工作原理出發(fā)，瞭解各種各樣感測器，而對工程上的被測參數(shù)，應(yīng)著重於如何合理選擇和使用感測器。2.2感測器的基本特性2.2.1感測器的靜態(tài)特性感測器的靜態(tài)特性是指被測量的值處於穩(wěn)定狀態(tài)時的輸出與輸入的關(guān)係。如果被測量是一個不隨時間變化，或隨時間變化緩慢的量，可以只考慮其靜態(tài)特性，這時感測器的輸入量與輸出量之間在數(shù)值上一般具有一定的對應(yīng)關(guān)係，關(guān)係式中不含有時間變數(shù)。對靜態(tài)特性而言，感測器的輸入量x與輸出量y之間的關(guān)係通常可用一個如下的多項式表示：y=a0+a1x+a2x2+…+anxn

式中：a0——輸入量x為零時的輸出量；

a1，a2，…，an——非線性項係數(shù)。各項係數(shù)決定了特性曲線的具體形式。感測器的靜態(tài)特性可以用一組性能指標(biāo)來描述，如靈敏度、遲滯、線性度、重複性和漂移等。

1.靈敏度靈敏度是感測器靜態(tài)特性的一個重要指標(biāo)。其定義是輸出量增量Δy與引起輸出量增量Δy的相應(yīng)輸入量增量Δx之比。用S表示靈敏度，即它表示單位輸入量的變化所引起感測器輸出量的變化，很顯然，靈敏度S值越大，表示感測器越靈敏。（2-2）圖2-2感測器的靈敏度

2.線性度感測器的線性度是指感測器的輸出與輸入之間數(shù)量關(guān)係的線性程度。輸出與輸入關(guān)係可分為線性特性和非線性特性。從感測器的性能看，希望具有線性關(guān)係，即理想輸入輸出關(guān)係。但實際遇到的感測器大多為非線性（如圖2-3所示）。在實際使用中，為了標(biāo)定和數(shù)據(jù)處理的方便，希望得到線性關(guān)係，因此引入各種非線性補(bǔ)償環(huán)節(jié)，如採用非線性補(bǔ)償電路或電腦軟體進(jìn)行線性化處理，從而使感測器的輸出與輸入關(guān)係為線性或接近線性，但如果感測器非線性的方次不高，輸入量變化範(fàn)圍較小時，可用一條直線（切線或割線）近似地代表實際曲線的一段，使感測器輸入輸出特性線性化，所採用的直線稱為擬合直線。圖2-3線性度

感測器的線性度是指在全量程範(fàn)圍內(nèi)實際特性曲線與擬合直線之間的最大偏差值ΔLmax與滿量程輸出值YFS之比。線性度也稱為非線性誤差，用γL表示，即式中：ΔLmax——最大非線性絕對誤差；

YFS——滿量程輸出值。圖2-4幾種直線擬合方法(a)理論擬合；(b)過零旋轉(zhuǎn)擬合；(c)端點連線擬合；(d)端點平移擬合

3.遲滯感測器在輸入量由小到大（正行程）及輸入量由大到小（反行程）變化期間其輸入輸出特性曲線不重合的現(xiàn)象稱為遲滯(如圖2-5所示)。也就是說，對於同一大小的輸入信號，感測器的正反行程輸出信號大小不相等，這個差值稱為遲滯差值。感測器在全量程範(fàn)圍內(nèi)最大的遲滯差值ΔHmax與滿量程輸出值YFS之比稱為遲滯誤差，用γH表示，即（2-4）

產(chǎn)生這種現(xiàn)象的主要原因是由於感測器敏感元件材料的物理性質(zhì)和機(jī)械另部件的缺陷所造成的，例如彈性敏感元件彈性滯後、運(yùn)動部件摩擦、傳動機(jī)構(gòu)的間隙、緊固件鬆動等。遲滯誤差又稱為回差或變差。圖2-5遲滯特性

4.重複性

重複性是指感測器在輸入量按同一方向作全量程連續(xù)多次變化時，所得特性曲線不一致的程度（見圖2-6）。重複性誤差屬於隨機(jī)誤差，常用標(biāo)準(zhǔn)差σ計算，也可用正反行程中最大重複差值ΔRmax計算，即（2-5）或（2-6）圖2-6重複性

5.漂移感測器的漂移是指在輸入量不變的情況下，感測器輸出量隨著時間變化，此現(xiàn)象稱為漂移。產(chǎn)生漂移的原因有兩個方面：一是感測器自身結(jié)構(gòu)參數(shù)；二是周圍環(huán)境（如溫度、濕度等）。最常見的漂移是溫度漂移，即周圍環(huán)境溫度變化而引起輸出的變化，溫度漂移主要表現(xiàn)為溫度零點漂移和溫度靈敏度漂移。溫度漂移通常用感測器工作環(huán)境溫度偏離標(biāo)準(zhǔn)環(huán)境溫度（一般為20℃）時的輸出值的變化量與溫度變化量之比(ξ)來表示，即(2-7)

式中：Δt——工作環(huán)境溫度t偏離標(biāo)準(zhǔn)環(huán)境溫度t20之差，即Δt=t-t20；

yt——感測器在環(huán)境溫度t時的輸出；

y20——感測器在環(huán)境溫度t20時的輸出。2.2.2感測器的動態(tài)特性感測器的動態(tài)特性是指輸入量隨時間變化時感測器的回應(yīng)特性。由於感測器的慣性和滯後，當(dāng)被測量隨時間變化時，感測器的輸出往往來不及達(dá)到平衡狀態(tài)，處於動態(tài)過渡過程之中，所以感測器的輸出量也是時間的函數(shù)，其間的關(guān)係要用動態(tài)特性來表示。一個動態(tài)特性好的感測器，其輸出將再現(xiàn)輸入量的變化規(guī)律，即具有相同的時間函數(shù)。實際的感測器，輸出信號將不會與輸入信號具有相同的時間函數(shù),這種輸出與輸入間的差異就是所謂的動態(tài)誤差。

為了說明感測器的動態(tài)特性，下麵簡要介紹動態(tài)測溫的問題。當(dāng)被測溫度隨時間變化或感測器突然插入被測介質(zhì)中，以及感測器以掃描方式測量某溫度場的溫度分佈等情況時，都存在動態(tài)測溫問題。如把一支熱電偶從溫度為t0℃環(huán)境中迅速插入一個溫度為t1℃的恒溫水槽中（插入時間忽略不計），這時熱電偶測量的介質(zhì)溫度從t0突然上升到t1，而熱電偶反映出來的溫度從t0℃變化到t1℃需要經(jīng)歷一段時間，即有一段過渡過程，如圖2-7所示。熱電偶反映出來的溫度與其介質(zhì)溫度的差值就稱為動態(tài)誤差。

造成熱電偶輸出波形失真和產(chǎn)生動態(tài)誤差的原因，是溫度感測器有熱慣性（由感測器的比熱容和品質(zhì)大小決定）和傳熱熱阻，使得在動態(tài)測溫時感測器輸出總是滯後於被測介質(zhì)的溫度變化。如帶有套管熱電偶其熱慣性要比裸熱電偶大得多。這種熱慣性是熱電偶固有的，它決定了熱電偶測量快速變化的溫度時會產(chǎn)生動態(tài)誤差。影響動態(tài)特性的“固有因素”任何感測器都有，只不過它們的表現(xiàn)形式和作用程度不同而已。圖2-7動態(tài)測溫

1.感測器的基本動態(tài)特性方程感測器的種類和形式很多，但它們的動態(tài)特性一般都可以用下述的微分方程來描述：（2-8）式中，a0、a1、…,an,b0、b1、….,bm是與感測器的結(jié)構(gòu)特性有關(guān)的常係數(shù)。1）零階系統(tǒng)在方程式（2-8）中的係數(shù)除了a0、b0之外，其他的係數(shù)均為零，則微分方程就變成簡單的代數(shù)方程，即a0y(t)=b0x(t)通常將該代數(shù)方程寫成y(t)=kx(t)式中，k=b0/a0為感測器的靜態(tài)靈敏度或放大係數(shù)。感測器的動態(tài)特性用方程式（2-9）來描述的就稱為零階系統(tǒng)。

零階系統(tǒng)具有理想的動態(tài)特性，無論被測量x(t)如何隨時間變化，零階系統(tǒng)的輸出都不會失真，其輸出在時間上也無任何滯後，所以零階系統(tǒng)又稱為比例系統(tǒng)。在工程應(yīng)用中，電位器式的電阻感測器、變面積式的電容感測器及利用靜態(tài)式壓力感測器測量液位均可看作零階系統(tǒng)。2）一階系統(tǒng)若在方程式（2-8）中的係數(shù)除了a0、a1與b0之外，其他的係數(shù)均為零，則微分方程為上式通常改寫成為(2-10)

式中：τ——感測器的時間常數(shù)，τ=a1/a0；

k——感測器的靜態(tài)靈敏度或放大係數(shù)，k=b0/a0。時間常數(shù)τ具有時間的量綱，它反映感測器的慣性的大小，靜態(tài)靈敏度則說明其靜態(tài)特性。用方程式（2-10）描述其動態(tài)特性的感測器就稱為一階系統(tǒng)，一階系統(tǒng)又稱為慣性系統(tǒng)。如前面提到的不帶套管熱電偶測溫系統(tǒng)、電路中常用的阻容濾波器等均可看作為一階系統(tǒng)。3）二階系統(tǒng)二階系統(tǒng)的微分方程為二階系統(tǒng)的微分方程通常改寫為式中：k——感測器的靜態(tài)靈敏度或放大係數(shù)，k=b0/a0；

ξ——感測器的阻尼係數(shù)，

ωn——感測器的固有頻率，

根據(jù)二階微分方程特徵方程根的性質(zhì)不同，二階系統(tǒng)又可分為：①二階慣性系統(tǒng)：其特點是特徵方程的根為兩個負(fù)實根，它相當(dāng)於兩個一階系統(tǒng)串聯(lián)。②二階振盪系統(tǒng)：其特點是特徵方程的根為一對帶負(fù)實部的共軛複根。帶有套管的熱電偶、電磁式的動圈儀錶及RLC振盪電路等均可看作為二階系統(tǒng)。

2.感測器的動態(tài)回應(yīng)特性感測器的動態(tài)特性不僅與感測器的“固有因素”有關(guān)，還與感測器輸入量的變化形式有關(guān)。也就是說，同一個感測器在不同形式的輸入信號作用下，輸出量的變化是不同的，通常選用幾種典型的輸入信號作為標(biāo)準(zhǔn)輸入信號，研究感測器的回應(yīng)特性。

1）瞬態(tài)回應(yīng)特性

感測器的瞬態(tài)回應(yīng)是時間回應(yīng)。在研究感測器的動態(tài)特性時，有時需要從時域中對感測器的回應(yīng)和過渡過程進(jìn)行分析，這種分析方法稱為時域分析法。感測器在進(jìn)行時域分析時，用得比較多的標(biāo)準(zhǔn)輸入信號有階躍信號和脈衝信號，感測器的輸出瞬態(tài)回應(yīng)分別稱為階躍回應(yīng)和脈衝回應(yīng)。(1)一階感測器的單位階躍回應(yīng)一階感測器的微分方程為設(shè)感測器的靜態(tài)靈敏度k=1，寫出它的傳遞函數(shù)為對初始狀態(tài)為零的感測器，若輸入一個單位階躍信號，即t≤0t>0輸入信號x(t)的拉氏變換為一階感測器的單位階躍回應(yīng)拉氏變換式為(2-13)對式(2-13)進(jìn)行拉氏反變換，可得一階感測器的單位階躍回應(yīng)信號為(2-14)

相應(yīng)的回應(yīng)曲線如圖2-8所示。由圖可見，感測器存在慣性，它的輸出不能立即複現(xiàn)輸入信號，而是從零開始，按指數(shù)規(guī)律上升，最終達(dá)到穩(wěn)態(tài)值。理論上感測器的回應(yīng)只在t趨於無窮大時才達(dá)到穩(wěn)態(tài)值，但通常認(rèn)為t=（3～4）τ時，如當(dāng)t=4τ時其輸出就可達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的98.2%，可以認(rèn)為已達(dá)到穩(wěn)態(tài)。所以，一階感測器的時間常數(shù)τ越小，回應(yīng)越快，回應(yīng)曲線越接近於輸入階躍曲線，即動態(tài)誤差小。因此，τ值是一階感測器重要的性能參數(shù)。圖2-8一階感測器單位階躍回應(yīng)(2）二階感測器的單位階躍回應(yīng)二階感測器的微分方程為設(shè)感測器的靜態(tài)靈敏度k=1，其二階感測器的傳遞函數(shù)為(2-15)感測器輸出的拉氏變換為(2-16)

圖2-9二階感測器單位階躍回應(yīng)

圖2-9為二階感測器的單位階躍回應(yīng)曲線，二階感測器對階躍信號的回應(yīng)在很大程度上取決於阻尼比ξ和固有角頻率ωn。ξ=0時，特徵根為一對虛根，階躍回應(yīng)是一個等幅振盪過程，這種等幅振盪狀態(tài)又稱為無阻尼狀態(tài)；ξ>1時，特徵根為兩個不同的負(fù)實根，階躍回應(yīng)是一個不振盪的衰減過程，這種狀態(tài)又稱為過阻尼狀態(tài)；ξ=1時，特徵根為兩個相同的負(fù)實根，階躍回應(yīng)也是一個不振盪的衰減過程，但是它是一個由不振盪衰減到振盪衰減的臨界過程，故又稱為臨界阻尼狀態(tài)；0<ξ<1時，特徵根為一對共軛複根，階躍回應(yīng)是一個衰減振盪過程，在這一過程中ξ值不同，衰減快慢也不同，這種衰減振盪狀態(tài)又稱為欠阻尼狀態(tài)。

阻尼比ξ直接影響超調(diào)量和振盪次數(shù)，為了獲得滿意的瞬態(tài)回應(yīng)特性，實際使用中常按稍欠阻尼調(diào)整，對於二階感測器取ξ=0.6～0.7之間，則最大超調(diào)量不超過10%，趨於穩(wěn)態(tài)的調(diào)整時間也最短，約為（3～4）/(ξω)。固有頻率ωn由感測器的結(jié)構(gòu)參數(shù)決定，固有頻率ωn也即等幅振盪的頻率，ωn越高，感測器的回應(yīng)也越快。(3）感測器的時域動態(tài)性能指標(biāo)時域動態(tài)性能指標(biāo)敘述如下：①時間常數(shù)τ：一階感測器輸出上升到穩(wěn)態(tài)值的63.2%所需的時間,稱為時間常數(shù)。②延遲時間td：感測器輸出達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的50%所需的時間。③上升時間tr：感測器輸出達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的90%所需的時間。④峰值時間tp：二階感測器輸出回應(yīng)曲線達(dá)到第一個峰值所需的時間。⑤超調(diào)量σ：二階感測器輸出超過穩(wěn)態(tài)值的最