分離變量法第一節(jié)預備知識

第二章分離變量法本章中心內(nèi)容用分離變量法求解各種有界問題；本章基本要求著重掌握分離變量法的解題思路、解題步驟及其核心問題---本征值問題（特征值問題）分離變量法基本思想是把偏微分方程分解為幾個常微分方程，其中有的常微分方程帶有附加條件從而構成特征值問題。

分離變量法理論依據(jù)是線性方程的疊加原理和Sturm-Liouville特征值（本征值）理論。分離變量法又稱特征展開法和Fourier級數(shù)方法第一節(jié)：預備知識1.下面的定理敘述了Fourier級數(shù)展開的一個結論．定理1設函數(shù)f是以2L為周期的函數(shù)，在[-L,L]上滿足Dirichlet條件，即在[-L,L]上只有有限多個第一類間斷點和有限多個極值點．則在[-L,L]上，f可以展成Fourier級數(shù)：上式的含義：在f的連續(xù)點處取等號，在f的間斷點處取其左右極限的平均值，其中如果f是奇函數(shù)，則其中,注1.在定理1的條件下，如果f是偶函數(shù)，則其中,對應用定理1，可知在[0,L]上，注2.如果f在[0,L]上滿足Dirichlet條件．將f展開成Fourier級數(shù)的方法．其中,方法1.將f延拓成整個實軸上2L周期的“奇函數(shù)”其中,方法2.將f延拓成整個實軸上2L周期的偶函數(shù)

對應用定理1，可知在[0,L]上，例1.把展開成(1)正弦級數(shù);(2)余弦級數(shù).解:(1)將f(x)作奇周期延拓,則有在x=2k處級數(shù)收斂于何值?機動目錄上頁下頁返回結束(2)將作偶周期延拓,則有機動目錄上頁下頁返回結束2.正交函數(shù)系，標準正交系，帶權函數(shù)的正交函數(shù)系定義.一列函數(shù)構成的函數(shù)系稱為在[a,b]上正交,如果正交系稱為標準正交的，如果函數(shù)系在[a,b]上稱為帶權函數(shù)r(x)正交的，如果例2．

是[0,L]上的正交函數(shù)系；是[-L,L]上的正交函數(shù)系，但不是[0,L]上的正交函數(shù)系．是[0,L]上的正交函數(shù)系；是的正交函數(shù)系．上帶權函數(shù)完備正交函數(shù)集：

如果在正交函數(shù)集{

1(t)，

2(t)，…，

n(t)}之外，不存在函數(shù)φ(t)(≠0）滿足則稱此函數(shù)集為完備正交函數(shù)集。(可比較課本上的定義)(i=1，2，…，n)對應的特征方程：兩個根：.3.常系數(shù)二階線性常微分方程的通解(3)(1)為相異實數(shù)，通解為:(2)為相同實數(shù)，通解為：為兩個虛數(shù)，通解為：例3.的通解.解:特征方程特征根:因此原方程的通解為例4.求解初值問題解:特征方程有重根因此原方程的通解為利用初始條件得于是所求初值問題的解為機動目錄上頁下頁返回結束4歐拉(Euler)方程

變系數(shù)的線性微分方程,一般來說不易求解,但有些特殊的變系數(shù)線性微分方程可通過變量代換化為常系數(shù)線性微分方程.歐拉方程就是一種可化為常系數(shù)方程的方程.方程(1)稱為二階歐拉方程,其中a,b為常數(shù).而稱n階方程(2)為n階歐拉方程,其中為常數(shù).二階歐拉方程(1)的求解令則

t=lnx,代入方程(1)有即(3)這是一二階線性常系數(shù)微分方程.例5求方程的通解.

解這是一二階歐拉方程令則

t=lnx,原方程可化為特征方程特征根齊次方程的通解:設非齊次方程的特解:代入方程解得所以非齊次方程的通解原方程的通解5.線性方程的疊加原理n階線性常微分方程的一般形式為其中a1(x),…,an－1(x),an(x)和f(x)均為x的已知連續(xù)函數(shù).如果f(x)≡0,則式(9.22)變?yōu)槎ɡ?線性常微分方程解的性質(zhì)定理)(1)齊次線性方程組的疊加原理:如y1(x),…,ym(x)是n階齊次線性方程(9.23)的m個解,則它們的線性組合y(x)=C1y1(x)+…+Cmym(x)也是方程(9.23)的解,其中C1,…,Cm為任意常數(shù);(2)非齊次線性方程解的疊加原理:如果y1(x)和y2(x)分別為非齊次線性方程和的解,則y1(x)+y2(x)是非齊次線性方程.的解線性偏微分定解問題的疊加性質(zhì)L稱為算子，偏微分方程可以用算子作用在函數(shù)上標示出來非齊次方程L[u]=f(x,y,z,t)齊次方程L[u]=01.算子

2.性質(zhì)u2是齊次方程的解L[u2]=0L[u