河南省周口市川匯區(qū)周口恒大中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題

2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期數(shù)學(xué)12月考試卷數(shù)學(xué)試題試卷考試時間：120分鐘滿分：150第I卷（選擇題）單項選擇題（每小題5分，共40分）1．在等差數(shù)列中，，．則數(shù)列中正數(shù)項的個數(shù)為（

）A．14 B．13 C．12 D．112．直線與圓相切，則（

）A．3 B． C．或1 D．3或3．已知圓和圓，則圓與圓的位置關(guān)系為（

）A．外切 B．內(nèi)切 C．相交 D．外離4．橢圓的焦點坐標(biāo)為

A． B． C． D．5．如圖是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在l位置時，拱頂離水面2m，水面寬4m，則水位下降2m后（水足夠深），水面寬為（

）A． B． C． D．6．如圖所示，圓柱中，是底面直徑，點是上一點，，點是母線上一點，點是上底面的一動點，，，，則（

）A．存在點，使得B．存在唯一的點，使得C．滿足的點的軌跡長度是D．當(dāng)時，三棱錐外接球的表面積是7．已知點F(0，1)，直線l：y＝－1，P為平面上的動點，過點P作直線l的垂線，垂足為Q，且，動點P的軌跡為C，已知圓M過定點D（0，2），圓心M在軌跡C上運動，且圓M與x軸交于A、B兩點，設(shè)|DA|＝l1，|DB|＝l2，則的最大值為（

）A．2 B．3 C．2 D．38．已知點P是圓上一點，點，則線段長度的最大值為（

）A．3 B．5 C．7 D．9二．多項選擇題（每小題5分，共20分，有多項符合要求，全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯得0分）9．已知是等差數(shù)列，其前項和為，滿足，則下列四個選項中正確的有（

）A． B． C．最小 D．10．已知圓：，則下列說法正確的是（

）A．點在圓M內(nèi) B．圓關(guān)于對稱C．半徑為3 D．直線與圓相切11．下列命題中，正確的是（

）A．兩條不重合直線的方向向量分別是，，則B．直線l的方向向量，平面的法向是，則C．兩個不同的平面，的法向量分別是，，則D．直線l的方向向量，平面的法向量，則直線l與平面所成角的大小為12．我們把離心率為的橢圓稱為黃金橢圓，類似地，也把離心率為的雙曲線稱為黃金雙曲線，則（）A．曲線是黃金雙曲線B．如果雙曲線是黃金雙曲線，那么（c為半焦距）C．如果雙曲線是黃金雙曲線，那么右焦點到一條漸近線的距離等于焦距的四分之一D．過雙曲線的右焦點且垂直于實軸的直線l交C于M、N兩點，O為坐標(biāo)原點，若，則雙曲線C是黃金雙曲線第II卷（非選擇題）三、填空題（每小題5分，共20分）13．記數(shù)列的前n項和為，若對任意的，都有，則．14．已知長方體的棱，和的長分別為3cm、4cm和5cm，則棱到平面的距離為cm15．已知橢圓的一個焦點為，為橢圓的右頂點，以為圓心的圓與直線相交于兩點，且，，則圓的半徑為．16．已知點，平面a經(jīng)過原點O，且垂直于向量，則點A到平面a的距離為.四、解答題（共6小題，共計70分.第17題10分，第18---22題，每題12分）17．已知拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點為F，P(5，a)為拋物線C上一點，且|PF|＝8．(1)求拋物線C的方程；(2)過點F的直線l與拋物線C交于A，B兩點，以線段AB為直徑的圓過Q(0，﹣3)，求直線l的方程．18．求下列數(shù)列的前項和：(1)(2)數(shù)列中，.19．根據(jù)數(shù)列的通項公式，分別寫出數(shù)列的第10項.(1)；(2).20．求下列橢圓的焦點坐標(biāo)，以及橢圓上任一點到兩個焦點的距離之和：(1)；(2)；(3).21．已知，分別為橢圓的左、右焦點，P是橢圓上一點，當(dāng)軸時，．(1)求橢圓的方程；(2)當(dāng)，求的面積．22．已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點，對稱軸為軸，軸，且過兩點.(1)求橢圓的方程；(2)為橢圓的右焦點，直線交橢圓于（不與點重合）兩點，記直線的斜率分別為，若，證明：的周長為定值，并求出定值.參考答案：1．C【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項公式可得，再求解即可.【詳解】，由可得，所以數(shù)列中正數(shù)項的個數(shù)為12．故選：C．2．D【分析】利用題給條件列出關(guān)于a的方程，解之即可求得a的值.【詳解】圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為又直線與圓相切，則，解之得或，故選：D．3．A【分析】根據(jù)圓的方程確定圓的圓心和半徑，再根據(jù)兩圓圓心間的距離與兩圓半徑的大小關(guān)系判斷兩圓的位置關(guān)系.【詳解】因為圓，所以，半徑為5,因為圓，所以，半徑為5，由于，等于兩圓半徑之和，所以圓與圓外切.故選：A【點睛】判斷兩圓的位置關(guān)系常用幾何法，即用兩圓圓心距與兩圓半徑和與差之間的關(guān)系，一般不采用代數(shù)法．兩圓相切注意討論內(nèi)切外切兩種情況.4．D【詳解】橢圓方程為：∴，,且焦點在y軸上∴，即焦點坐標(biāo)為故選D5．B【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程為，求出拋物線的方程，再代點的坐標(biāo)即得解.【詳解】如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程為，將代入，得，所以．設(shè)，代入，得．所以水面寬為．故選：B6．D【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法判斷選項A，B，C的對錯，再通過確定三棱錐外接球的球心及半徑判斷D.【詳解】由圓錐的性質(zhì)可得平面，如圖以為原點，為的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，則，，，，設(shè)關(guān)于點的對稱點為，因為，，所以，所以，又，所以，A錯誤，又，因為，所以，所以，所以，所以滿足的點的軌跡為圓，B錯誤，因為，，，所以，所以，故，所以滿足的點的軌跡為線段，所以，C錯誤，因為，,,所以為直角三角形，取的中點為,又為直角三角形，所以,故為三棱錐外接球的球心，故外接球的半徑為，所以三棱錐的外接球的表面積為，D正確，故選：D.7．C【分析】利用數(shù)量積運算可得動點P的軌跡C方程，設(shè)M進(jìn)而得到⊙M的方程為：，可得A(a+2，0)，B(a－2，0)，利用兩點之間的距離公式可得，，再利用基本不等式即可得出．【詳解】設(shè)P(x，y)，則Q(x，－1)，∵，∴(0，y+1)(－x，2)＝(x，y－1)(x，－2)，∴2(y+1)＝x2－2(y－1)，∴x2＝4y．∴動點P的軌跡C為：x2＝4y．設(shè)M．（a∈R）．則⊙M的方程為：．化為．令y＝0，則x2－2ax+a2＝4，解得x＝a+2，或a－2．取A(a+2，0)，B(a－2，0)．∴|DA|＝l1，|DB|＝l2．當(dāng)a≠0時，，當(dāng)且僅當(dāng)a時取等號．當(dāng)a＝0時，2．綜上可得：的最大值為．故選：C．8．C【分析】先由判斷點在圓外，則最大值為.【詳解】圓，即，則圓心，半徑，由點，則，即點在圓外，則.故選：C.9．ABD【解析】由條件可得，然后逐一判斷每個選項即可【詳解】因為是等差數(shù)列，所以，所以即，即所以所以正確的有ABD故選：ABD【點睛】本題考查的是等差數(shù)列的性質(zhì)及其前項和的性質(zhì)，屬于典型題.10．BD【分析】根據(jù)圓的方程確定圓心與半徑，再結(jié)合點與圓、直線與圓、圓的對稱性逐項判斷即可.【詳解】圓：化成標(biāo)準(zhǔn)方程為，則圓心，半徑，故C不正確；又，所以點在圓M外，故A不正確；圓心的坐標(biāo)滿足直線的方程，故直線過圓心，所以圓關(guān)于對稱，故B正確；圓心到直線的距離，所以直線與圓相切，故D正確.故選：BD.11．ABC【分析】由可判斷A；由可判斷B；由可判斷C；根據(jù)線面角的向量公式直接計算可判斷D.【詳解】A選項：因為，且不重合，所以，A正確；B選項：因為，所以，B正確；C選項：因為，所以，C正確；D選項：記直線l與平面所成角為，則，因為，所以，D錯誤.故選：ABC12．BD【解析】根據(jù)雙曲線的離心率以及黃金雙曲線的定義分別計算即可一一判斷；【詳解】解：對于A：，，，所以，所以，故A錯誤；對于B：雙曲線是黃金雙曲線，所以，由，所以，故B正確；對于C：雙曲線的一條漸近線，則到其距離，而由B可知，，故C錯誤；對于D：當(dāng)時，，令，，則，，所以，則，由B可知，雙曲線C是黃金雙曲線，故D正確；故選：BD【點睛】雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質(zhì)，求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于a，b，c的齊次式，結(jié)合b2＝c2－a2轉(zhuǎn)化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)．13．96【分析】利用與的關(guān)系，分類討論可得到是等比數(shù)列，進(jìn)而可求.【詳解】由題意對任意的，都有，當(dāng)時，，得，當(dāng)時，故，即，∴數(shù)列是，的等比數(shù)列，.故答案為：96．14．3【分析】由長方體得，平面，再由平面得，棱到平面的距離為cm.【詳解】依題意作圖，在長方體中，有平面，又平面，所以棱AB到平面的距離為cm.故答案為：3.15．【詳解】如圖所示，取的中點，連結(jié)，由題意可得：，結(jié)合圓的性質(zhì)有：，在等腰直角三角形中，令，則：，中，，，則，結(jié)合可得橢圓方程為，則，圓的半徑.16．【分析】利用點到平面的距離為，即可求得結(jié)論.【詳解】由題意，，，，所以點到平面的距離為.故答案為：.17．(1)；(2)2x﹣y﹣6＝0﹒【分析】(1)根據(jù)拋物線焦半徑公式構(gòu)造方程求得，從而得到結(jié)果．(2)設(shè)直線，代入拋物線方程可得韋達(dá)定理的形式，根據(jù)可構(gòu)造方程求得，從而得到直線方程．【詳解】（1）由拋物線定義可知：，解得：，拋物線的方程為：．（2）由拋物線方程知：，設(shè)直線，，，，，聯(lián)立方程，得：，，，以線段為直徑的圓過點，，，解得：，直線的方程為：，即．18．(1)；(2).【分析】（1）利用分組求和法，通過等差等比的求和公式求和；（2）利用裂項求和法求和.【詳解】（1）；（2）則數(shù)列的前項和為.19．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)的通項公式，代入數(shù)據(jù)，即可得答案.（2）根據(jù)的通項公式，代入數(shù)據(jù)，即可得答案.【詳解】（1）解：因為，所以（2）解：因為，所以20．(1)，6(2)，8(3)，【分析】根據(jù)橢圓方程求出的值，確定焦點的位置，結(jié)合橢圓定義即可得答案.【詳解】（1）由橢圓方程可得長半軸長，短半軸長，橢圓焦點在x軸上，且，故橢圓的焦點坐標(biāo)為，橢圓上任一點到兩個焦點的距離之和為；（2）由橢圓方程可得長半軸長，短半軸長，橢圓焦點在y軸上，且，故橢圓的焦點坐標(biāo)為，橢圓上任一點到兩個焦點的距離之和為；（3）由橢圓方程，即，可得長半軸長，短半軸長，橢圓焦點在y軸上，且，故橢圓的焦點坐標(biāo)為，橢圓上任一點到兩個焦點的距離之和為；21．(1)(2)【分析】(1)由條件列方程求，由此可得橢圓方程；(2)根據(jù)橢圓的定義和余弦定理列等式，化簡可求，再由三角形面積公式求的面積.【詳解】（1）由知，，因為軸時，可得點的坐標(biāo)為或，因為點在橢圓上，所以，又，所以所以，所以橢圓的方程為；（2）設(shè)，，，又，所以，所以