2023-2024學(xué)年福建福州市第一高級中學(xué)數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末監(jiān)測試題含解析

2023-2024學(xué)年福建福州市第一高級中學(xué)數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末監(jiān)測試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設(shè)復(fù)數(shù)滿足，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為則（）A． B．C． D．2．設(shè)，，則“”是“”的A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．已知向量，，且與的夾角為，則x=（）A．-2 B．2 C．1 D．-14．點為不等式組所表示的平面區(qū)域上的動點，則的取值范圍是（）A． B． C． D．5．正三棱錐底面邊長為3，側(cè)棱與底面成角，則正三棱錐的外接球的體積為（）A． B． C． D．6．已知平面向量，，，則實數(shù)x的值等于（）A．6 B．1 C． D．7．甲乙丙丁四人中，甲說：我年紀(jì)最大，乙說：我年紀(jì)最大，丙說：乙年紀(jì)最大，丁說：我不是年紀(jì)最大的，若這四人中只有一個人說的是真話，則年紀(jì)最大的是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁8．設(shè)則以線段為直徑的圓的方程是（）A． B．C． D．9．將函數(shù)的圖象先向右平移個單位長度，在把所得函數(shù)圖象的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在上沒有零點，則的取值范圍是（）A． B．C． D．10．如圖，圓的半徑為，，是圓上的定點，，是圓上的動點，點關(guān)于直線的對稱點為，角的始邊為射線，終邊為射線，將表示為的函數(shù)，則在上的圖像大致為（）A． B． C． D．11．已知，則下列不等式正確的是（）A． B．C． D．12．已知冪函數(shù)的圖象過點，且，，，則，，的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在邊長為2的正三角形中，，則的取值范圍為______.14．在平面直角坐標(biāo)系中，點的坐標(biāo)為，點是直線：上位于第一象限內(nèi)的一點．已知以為直徑的圓被直線所截得的弦長為，則點的坐標(biāo)__________．15．在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，，且，成等差數(shù)列，則___________.16．已知盒中有2個紅球，2個黃球，且每種顏色的兩個球均按，編號，現(xiàn)從中摸出2個球（除顏色與編號外球沒有區(qū)別），則恰好同時包含字母，的概率為________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）高鐵和航空的飛速發(fā)展不僅方便了人們的出行,更帶動了我國經(jīng)濟(jì)的巨大發(fā)展.據(jù)統(tǒng)計,在2018年這一年內(nèi)從市到市乘坐高鐵或飛機出行的成年人約為萬人次.為了解乘客出行的滿意度,現(xiàn)從中隨機抽取人次作為樣本,得到下表(單位:人次):滿意度老年人中年人青年人乘坐高鐵乘坐飛機乘坐高鐵乘坐飛機乘坐高鐵乘坐飛機10分(滿意)1212022015分(一般)2362490分(不滿意)106344（1）在樣本中任取個,求這個出行人恰好不是青年人的概率;（2）在2018年從市到市乘坐高鐵的所有成年人中,隨機選取人次,記其中老年人出行的人次為.以頻率作為概率,求的分布列和數(shù)學(xué)期望;（3）如果甲將要從市出發(fā)到市,那么根據(jù)表格中的數(shù)據(jù),你建議甲是乘坐高鐵還是飛機?并說明理由.18．（12分）已知函數(shù)．（1）解不等式；（2）若函數(shù)存在零點，求的求值范圍．19．（12分）已知函數(shù)，直線是曲線在處的切線．（1）求證：無論實數(shù)取何值，直線恒過定點，并求出該定點的坐標(biāo)；（2）若直線經(jīng)過點，試判斷函數(shù)的零點個數(shù)并證明．20．（12分）改革開放40年，我國經(jīng)濟(jì)取得飛速發(fā)展，城市汽車保有量在不斷增加，人們的交通安全意識也需要不斷加強.為了解某城市不同性別駕駛員的交通安全意識，某小組利用假期進(jìn)行一次全市駕駛員交通安全意識調(diào)查.隨機抽取男女駕駛員各50人，進(jìn)行問卷測評，所得分?jǐn)?shù)的頻率分布直方圖如圖所示.規(guī)定得分在80分以上為交通安全意識強.安全意識強安全意識不強合計男性女性合計（Ⅰ）求的值，并估計該城市駕駛員交通安全意識強的概率；（Ⅱ）已知交通安全意識強的樣本中男女比例為4:1，完成2×2列聯(lián)表，并判斷有多大把握認(rèn)為交通安全意識與性別有關(guān)；（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，從交通安全意識強的駕駛員中隨機抽取2人，求抽到的女性人數(shù)的分布列及期望.附：，其中0.0100.0050.0016.6357.87910.82821．（12分）已知函數(shù)(mR)的導(dǎo)函數(shù)為．（1）若函數(shù)存在極值，求m的取值范圍；（2）設(shè)函數(shù)（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)），對任意mR，若關(guān)于x的不等式在(0，)上恒成立，求正整數(shù)k的取值集合．22．（10分）某芯片公司為制定下一年的研發(fā)投入計劃，需了解年研發(fā)資金投入量x（單位：億元）對年銷售額y（單位：億元）的影響.該公司對歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行對比分析，建立了兩個函數(shù)模型:①y=α+βx2，②y=eλx+t，其中現(xiàn)該公司收集了近12年的年研發(fā)資金投入量xi和年銷售額yi的數(shù)據(jù)，i=1,2,?,12，并對這些數(shù)據(jù)作了初步處理，得到了右側(cè)的散點圖及一些統(tǒng)計量的值．令xyi=1i=1uv20667702004604.20i=1i=1i=1i=13125000215000.30814（1）設(shè)ui和yi的相關(guān)系數(shù)為r1，xi和（2）（i）根據(jù)（1）的選擇及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程（系數(shù)精確到0.01）；（ii）若下一年銷售額y需達(dá)到90億元，預(yù)測下一年的研發(fā)資金投入量x是多少億元？附：①相關(guān)系數(shù)r=i=1n(xi-x②參考數(shù)據(jù)：308=4×77，90≈9.4868，e

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

根據(jù)共軛復(fù)數(shù)定義及復(fù)數(shù)模的求法，代入化簡即可求解.【詳解】在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為，則，，∵，代入可得，解得.故選：B.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)對應(yīng)點坐標(biāo)的幾何意義，復(fù)數(shù)模的求法及共軛復(fù)數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題.2、A【解析】

根據(jù)對數(shù)的運算分別從充分性和必要性去證明即可.【詳解】若，，則，可得；若，可得，無法得到，所以“”是“”的充分而不必要條件.所以本題答案為A.【點睛】本題考查充要條件的定義，判斷充要條件的方法是：①若為真命題且為假命題，則命題p是命題q的充分不必要條件；②若為假命題且為真命題，則命題p是命題q的必要不充分條件；③若為真命題且為真命題，則命題p是命題q的充要條件；④若為假命題且為假命題，則命題p是命題q的即不充分也不必要條件.⑤判斷命題p與命題q所表示的范圍，再根據(jù)“誰大誰必要，誰小誰充分”的原則，判斷命題p與命題q的關(guān)系.3、B【解析】

由題意，代入解方程即可得解.【詳解】由題意，所以，且，解得.故選：B.【點睛】本題考查了利用向量的數(shù)量積求向量的夾角，屬于基礎(chǔ)題.4、B【解析】

作出不等式對應(yīng)的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識，利用的幾何意義即可得到結(jié)論．【詳解】不等式組作出可行域如圖：，，，的幾何意義是動點到的斜率，由圖象可知的斜率為1，的斜率為：，則的取值范圍是：，，．故選：．【點睛】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義結(jié)合斜率公式是解決本題的關(guān)鍵．5、D【解析】

由側(cè)棱與底面所成角及底面邊長求得正棱錐的高，再利用勾股定理求得球半徑后可得球體積．【詳解】如圖，正三棱錐中，是底面的中心，則是正棱錐的高，是側(cè)棱與底面所成的角，即＝60°，由底面邊長為3得，∴．正三棱錐外接球球心必在上，設(shè)球半徑為，則由得，解得，∴．故選：D．【點睛】本題考查球體積，考查正三棱錐與外接球的關(guān)系．掌握正棱錐性質(zhì)是解題關(guān)鍵．6、A【解析】

根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示即可求解.【詳解】，，，，即，故選：A【點睛】本題主要考查了向量平行的坐標(biāo)運算，屬于容易題.7、C【解析】

分別假設(shè)甲乙丙丁說的是真話，結(jié)合其他人的說法，看是否只有一個說的是真話，即可求得年紀(jì)最大者，即可求得答案.【詳解】①假設(shè)甲說的是真話，則年紀(jì)最大的是甲，那么乙說謊，丙也說謊，而丁說的是真話，而已知只有一個人說的是真話，故甲說的不是真話，年紀(jì)最大的不是甲；②假設(shè)乙說的是真話，則年紀(jì)最大的是乙，那么甲說謊，丙說真話，丁也說真話，而已知只有一個人說的是真話，故乙說謊，年紀(jì)最大的也不是乙；③假設(shè)丙說的是真話，則年紀(jì)最大的是乙，所以乙說真話，甲說謊，丁說的是真話，而已知只有一個人說的是真話，故丙在說謊，年紀(jì)最大的也不是乙；④假設(shè)丁說的是真話，則年紀(jì)最大的不是丁，而已知只有一個人說的是真話，那么甲也說謊，說明甲也不是年紀(jì)最大的，同時乙也說謊，說明乙也不是年紀(jì)最大的，年紀(jì)最大的只有一人，所以只有丙才是年紀(jì)最大的，故假設(shè)成立，年紀(jì)最大的是丙.綜上所述，年紀(jì)最大的是丙故選：C.【點睛】本題考查合情推理，解題時可從一種情形出發(fā)，推理出矛盾的結(jié)論，說明這種情形不會發(fā)生，考查了分析能力和推理能力，屬于中檔題.8、A【解析】

計算的中點坐標(biāo)為，圓半徑為，得到圓方程.【詳解】的中點坐標(biāo)為：，圓半徑為，圓方程為.故選：.【點睛】本題考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，意在考查學(xué)生的計算能力.9、A【解析】

根據(jù)y=Acos（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，求得g（x）的解析式，根據(jù)定義域求出的范圍，再利用余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求得ω的取值范圍．【詳解】函數(shù)的圖象先向右平移個單位長度，可得的圖象，再將圖象上每個點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?縱坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)的圖象，∴周期，若函數(shù)在上沒有零點，∴，∴，，解得，又，解得，當(dāng)k=0時，解，當(dāng)k=-1時，，可得，.故答案為：A.【點睛】本題考查函數(shù)y=Acos（ωx+φ）的圖象變換及零點問題，此類問題通常采用數(shù)形結(jié)合思想，構(gòu)建不等關(guān)系式，求解可得，屬于較難題.10、B【解析】

根據(jù)圖象分析變化過程中在關(guān)鍵位置及部分區(qū)域，即可排除錯誤選項，得到函數(shù)圖象，即可求解.【詳解】由題意，當(dāng)時，P與A重合，則與B重合，所以,故排除C,D選項；當(dāng)時，，由圖象可知選B.故選：B【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)，正確表示函數(shù)的表達(dá)式是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.11、D【解析】

利用特殊值代入法，作差法，排除不符合條件的選項，得到符合條件的選項．【詳解】已知，賦值法討論的情況：（1）當(dāng)時，令，，則，，排除B、C選項；（2）當(dāng)時，令，，則，排除A選項.故選：D.【點睛】比較大小通常采用作差法，本題主要考查不等式與不等關(guān)系，不等式的基本性質(zhì)，利用特殊值代入法，排除不符合條件的選項，得到符合條件的選項，是一種簡單有效的方法，屬于中等題．12、A【解析】

根據(jù)題意求得參數(shù)，根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)，以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可判斷.【詳解】依題意，得，故，故，，，則.故選：A.【點睛】本題考查利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小，考查推理論證能力，屬基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

建立直角坐標(biāo)系，依題意可求得，而，，，故可得，且，由此構(gòu)造函數(shù)，，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得取值范圍．【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)，，，，根據(jù)，即，，，則，，即，，，則，，所以，，，，，，且，故，設(shè)，，易知二次函數(shù)的對稱軸為，故函數(shù)在，上的最大值為，最小值為，故的取值范圍為．故答案為：．【點睛】本題考查平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運算求解能力，求解時注意通過設(shè)元、消元，將問題轉(zhuǎn)化為元二次函數(shù)的值域問題．14、【解析】

依題意畫圖,設(shè),根據(jù)圓的直徑所對的圓周角為直角,可得,通過勾股定理得,再利用兩點間的距離公式即可求出,進(jìn)而得出點坐標(biāo).【詳解】解:依題意畫圖,設(shè)以為直徑的圓被直線所截得的弦長為,且,又因為為圓的直徑,則所對的圓周角,則,則為點到直線：的距離.所以,則.又因為點在直線：上,設(shè),則.解得,則.故答案為:【點睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系,考查了兩點間的距離公式,點到直線的距離公式,是基礎(chǔ)題.15、【解析】

利用等差中項的性質(zhì)和等比數(shù)列通項公式得到關(guān)于的方程,解方程求出代入等比數(shù)列通項公式即可.【詳解】因為，成等差數(shù)列，所以，由等比數(shù)列通項公式得，，所以，解得或，因為，所以，所以等比數(shù)列的通項公式為.故答案為：【點睛】本題考查等差中項的性質(zhì)和等比數(shù)列通項公式；考查運算求解能力和知識綜合運用能力；熟練掌握等差中項和等比數(shù)列通項公式是求解本題的關(guān)鍵；屬于中檔題.16、【解析】

根據(jù)組合數(shù)得出所有情況數(shù)及兩個球顏色不相同的情況數(shù)，讓兩個球顏色不相同的情況數(shù)除以總情況數(shù)即為所求的概率．【詳解】從袋中任意地同時摸出兩個球共種情況，其中有種情況是兩個球顏色不相同；故其概率是故答案為：．【點睛】本題主要考查了求事件概率，解題關(guān)鍵是掌握概率的基礎(chǔ)知識和組合數(shù)計算公式，考查了分析能力和計算能力，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）分布列見解析，數(shù)學(xué)期望（3）建議甲乘坐高鐵從市到市.見解析【解析】

（1）根據(jù)分層抽樣的特征可以得知，樣本中出行的老年人、中年人、青年人人次分別為，，，即可按照古典概型的概率計算公式計算得出；（2）依題意可知服從二項分布，先計算出隨機選取人次，此人為老年人概率是，所以，即，即可求出的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）可以計算滿意度均值來比較乘坐高鐵還是飛機．【詳解】（1）設(shè)事件：“在樣本中任取個，這個出行人恰好不是青年人”為，由表可得：樣本中出行的老年人、中年人、青年人人次分別為，，，所以在樣本中任取個，這個出行人恰好不是青年人的概率．（2）由題意，的所有可能取值為：因為在2018年從市到市乘坐高鐵的所有成年人中，隨機選取人次，此人為老年人概率是，所以，，，所以隨機變量的分布列為：故．（3）答案不唯一，言之有理即可．如可以從滿意度的均值來分析問題，

參考答案如下：由表可知，乘坐高鐵的人滿意度均值為：乘坐飛機的人滿意度均值為：因為，所以建議甲乘坐高鐵從市到市．【點睛】本題主要考查了分層抽樣的應(yīng)用、古典概型的概率計算、以及離散型隨機變量的分布列和期望的計算，解題關(guān)鍵是對題意的理解，概率類型的判斷，屬于中檔題．18、（1）或；（2）．【解析】

（1）通過討論的范圍，將絕對值符號去掉，轉(zhuǎn)化為求不等式組的解集，之后取并集，得到原不等式的解集；（2）將函數(shù)零點問題轉(zhuǎn)化為曲線交點問題解決，數(shù)形結(jié)合得到結(jié)果.【詳解】（1）有題不等式可化為，當(dāng)時，原不等式可化為，解得；當(dāng)時，原不等式可化為，解得，不滿足，舍去；當(dāng)時，原不等式可化為，解得，所以不等式的解集為．（2）因為，所以若函數(shù)存在零點則可轉(zhuǎn)化為函數(shù)與的圖像存在交點，函數(shù)在上單調(diào)增，在上單調(diào)遞減，且.數(shù)形結(jié)合可知．【點睛】該題考查的是有關(guān)不等式的問題，涉及到的知識點有分類討論求絕對值不等式的解集，將零點問題轉(zhuǎn)化為曲線交點的問題來解決，數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于簡單題目.19、（1）見解析，（2）函數(shù)存在唯一零點.【解析】

（1）首先求出導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出處的切線斜率，利用點斜式即可求出切線方程，根據(jù)方程即可求出定點.（2）由（1）求出函數(shù)，令方程可轉(zhuǎn)化為記，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)在上單調(diào)遞增，根據(jù)，由零點存在性定理即可求出零點個數(shù).【詳解】所以直線方程為即，恒過點將代入直線方程，得考慮方程即，等價于記，則于是函數(shù)在上單調(diào)遞增，又所以函數(shù)在區(qū)間上存在唯一零點，即函數(shù)存在唯一零點.【點睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義、直線過定點、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、零點存在性定理，屬于難題.20、（Ⅰ）.0.2（Ⅱ）見解析，有的把握認(rèn)為交通安全意識與性別有關(guān)（Ⅲ）見解析，【解析】

（Ⅰ）直接根據(jù)頻率和為1計算得到答案.（Ⅱ）完善列聯(lián)表，計算，對比臨界值表得到答案.（Ⅲ）的取值為，計算概率得到分布列，計算數(shù)學(xué)期望得到答案.【詳解】（Ⅰ），解得.所以該城市駕駛員交通安全意識強的概率.（Ⅱ）安全意識強安全意識不強合計男性163450女性44650合計2080100，所以有的把握認(rèn)為交通安全意識與性別有關(guān)（Ⅲ）的取值為所以的分布列為期望.【點睛】本題考查了獨立性檢驗，分布列，數(shù)學(xué)期望，意在考查學(xué)生的計算能力和綜合應(yīng)用能力.21、（1）（2）{1，2}．【解析】

（1）求解導(dǎo)數(shù)，表示出，再利用的導(dǎo)數(shù)可求m的取值范圍；（2）表示出，結(jié)合二次函數(shù)知識求出的最小值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)及基本不等式求出的最值，從而可求正整數(shù)k的取值集合．【詳解】（1）因為，所以，所以，則，由題意可知，解得；（2）由（1）可知，，所以因為整理得