2023-2024學年湖南省郴州市第二中學數(shù)學高三第一學期期末學業(yè)質(zhì)量監(jiān)測模擬試題含解析

2023-2024學年湖南省郴州市第二中學數(shù)學高三第一學期期末學業(yè)質(zhì)量監(jiān)測模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．“哥德巴赫猜想”是近代三大數(shù)學難題之一，其內(nèi)容是：一個大于2的偶數(shù)都可以寫成兩個質(zhì)數(shù)(素數(shù))之和，也就是我們所謂的“1+1”問題.它是1742年由數(shù)學家哥德巴赫提出的，我國數(shù)學家潘承洞、王元、陳景潤等在哥德巴赫猜想的證明中做出相當好的成績.若將6拆成兩個正整數(shù)的和，則拆成的和式中，加數(shù)全部為質(zhì)數(shù)的概率為（）A． B． C． D．2．在正方體中，E是棱的中點，F(xiàn)是側(cè)面內(nèi)的動點，且與平面的垂線垂直，如圖所示，下列說法不正確的是（）A．點F的軌跡是一條線段 B．與BE是異面直線C．與不可能平行 D．三棱錐的體積為定值3．已知是球的球面上兩點,,為該球面上的動點.若三棱錐體積的最大值為36,則球的表面積為（）A． B． C． D．4．為雙曲線的左焦點，過點的直線與圓交于、兩點，（在、之間）與雙曲線在第一象限的交點為，為坐標原點，若，且，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．5．設(shè)復數(shù)滿足，則（）A． B． C． D．6．在平面直角坐標系中，銳角頂點在坐標原點，始邊為x軸正半軸，終邊與單位圓交于點，則（）A． B． C． D．7．觀察下列各式：，，，，，，，，根據(jù)以上規(guī)律，則（）A． B． C． D．8．窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的剪紙，是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一，它歷史悠久，風格獨特，神獸人們喜愛．下圖即是一副窗花，是把一個邊長為12的大正方形在四個角處都剪去邊長為1的小正方形后剩余的部分，然后在剩余部分中的四個角處再剪出邊長全為1的一些小正方形．若在這個窗花內(nèi)部隨機取一個點，則該點不落在任何一個小正方形內(nèi)的概率是（）A． B． C． D．9．已知的展開式中的常數(shù)項為8，則實數(shù)（）A．2 B．-2 C．-3 D．310．已知命題，，則是（）A．， B．，.C．， D．，.11．過拋物線的焦點作直線交拋物線于兩點，若線段中點的橫坐標為3，且，則拋物線的方程是()A． B． C． D．12．函數(shù)的圖象如圖所示，為了得到的圖象，可將的圖象（）A．向右平移個單位 B．向右平移個單位C．向左平移個單位 D．向左平移個單位二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知雙曲線的左焦點為，、為雙曲線上關(guān)于原點對稱的兩點，的中點為，的中點為，的中點為，若，且直線的斜率為，則__________，雙曲線的離心率為__________．14．已知角的終邊過點，則______.15．直線（，）過圓：的圓心，則的最小值是______.16．的展開式中的系數(shù)為________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)（為常數(shù)）（Ⅰ）當時，求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若為增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍.18．（12分）已知函數(shù).（1）求不等式的解集；（2）若函數(shù)的最大值為，且，求的最小值.19．（12分）在四棱錐中，底面是平行四邊形，底面．（1）證明：；（2）求二面角的正弦值．20．（12分）在四棱柱中，底面為正方形，，平面．（1）證明：平面；（2）若，求二面角的余弦值．21．（12分）已知中，角，，的對邊分別為，，，已知向量，且．（1）求角的大?。唬?）若的面積為，，求．22．（10分）在平面直角坐標系中，已知直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），在以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，且與直角坐標系長度單位相同的極坐標系中，曲線C的極坐標方程是.（1）求直線l的普通方程與曲線C的直角坐標方程；（2）若直線l與曲線C相交于兩點A，B，求線段的長.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

列出所有可以表示成和為6的正整數(shù)式子，找到加數(shù)全部為質(zhì)數(shù)的只有，利用古典概型求解即可.【詳解】6拆成兩個正整數(shù)的和含有的基本事件有:(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),而加數(shù)全為質(zhì)數(shù)的有(3,3),根據(jù)古典概型知，所求概率為.故選：A.【點睛】本題主要考查了古典概型，基本事件，屬于容易題.2、C【解析】

分別根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理以及異面直線的定義，體積公式分別進行判斷．【詳解】對于，設(shè)平面與直線交于點，連接、，則為的中點分別取、的中點、，連接、、，，平面，平面，平面．同理可得平面，、是平面內(nèi)的相交直線平面平面，由此結(jié)合平面，可得直線平面，即點是線段上上的動點．正確．對于，平面平面，和平面相交，與是異面直線，正確．對于，由知，平面平面，與不可能平行，錯誤．對于，因為，則到平面的距離是定值，三棱錐的體積為定值，所以正確；故選：．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、空間位置關(guān)系、空間角、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．3、C【解析】

如圖所示，當點C位于垂直于面的直徑端點時，三棱錐的體積最大，設(shè)球的半徑為，此時，故，則球的表面積為，故選C．考點：外接球表面積和椎體的體積．4、D【解析】

過點作，可得出點為的中點，由可求得的值，可計算出的值，進而可得出，結(jié)合可知點為的中點，可得出，利用勾股定理求得（為雙曲線的右焦點），再利用雙曲線的定義可求得該雙曲線的離心率的值.【詳解】如下圖所示，過點作，設(shè)該雙曲線的右焦點為，連接.，.，，，為的中點，，，，，由雙曲線的定義得，即，因此，該雙曲線的離心率為.故選：D.【點睛】本題考查雙曲線離心率的求解，解題時要充分分析圖形的形狀，考查推理能力與計算能力，屬于中等題.5、D【解析】

根據(jù)復數(shù)運算，即可容易求得結(jié)果.【詳解】.故選：D.【點睛】本題考查復數(shù)的四則運算，屬基礎(chǔ)題.6、A【解析】

根據(jù)單位圓以及角度范圍，可得，然后根據(jù)三角函數(shù)定義，可得，最后根據(jù)兩角和的正弦公式，二倍角公式，簡單計算，可得結(jié)果.【詳解】由題可知：，又為銳角所以，根據(jù)三角函數(shù)的定義：所以由所以故選：A【點睛】本題考查三角函數(shù)的定義以及兩角和正弦公式，還考查二倍角的正弦、余弦公式，難點在于公式的計算，識記公式，簡單計算，屬基礎(chǔ)題.7、B【解析】

每個式子的值依次構(gòu)成一個數(shù)列，然后歸納出數(shù)列的遞推關(guān)系后再計算．【詳解】以及數(shù)列的應用根據(jù)題設(shè)條件，設(shè)數(shù)字，，，，，，，構(gòu)成一個數(shù)列，可得數(shù)列滿足，則，，．故選：B．【點睛】本題主要考查歸納推理，解題關(guān)鍵是通過數(shù)列的項歸納出遞推關(guān)系，從而可確定數(shù)列的一些項．8、D【解析】

由幾何概型可知,概率應為非小正方形面積與窗花面積的比,即可求解.【詳解】由題,窗花的面積為,其中小正方形的面積為,所以所求概率,故選:D【點睛】本題考查幾何概型的面積公式的應用,屬于基礎(chǔ)題.9、A【解析】

先求的展開式，再分類分析中用哪一項與相乘，將所有結(jié)果為常數(shù)的相加，即為展開式的常數(shù)項，從而求出的值.【詳解】展開式的通項為，當取2時，常數(shù)項為，當取時，常數(shù)項為由題知，則.故選：A.【點睛】本題考查了兩個二項式乘積的展開式中的系數(shù)問題，其中對所取的項要進行分類討論，屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】

根據(jù)全稱命題的否定為特稱命題，得到結(jié)果.【詳解】根據(jù)全稱命題的否定為特稱命題，可得，本題正確選項：【點睛】本題考查含量詞的命題的否定，屬于基礎(chǔ)題.11、B【解析】

利用拋物線的定義可得,,把線段AB中點的橫坐標為3,代入可得p值,然后可得出拋物線的方程.【詳解】設(shè)拋物線的焦點為F,設(shè)點，由拋物線的定義可知，線段AB中點的橫坐標為3，又，，可得，所以拋物線方程為.故選：B.【點睛】本題考查拋物線的定義、標準方程,以及簡單性質(zhì)的應用,利用拋物線的定義是解題的關(guān)鍵.12、C【解析】

根據(jù)正弦型函數(shù)的圖象得到，結(jié)合圖像變換知識得到答案.【詳解】由圖象知：，∴.又時函數(shù)值最大，所以.又，∴，從而，，只需將的圖象向左平移個單位即可得到的圖象，故選C.【點睛】已知函數(shù)的圖象求解析式(1).(2)由函數(shù)的周期求(3)利用“五點法”中相對應的特殊點求，一般用最高點或最低點求．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

設(shè)，，根據(jù)中點坐標公式可得坐標，利用可得到點坐標所滿足的方程，結(jié)合直線斜率可求得，進而求得；將點坐標代入雙曲線方程，結(jié)合焦點坐標可求得，進而得到離心率.【詳解】左焦點為，雙曲線的半焦距．設(shè)，，，，，，即，，即，又直線斜率為，即，，，，在雙曲線上，，即，結(jié)合可解得：，，離心率.故答案為：；.【點睛】本題考查直線與雙曲線的綜合應用問題，涉及到直線截雙曲線所得線段長度的求解、雙曲線離心率的求解問題；關(guān)鍵是能夠通過設(shè)點的方式，結(jié)合直線斜率、垂直關(guān)系、點在雙曲線上來構(gòu)造方程組求得所需變量的值.14、【解析】

由題意利用任意角的三角函數(shù)的定義，兩角和差正弦公式，求得的值．【詳解】解：∵角的終邊過點，∴，，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，兩角和差正弦公式，屬于基礎(chǔ)題．15、；【解析】

求出圓心坐標，代入直線方程得的關(guān)系，再由基本不等式求得題中最小值．【詳解】圓：的標準方程為，圓心為，由題意，即，∴，當且僅當，即時等號成立，故答案為：．【點睛】本題考查用基本不等式求最值，考查圓的標準方程，解題方法是配方法求圓心坐標，“1”的代換法求最小值，目的是湊配出基本不等式中所需的“定值”．16、80.【解析】

只需找到展開式中的項的系數(shù)即可.【詳解】展開式的通項為，令，則，故的展開式中的系數(shù)為80.故答案為：80.【點睛】本題考查二項式定理的應用，涉及到展開式中的特殊項系數(shù)，考查學生的計算能力，是一道容易題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）單調(diào)遞增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間為；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）對函數(shù)進行求導，利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性即可；（Ⅱ）對函數(shù)進行求導，由題意知,為增函數(shù)等價于在區(qū)間恒成立，利用分離參數(shù)法和基本不等式求最值即可求出實數(shù)的取值范圍.【詳解】（Ⅰ）由題意知，函數(shù)的定義域為，當時，，令，得，或，所以，隨的變化情況如下表：遞增遞減遞增的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為.（Ⅱ）由題意得在區(qū)間恒成立，即在區(qū)間恒成立.，當且僅當，即時等號成立.所以，所以的取值范圍是.【點睛】本題考查利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、利用分離參數(shù)法和基本不等式求最值求參數(shù)的取值范圍；考查運算求解能力和邏輯推理能力；利用導數(shù)把函數(shù)單調(diào)性問題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題、?？碱}型.18、（1）（2）【解析】

（1）化簡得到，分類解不等式得到答案.（2）的最大值，，利用均值不等式計算得到答案.【詳解】（1）因為，故或或解得或，故不等式的解集為.（2）畫出函數(shù)圖像，根據(jù)圖像可知的最大值.因為，所以，當且僅當時，等號成立，故的最小值是3.【點睛】本題考查了解不等式，均值不等式求最值，意在考查學生的計算能力和轉(zhuǎn)化能力.19、（1）見解析（2）【解析】

（1）利用正弦定理求得，由此得到，結(jié)合證得平面，由此證得.（2）建立空間直角坐標系，利用平面和平面的法向量，計算出二面角的余弦值，再轉(zhuǎn)化為正弦值.【詳解】（1）在中，由正弦定理可得：，，底面，平面，；（2）以為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系，，設(shè)平面的法向量為，由可得：，令，則，設(shè)平面的法向量為，由可得:，令，則，設(shè)二面角的平面角為，由圖可知為鈍角，則，，故二面角的正弦值為.【點睛】本小題主要考查線線垂直的證明，考查空間向量法求二面角，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.20、（1）詳見解析；（2）.【解析】

（1）連接，設(shè)，可證得四邊形為平行四邊形，由此得到，根據(jù)線面平行判定定理可證得結(jié)論；（2）以為原點建立空間直角坐標系，利用二面角的空間向量求法可求得結(jié)果.【詳解】（1）連接，設(shè)，連接，在四棱柱中，分別為的中點，，四邊形為平行四邊形，，平面，平面，平面．（2）以為原點，所在直線分別為軸建立空間直角坐標系．設(shè)，四邊形為正方形，，，則，，，，，，，設(shè)為平面的法向量，為平面的法向量，由得：，令，則，，由得：，令，則，，，，，二面角為銳二面角，二面角的余弦值為.【點睛】本題考查立體幾何中線面平行關(guān)系的證明、空間向量法求解二面角的問題；關(guān)鍵是能夠熟練掌握二面角的向量求法，易錯點是求得法向量夾角余弦值后，未根據(jù)圖形判斷二面角為銳二面角還是鈍二面角，造成余弦值符號出現(xiàn)錯誤.21、（1）;（2）．【解析】試題分析：（1）利用已知及平面向量數(shù)量積運算可得，利用正弦定理可得，結(jié)合，可求，從而