習(xí)題-振動(dòng)與波

振動(dòng)與波動(dòng)大學(xué)物理II習(xí)題課1機(jī)械振動(dòng)教學(xué)要求1.掌握簡(jiǎn)諧振動(dòng)的描述和三個(gè)特征量的意義，特別要弄清相位的概念2.掌握簡(jiǎn)諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)特征，并能判定簡(jiǎn)諧振動(dòng)，能根據(jù)已知條件列出運(yùn)動(dòng)的微分方程，并由此求出簡(jiǎn)諧振動(dòng)的周期3.掌握簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量特征4.掌握簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成規(guī)律2本章基本題型1.已知振動(dòng)方程，求特征參量2.已知條件（或者振動(dòng)曲線），建立振動(dòng)方程3.證明、判斷一個(gè)物體的振動(dòng)是否是簡(jiǎn)諧振動(dòng)4.簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成:(1).動(dòng)力學(xué)判據(jù):(2).運(yùn)動(dòng)學(xué)判據(jù):(3).能量判據(jù)振動(dòng)系統(tǒng)機(jī)械能守恒解析法、旋轉(zhuǎn)矢量法（振幅、周期、頻率、初相位）3例1、一個(gè)質(zhì)量為0.25g的質(zhì)點(diǎn)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其振動(dòng)方程為求：（1）振幅A，周期T以及初相位（2）起始位置的位移、速度和加速度（3）動(dòng)能最大值（cm）已知振動(dòng)方程，求特征參量4例2、如圖所示的振動(dòng)曲線。求：（1）簡(jiǎn)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程（2）由狀態(tài)a運(yùn)動(dòng)到狀態(tài)b，再由b運(yùn)動(dòng)到c的時(shí)間分別是多少（3）狀態(tài)d的速度和加速度【解】方法1解析法原點(diǎn)：c點(diǎn)：已知條件（或者振動(dòng)曲線），建立振動(dòng)方程5方法2旋轉(zhuǎn)矢量法（1）確定旋轉(zhuǎn)矢量振動(dòng)方程為-A-A/2AA/2x6（2）由狀態(tài)a運(yùn)動(dòng)到狀態(tài)b，再由b運(yùn)動(dòng)到c的時(shí)間分別是多少（3）狀態(tài)d的速度和加速度-A-A/2AA/2xa7例3兩輪的軸相互平行相距為2d，兩輪的轉(zhuǎn)速相同而轉(zhuǎn)向相反。現(xiàn)將質(zhì)量為m的一勻質(zhì)木板放在兩輪上，木板與兩輪之間的摩擦系數(shù)均為

。若木板的質(zhì)心偏離對(duì)稱位置后，試證木板將作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，并求其振動(dòng)周期.2dNA0xxABNBmgfAfB【解】以兩輪位置的中點(diǎn)（對(duì)稱位置）為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)軸，設(shè)木板的質(zhì)心位置坐標(biāo)為以C為支點(diǎn)有

以D為支點(diǎn)有

C證明、判斷一個(gè)物體的振動(dòng)是否是簡(jiǎn)諧振動(dòng)D8即

故木板作簡(jiǎn)諧振動(dòng)。

2dNA0xxABNBmgfAfBCD9例4:勁度系數(shù)為k的輕彈簧掛在質(zhì)量為m，半徑為R的勻質(zhì)圓柱體的對(duì)稱軸上，使圓柱體作無滑動(dòng)的滾動(dòng)，證明：圓柱體的質(zhì)心作諧振動(dòng)。水平面證明：建坐標(biāo)如圖，分析振動(dòng)系統(tǒng)機(jī)械能守恒彈簧原長(zhǎng)處為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)原點(diǎn)處為勢(shì)能零點(diǎn)，質(zhì)心在xc時(shí)系統(tǒng)的機(jī)械能為（注意上式中的

是剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度）10兩邊對(duì)t求導(dǎo)數(shù)，得將代入上式得與動(dòng)力學(xué)方程比較知，物理量xc的運(yùn)動(dòng)形式是諧振動(dòng)圓頻率周期11例5一勻質(zhì)細(xì)桿質(zhì)量為m，長(zhǎng)為l，上端可繞懸掛軸無摩擦的在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，下端與一勁度系數(shù)為k的輕彈簧相聯(lián)，當(dāng)細(xì)桿處于鉛直位置時(shí)，彈簧不發(fā)生形變。求細(xì)桿作微小振動(dòng)是否是簡(jiǎn)諧振動(dòng)。O【解】方法一.分析受力法mgf很小時(shí)細(xì)桿微小振動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)取細(xì)桿鉛直位置為坐標(biāo)零點(diǎn)，垂直紙面向外為正方向12方法二.分析能量法由桿、彈簧、地球所構(gòu)成的系統(tǒng)，機(jī)械能守恒。取平衡位置系統(tǒng)的勢(shì)能為零，當(dāng)桿在某一任意位置時(shí)，系統(tǒng)機(jī)械能為J為桿繞O軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，x為彈簧伸長(zhǎng)量，桿作微小振動(dòng)時(shí)，代入上面式子，并且兩邊對(duì)時(shí)間求一次導(dǎo)數(shù)，有：13式中，在桿作微小振動(dòng)時(shí)，代入后，可以得到：桿的微小振動(dòng)是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)振動(dòng)的頻率為14作業(yè)1.10兩個(gè)相互垂直的不同的頻率的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成合成軌跡為穩(wěn)定的閉合曲線—李薩如圖yxA1A20-A2-A1例如左圖：應(yīng)用：測(cè)定未知頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成15已知：x=Acost,求y=？例如左圖：A-AA-AxyO161.熟練掌握簡(jiǎn)諧波的描述4.掌握半波損失問題5.理解駐波的形成和它的幾個(gè)特點(diǎn)6.掌握多普勒效應(yīng)中頻率的計(jì)算3.熟練掌握簡(jiǎn)諧波的干涉,干涉條件,相干加強(qiáng)、減弱的條件機(jī)械波教學(xué)要求2.理解惠更斯原理并利用其解釋波的衍射現(xiàn)象17本章基本題型平面簡(jiǎn)諧波函數(shù)：1.已知波函數(shù)，求有關(guān)的物理量(1)求波長(zhǎng)、周期、波速和初相位2.由已知條件建立波動(dòng)函數(shù)(2)求波動(dòng)曲線上某一點(diǎn)的振動(dòng)方程(3)畫出某時(shí)刻的波形曲線(1)已知波動(dòng)曲線上某一點(diǎn)的振動(dòng)狀態(tài)(2)已知某一時(shí)刻的波形曲線184.多普勒效應(yīng)一般形式3.波的傳播及疊加(2).半波損失(1).波的不同方向傳播的描述(3).波的疊加（干涉、駐波）19例6.一平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)為試求：(1)該簡(jiǎn)諧波的振幅、波速、頻率和波長(zhǎng)。(2)媒質(zhì)質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的最大速度。已知波函數(shù)，求有關(guān)的物理量20例7.圖示為t=0時(shí)刻的波形，求：（1）原點(diǎn)的振動(dòng)方程；（2）波動(dòng)方程；（3）p點(diǎn)的振動(dòng)方程；（4）a,b兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方向。0.2p0.04ox(m)y(m)abu=0.08m/s21例8一波長(zhǎng)為λ的平面簡(jiǎn)諧波，已知A點(diǎn)的振動(dòng)方程為

y=Acos(ωt+φ)

試求在圖中四種坐標(biāo)選擇情況下此簡(jiǎn)諧波的表達(dá)式。yOAxuyOAxuyxOAlu解答提示（1)(2)(3)（1）（2）（3）（4）xOAuy(4)由已知條件建立波動(dòng)函數(shù)PP22例9.一列波長(zhǎng)為

的平面簡(jiǎn)諧波沿x軸正方向傳播。已知在x=

/2

處振動(dòng)表達(dá)式為y=Acost,（1）求該平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù);（2）若在波線上處放一反射面,求反射波的波函數(shù)?！窘狻浚?）入射波的波函數(shù)0Lxx畫出示意圖找任意一點(diǎn)x半波損失23反射有半波損失，到達(dá)L處的振動(dòng)方程為0Lxx已求得入射波的波函數(shù)L處反射的振動(dòng)方程反射波的波函數(shù)得24方法2時(shí)間修正反射有半波損失，反射波的波函數(shù)為0Lxx得y=Acost,x=

/2

25反射波的波函數(shù)為0Lxx得方法3相位修正y=Acost,x=

/2

26(2)合成波即駐波的表達(dá)式;(3)波腹、波節(jié)的位置。

例10.設(shè)入射波的表達(dá)式為.在x=0處發(fā)生反射,反射點(diǎn)為一固定端,設(shè)反射波與入射波振幅近似相等，【解】（1）入射波在x=0處引起的振動(dòng)為反射點(diǎn)為固定端，這點(diǎn)必是波節(jié)，有半波損失，x0入射波反射波(1)反射波的表達(dá)式;求:波的疊加（干涉、駐波）27(2)合成波即駐波的表達(dá)式反射波入射波合成波絕對(duì)值為振幅初相為/2得28若用旋轉(zhuǎn)矢量分析：反射波入射波t=0時(shí)的旋轉(zhuǎn)矢量y0kx-kxy1y’1AA

振幅

初相

/2所以有（與前相同）29(3)波腹、波節(jié)的位置。駐波的表達(dá)式波腹的位置即30波節(jié)的位置即波節(jié)x0波腹31例11.一靜止聲源S

頻率

S=300Hz，聲速u=330m/s，觀察者R以速度VR=60m/s向右運(yùn)動(dòng)，反射壁以V=100m/