2023高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)二卷試題

2023年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（新高考全國(guó)n

卷）

數(shù)學(xué)

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,

只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.在復(fù)平面內(nèi)，（l+3i）（3-i）對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）.

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.設(shè)集合A={0,-a},B={l,a-2,2a-2),若A=B,則。=().

A.2B.1C-1D.-1

3.某學(xué)校為了解學(xué)生參加體育運(yùn)動(dòng)的情況,用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法作抽樣調(diào)

查，擬從初中部和高中部?jī)蓪庸渤槿?0名學(xué)生,已知該校初中部和高中部分別有400

名和200名學(xué)生，則不同的抽樣結(jié)果共有（）.

A.C%CE種B.CZ-C鼠種

C.端/琮，種D.C篇C墨種

2x—1

4.若/（x）=（x+a）ln1^為偶函數(shù)，貝lja=（）.

A.-1B.0C.1D.1

5.已知橢圓C:；+y2=i的左、右焦點(diǎn)分別為6，F(xiàn)2,直線y=與C交于A,B

兩點(diǎn)，若△《AS面積是△F:AB面積的2倍，則機(jī)=（）.

A.|B.—C.--D.--

3333

6.已知函數(shù)〃x）=ae'-lnx在區(qū)間（1,2）上單調(diào)遞增，則a的最小值為（）.

A.e?B.eC.e-1D.e-2

7.已知a為銳角，cosa=L氈，則sin1=().

42

A3—>/5口—1+>/5c3—yf5DT+石

8844

記為等比數(shù)列｛｝的前〃項(xiàng)和，

8.5.q若54=-5,56=21S2>則$8=（）.

A.120B.85C.一85D.-120

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)

符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。

9.已知圓錐的頂點(diǎn)為P,底面圓心為O,AB為底面直徑，ZAPB=120°,1ft4=2,點(diǎn)

C在底面圓周上，且二面角P-AC—O為45。，則().

A.該圓錐的體積為兀B.該圓錐的側(cè)面積為4百兀

C.AC=2夜D.4c的面積為6

10.設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線y=-G(x-l)過(guò)拋物線C：yJ2px(p>0)的焦點(diǎn)，且與c

交于M,N兩點(diǎn)，/為C的準(zhǔn)線，則().

O

A.p=2B.\MN\=^

C.以MN為直徑的圓與/相切D.為等腰三角形

11.若函數(shù)〃x)=alnx+q+W(axO)既有極大值也有極小值，貝ij().

A.bc>0B.ab>0C.b2+Sac>0D.ac<0

12.在信道內(nèi)傳輸0,1信號(hào)，信號(hào)的傳輸相互獨(dú)立.發(fā)送。時(shí)，收到1的概率為a(0<a<1),

收到。的概率為1-a；發(fā)送1時(shí)，收到。的概率為以0<尸<1),收到1的概率為1-爪

考慮兩種傳輸方案：?jiǎn)未蝹鬏敽腿蝹鬏?單次傳輸是指每個(gè)信號(hào)只發(fā)送1次，三次傳

輸是指每個(gè)信號(hào)重復(fù)發(fā)送3次.收到的信號(hào)需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：?jiǎn)未蝹鬏敃r(shí)，

收到的信號(hào)即為譯碼；三次傳輸時(shí)，收到的信號(hào)中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼(例如，若依

次收到1,0,1,則譯碼為1).

A.采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1,0,1,則依次收到1,0,1的概率為(l-a)(l-6)2

B.采用三次傳輸方案，若發(fā)送1,則依次收到1,0,1的概率為6(1-￡)2

C.采用三次傳輸方案，若發(fā)送1,則譯碼為1的概率為￡(1-￡)2+(1-夕)'

D.當(dāng)0<a<0.5時(shí)，若發(fā)送0,則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳

輸方案譯碼為0的概率

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知向量a,滿足,叫=6,卜+w=|2.-司，則忖=.

14.底面邊長(zhǎng)為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個(gè)底面邊長(zhǎng)為2,高

為3的正四棱錐，所得棱臺(tái)的體積為.

15.已知直線/“一根)，+1=0與OC:(x-iy+y2=4交于4,8兩點(diǎn)，寫(xiě)出滿足“..ABC面

Q

積為相’的根的一個(gè)值.

試卷第2頁(yè)，共4頁(yè)

16.已知函數(shù)/(x)=sin(3：+e),如圖A,8是直線y與曲線y=/(x)的兩個(gè)交點(diǎn),

四、解答題：本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演

算步驟。

17.記一43c的內(nèi)角A,8,C的對(duì)邊分別為a,4c,已知43c的面積為g,。為8c中

點(diǎn)，且AD=1.

(1)^ZADC=y,求tan8；

⑵若Z/+C2=8,求瓦c.

18.已知｛叫為等差數(shù)列，2=[?-6二數(shù)，記S“，7；分別為數(shù)列｛%｝,但｝的前

〃項(xiàng)和，§4=32,4=16.

⑴求｛4｝的通項(xiàng)公式；

(2)證明：當(dāng)">5時(shí),Tn>Sn.

19.某研究小組經(jīng)過(guò)研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)有明顯差異,

利用該指標(biāo)制定一個(gè)檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值C,將該指標(biāo)大于C的人判定為陽(yáng)性，

小于或等于。的人判定為陰性.此檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記

為p(c)；誤診率是將未患病者判定為陽(yáng)性的概率,記為q(c).假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，

以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率.

⑴當(dāng)漏診率p(c)=0.5%時(shí)，求臨界值c和誤診率q(c)；

⑵設(shè)函數(shù)〃c)=p(c)+q(c),當(dāng)CG[95,105]時(shí),求〃c)的解析式，并求/.(c)在區(qū)間

[95,105]的最小值.

20.如圖，三棱錐4-88中，DA=DB=DC,BDLCD,ZADB=ZADC=60,E

為BC的中點(diǎn).

(1)證明：BCA.DA,

(2)點(diǎn)/滿足￡F=￡)A，求二面角。一AS-尸的正弦值.

21.已知雙曲線C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為卜26,0),離心率為不.

(1)求C的方程；

(2)記C的左、右頂點(diǎn)分別為A,4,過(guò)點(diǎn)(Y,0)的直線與C的左支交于M,N兩點(diǎn),

M在第二象限，直線MA與M4?交于點(diǎn)尸.證明:點(diǎn)P在定直線上.

22.(1)證明：當(dāng)Ovxvl時(shí)，x-x2<s\nx<x；

(2)已知函數(shù)/(x)=cosor-若x=0是〃x)的極大值點(diǎn)，求a的取值范圍.

試卷第4頁(yè)，共4頁(yè)

1.A

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義分析判斷.

［詳解］因?yàn)?l+3i)(3—i)=3+8i—3i2=6+8i,

則所求復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(6,8),位于第一象限.

故選：A.

2.B

【分析】根據(jù)包含關(guān)系分。-2=0和2a-2=0兩種情況討論，運(yùn)算求解即可.

【詳解】因?yàn)锳=B,則有：

若〃一2=0,解得a=2,此時(shí)A={0,—2},B={l,0,2},不符合題意；

若2“一2=0,解得a=l,此時(shí)A={0,—l},B={1-1,0},符合題意；

綜上所述：a=\.

故選：B.

3.D

【分析】利用分層抽樣的原理和組合公式即可得到答案.

【詳解】根據(jù)分層抽樣的定義知初中部共抽取60x攔=40人,高中部共抽取60x嬰=20,

600600

根據(jù)組合公式和分步計(jì)數(shù)原理則不同的抽樣結(jié)果共有C<?C禽種.

故選：D.

4.B

【分析】根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)，利用特殊值法求出。值，再檢驗(yàn)即可.

【詳解】因?yàn)閒(x)為偶函數(shù)，則/(I)=/(-I)，(1+a)In1=(-1+?)In3,解得a=0,

當(dāng)a=O時(shí)，=(2x-l)(2x+l)>0,解得或x<-g,

則其定義域?yàn)椴穦x〉g或無(wú)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

f(-x)=(-x)In~-=(-x)ln~A+1=(-x)In［=xln-x~^=

八'、'2(-x)+l、72x-\、'Ux+lJ2x+\V7

故此時(shí)〃x)為偶函數(shù).

故選：B.

答案第1頁(yè)，共16頁(yè)

5.C

【分析】首先聯(lián)立直線方程與橢圓方程，利用△>(),求出，”范圍，再根據(jù)三角形面積比得

到關(guān)于機(jī)的方程，解出即可.

y=x+m

x2，消去y可得4/+6如+3病-3=0,

了+八21

因?yàn)橹本€與橢圓相交于點(diǎn)，則公1=4X4(3〃P—)解得一

A,836m2—3>0,2Vm<2,

設(shè)F,到AB的距離4再到AB距離4，易知耳卜3,0),巴(60),

皿|-0+機(jī)|,\y/2+m\

I-及+川

占=西=黑*2,解得…當(dāng)或一30(舍去),

【分析】根據(jù)/(切=獲,--20在(1,2)上恒成立，再根據(jù)分參求最值即可求出.

【詳解】依題可知，/'(x)=ae*-l20在(1,2)上恒成立，顯然a>0,所以xe-L

xa

設(shè)g(x)=xe\xw(l,2),所以g，(x)=(x+l)e'>0,所以g(x)在(1,2)上單調(diào)遞增,

g(x)>g(l)=e,故e2,，即即〃的最小值為e，

ae

故選：c.

7.D

【分析】根據(jù)二倍角公式(或者半角公式)即可求出.

【詳解】因?yàn)閏osa=l-2sin24=L芭，而a為銳角,

24

答案第2頁(yè)，共16頁(yè)

解得：sin掾=(3一下75-175-1.

故選：D.

8.C

【分析】方法一：根據(jù)等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式求出公比，再根據(jù)名，怎的關(guān)系即可解出；

方法二：根據(jù)等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和的性質(zhì)求解.

【詳解】方法一：設(shè)等比數(shù)列｛為｝的公比為。，首項(xiàng)為4，

若q=l,則S6=6q=3x2q=3S2,與題意不符，所以

由S,=-5,S$=21邑可得,也二￡)=_5,"'("'『"'(?八①,

\-ql-q\-q

由①可得，1+/+/=21,解得：q2=4,

所以$8=)=)X(1+/)=_5X(1+16)=-85.

故選：C.

方法二：設(shè)等比數(shù)列｛〃“｝的公比為4，

因?yàn)橐?-5,S6=21S2,所以夕w—1,否則S1,=0,

從而，s2,s4-s2,s6-s4,s8-s6成等比數(shù)列，

o25

所以有，(-5-S2)=52(2152+5),解得：邑=-1或員=1,

當(dāng)$2=-1時(shí)，S,,S4—52,S6—S4,S8—S6,即為-1,-4,—16,Sg+21,

易知，$8+21=-64,即S,=-85；

當(dāng)s?=_時(shí)，S4=q+4+.+。4=(4+/乂i+/)=(i+q2)s2>o,

與邑=-5矛盾，舍去.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式的應(yīng)用，以及整體思想的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是

把握s431s的關(guān)系，從而減少相關(guān)量的求解，簡(jiǎn)化運(yùn)算.

答案第3頁(yè)，共16頁(yè)

9.AC

【分析】根據(jù)圓錐的體積、側(cè)面積判斷A、B選項(xiàng)的正確性，利用二面角的知識(shí)判斷C、D

選項(xiàng)的正確性.

【詳解】依題意，ZAPB=\20°,PA=2,所以O(shè)P=1,OA=O3=VL

A選項(xiàng)，圓錐的體積為3、兀*(右)\1=兀，A選項(xiàng)正確；

B選項(xiàng)，圓錐的側(cè)面積為兀xgx2=2g7t,B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C選項(xiàng)，設(shè)。是AC的中點(diǎn)，連接02?。，

則AC1OD,ACLPD,所以NPDO是二面角P—AC—O的平面角，

則NP￡)O=45。，所以O(shè)P=OD=1,

故AD=CD=^^i=&,則AC=2應(yīng)，C選項(xiàng)正確；

D選項(xiàng)，PD=712+12=72>所以SpAc=gx2\/5x夜=2,D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

10.AC

【分析】先求得焦點(diǎn)坐標(biāo)，從而求得。，根據(jù)弦長(zhǎng)公式求得,根據(jù)圓與等腰三角形的

知識(shí)確定正確答案.

【詳解】A選項(xiàng)：直線y=-G(x-l)過(guò)點(diǎn)(1,0),所以拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)尸(1,0),

所以5=l,P=2,2p=4,則A選項(xiàng)正確，且拋物線C的方程為>2=4x.

B選項(xiàng)：設(shè),

由卜,=-8(x-l)消去>并化簡(jiǎn)得#_]0x+3=(x-3)(3x-1)=0,

y=4x

解得玉=3,X2=g,所以|MN|=%+%+p=3+g+2=T，B選項(xiàng)專昔誤.

C選項(xiàng)：設(shè)MN的中點(diǎn)為A,到直線/的距離分別為44,d,

答案第4頁(yè)，共16頁(yè)

因?yàn)?=；(4+4)=；(|耐|+"/|)=；阿明，

即A到直線/的距離等于MN的一半，所以以MN為直徑的圓與直線/相切，C選項(xiàng)正確.

D選項(xiàng)：直線y=-G(x-l),即Vlr+y-石=0,

。到直線6x+y-6=()的距離為d=3,

2

所以三角形OMN的面積為'嶼、且=勺2

2323

由上述分析可知y=-\/3(3-1)=-2^,y2=

所以|0叫=』+(-2國(guó)=d,|ON卜

所以三角形。MN不是等腰三角形，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

【分析】求出函數(shù)/(*)的導(dǎo)數(shù)/(X),由已知可得，'(x)在(0,+8)上有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為

一元二次方程有兩個(gè)不等的正根判斷作答.

【詳解】函數(shù)士+三的定義域?yàn)?0,位)，求導(dǎo)得

XX

。b2cax2-bx-2c

3--------------，

/W=-x----x-r-x-r=--------x-

因?yàn)楹瘮?shù)/*)既有極大值也有極小值，則函數(shù)/'。)在(0,”)上有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，而。工0,

因此方程如2-法-2c=0有兩個(gè)不等的正根不

答案第5頁(yè)，共16頁(yè)

A=/?2+Sac>0

于是，王+》2=2>0,即有。2+8ac>0,ab>0,ac<0,顯然a%?<0,即從?<(),A錯(cuò)

a

2c.

X[X>=--->0

.'a

誤，BCD正確.

故選：BCD

12.ABD

【分析】利用相互獨(dú)立事件的概率公式計(jì)算判斷AB；利用相互獨(dú)立事件及互斥事件的概率

計(jì)算判斷C；求出兩種傳輸方案的概率并作差比較判斷D作答.

【詳解】對(duì)于A,依次發(fā)送1,0,1,則依次收到1,0,1的事件是發(fā)送1接收1、發(fā)送0

接收0、發(fā)送1接收1的3個(gè)事件的積，

它們相互獨(dú)立，所以所求概率為(1-尸)(l-a)(l-6)=(l-a)(l-￡)2,A正確:

對(duì)于B,三次傳輸，發(fā)送1,相當(dāng)于依次發(fā)送1,1,1,則依次收到1,0,1的事件，

是發(fā)送1接收1、發(fā)送1接收0、發(fā)送1接收1的3個(gè)事件的積，

它們相互獨(dú)立，所以所求概率為(1-4)"(1-夕)="1-月)2,B正確；

對(duì)于C,三次傳輸，發(fā)送1,則譯碼為1的事件是依次收到1,1,0、1,0,1、0,1,1和

1,1,1的事件和，

它們互斥，由選項(xiàng)B知，所以所求的概率為C/(l-/)2+(l-夕)3=(1-4)2(]+2/),c錯(cuò)誤；

對(duì)于D,由選項(xiàng)C知，三次傳輸，發(fā)送0,則譯碼為0的概率P=(l-a)p+2a),

單次傳輸發(fā)送0,則譯碼為0的概率戶=1-a,而0<a<0.5,

SlitP-=(1-a)2(l+2a)-(1-a)=a(l-a)(l-2a)>0,即P>P,D正確.

故選：ABD

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成兩兩互

斥事件的和，相互獨(dú)立事件的積是解題的關(guān)鍵.

13.6

【分析】法一：根據(jù)題意結(jié)合向量數(shù)量積的運(yùn)算律運(yùn)算求解；法二：換元令'=5-力，結(jié)合

數(shù)量積的運(yùn)算律運(yùn)算求解.

答案第6頁(yè)，共16頁(yè)

【詳解】法一：因?yàn)閗+司=|2“一同，即（“+4=（2〃—可，

則a+2a-b+b=4a~-4a-b+b,整理得，-2a-b=0>

又因?yàn)榧矗╝-b『=3,

貝嘮-2療+入入3,所以忖=5

I].rirrrrrrrr

法二：設(shè)c=5_〃，則卜|=，3,0+6=0+2/?,2〃一匕=2C+》，

由題意可得：/+叫=（2c+6）,則</+4c0+4/f=4（/+4c?/?+//，

整理得：；2』2,即帆=口=b.

故答案為：6.

14.28

【分析】方法一：割補(bǔ)法，根據(jù)正四棱錐的幾何性質(zhì)以及棱錐體積公式求得正確答案；方法

二：根據(jù)臺(tái)體的體積公式直接運(yùn)算求解.

【詳解】方法一：由于（=]，而截去的正四棱錐的高為3,所以原正四棱錐的高為6,

所以正四棱錐的體積為gx（4x4）x6=32,

截去的正四棱錐的體積為；x（2x2）x3=4,

所以棱臺(tái)的體積為32-4=28.

方法二：棱臺(tái)的體積為gx3x（16+4+&Q）=28.

故答案為：28.

【分析】根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，求出弦長(zhǎng)恒同，以及點(diǎn)C到直線A8的距離，結(jié)合面積

公式即可解出.

答案第7頁(yè)，共16頁(yè)

【詳解】設(shè)點(diǎn)C到直線AB的距離為d,由弦長(zhǎng)公式得|A8|=244-屋，

所以S&Bc=；xdx2V^7'=g,解得：d=處或d=巫,

2355

由d=J整所以-攣或-^上方;半，解得：加=±2或"=土;.

Vl+w2V1+/M2y/l+m25V1W52

故答案為：2（2,-《,一中任意一個(gè)皆可以）.

16.

~2

【分析】設(shè)4（和￡],8（々，），依題可得，x2-x,=p結(jié)合sinx=g的解可得,

。（工2-%）=與，從而得到。的值，再根據(jù)/（1兀）=°以及/（。）＜0,即可得

f（x）=sin（4x-|7t）,進(jìn)而求得/⑺.

【詳解】設(shè)4、,￡）,8卜，￡|，由|4用=2可得々一%=看，

I兀57r

由sinx=不可知，x=：+24?；騲=：+2E,kwZ,由圖可知，

266

6yx2+0—(0X|+9)=7兀-7=^-，即/(馬/.6<9=4.

日位/＞[2I.（8兀]8兀.Q

因?yàn)殓P尸叫了+叼=0,所以5+e=E,即3=一不+kitkwZ.

所以/(x)=sin4x——兀+E=sin4x——兀+左兀

所以f(x)=sin(4x—17i)或f(x)=—sin(4x-g兀

又因?yàn)?（0）＜0,所以"x）=sin（4x-[兀｝??./（兀）=sin（4兀一|兀）=—#.

故答案為：罟.

【點(diǎn)睛】本題主要考查根據(jù)圖象求出。以及函數(shù)/（x）的表達(dá)式，從而解出，熟練掌握三角

函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，以及特殊角的三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵.

17.(1

(2)Z>=c=2.

【分析】（1）方法1,利用三角形面積公式求出。，再利用余弦定理求解作答；方法2,利

答案第8頁(yè)，共16頁(yè)

用三角形面積公式求出“，作出8c邊上的高，利用直角三角形求解作答.

(2)方法1,利用余弦定理求出a,再利用三角形面積公式求出-ADC即可求解作答；方

法2,利用向量運(yùn)算律建立關(guān)系求出a,再利用三角形面積公式求出NADC即可求解作答.

TT

【詳解】(1)方法1：在：ABC中，因?yàn)?。為BC中點(diǎn)，ZADC=-,AD=1,

Y=Ta=is-=T,解得I，

27r

在中，ZADB=y,由余弦定理得C?=8￡)2+4)2-23￡>.4)COSNADB,

即c2=4+l-2x2xlx=7,解得c=>/7,則cos8=^^=膽,

2V7x214

sinB=Vl-cos2B-

所以tanB=^=正.

cosB5

方法2：在ABC中，因?yàn)?。為BC中點(diǎn)，ZADC=^,AD=\,

貝USA”。=,A￡>-OCsinNAOC='xl*1ax^=^a=1s.?r=—,解得a=4,

m2222822

在,AC。中，由余弦定理得從=CZ)2+452_2CZ)A￡>COSZAZ)8,

即/=4+1_2x2xlxg=3,解得b=百,有.AC2+AQ2=4=C￡>2,則NCAO=5,

C=j過(guò)A作A￡JL8c于E,于是CE=ACcosC=3,4E=4CsinC=^,BE=￡

6222

所以tanB噎邛

11

c"9-~a9+l-2x—6fxlxcos(7t-ZADC)

(2)方法1：在△ABO與A8中，由余弦定理得，

h2=—a2+l-2x—6/xlxcosZADC

42

整理得g/+2=〃+c2,而從+C?2=8,則〃=26,

又SADC=；x石x1xsinZ.ADC=*，解得sinZADC=I,而0<ZADC<”，于是ZADC=],

所以/?=c=jA￡>2+a)2=2.

答案第9頁(yè)，共16頁(yè)

方法2：在，ABC中，因?yàn)?。為BC中點(diǎn)，則2AO=AB+AC，又CB=AB—AC，

4AD2+CB2=(AB+AC)2+(AB-AC)2=2(fe2+c2)=16,即4+/=i6，解得a=2百，

又SAnc=-x73x1xsinZAZJC=—,解得sin/4DC=l,Ifij0<ZADC<n,于是NADC=：,

ADC222

所以。=c=Jm+CD?=2.

18.⑴a“=2”+3；

(2)證明見(jiàn)解析.

【分析】(1)設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d,用4，4表示S“及7”，即可求解作答.

(2)方法1,利用(1)的結(jié)論求出S“，b?,再分奇偶結(jié)合分組求和法求出(，并與S“作

差比較作答；方法2,利用(1)的結(jié)論求出S“，bn,再分奇偶借助等差數(shù)列前〃項(xiàng)和公式

求出工,，并與S“作差比較作答.

,、—6,〃=2%-1.

【詳解】(1)設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d,而2=；，驍N*,

,KI—Z.K

則h1=a]-6,Z?2=2a?=2q+2d,4=%—6=4+2d—6,

⑸=4tz,+6d=32

于是,,,,解得％=5,d=2,a?=a+(n-l)d=2n+3,

r,=4?(+44-112O=16t

所以數(shù)列｛??｝的通項(xiàng)公式是4,=2〃+3.

⑵方法1：由⑴知，s.一(5+；〃+3)=”2+4〃,2=廣一：’”；丁,此用，

2[4〃+6,〃=2k

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，〃i+d=25—1)-3+4〃+6=6〃+1,

于13+(6〃+1)/?37

T,=------------=-/?"2+—n,

“2222

當(dāng)”>5時(shí)，7；,-5?=(|n2+1-7J)-(/i2+4/j)=^n(n-l)>0,因此Z,>S“，

327325

當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，Tn=T?+1-b?+l^(n+1)+-(n+1)-[4(n+1)+6J=1n+^n-5,

當(dāng)"〉5時(shí)，Tn-Sn=(^n'+^n—5)—(n'+4n)=—(n+2)(n—5)>0,因此>S“，

答案第10頁(yè)，共16頁(yè)

所以當(dāng)〃>5時(shí)，T”>S,,

2n-?>,n-2k-\,*

方法2：由(1)知，S"="(5+}+3)=、+4〃b“=入N*,

4〃+6,〃=2%

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí),

Ta入,.—1+2(〃-1)—3n14+4/1+6〃327

Z,=(4+4++4_|)x+(包+d++2)=--------------+—------=

3.71

當(dāng)〃>5時(shí)，7,-S“=(5〃2+]〃)_(〃2+4〃)=2〃(〃-1)>O,因此7；>S“，

當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，若〃之3,則

-1+2〃―3〃+114+45-1)+6n-\

(=(〃+&++2)+也+%++%)=---------------F

22~2F

=j3n2+|5?-5,顯然/；=偽=-1滿足上式，因此當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，7；,=|3?2+|5/7-5,

35i

22

當(dāng)〃〉5時(shí)，Tn-S?=(-n+-n-5)-(?+4n)=-(n+2)(n-5)>0,因此7；>S“,

所以當(dāng)〃>5時(shí)，Tn>Sn.

19.(l)c=97.5,4(c)=3.5%；

-0.008c+0.82,95<c<100?,_,

⑵/?=0.01c-0.98,100<c<105'最小值為。。2.

【分析】(1)根據(jù)題意由第一個(gè)圖可先求出。，再根據(jù)第二個(gè)圖求出CN97.5的矩形面積即

可解出；

(2)根據(jù)題意確定分段點(diǎn)100,即可得出/(c)的解析式，再根據(jù)分段函數(shù)的最值求法即可

解出.

【詳解】(1)依題可知，左邊圖形第一個(gè)小矩形的面積為5x0.002>0.5%,所以95<c<100,

所以(c-95)x0.002=0.5%,解得：c=97.5,

q(c)=0.01x(97.5—95)+5x0.002=0.035=3.5%.

(2)當(dāng)ce[95,100]時(shí),

f(c)=p(c)+q(c)=(c-95)x0.002+(100-c)x0.01+5x0.002=-0.008c+0.82>0.02；

當(dāng)ce(100,105]時(shí),

f(c)=p(c)+q(c)=5x0.002+(c-100)x0.012+(105-c)x0.002=0.01c-0.98>0.02,

答案第11頁(yè)，共16頁(yè)

-0.008c+0.82,95<c<100

故/(c)=

0.01c-0.98,100<c<105

所以/(c)在區(qū)間［95,105］的最小值為0.02.

20.(1)證明見(jiàn)解析:

(2)T

【分析】(1)根據(jù)題意易證工平面ADE,從而證得BC_LZM；

(2)由題可證平面58,所以以點(diǎn)E為原點(diǎn)，所在直線分別為x,y,z軸,

建立空間直角坐標(biāo)系，再求出平面AB3A8F的一個(gè)法向量，根據(jù)二面角的向量公式以及同

角三角函數(shù)關(guān)系即可解出.

【詳解】(D連接AE,OE,因?yàn)镋為8c中點(diǎn)，DB=DC,所以。ELBC①，

因?yàn)镈4=D9=3C,ZADB=ZADC=60,所以ACD與△ABO均為等邊三角形，

AC=AB,從而AE_L5C②，由①②，AEDE=E,AE,OEu平面,

所以，BC_Z平面A0E,而ADu平面A￡)E,所以BC_LD4.

(2)不妨設(shè)DA=DB=DC=2,BDVCD,:.BC=2?,DE=AE=C.

：.AE2+DE2=4=AD2>:.AEVDE,又AEA.BC,DEBC=E,OE,8Cu平面BCD

.?.AE_L平面SCO.

以點(diǎn)E為原點(diǎn)，E2EB,EA所在直線分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：

設(shè)0(72,0,0),4(0,0,夜),3(0,衣0),E(0,0,0),

設(shè)平面ZMB與平面A8廣的一個(gè)法向量分別為勺=(jq,yl,zl),n2=(x2,y2,z2),

二面角O-AB-B平面角為氏而A8=(O,a,-0),

因?yàn)镋/=。4=(-0,0,0),所以4即有4尸=(-0,0,0),

答案第12頁(yè)，共16頁(yè)

J-V2X1+y/2z}=0

?。?1,所以4=(1,1,1)；

[\[2yi-y12z1=0

\f2y2-V2Z2=0

取丫2=1，所以%=(0,1,1),

-yjlx2=0

所以‘上°網(wǎng)=向聲耳豆=乎’從而sine=614?

所以二面角。-鉆-尸的正弦值為坦.

3

(2)證明見(jiàn)解析.

【分析】(1)由題意求得”,〃的值即可確定雙曲線方程:

(2)設(shè)出直線方程，與雙曲線方程聯(lián)立，然后由點(diǎn)的坐標(biāo)分別寫(xiě)出直線與N4的方程,

聯(lián)立直線方程，消去丁，結(jié)合韋達(dá)定理計(jì)算可得x+三2=-：1,即交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值，據(jù)此

x-23

可證得點(diǎn)尸在定直線4T上.

22

【詳解】(1)設(shè)雙曲線方程為［-與=1(。＞0*＞0),由焦點(diǎn)坐標(biāo)可知c=2后，

ab?

則由0=2=逐可得。=2,b=\Jc2-a2=4?

a

雙曲線方程為M=l.

416

(2)由(1)可得4(-2,0)，4(2,0),設(shè)(孫方)，

顯然直線的斜率不為0,所以設(shè)直線MV的方程為尤=根＞」4,且

22

與?一福=1聯(lián)立可得(4m2-1)/-32%),+48=0,且△=64(4m2+3)>0,

32/7748

貝|」乂+%=4/n2—1'")24m2-1，

答案第13頁(yè)，共16頁(yè)

直線"A的方程為y=T?(x+2),直線叫的方程為y=(X-2),

Xj-rZX-,—L

聯(lián)立直線"4與直線N4的方程可得：

x+2=%(占+2)=%(沖?-2)=陽(yáng)心-2(%+%)+2乂

x-2》(占-2)y("%-6)加X(jué)內(nèi)一6%

48。32m八-16m3

m-----7------2?4/?」2)1嬴=1+2,

4"-1

4848〃？工3

mx——-——-6y)

4〃r-1

由x=+=2一：i可得x=-l,即與=-1,

x-23

據(jù)此可得點(diǎn)P在定直線4-1上運(yùn)動(dòng).

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:求雙曲線方程的定直線問(wèn)題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化能力和

綜合應(yīng)用能力，其中根據(jù)設(shè)而不求的思想，利用韋達(dá)定理得到根與系數(shù)的關(guān)系可以簡(jiǎn)化運(yùn)算,

是解題的關(guān)鍵.

22.(1)證明見(jiàn)詳解(2)(-00,-72)(V2,+oo)

【分析】(1)分別構(gòu)建尸(x)=x-sinx,xe(O,l),G(x)=x2-x+sinx,xe(O,l),求導(dǎo),利用

導(dǎo)數(shù)判斷原函數(shù)的單