第02講 矩形的性質(zhì)與判定（知識解讀+真題演練+課后鞏固）（原卷版）

第2講矩形的性質(zhì)與判定1、掌握矩形的的定義，理解矩形與平行四邊形的關(guān)系；2、理解并掌握矩形的性質(zhì)定理、直角三角形斜邊中線定理及證明過程;會用矩形的性質(zhì)定理進行推導證明;3、會初步運用矩形的定義、性質(zhì)來解決有關(guān)問題，進一步培養(yǎng)學生的分析能力．知識點1：矩形的性質(zhì)※矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形叫矩形。矩形是特殊的平行四邊形?！匦蔚男再|(zhì)：（1）具有平行四邊形的性質(zhì)（2）對角線相等（3）四個角都是直角。注意：（矩形是軸對稱圖形，有兩條對稱軸）知識點2：直角三角形斜邊上的中線※推論：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。知識點3：矩形的判定※矩形的判定：（1）有一個內(nèi)角是直角的平行四邊形叫矩形(根據(jù)定義)。（2）對角線相等的平行四邊形是矩形。（3）四個角都相等的四邊形是矩形?！绢}型1：矩形的概念和性質(zhì)】【典例1】（2022?青羊區(qū)校級模擬）如圖，在矩形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，若AO＝5，AB＝6，則矩形ABCD的面積是（）A．28 B．32 C．48 D．50【變式1-1】（2022春?東城區(qū)期中）如圖，矩形ABCD的對角線AC與BD相交于點O，∠ADB＝30°，AB＝6，則OC＝（）A．12 B． C．6 D．3【變式1-2】（2022春?中山市期中）如圖，矩形ABCD中，對角線AC，BD交于點O．若∠AOB＝60°，BD＝8，則AD的長為（）A．4 B．5 C．3 D．4【變式1-3】（2022?青羊區(qū)校級模擬）如圖，在矩形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，若AO＝5，AB＝6，則矩形ABCD的面積是（）A．28 B．32 C．48 D．50【典例2】（2022?武功縣模擬）如圖，在矩形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，AE垂直平分BO，若AE＝2，則OD＝（）A．2 B．3 C．4 D．6【變式2-1】（2022?武功縣一模）如圖，點O為矩形ABCD的對角線AC的中點，OP∥AB交BC于點P，連接OD，若OP＝3，AD＝8，則OD的長為（）A．3 B．4 C．5 D．6【變式2-2】（2022春?長樂區(qū)期中）如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，過點O作OE⊥AC交AD于E，若AB＝4，BC＝8，則AE的長為（）A．3 B．4 C．5 D．2【變式2-3】（2022春?增城區(qū)期末）如圖，矩形ABCD的對角線AC的垂直平分線分別交AD、AC、BC于點E、O、F，若AB＝3，BC＝4，則BF的長為（）A． B． C． D．1【題型2：直角三角形斜邊上的中線】【典例3】（2022春?防城區(qū)期中）如圖，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中點M與點C被湖隔開．若測得AB的長為12km，則M，C兩點間的距離為（）A．3km B．4km C．5km D．6km【變式3-1】（2022春?北京期中）如圖，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，點O是斜邊AC的中點，AC＝10，則OB＝（）A．5 B．6 C．8 D．10【變式3-2】（2022?寧德模擬）如圖，已知矩形ABCD的對角線相交于點O，若BD＝6，則AO＝．【變式3-3】（2021秋?龍泉驛區(qū)期末）在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，兩對角線交于點O，則BO＝（）A．3 B．4 C．5 D．10【題型3：矩形的判定】【典例4】（2022秋?即墨區(qū)期中）要檢驗一個四邊形畫框是否為矩形，可行的測量方法是（）A．測量四邊形畫框的兩個角是否為90° B．測量四邊形畫框的對角線是否相等且互相平分 C．測量四邊形畫框的一組對邊是否平行且相等 D．測量四邊形畫框的四邊是否相等【變式4-1】（2022秋?天府新區(qū)期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O．下列條件不能判定平行四邊形ABCD為矩形的是（）A．∠ABC＝90° B．AC＝BDC．AD＝ABD．∠BAD＝∠ADC【變式4-2】（2022春?南譙區(qū)校級月考）如圖，四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，OA＝OC，OB＝OD，添加下列條件仍不能判斷四邊形ABCD是矩形的是（）A．OA＝OB B．BD平分∠ABC C．AD⊥CD D．AB2+AD2＝BD2【變式4-3】（2022秋?運城月考）如圖，在?ABCD中，下列條件①AC＝BD；②∠1+∠3＝90°；③OB＝AC；④∠1＝∠2，能判斷?ABCD是矩形的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【典例5】（2022秋?朝陽區(qū)校級期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D、E分別是線段BC、AD的中點，過點A作BC的平行線交BE的延長線于點F，連接DF、CF．（1）求證：四邊形ABDF為平行四邊形；（2）求證：四邊形ADCF為矩形．【變式5-1】（2022?大武口區(qū)模擬）如圖，在平行四邊形ABCD中，E、F分別是邊AB、DC上的點，且AE＝CF，∠DEB＝90°．求證：（1）△ADE≌△CBF；（2）四邊形DEBF是矩形．【變式5-2】（2021秋?榆陽區(qū)期末）如圖，點F、C在AD上，已知AB∥DE，AB＝DE，AF＝CD，∠CEF＝90°．求證：四邊形BCEF是矩形．【變式5-3】（2022春?開封期中）如圖，在?ABCD中，E是DC邊的中點，且EA＝EB．（1）求證：△ADE≌△BCE；（2）求證：?ABCD是矩形．【題型4：矩形的性質(zhì)與判定綜合】【典例6】（2022秋?順德區(qū)期中）如圖，在平行四邊形ABCD中，BD⊥AB，延長AB至點E，使BE＝AB，連接EC．（1）求證：四邊形BECD是矩形．（2）連接AC，若AD＝3，CD＝2，求AC的長．【變式6-1】（2022秋?滕州市校級期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，連接BD，E為線段AD的中點，延長BE與CD的延長線交于點F，連接AF，∠BDF＝90°．（1）求證：四邊形ABDF是矩形；（2）若AD＝10，BD＝8，求△BCF的面積．【變式6-2】（2022秋?高州市月考）如圖，在菱形ABCD中，兩條對角線相交于點O，F(xiàn)在CD上，CF＝DF，連接OF并延長到E，使FE＝OF，連接CE，DE．（1）求證：四邊形OCED是矩形；（2）若∠DAB＝60°，AD＝2，求OD的長．【變式6-3】（2022春?長沙期中）如圖，已知點E是平行四邊形ABCD中BC邊的中點，連接AE并延長交DC的延長線于點F，連接AC，BF，且AF＝BC．（1）求證：四邊形ABFC為矩形；（2）若△AFD是等邊三角形，且邊長為，求四邊形ABFC的面積．1．（2022?聊城）要檢驗一個四邊形的桌面是否為矩形，可行的測量方案是（）A．測量兩條對角線是否相等 B．度量兩個角是否是90° C．測量兩條對角線的交點到四個頂點的距離是否相等 D．測量兩組對邊是否分別相等2．（2022?陜西）在下列條件中，能夠判定?ABCD為矩形的是（）A．AB＝AD B．AC⊥BD C．AB＝AC D．AC＝BD3．（2022?日照）如圖，矩形ABCD為一個正在倒水的水杯的截面圖，杯中水面與CD的交點為E，當水杯底面BC與水平面的夾角為27°時，∠AED的大小為（）A．27° B．53° C．57° D．63°4．（2022?甘肅）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，在不添加任何輔助線的前提下，要想四邊形ABCD成為一個矩形，只需添加的一個條件是．5．（2022?吉林）如圖，在矩形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，點E是邊AD的中點，點F在對角線AC上，且AF＝AC，連接EF．若AC＝10，則EF＝．6．（2022?黔東南州）如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，DE∥AC，CE∥BD．若AC＝10，則四邊形OCED的周長是．7．（2022?十堰）“美麗鄉(xiāng)村”建設(shè)使我市農(nóng)村住宅舊貌變新顏，如圖所示為一農(nóng)村民居側(cè)面截圖，屋坡AF，AG分別架在墻體的點B，C處，且AB＝AC，側(cè)面四邊形BDEC為矩形．若測得∠FBD＝55°，則∠A＝°．8．（2021?鞍山）如圖，矩形ABCD中，AB＝3，對角線AC，BD交于點O，DH⊥AC，垂足為點H，若∠ADH＝2∠CDH，則AD的長為．9．（2021?賀州）如圖，在矩形ABCD中，E，F(xiàn)分別為BC，DA的中點，以CD為斜邊作Rt△GCD，GD＝GC，連接GE，GF．若BC＝2GC，則∠EGF＝．10．（2021?連云港）如圖，點C是BE的中點，四邊形ABCD是平行四邊形．（1）求證：四邊形ACED是平行四邊形；（2）如果AB＝AE，求證：四邊形ACED是矩形．11．（2021?長沙）如圖，?ABCD的對角線AC，BD相交于點O，△OAB是等邊三角形，AB＝4．（1）求證：?ABCD是矩形；（2）求AD的長．12．（2020?北京）如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，E是AD的中點，點F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．（1）求證：四邊形OEFG是矩形；（2）若AD＝10，EF＝4，求OE和BG的長．13．（2022?麗水）如圖，將矩形紙片ABCD折疊，使點B與點D重合，點A落在點P處，折痕為EF．（1）求證：△PDE≌△CDF；（2）若CD＝4cm，EF＝5cm，求BC的長．1．（2022春?海曙區(qū)校級期中）下列關(guān)于矩形的說法正確的是（）A．對角線垂直 B．四個角都是直角 C．有四條對稱軸 D．四條邊相等2．（2022秋?深圳月考）如圖，矩形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，點E是CD的中點，若OE＝3，則BC的長為（）A．3 B．4 C．5 D．63．（2022秋?龍崗區(qū)期末）如圖，在矩形ABCD中，已知AE⊥BD于E，∠BDC＝60°，BE＝1，則AB的長為（）A．3 B．2 C． D．4．（2021秋?泗縣期末）如圖，在矩形ABCD，對角線AC與BD相交于點O，EO⊥AC于點O，交BC于點E，若△ABE的周長為8，AB＝3，則AD的長為（）A．2 B．5.5 C．5 D．45．（2022春?漢濱區(qū)期中）如圖，在矩形ABCD中，DE平分∠ADC交BC于點E，連接AE若CD＝6，AE＝10，則AD的長為（）A．12 B．14 C．16 D．206．（2021秋?霞浦縣期中）如圖，在長方形ABCD中，AB＝3，BC＝6，對角線AC的垂直平分線分別交AD、AC于點M，N，連接CM，則CM的長為（）A． B． C．﹣ D．﹣7．（2022秋?淮安區(qū)期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜邊AB上的中線，若CD＝2.5，AB的長為（）A．2.5 B．4 C．5 D．68．（2022春?楊浦區(qū)校級期中）下列條件不能判定一個四邊形是矩形的是（）A．四個內(nèi)角都相等 B．四條邊都相等 C．對角線相等且互相平分 D．對角線相等的平行四邊形9．（2022?南京模擬）如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，延長AD到E，使DE＝AD，連接EB，EC，DB，添加一個條件，不能使四邊形DBCE成為矩形的是（）A．AB＝BE B．CE⊥DE C．∠ADB＝90° D．BE⊥AB10．（2021秋?三原縣期末）如圖，已知點M，O，N在同一直線上，OB，OC分別是∠AOM與∠AON的平分線，AB⊥OB，AC⊥OC，垂足分別為B，C，求證：四邊形ACOB是矩形．11．（2022春?澗西區(qū)期中）如圖，延長平行四邊形ABCD的邊DC到點F，使得CF＝CD，連接AF，