函數(shù)模型的應(yīng)用實例

1．向高為H的水瓶內(nèi)注水，注滿為止．如果注水量V與水深h的函數(shù)關(guān)系的圖象如圖所示，則水瓶的形狀是(

)答案：

B1.下圖中哪幾個圖像與下述三件事分別吻合得最好？請你為剩下的那個圖像寫出一件事。①我離開家不久，發(fā)現(xiàn)自己把作業(yè)忘在家里，于是返回家里找到作業(yè)再上學(xué)②我騎車一路勻速行駛，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽擱了一些時間③我出發(fā)后，心情輕松，緩慢行進，后來為了趕時間開始加速ABC0離家距離時間0離家距離時間0時間離家距離離家距離0時間D(D)(A)(B)c對應(yīng)的參考事件：我出發(fā)后感到時間較緊，所以加速前進，后來發(fā)現(xiàn)時間還很充裕，于是放慢了速度。解析：

由題意知，x∈[1,100]，且x∈N＋.(1)P(x)＝R(x)－C(x)＝(3000x－20x2)－(500x

＋4000)＝－20x2＋2500x－4000，x∈[1,100]，x∈N＋，MP(x)＝P(x＋1)－P(x)＝－20(x＋1)2＋2500(x＋1)－4000－(－20x2＋2500x－4000)＝2480－

40x，x∈[1,100]，x∈N＋.[題后感悟]

(1)一次函數(shù)模型層次性不高，求解也較為容易，一般情況下可以用“問什么，設(shè)什么，列什么”這一方法來處理．(2)一次函數(shù)在實際問題中的應(yīng)用的題目，認真讀題，審題，弄清題意，明確題目中的數(shù)量關(guān)系，可充分借助圖象，表格信息確定解析式，同時要特別注意定義域．(3)在函數(shù)模型中，二次函數(shù)模型占有重要的地位，因為根據(jù)實際問題建立函數(shù)解析式后，可利用配方法、判別式法、換元法、函數(shù)的單調(diào)性等方法來求函數(shù)的最值，從而解決實際問題中的最大、最小等問題．例3、一輛汽車在某段路程中的行駛速度與時間的關(guān)系如圖所示：（1）求圖中陰影部分的面積，并說明所求面積的實際含義；（2）假設(shè)這輛汽車的里程表在汽車行駛這段路程前的讀數(shù)為2004km，試建立汽車行駛這段路程時汽車里程表讀數(shù)skm與時間th的函數(shù)解析式，并作出相應(yīng)的圖象12345908070605040302010vt這個函數(shù)的圖像如圖所示：解(1)陰影部分的面積為陰影部分的面積表示汽車在這5小時內(nèi)行駛的路程為360km(2)根據(jù)圖形可得：908070605040302010vt12345變式、某蔬菜菜基地種植西紅柿，由歷年市場行情得知，從二月一日起的300天內(nèi)，西紅柿市場售價與上市時間關(guān)系用圖1的一條折線表示；西紅柿的種植成本與上市時間的關(guān)系用圖2的拋物線表示：（1）、寫出圖1表示的市場售價與時間的函數(shù)關(guān)系式，寫出圖2表示的種植成本與時間的函數(shù)關(guān)系式；（2）、認定市場售價減去種植成本為純收益，問何時上市的西紅柿純收益最大？（注：市場售價和種植成本的單位：，時間單位：天）

0200300t100300P0tQ50150250300100150250解(1)由圖1可得市場售價與時間的函數(shù)關(guān)系式為:由圖2可得種植成本與時間的函數(shù)關(guān)系式為:(2)設(shè)時刻的純收益為,則由題意得即時,配方整理得,所以當(dāng)時,取得上的最大值當(dāng)時,配方整理得所以當(dāng)時,取得上的最大值;當(dāng)綜上,由可知,在上可以取得最大值100,此時=50,即二月一日開始的第50天時,上市的西紅柿純收益最大.[評析](1)現(xiàn)實生活中很多問題都是用分段函數(shù)表示的,如出租車費用?個人所得稅?話費等,分段函數(shù)是刻畫現(xiàn)實問題的重要模型.

(2)分段函數(shù)是同一個函數(shù)在不同階段的變化規(guī)律不同,要注意各段變量的范圍,特別是端點值,尤其要注意.解決應(yīng)用問題的基本步驟

(1)審題:弄清題意,分析條件和結(jié)論,理順數(shù)量關(guān)系,恰當(dāng)選擇模型;

(2)建模:將文字語言?圖形(或數(shù)表)等轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言,利用數(shù)學(xué)知識,建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型;

(3)求模:求解數(shù)學(xué)模型,得出數(shù)學(xué)結(jié)論;

(4)還原:將利用數(shù)學(xué)知識和方法得出的結(jié)論,還原為實際問題的意義.時間t50110250種植成本Q1501081504.蘆薈是一種經(jīng)濟價值很高的觀賞、食用植物，不僅可以美化居室、凈化空氣，還可美容保健，因此深受人們歡迎，在國內(nèi)占有很大的市場．某人準備進入蘆薈市場，栽培蘆薈為了了解行情，進入市場調(diào)研．從4月1日起，蘆薈的種植成本Q(單位：元/10kg)與上市時間t(單位：天)的數(shù)據(jù)情況如下表：(1)根據(jù)上表數(shù)據(jù)，從下列函數(shù)中選取一個最能反映蘆薈種植成本Q與上市時間t的變化關(guān)系：Q＝at＋b；Q＝at2＋bt＋c；Q＝a·bt；Q＝alogbt；(2)利用你選擇的函數(shù)，求蘆薈種植成本最低時上市天數(shù)t及最低種植成本．

用水清洗一堆蔬菜上殘留的農(nóng)藥，對用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用1個單位量的水可洗掉蔬菜上殘留農(nóng)藥量的,用水越多,洗掉的農(nóng)藥量也越多,但總還有農(nóng)藥殘留在蔬菜上.設(shè)用x單位量的水清洗一次以后，蔬菜上殘留的農(nóng)藥量與本次清洗前殘留的農(nóng)藥量之比為函數(shù)f(x).(1)試規(guī)定f(0)的值，并解釋其實際意義；(2)試根據(jù)假定寫出函數(shù)f(x)應(yīng)滿足的條件和具有的性質(zhì)；(3)設(shè)f(x)=,現(xiàn)有a(a>0)單位量的水,可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗兩次，試問用哪種方案清洗后蔬菜上殘留的農(nóng)藥量比較少？說明理由.

題目中的假定是對f(x)的性質(zhì)的描述，而確定用哪種方案時，只需比較兩種方案的清洗效果.

(1)f(0)=1,表示沒有用水清洗時，蔬菜上殘留的農(nóng)藥量保持不變.(2)函數(shù)f(x)應(yīng)滿足的條件和具有的性質(zhì)是：

f(0)=1,f(1)=,

在［0,+∞)上是減函數(shù)，且0<f(x)≤1.(3)設(shè)僅清洗一次,蔬菜上殘留的農(nóng)藥量為f1,清洗兩次后,蔬菜上殘留的農(nóng)藥量為f2,則

f1=,f2=×=［］2因為f1-f2=-［］2=-所以，當(dāng)0<a<時,f1<f2,即清洗一次蔬菜上殘留的農(nóng)藥量較??；當(dāng)a=時,f1=f2,即兩種清洗方法的效果一樣;當(dāng)a>時,f1>f2,即清洗兩次蔬菜上殘留的農(nóng)藥量較少.=,

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