中考數(shù)學(xué)幾何模型重點突破講練：專題23 勾股定理中的樹折和梯子模型（學(xué)生版）

專題23勾股定理中的樹折和梯子模型【模型1】風(fēng)吹樹折模型如圖，已知樹干AB垂直于地面，樹干AC被風(fēng)吹倒后彎折在地，該模型通常轉(zhuǎn)化為直角三角形，應(yīng)用勾股定理進行求解。（1）如果已知AB和BC，可通過設(shè)AC=，根據(jù)勾股定理可得，求出的值，進而可求出樹高。（2）如果已知樹高和BC，可通過設(shè)AB=，根據(jù)勾股定理可得，求出的值?！灸Ｐ?】梯子模型如圖已知梯子AB向下滑動了米，如圖是滑落后的梯子。如果已知梯子的長度和AC，可根據(jù)勾股定理先求出BC的長度，在中，應(yīng)用勾股定理：可求出滑落的距離，【例1】如圖，《九章算術(shù)》中記載“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．問：折者高幾何？”譯文：一根竹子，原高一丈，蟲傷有病，一陣風(fēng)將竹子折斷，其竹梢恰好著地，著地處離原竹子根部3尺遠．問：原處還有多高的竹子？（1丈=10尺）答：原處的竹子還有多少尺高．則高為（

）A． B． C． D．【例2】如圖所示，一個梯子AB長2.5米，頂端A靠墻AC上，這時梯子下端B與墻角C距離為1.5米，梯子滑動后停在DE上的位置上，如圖，測得DB的長0.5米，則梯子頂端A下落了（

）米．A．0.5 B．0.4 C．0.6 D．1【例3】一架梯子長25米，斜靠在一面墻上，梯子底端離墻7米，(1)這個梯子的頂端距地面有多高？(2)如果梯子的頂端下滑了4米到，那么梯子的底端在水平方向滑動了幾米？【例4】《九章算術(shù)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的重要著作之一，奠定了中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的基本框架，其中記載的一道“折竹”問題：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，問折者高幾何？”其大意是：一根竹子高1丈，折斷后竹子頂端落在離竹子底端3尺處．折斷處離地面的高度是多少？（其中丈、尺是長度單位，1丈=10尺．）一、單選題1．如圖，一根垂直于地面的旗桿在離地面5m的B處撕裂折斷，旗桿頂部落在離旗桿底部12m的A處，則旗桿折斷部分AB的高度是（

）A．5m B．12m C．13m D．18m2．如圖，一場暴雨過后，垂直于地面的一棵樹在距地面2m處折斷，樹尖B恰好碰到地面，經(jīng)測量AB＝4m，則樹高為（

）A． B． C． D．3．如圖，一旗桿離地面6m處折斷，旗桿頂部落在離旗桿底部8m處，則旗桿折斷前的高度為（

）A．10m B．12m C．14m D．16m4．《九章算術(shù)》是我國古代最重要的數(shù)學(xué)著作之，在《勾股》章中記載了一道“折竹抵地”問題：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，間折者高幾何？”翻譯成數(shù)學(xué)問題；如圖，在中，，，，若設(shè)，則可列方程為（

）A． B．C． D．5．一架米長的梯子，斜立在一堅直的墻上，這時梯子的底端離墻米，如果梯子的頂端沿墻下滑米，那么梯子底部在水平方向上滑動（

）A．0.4米 B．米 C．米 D．米6．如圖，一根長為2.5m的梯子AB斜靠在垂直于地面的墻上，這時梯子的底端B離墻根E的距離為0.7m，如果梯子的底端向外（遠離墻根方向）移動0.8m至D處，則梯子的頂端將沿墻向下移動的距離AC為（

）A．0.4m B．0.5m C．0.8m D．0.7m7．從前有一天，一個笨漢拿著竹竿進屋，橫章豎拿都進不去，橫著比門框?qū)?尺，豎若比門框高2尺．另一醉漢叫他沿著門的兩個對角斜著拿竿，這個笨漢一試，不多不少剛好進去了，你知道竹竿有多長嗎？若設(shè)竹竿的長為尺，則下列方程，滿足題意的是（

）A． B．C． D．8．如圖，小巷左右兩側(cè)是豎直的墻，一架梯子斜靠在左墻時，梯子底端到左墻角的距離BC為0.7m，梯子頂端到地面的距離AC為2.4m．如果保持梯子底端位置不動，將梯子斜靠在右墻時，梯子頂端到地面的距離為1.5m，則小巷的寬為（）．A．2.4m B．2.5m C．2.6m D．2.7m二、填空題9．如圖，一根旗桿在離地面9m處斷裂，旗桿頂部落在離旗桿底部12米處，旗桿折斷之前的高為__________．10．如圖，山坡上，樹甲從點A處折斷，其樹頂恰好落在另一棵樹乙的根部C處，已知AB＝4m，BC＝10m，已知兩棵樹的水平距離為6m，則樹甲原來高_____．11．云南省是我國乃至世界公認的竹類種質(zhì)資源大省如圖，有一根由于受蟲傷而被風(fēng)吹折斷的竹子正好頂端著地，折斷處離地面的高度為3米竹子的頂端落在離竹子根部距離4米處，則這根竹子原來的高度為______米．12．如圖，小巷左右兩側(cè)是豎直的墻，一架梯子斜靠在左墻時，梯子底端到左墻角的距離BC為0.7米，梯子頂端到地面的距離AC為2.4米，如果保持梯子底端位置不動，將梯子斜靠在右墻時，梯子頂端到地面的距離為1.5米，則小巷的寬為_____米．13．如圖，梯子AB靠在墻上，梯子的底端A到墻根O的距離為2米，梯子的頂端B到地面的距離為7米．現(xiàn)將梯子的底端A向外移動到，使梯子的底端到墻根O的距離等于3米，同時梯子的頂端B下降至，那么的值___1米（填>，<，=）14．如圖，一架梯子AB長10米，底端離墻的距離BC為6米，當(dāng)梯子下滑到DE時，AD＝3米，則BE＝___________米．三、解答題15．如圖，∠AOB＝90°，OA＝8m，OB＝3m，一機器人在點B處看見一個小球從點A出發(fā)沿著AO方向勻速滾向點O，機器人立即從點B出發(fā)，沿直線勻速前進攔截小球，恰好在點C處截住了小球．如果小球滾動的路程與機器人行走的路程相等，那么機器人行走的路程BC是多少？16．如圖，一棵豎直生長的竹子高為8米，一陣強風(fēng)將竹子從C處吹折，竹子的頂端A剛好觸地，且與竹子底端的距離AB是4米．求竹子折斷處與根部的距離CB．17．一個長13米的梯子斜靠在與地面垂直的墻上，梯子的頂端距離地面12米．(1)如果梯子的頂端下滑1米，那么梯子的底端滑動多少米？（結(jié)果保留根號）(2)如果梯子的頂端下滑的距離等于底端滑動的距離，那么這個距離是多少?18．一個長為10m的梯子斜靠在墻上，梯子底端距墻底6m．(1)若梯子的底端水平向外滑動1m，梯子的頂端下滑多少米？(2)如果梯子頂端向下滑動的距離等于底端向外滑動的距離，那么滑動的距離是多少米？19．如圖，小磊將一個梯子斜靠在墻上，梯子頂端距離地面的垂直距離記作，測得，梯子的底端保持不動，將梯子的頂端靠在對面墻上，此時，梯子的頂端距離地面的垂直距離記作，測得，求、之間的距離．20．如圖，一架長2.5m的梯子AB斜靠在墻AC上，∠C＝90°，此時，梯子的底端B離墻底C的距離BC為0.7m（1）求此時梯子的頂端A距地面的高度AC；（2）如果梯子的頂端A下滑了0.9m，那么梯子的底端B在水平方向上向右滑動了多遠？21．如圖，一個梯子斜靠在一面墻上，梯子底端為，梯子的頂端距地面的垂直距離為的長．（1）若梯子的長度是，梯子的頂端距地面的垂直距離為．如果梯子的頂端下滑，那么梯子的底端向外滑動多少米?（2）設(shè)，，，且，請思考，梯子在滑動的過程中，是否一定存在頂端下滑的距離與底端向外滑動的距離相等的情況?若存在，請求