2023年高考數(shù)學(xué)大招13橢圓中的兩個最大張角

大招13橢圓中的兩個最大張角

大招總結(jié)

在橢圓中有兩個比較特殊的角，一個是短軸上的一個頂點到兩焦點的張角，另一個是短

軸上的一個頂點到長軸上兩個頂點的張角，它們都是橢圓上任意一點到這兩對點的所有張

角中最大的兩個角，它們有著重要的應(yīng)用，給解決一些問題帶來很大的方便，現(xiàn)歸納如下：

結(jié)論1.如圖：已知6,6為橢圓|r+p-=l（a>Z?>0）

的兩個焦點，P為橢圓上任意一點，則當(dāng)點P為橢圓短軸的端點時，/F]PF?最大.

分析：ZF}PF2e（0,^）,而y=co亞在（0㈤為減函數(shù)，只要求y=cosx的最小值,

又知|P4|+儼閭=2。,忻閭=2c,利用余弦定理可得.

證明:如圖，由已知：|「用+怛用=外,閨司=2c,

所以|P用）閭”。尸制=看（當(dāng)\PF]\=\PF2\時取等號）

由余弦定理得：COS/耳尸鳥」尸￡[周

21PMl熙|

=（歸用+|尸司）2-2閥||「圖-閨鳥「

一2陷||「周

]=_^…岑一1（當(dāng)怛￡|=|尸圖時取等號），

21111

2\PFiPF2\2\PFt\\PF2\a

所以當(dāng)|P￡|=|P^|時，cos/￡P(guān)g的值最小，因為/甲與?0,乃），所以此時

/RPF?最大.即點p為橢圓短軸的端點時/耳產(chǎn)外最大.

'p}

此時離心率eesin—,1

L/

廠y

結(jié)論2.如圖：已知A,B為橢圓/+萬=1（。>〃>0）長軸上的兩個頂點，Q為橢圓

上任意一點,則當(dāng)點Q為橢圓短軸的端點時，^AQB最大.

分析：當(dāng)^AQB最大時，^AQB一定是鈍角，

（7Cy_

而y=tanx在亍不上是增函數(shù)，利用點Q的坐標(biāo)，

127

表示出tanNAQB,再求tan^<AQB的最大值.

證明：如圖，不妨設(shè)Q(X,y)((^!k<a,O<yb),貝IJAP=a+x,BP=a-x,PQ^y,

tan/A。尸=tan/B0尸=

2a

tan/AQP+tan/BQP

,NA。=i_tan/A叱tan40P=y=Y十尺“‘又

22/、

772oDea\7T

x=a--y\所以tan^AQB=,,因為1一記<0,44。8寸萬,萬｝所

以當(dāng)y=h時，tan^AQB取得最大值，此時^AQB最大，所以當(dāng)點Q為橢

圓短軸的端點時，^AQB最大.

典型例題

例1.已知￡，鳥為橢圓的兩個焦點，若橢圓上存在點P使得/耳尸外=60,求橢圓

離心率的取值范圍.

解：方法1：由結(jié)論1知：當(dāng)點4為橢圓短軸的端點時，/RPF?最大，因此要最大

角/耳與月…60,即’/4P居..30,即tanZF^O...—,也就是y...—,

23b3

解不等式./°…立,得e1故橢圓的離心率eei1

77^73212）

■p}「1、

方法2:此時離心率ewsin-,1,故橢圓的離心率ew-91.

.2/L.2J

X2y2

例2.（2021春?贛州期中）已知P為橢圓/+危=1（。>%>0）上一點，耳，鳥是橢

圓的左、右焦點，若使Pg為直角三角形的點P有且只有4個，則橢圓離心率的取

值范圍是（）

'⑶（垃、

A.0，—B.—JC.（1,72）D,（72,+60）

\7\7

解：方法1:⑴當(dāng)PF}lx軸時，由兩個點P滿足PFK為直角三角形;同理當(dāng)

PF21X軸時，由兩個點p滿足-Pq%為直角三角彩

?.使-戶6鳥為直角三角形的點P有且只有4個，

以原點為圓心，C為半徑的圓與橢圓無交點，二。？（方2=.2一c.2,...e2<_L,

2

V2

又e>0,解得0<e<—.

故選A.

方法2:尸不止4個時，此時離心率ee^「sinP-,l、j即ee「—拉「所以P有且只

V2

有4個時0<e<-y-

例3.已知￡、&是橢圓的兩個焦點，滿足M/ME=0的點M總在橢圓內(nèi)部，則

橢圓離心率的取值范圍是0

A.（0,1）B.fo,yC.。，與D.4』

\乙，乙乙、

解：方法1：設(shè)橢圓的半長軸、半短軸、半焦距分別為a,b,c,

MF「MF2=0,:.M點的軌跡是以原點O為圓心，半焦距c為半徑的圓.又M點

總在橢圓內(nèi)部,

2292C21

該圓內(nèi)含于橢圓，即c<b,c<b=ci—c=一■<一,;.0<e<—,

a22

故選C.

■M、rV2、

方法2:M在上下頂點時，此時離心率eesiny,lj即ee—所以M總在

V2

橢圓內(nèi)部時0<e<—

/y2

例4.已知橢圓/+食=1（。>%>0）,長軸兩端點為A,B,如果橢圓上存在點P使得

/AP8=120,求這個橢圓的離心率的取值范圍.

解：由結(jié)論2知：當(dāng)點與為橢圓短軸的端點時，最大，因此只要

Z^B..12O則一定存在點Q,使/AQ5=120,g/AQR.6O,即APO..60

a、

所以..5得e…g,故橢圓的離心率的取值范圍是ee制.

7

Xy

例5.（2017課標(biāo)1,文監(jiān)設(shè)4B是橢圓C：r-=1長軸的兩個端點，若C

上存在點M滿足NAMB=120,則m的取值范圍是（）

A（。，1］口［9,+8）B.（0,0］.［9,+動C.（0,1］口［4,+動D.

（0,0］D［4,+co）

解：當(dāng)（）<機(jī)<3,焦點在軸上，要使C上存在點M滿足^AMB=\20,則

-..tan60=6即噌..也,得0<%,1;當(dāng)m>3,焦點在y軸上，要使C

byjm

上存在點M滿足^AMB=120,則-..tan60=3即?依，得m..9,

b

故m的取值范圍為（0,1］口［9,+8）,選A

例6.（2020.全國（文））已知橢圓C：4+y2

=Ka>b>0）,F,F分別為橢圓的左右焦

￥］2

點，若橢圓C上存在點P（xo,yo）（xo..O）使得/尸耳巴=30,則橢圓的離心率的

取值范圍為（）

C.；，1

A.B.D.

47

由圖可得：當(dāng)點P在橢圓的上（下）頂點處時，NPF遙最大,

要滿足橢圓C上存在點P（^）,yo）（x.O）使得/尸耳招=30,則

90＞（NP%）皿..30,

/7

所以tan（ZPf；F；）max..ian30=—

b上，百

即：7亍整理得”..不,

又a2=b2+c\所以得到：3a2..4c2所以e=-=

a產(chǎn)仁耳

所以橢圓離心率的取值范圍為0＜金日

故選B

自我檢測

22

w+今=1（。＞匕＞0）

1.已知P為橢圓ab-上一點，F(xiàn)},F2是其左右焦點，/耳尸月

NF/F,=-

取最大值時COS3,則橢圓的離心率為

【解】方法1：根據(jù)橢圓的性質(zhì)可得，當(dāng)P是橢圓短軸的頂點時，/F\PF?取最大值,

P為橢圓上任意一點，當(dāng)取最大值時的余弦值為1,

3

耳"2二四瑞#1,即有1_a2+a2-4c2

由余弦定理可得

3-2a^~

V3V3

化為a2=3c2，貝ije=-=丁.故答案為：了.

a

方法2:/RPF2取最大值時此時離心率e=siny,cos^P/s=-

nsinNF}?=卜cos/jP反=*故橢圓的離心率

"T,

xypFP

2.設(shè)橢圓/+萬=1（。>6>0）的焦點為1和2，是橢圓上任一點，若

/FPF

12的最大值為—,則此橢圓的離心率為

3

【解】方法1：由橢圓的性質(zhì)可得：當(dāng)點P取橢圓短軸的一個端點時，/耳尸與取得最

2Q

大值為紅，.?.tan/OPK=tan￡=6=f=3從=3（/-。2）,；.彳=了解得

33bv7a-4

C垂）

e~=丁

a2

V3

故答案為：—.

p

方法2:/￡P(guān)6取最大值時此時離心率e=sin]=5-

xvF、F/FPF

3若P是橢圓彳+不=1上任意一點」2是焦點,貝U'2的最大值為

【解】方法1：根據(jù)橢圓的方程可知：j+《=l,，a=2,/2=6,c=l,

43

由橢圓的對稱性可知，/￡尸鳥的最大時，P在短軸端點，此時-RPF?是正三角形,

；，質(zhì)的最大值為三.故答案為：乏.

33

方法2:/耳口鳥取最大值時此時離心率e=sin-=-^^F,PF9=60

22

4已知橢圓c的方程為7+F(0</?<2)離心率分別為左焦點和右

頂點，點P(m,n)在橢圓上，若/耳尸4為銳角，則實數(shù)m的取值范圍是

JQy

【解】植圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為二+右（0＜力＜2）,;.a=2,又...橢圓C的離心

4b~

率e=—c=1,00b2=a2—c2=3,

2

m=2cosa

f-.，（a為參數(shù)）,

{〃=，3sina

貝ljPF}=（-l-2cosa,一百sina）,P&=（2-2cosa,-石sina）,

若/￡P(guān)4為銳角，貝ij=cos%—2cosa+l=（cosa—〉O,

即coscwl,mw2,又由COSCT=—1時，尸耳與P4同向，/￡尸&二0,

故cosaw—1,加￡一2,即實數(shù)m的取值范圍是(-2,2),故答案為：(-2,2)

5.焦點在軸X上的橢圓方程為\+)2=1(。>0),耳、F2是橢圓的兩個焦點，若橢圓

a

上存在點3,使得NRBF?吟、那么實數(shù)。的取值范圍是

2

【解】方法1：V焦點在X軸上的橢圓方程為\+丁=1伍>0),.?=1,/=/-1,

a

若橢圓上存在點3,使得NF\Bkg則以線段電為直徑的圓與橢圓有交點，

即有c..b,即CW,622-11,又a>0,故。的取值范圍是[&,+8).故答案為:

方法2:此時離心率eesin—,1<1=>—<lnae[0,+e)

_2J2a2'Ja2

X2y2

6,已知焦點在1軸上的橢圓1+萬=1(匕>0),耳,巴是它的兩個焦點，若橢圓上存

在點尸，使得PF'P馬=0,求b的取值范圍.

【解】方法1：由結(jié)論1知，當(dāng)點P為橢圓短軸的端點時，人質(zhì)最大，若此時

PF,PF2=0,則有：b=c,又a=2,所以b=y/2,因為植圓越扁，這樣的點一定存在,

所以b的取值范圍為：0<b?42.

P\也1

n1n轟<n

方法2:此時離心率eesi2「722-

Xy~

7.已知橢圓—+^-=1,7*,^是它的兩個焦點，點P為其上的動點，當(dāng)4產(chǎn)2為

94

鈍角時，求點P橫坐標(biāo)的取值范圍.

【解】由結(jié)論1知，當(dāng)點P越接近短軸的端點時，人越大，所以只要求

/RPF?為直角時點p的橫坐標(biāo)的值，因為，=君，所以當(dāng)公朋為直角時,

"22i—

22u工+21—13V5

點P在圓％+y=5上，解方程組94—，得：x=±k，所以點P橫坐

、f+y2=5

_3753>/5

標(biāo)的取值范圍是：—丁<》<飛—.

8.（2021?哈爾濱市?黑龍江實驗中學(xué)高二期中（文））已知橢圓

X2y2

C:-^+^=l,a>b>0,Fi,F2分別為橢圓的左右焦點，若橢圓C上存在點

尸（毛,先）（$..0）使得/PF、F］=60,則橢圓的離心率的取值范圍為（）

一④［八拒］「Li鼠1〕

A［KJB.［。5］C.刖D.也］

【解】方法1：設(shè)閥|=m,|P閭=2a-團(tuán),若橢圓C上存在點尸（如洲（務(wù).0）使

得/P耳6=60,nt.a,（2a-m）2=m2+4c2-2m-2c-cos60,

,,,,4a2-4c2

4a2—4am+m2—m2+4c2—2mc，即加=~-

4a-2ct

4a2-4c2

---------<a+c

4。一2c=z>—?—,,BPe”—,.0<e<l0<e,,'.故選D

4a2-4c2a222

---------..a

、4a-2c

方法2：因為點P（^,yo）（xo..O）即P在上下頂點時，此時/Pg最大,

/P￡K=60時離心率e=Sin幺"=sin3O=’，又橢圓必須比此時更圓才存

22

在點P（xo,yo）（xo..O）使得/尸耳入=60即0<e,,g故選D

2

XJ2

9.（2021?山東高三專題練習(xí)）設(shè)橢圓—+=1（?>^>0）的兩焦點為耳，鳥，若橢

a

圓上存在點P,使/耳口鳥=120,則橢圓的離心率e的取值范圍為（）.

A.B.C.爭D.

"17

【解】當(dāng)P是橢圓的上下頂點時，4最大,.?.120”180,

/.60?"PO<90,

石C,

sin60領(lǐng)kin/KPE<sin90，?山尸|=a,|耳。卜c,r.

Tr1■則植圓的離心率。

的取值范圍為捋）,故選C.

10.（2021-福建省永春第五中學(xué)高三期中（理））已知￡,人是橢圓

22

Xy

7+=1（。>6>0）的左右兩個焦點，若橢圓上存在點P使得PFAPFi.則該橢

圓的離心率的取值范圍是（）

吟

A.B.C.D.釁

剽7

【解】方法1P￡1PF2,:.P甲+PF；=RF；

PF；+PF；=(P6+PF^-2PFt-PF2..(P耳+PgJ_(心；桃)-=(3-(

當(dāng)且僅當(dāng)PFi=PF2時取等號），，“其（尸耳+尸空）

1萬

222

由橢圓定義知：P￡+P%=2a,又F}F2=2c::.4c^2a,:.e,又

e<l,:.離心率e的取值范圍為

即營”故選B

.p,

故選B.方法2:P在上下頂點時，此時離心率eesiny,l

/

X~y

11.（2021.安徽淮南市）設(shè)4,4分別為橢圓C:—+^=Ka>b>0）的左右頂點，若

ab-

在橢圓上存在點尸，使得kpA-kr,>-1,則該橢圓的離心率的取值范圍是（）

I2）12）[2J12J

【解】方法1：設(shè)尸（asina,反osa），A（-a,0）,4（a,0）;

氏os%1b21

hcosahcosa

kpA'=屆小電。-..9-----〉---；-7<一

3+'na—a。飛in“a-Q2a2

解得坐<￡<i；

??.0<gJ-⑵］，崢二

2a

,該橢圓的離心率的范圍是.故選C.

b21b21

方法2:「在上下頂點時，M加7匕J-->.---<—

a2----1"a12

.?.0<L^=l—（La,。）。；；.解得坐〈色〈I；該橢圓的離心率的范圍是

a2（aj\2/2a

I2J

故選C.

X-y

12.（2021?甘肅蘭州市蘭州一中（文））已知橢圓/+萬=1（。>6>0）的兩個焦點分別

為耳，尸2,若橢圓上不存在點尸，使得/RPF?是鈍角，則橢圓離心率的取值范圍是

)

、(V2

B.爭C.D.

727

【解】點P取上下頂點時，使得/RPF?是最大角,已知橢圓上不存在點尸，使

得/F[PF?是鈍角，可得a2-c2..c2,可得a..Jlc.:.Q<e?

故選C.

CX)廠1

13.(2021?江西南昌市?南昌二中高二月考(理))設(shè)AB是橢圓C:—+—=1的兩

4k

個焦點，若。上存在點P滿足NAP8=12O,則k的取值范圍是()

A.(0,1]7[16,+“)B.(o,；U[8,+e)C.[o,；口[16，+。)D.(O,l]7[8,+e)

【解】(1)0〈&<4時，C上存在點P滿足APB=120M為橢圓短軸端點,

當(dāng)P位于短軸的端點時，/APB取最大值，要使橢圓C上存在點P滿足

^APB=120則/4M8質(zhì)20,/AM。60,coszfAMO=—?cos60=；，解

得0<匕,1；

(2)當(dāng)橢圓的焦點在y軸上時，k>4,同理可得k.A6-,:.k的取值范圍是

故選A.

j2y2

14.(2021■山東棗莊市?高三二模(理))設(shè)￡、F1是橢圓C：-+T=I的兩個焦點,

若C上存在點M滿足/耳照=120,則加的取值范圍是()

A.du[8，+")B.(o,l]u[8,+⑹C.(°，；u[4,+e)D.(0,1]D[4,+")

【解】根據(jù)橢圓的性質(zhì)可知，當(dāng)點M在短軸的端點時，此時角/F\MF2最大，要使得

橢圓C上存在點M滿足ZfJMF；=120,則/￡M%.120,即ZOMF2..60,

當(dāng)tn>2時，用"■=2=cos/OM//bos60=上=^=—,解得m..8,

\MF2\a2yjm2

當(dāng)0v加v2時，=—=cos/OA/Rxx!fcos60=—=>,解得0vm?,—.

|M周a-2V222

所以實數(shù)rn的取值范圍是一。，338+8），故選A.

\2

Xy

15.（2021.江蘇南通市?海門中學(xué)高二期中）已知橢圓°：一+:—=1的焦點6,巴

m4-m

在X軸上，若橢圓上存在一點P,使得/耳2鳥=120,則實數(shù)m的取值范圍為

0

"161fl61F16.「8八

A./B.卬+,C.匕,4）D.1J

【解】