泛函分析第七章 習(xí)題解答1-25

重重第七章習(xí)題解答證明(1)若d(x,y)=0則d(x,y)=0,必有x=y f?(t)·則任意ε>0,存在%,使存在N,,取N=max{N,…Nx},令,所以存,所以存事規(guī)定距離為。證明B|a,b|不是可分空間。9.設(shè)X是可分距離空間，9為X的一個(gè)開覆蓋，即9是一族開集，使得對每個(gè)x∈X,有8中的開集O,使得x∈O,證明必可從9中選出可數(shù)個(gè)集組成X的一個(gè)開覆蓋。設(shè)的可數(shù)稠密子集，于是在的可數(shù)稠密子集，于是在重…事實(shí)上，若.,這樣我們就證明了對任意xeX,存在k,n使且存在1證明若x?∈X,.對任意ε>0,存在y?∈A,使取δ=號>0。則當(dāng)d(x,x?)<δ時(shí)，f(x)=infd(x,y)≤d(x,yo)≤d(x,x?),13.X是度量空間，證明「是連續(xù)映射的充要條件是對每個(gè)實(shí)數(shù)c,集合是開集。因此f是連續(xù)的實(shí)函數(shù)。14.證明柯西點(diǎn)列是有界點(diǎn)列。,因此對任意ε>0,存在δ>0,當(dāng)O≤t≤δδ>0,存在n,m≥N時(shí)，柯西點(diǎn)列。設(shè)ξ->ξ(n->m)。令x=(5,5?,…5,…),故有x∈S,且對任意給定ε>0,存在i,,使●●斂于x。證明若x=(5,5?,…5;…)∈1*,定義T(x,I)∈若x=(5,5?,…5,…)el*,y=(η,)因此T到/到(0,I)的子空間lf(x)-f(y)=|d(Ar.x)-d(Av,y)|≤d(Ar,Ay)+d(x,y)<2d(x,y)因此f是F上的連我們先證明f(x?)=0,若f(x?)≠0,則Ax?≠x?·記x?=Ax?,則Ax?=A2x?,于是f(x?)=d(Ax?,x?)=d(A2x?,Ax?d(Ax,Ax')≤ad(x,x'),0<θ<1.任給ε>0,存在N,使這樣若m>n,且n,m>N,有dx,xn)≤d(x,.X)+d(xxx,)+…+d(x×)≤0~(1-0)r+8~÷1-θ)r+…+θ"(3.若x,yεV[a,b],令m→x,類似通常數(shù)列的加法和數(shù)乘，在X中引入線性運(yùn)算。若證明：當(dāng)證明X顯然是線性空間。先證X是賦范線性空間。2.若x=(xj,x?,…)∈X,λ∈(-x,+x),3.若x=(x?,x?,…)∈X,y=(y?.v?,…)eX,再證X是完備的。設(shè){x,}是X中柯西列，其中,令j→0得再令K→0得知x,按X的范數(shù)收斂于x。由以上證明可知X是Banach空間。證畢。23.設(shè)X是賦范線性空間，X*X為兩個(gè)X的笛卡兒乘積空間，對每個(gè)則X*X成為賦范線性空間。證明X*X到X的映射(x,y)→x+y是連續(xù)映這就證明了(x,y)→x+y是連續(xù)映射。24.設(shè)A是實(shí)(復(fù))數(shù)域，X為賦范線性空間，對每個(gè)(a,x)∈X*X,因此映射(a,x)→αx是連續(xù)的。25.C為一切收斂數(shù)列所成的空間，其中的線性運(yùn)算與通常序列空間相同。在C中令,證明：C是可分的Banach空間。證明由第七章§4例1知是Banach空間。由定義易知C是I”中的線性子空間，且范數(shù)定義是一致的。因此要證C是Banach空間，由§4定理1,只要證C是1*中的閉子空間即可。設(shè){x,}CC,x=(ξl”,ξ?%),…);xeF°,x=(5?,5,…);|x-x→0(n→x).對于任意ε>0,存在N,使n≥N時(shí)，有,由于xy∈C,因此存在K,對任意i于是|x-r|<s,i=1,2